Mathematik für das Ingenieurstudium

Jürgen Koch
Martin Stämpfle
Mathematik
für das Ingenieurstudium
7
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Logik und Mengen . . . . . . .
1.2 Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Potenz und Wurzel . . . . . . .
1.4 Trigonometrie . . . . . . . . . .
1.5 Gleichungen und Ungleichungen
1.6 Beweise . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
17
28
32
36
43
47
2 Lineare Gleichungssysteme
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme
2.4 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . .
2.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
49
51
58
67
69
71
3 Vektoren
3.1 Der Begriff eines Vektors . . . . . .
3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten
3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung
3.4 Punkte, Geraden und Ebenen . . .
3.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . .
3.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
73
75
89
98
110
112
4 Matrizen
4.1 Der Begriff einer Matrix . . .
4.2 Rechnen mit Matrizen . . . .
4.3 Determinanten . . . . . . . . .
4.4 Inverse Matrix . . . . . . . . .
4.5 Lineare Abbildungen . . . . .
4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
4.7 Numerische Verfahren . . . . .
4.8 Anwendungen . . . . . . . . .
4.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
117
117
121
129
138
141
144
149
150
152
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Funktionen
155
5.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8
Inhaltsverzeichnis
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
Polynome und rationale Funktionen .
Eigenschaften . . . . . . . . . . . . .
Sinus, Kosinus und Tangens . . . . .
Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . .
Exponential- und Hyperbelfunktionen
Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . .
Numerische Verfahren . . . . . . . . .
Anwendungen . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
167
184
191
197
215
222
233
236
239
6 Differenzialrechnung
6.1 Steigung und Ableitungsfunktion . . . . .
6.2 Ableitungstechnik . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital . . . . .
6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen
6.5 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . .
6.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
245
245
255
265
269
279
284
289
7 Integralrechnung
7.1 Flächenproblem . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral
7.3 Integrationstechnik . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen . . . . .
7.5 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . .
7.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
295
295
299
306
325
333
336
341
8 Potenzreihen
8.1 Unendliche Reihen . . . . . . .
8.2 Potenzreihen und Konvergenz
8.3 Taylor-Reihen . . . . . . . . .
8.4 Eigenschaften . . . . . . . . .
8.5 Numerische Verfahren . . . . .
8.6 Anwendungen . . . . . . . . .
8.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
345
346
350
351
353
359
360
361
9 Kurven
9.1 Parameterdarstellung .
9.2 Kegelschnitte . . . . .
9.3 Tangente . . . . . . . .
9.4 Krümmung . . . . . . .
9.5 Bogenlänge . . . . . . .
9.6 Numerische Verfahren .
9.7 Anwendungen . . . . .
9.8 Aufgaben . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
363
363
366
372
374
377
379
381
384
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Inhaltsverzeichnis
9
10 Funktionen mit mehreren Variablen
10.1 Definition und Darstellung . . . .
10.2 Grenzwert und Stetigkeit . . . . .
10.3 Differenziation . . . . . . . . . . .
10.4 Ausgleichsrechnung . . . . . . . .
10.5 Vektorwertige Funktionen . . . .
10.6 Numerische Verfahren . . . . . . .
10.7 Anwendungen . . . . . . . . . . .
10.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
387
387
392
394
409
415
417
421
423
11 Komplexe Zahlen und Funktionen
11.1 Definition und Darstellung . . . .
11.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . .
11.3 Potenzen, Wurzeln und Polynome
11.4 Komplexe Funktionen . . . . . . .
11.5 Anwendungen . . . . . . . . . . .
11.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
425
425
431
436
442
452
453
12 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
12.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung
12.3 Lineare Differenzialgleichungen . . . .
12.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen . .
12.5 Differenzialgleichungssysteme . . . . .
12.6 Numerische Verfahren . . . . . . . . . .
12.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . .
12.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
455
455
463
468
491
500
516
519
525
13 Fourier-Reihen
13.1 Fourier-Analyse . . .
13.2 Komplexe Darstellung
13.3 Eigenschaften . . . .
13.4 Aufgaben . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
529
529
539
548
555
14 Verallgemeinerte Funktionen
14.1 Heaviside-Funktion . . . .
14.2 Dirac-Distribution . . . . .
14.3 Verallgemeinerte Ableitung
14.4 Faltung . . . . . . . . . . .
14.5 Aufgaben . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
557
557
559
561
563
566
15 Fourier-Transformation
15.1 Integraltransformation . . . . . . . . . .
15.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Inverse Fourier-Transformation . . . . . .
15.4 Differenziation, Integration und Faltung
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
567
567
575
582
585
.
.
.
.
.
.
.
.
10
Inhaltsverzeichnis
15.5 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
15.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
15.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
16 Laplace-Transformation
16.1 Bildbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Differenziation, Integration und Faltung . . .
16.4 Transformation periodischer Funktionen . . .
16.5 Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . .
16.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen .
16.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
601
601
605
609
613
615
616
622
625
17 z-Transformation
17.1 Transformation diskreter Signale .
17.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . .
17.3 Lösung von Differenzengleichungen
17.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
627
627
630
633
635
A Anhang
A.1 Ableitungsregeln . . . . . .
A.2 Ableitungen . . . . . . . .
A.3 Potenzreihen . . . . . . . .
A.4 Integralregeln . . . . . . .
A.5 Integrale . . . . . . . . . .
A.6 Fourier-Reihen . . . . . . .
A.7 Fourier-Transformationen .
A.8 Laplace-Transformationen
A.9 Griechisches Alphabet . . .
A.10 Bedeutende Mathematiker
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
637
637
637
638
638
639
640
642
644
645
646
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Literaturverzeichnis
663
Sachwortverzeichnis
665
11
1 Grundlagen
Die Mathematik ist aus einzelnen Bausteinen aufgebaut. Neue Erkenntnis bauen stets auf
bereits Bekanntem auf. Dadurch entsteht ein immer mächtigeres Bauwerk. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns, bildlich gesprochen, mit den untersten Etagen der Mathematik.
Dabei geht es vor allem um Themen der Schulmathematik. Nun gehört die Schulmathematik nicht immer zu den vorrangigen Interessensgebieten von Studierenden. Man könnte
darüber nachdenken, dieses Kapitel zu überblättern. Das geht natürlich nur gut, wenn
im Kartenhaus unserer Leser in den untersten Etagen nicht viele Lücken vorhanden sind.
Ansonsten drohen die ganzen Bemühungen mit einstürzenden Neubauten zu enden. Auch
wenn man den Eindruck hat, über ein tragbares Fundament in Mathematik zu verfügen, sollte man sich mit den Bezeichnungen für logische Operatoren, Mengen, Zahlen,
Intervalle, Summen und Produkte in diesem Kapitel vertraut machen.
Die Darstellung der Themen in diesem ersten Kapitel ist sehr komprimiert. Für eine intensive Wiederholung der Schulmathematik sollte man jedoch noch weitere Bücher, die mehr
Beispiele und Übungsaufgaben enthalten, in Betracht ziehen. Die wesentlichen Dinge, die
in den folgenden Kapiteln benötigt werden, sind jedoch alle enthalten.
1.1 Logik und Mengen
Wir gehen in diesem Abschnitt kurz auf einige Aspekte der Logik und der Mengenlehre
ein. Diese beiden Teilgebiete gehören zum absoluten Fundament der Mathematik. Obwohl
sie in diesem Buch nicht im Mittelpunkt stehen, werden wir doch an vielen Stellen immer
wieder logische und mengentheoretische Eigenschaften anwenden.
1.1.1 Aussagenlogik
„Das ist doch logisch.“ Dieser Satz wird oft strapaziert, jedoch nicht immer geht dieser
Aussage eine wirklich streng logische Herleitung eines Sachverhalts voraus. Die Mathematik bedient sich an vielen Stellen der Logik. Die Hoffnung dabei ist, dass Dinge objektiv
beschrieben werden können und Aussagen und Gesetze lange Zeit Gültigkeit haben, da
sie für jeden transparent und schlüssig, eben logisch herleitbar sind. Die grundlegende
Denkweise der Logik wurde auch unter philosophischen Aspekten bereits in der Antike
etwa von Aristoteles beschrieben.
Eine spezielle Art der Logik ist die Aussagenlogik. Wie die Bezeichnung schon vermuten lässt, stehen dabei Aussagen im Mittelpunkt. Es stellt sich die Frage, wie man mit
Aussagen, insbesondere natürlich mit mathematischen Aussagen umgehen kann. In der
klassischen Aussagenlogik geht man davon aus, dass eine Aussage entweder wahr oder
12
1 Grundlagen
falsch ist. Aussagen, bei denen nicht entscheidbar ist, ob sie wahr oder falsch sind, berücksichtigen wir hier nicht. Betrachtet man nicht nur eine Aussage, sondern mehrere,
dann ist interessant, wie diese Aussagen zueinander stehen. Oftmals folgt aus einer Aussage eine andere. Man kann Aussagen miteinander verknüpfen und dadurch zu weiteren
Aussagen gelangen. Der formale Apparat dazu heißt Aussagenlogik. Etwas allgemeiner ist
die nach dem englischen Mathematiker George Boole benannte und von Giuseppe Peano
und John Venn maßgeblich entwickelte Boolesche Algebra. Sie kann auf die Logik und
auf Mengen, wie wir sie in Abschnitt 1.1.2 betrachten, spezialisiert werden. Zunächst
definieren wir einige Operationen für Aussagen.
Definition 1.1 (Aussagenlogik)
Für die Aussagen A1 und A2 bezeichnet man
▸
die Negation oder das Gegenteil der Aussage A1 mit
¬A1 ,
▸
die Und-Verknüpfung der beiden Aussagen mit
A1 ∧ A2 ,
▸
die Oder-Verknüpfung der beiden Aussagen mit
A1 ∨ A2 ,
▸
die Implikation der beiden Aussagen mit
A1 Ô⇒ A2 ,
▸
die Äquivalenz der beiden Aussagen mit
A1 ⇐⇒ A2 .
Für äquivalente Aussagen verwendet man die Sprechweise
A1 ⇐⇒ A2
„A1 gilt genau dann, wenn A2 gilt“
und für die Implikation
A1 Ô⇒ A2
„wenn A1 gilt, dann gilt auch A2 “
oder
„aus A1 folgt A2 “.
Etwas gewöhnungsbedürftig ist die Tatsache, dass für Relationen zwischen Aussagen Folgendes zutrifft:
A1 Ô⇒ A2
ist gleichbedeutend mit
¬A2 Ô⇒ ¬A1 .
Folgt also aus A1 die Aussage A2 , so ist dies äquivalent zur Tatsache, dass, wenn A2
falsch ist, die Ausssage A1 ebenfalls nicht wahr sein kann. Dies wird beispielsweise bei der
Durchführung von Widerspruchsbeweisen, siehe Abschnitt 1.6, angewandt.
Die Oder-Verknüpfung ist kein exklusives Oder. Ist Aussage A1 oder Aussage A2 wahr,
so können durchaus auch beide Aussagen wahr sein. Möchte man ausdrücken, dass nur
genau eine Aussage wahr ist, also entweder A1 oder A2 , so kann man dies mithilfe der
exklusiven Oder-Verknüpfung erreichen:
(A1 ∧ ¬A2 ) ∨ (A2 ∧ ¬A1 ).
Damit wird also ausgedrückt, dass entweder A1 wahr und A2 falsch ist oder der umgekehrte Fall gilt.
1.1 Logik und Mengen
13
Beispiel 1.1 (Aussagen)
a) Um im Lotto zu gewinnen, muss man einen Lottoschein ausfüllen. Zwischen den beiden
Aussagen
A1 ∶ Ich habe im Lotto gewonnen,
A2 ∶ Ich habe einen Lottoschein ausgefüllt
besteht also die Implikation A1 Ô⇒ A2 . Einen Lottoschein auszufüllen bezeichnet man als
eine notwendige Bedingung für einen Lottogewinn. Allerdings ist das leider noch keine hinreichende Bedingung für einen Lottogewinn.
b) Wir betrachten die beiden Aussagen
A1 ∶ Die Figur ist ein Dreieck,
A2 ∶ Die Figur ist ein Polygon.
Da jedes Dreieck ein Polygon ist, gilt A1 Ô⇒ A2 . Die Umkehrung muss aber nicht zutreffen.
Ein Quadrat etwa ist insbesondere ein Polygon, aber eben kein Dreieck. Die beiden Aussagen
sind nicht äquivalent.
c) Bei den beiden Aussagen
A1 ∶ x > 5,
A2 ∶ x > −2.
gilt A1 Ô⇒ A2 , denn wenn eine Zahl größer als 5 ist, dann ist sie auch größer als −2. Die
Umkehrung trifft nicht zu. Somit sind die beiden Aussagen auch nicht äquivalent.
d) Für die Aussagen
A1 ∶ x2 = 4,
A2 ∶ x = 2,
A3 ∶ x = −2
gelten die folgenden Relationen:
A2 Ô⇒ A1 ,
A3 Ô⇒ A1 ,
A1 ⇐⇒ A2 ∨ A3 .
An diesem Beispiel wird deutlich, wie die Aussagenlogik die mathematische Lösungsfindung
begleitet. Nur bei Äquivalenzumformungen ist sichergestellt, dass keine Lösung verloren geht
und auch kein neuer Lösungskandidat hinzu kommt.
∎
Die Oder-Verknüpfung und die Und-Verknüpfung sind assoziativ und kommutativ. Man
kann also beliebig Klammern setzen und auch die Reihenfolge vertauschen. Treten beide
Operatoren gemischt in einem Ausdruck auf, so kann man diesen mithilfe der Regeln des
Mathematikers Augustus de Morgan umformen.
Satz 1.1 (Regeln von de Morgan)
Für die Aussagen A1 und A2 gilt:
▸ ¬(A1 ∧ A2 ) = ¬A1 ∨ ¬A2
▸ ¬(A1 ∨ A2 ) = ¬A1 ∧ ¬A2
Nun gibt es allerdings auch eine etwas seltsame Art von Aussagen, bei denen man auch
bei näherer Betrachtung nicht so recht weiter kommt. Was ist beispielsweise davon zu
halten, wenn ein Mann folgenden Satz spricht:
„Ich spreche jetzt nicht die Wahrheit.“
14
1 Grundlagen
Wenn er die Wahrheit sagt, so stimmt seine Aussage. Darin ist aber enthalten, dass er
nicht die Wahrheit spricht. Dies ist ein Widerspruch. Wenn er lügt, dann ist seine Aussage
nicht wahr. Seine Behauptung, dass er nicht die Wahrheit spricht, ist falsch. Er sagt also
die Wahrheit. Dies führt ebenfalls zu einem Widerspruch. Es ist folglich nicht entscheidbar, ob diese Aussage wahr ist oder nicht. Wie kommt dieses Paradoxon zustande? Es
ist der Selbstbezug, der diese sogenannte Antinomie ungreifbar macht. Bertrand Russell
publizierte 1903 dieses Paradoxon erstmals.
Als Ausblick sei hier erwähnt, dass eine Erweiterung der Aussagenlogik in der sogenannten
Prädikatenlogik besteht. Dieser Formalismus enthält als weitere Strukturelemente sogenannte Prädikate und Quantoren, mit deren Hilfe Existenz und Allgemeingültigkeit von
Ausdrücken näher spezifiziert werden können. Die Prädikatenlogik hat viele Anwendungsfelder. Dazu zählen Programmiersprachen und Compilerbau in der Informatik. Pioniere
der modernen Logik sind John von Neumann, Paul Bernays und Kurt Gödel.
1.1.2 Mengen
Viele Begriffe in der Mathematik, wie beispielsweise die reellen Zahlen oder der Wertebereich einer Funktion, werden über Mengen definiert. Eine Menge fasst verschiedene
Elemente zusammen. In einer Menge können endlich viele oder unendlich viele Elemente
enthalten sein. Bei einer Menge interessiert man sich nicht für die Reihenfolge der Elemente. In diesem Sinn gibt es kein erstes oder letztes Element einer Menge. Man kann
lediglich entscheiden, ob ein gewisses Element in einer Menge enthalten ist oder nicht. Ein
und dasselbe Element kann auch nicht mehrfach in einer Menge enthalten sein. Mengen
kann man durch Aufzählen der Elemente oder durch Angabe bestimmter Eigenschaften
der Elemente festlegen.
Definition 1.2 (Mengenschreibweise)
In der aufzählenden Form einer Menge M werden alle Elemente a, b, c, . . . aufgezählt,
die zu M gehören:
M = {a, b, c, . . .} .
In der beschreibenden Form einer Menge M besteht M aus allen Elementen x, die
eine bestimmte Eigenschaft erfüllen:
M = {x ∣ x hat bestimmte Eigenschaft} .
Beispiel 1.2 (Mengenschreibweise)
Die Menge, die aus allen Zahlen besteht, deren Quadrat kleiner oder gleich 4 ist und die größer
oder gleich −1 sind, definiert man durch
M = {x ∣ x2 ≤ 4 und x ≥ −1} .
Die Menge M besteht aus den Zahlen zwischen −1 und 2.
∎
1.1 Logik und Mengen
15
Definition 1.3 (Leere Menge)
Die leere Menge bezeichnet man mit ∅ = {}.
Die leere Menge enthält kein Element. Für sie verwendet man die Bezeichnung ∅. Mit
den Symbolen ∈ und ∉ beschreibt man das Enthaltensein von Elementen in einer Menge.
Definition 1.4 (Element einer Menge)
Die Mengenzugehörigkeit beschreibt man für
▸
ein Element einer Menge mit
a ∈ {a, b, c},
▸
kein Element einer Menge mit
d ∉ {a, b, c}.
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten. Wenn die Menge
M2 alle Elemente der Menge M1 auch enthält, dann nennt man M1 eine Teilmenge von
M2 . In diesem Sinne besteht auch zwischen zwei gleichen Mengen die Teilmengenrelation.
An manchen Stellen unterscheidet man zwischen echten und unechten Teilmengen. Bei
zwei gleichen Mengen spricht man dann von unechten Teilmengen. Echte Teilmengen
müssen sich um mindestens ein Element unterscheiden.
Definition 1.5 (Teilmenge)
Die Menge M1 ist eine Teilmenge der Menge M2 , falls jedes Element x der Menge
M1 auch in der Menge M2 enthalten ist:
M 1 ⊂ M2 ∶
x ∈ M1 Ô⇒ x ∈ M2 .
Die wichtigsten Operationen für Mengen sind Vereinigung, Schnitt und Differenz. Die
Vereinigungsmenge zweier Mengen enthält alle Elemente aus den beiden Mengen. Die
Schnittmenge zweier Mengen besteht aus den Elementen, die sowohl zu der einen als auch
zu der anderen Menge gehören. Bei der Differenzenmenge von zwei Mengen werden alle
Elemente der zweiten Menge aus der ersten Menge entfernt. Mithilfe der Aussagenlogik
kann man die Mengenoperationen formal definieren.
Definition 1.6 (Mengenoperationen)
Für die Mengen M1 und M2 definiert man
▸
die Vereinigungsmenge durch
M1 ∪ M2 = { x ∣ x ∈ M1 ∨ x ∈ M2 },
▸
die Schnittmenge durch
M1 ∩ M2 = { x ∣ x ∈ M1 ∧ x ∈ M2 },
▸
die Differenzenmenge durch
M1 ∖ M2 = { x ∣ x ∈ M1 ∧ x ∉ M2 }.
665
Sachwortverzeichnis
Symbole
∏ 27
∑ 27
e 217
i 426
π 34
∞ 18
A
Abbildung,
kreistreue 451
winkeltreue 451
abgeschlossenes Intervall 23
abhängige Variable 155
Ableitung 246
logarithmische 262
partielle 394, 396
partielle höherer Ordnung 406
Richtungs- 400
vektorwertige 417
verallgemeinerte 562
abschnittsweise definierte Funktion 161
absolute Konvergenz 349
absoluter Fehler 285
Absolutglied 50
Abtastzeit 629
Achsensymmetrie 185
achsensymmetrische Funktion 185
Additionstheorem,
Kosinus 194
Kotangens 195
Sinus 194
Tangens 195
Ähnlichkeitsdifferenzialgleichung 467
Algorithmus von Gauß 55
allgemeine Kosinusfunktion 195
allgemeine Lösung 456
alternierende Folge 199
alternierende Reihe 348
Amplitude 195, 575
Amplitudenfrequenzgang 498 f.
Amplitudenmodulation 579
Anfangswertproblem 458
antiparallel 74
Äquivalenz 12
Äquivalenzumformung 37, 52
Archimedische Spirale 365
Areakosinus Hyperbolicus 233
Areakotangens Hyperbolicus 233
Areasinus Hyperbolicus 233
Areatangens Hyperbolicus 233
Argument 428
Arkuskosinus 225
Arkuskotangens 228
Arkussinus 225
Arkustangens 228
Asymptote,
schiefe 213
senkrechte 209
waagrechte 213
asymptotisch stabiles DGL-System 513
asymptotische obere Schranke 203
asymptotische Stabilität 513
aufzählende Form 14
Ausgleichsfunktion 414
Ausgleichspolynom 410
äußere Funktion 166
AWP 458
B
Basisvektor 90
Bernstein-Polynom 380
beschränkte Folge 201
beschränkte Funktion 190
beschreibende Form 14
bestimmt divergente Folge 203
bestimmtes Integral 298
Betrag,
komplexe Zahl 427
Vektor 73
Zahl 25
Betragsspektrum 543
666
Bézier-Kurve 380
bijektive Funktion 157
Bild 143
Bildbereich 628
Binomialkoeffizient 31
Bisektionsverfahren 235
Bogenlänge,
Funktion 328
Kurve 378
Parametrisierung 379
Bogenmaß 34
Brennpunkt 368 ff.
C
Cauchy-Produkt 356
charakteristische Gleichung 146, 479
charakteristisches Polynom 146
D
Dämpfung 492
Dämpfungsgrad 498
Definitionslücke 156
Definitionsmenge 155, 387, 416
Determinante 130 f., 135
Dezimalzahl 19
DGL 455
Diagonalmatrix 119
Differenzengleichung 634
Differenzenmenge 15
Differenzenquotient 246
Rückwärts- 280
Vorwärts- 280
zentraler 280
Differenzial 249
totales 402
Differenzialgleichung 455
allgemeine Lösung 456
explizite Form 458
Fundamentallösung 472
gewöhnliche 455
Gleichgewichtspunkt 461
homogene lineare 468
implizite Form 458
inhomogene lineare 468
lineare 468, 479
Lösung 456
Schwingungs- 492
separierbare 464
Sachwortverzeichnis
Differenzialgleichung 455
Singularität 461
Störfunktion 468
Trajektorie 456
triviale Lösung 468
Variation der Konstanten 473
Differenzialgleichungssystem 500
asymptotisch stabiles 513
instabiles 513
konstante Koeffizienten 505
lineares 505
stabiles 513
Differenzialquotient 247, 395
differenzierbare Funktion 246, 397
dimensionslose Frequenz 498
dimensionsloser Frequenzgang,
Amplituden- 499
Phasen- 499
Dirac-Distribution 559
Diskriminante 39, 441
divergente Folge 200
divergentes uneigentliches Integral 323
Divergenz,
bestimmte 203
Folge 200
unbestimmte 203
uneigentliches Integral 323
Doppelwinkelformel,
Kosinus 194
Sinus 194
Drehstreckung 448
Dreieck 32
Hypotenuse 32
Kathete 32
Dreiecksmatrix 120
dyadisches Produkt 126
E
e-Funktion 218
Ebene 390
Normalenform 103
Phasen- 503
Tangential- 399
Zustands- 503
echt gebrochenrationale Funktion 178
Eigenfunktion 480
Eigenvektor 144
Eigenwert 144
Differenzialgleichung 480
Sachwortverzeichnis
Eindeutigkeit 36
Einheitsmatrix 119
Einheitssprungfunktion 557
Einheitsvektor 74
Einheitswurzel 437
einseitige Faltung 565
Element 15
Linien- 461
Eliminationsverfahren 55
Ellipse 367 f.
Brennpunkt 368
Halbachse 368
Entwicklungspunkt 350
Erregeramplitude 495
Erregerkreisfrequenz 495
erzwungene Schwingung 492
Euler-Formel 429
Euler-Polygonzugverfahren 517
Euler-Verfahren 517
Eulersche Identität 429
Eulersche Zahl 217
Existenz 36
explizite Folge 198
explizite Form 458
Exponentialform 429
Exponentialfunktion 215
Extremwert,
Maximum 407
Minimum 407
Extremwertaufgabe 286
F
Fakultät 30
Faltung 563
einseitige 565
Fehler,
absoluter 285
prozentualer 285
relativer 285
Fehlerquadrate 410
Fläche,
Ebene 390
Halbkugel 391
hyperbolisches Paraboloid 391
Kegel 398
Peaks 388
Rotationsparaboloid 397
Sombrero 392
667
Folge 198
alternierende 199
beschränkte 201
bestimmt divergente 203
divergente 200
explizite 198
konvergente 200
monoton fallende 201
monoton wachsende 201
nach oben beschränkte 201
nach unten beschränkte 201
rekursive 199
streng monoton fallende 201
streng monoton wachsende 201
unbestimmt divergente 203
Vorwärtsdifferenz 633
Folgenglied 198
Form,
aufzählende 14
beschreibende 14
explizite 458
implizite 458
Fourier-Koeffizient,
komplexer 540
reeller 533
Fourier-Reihe 533
Betragsspektrum 543
komplexe 540
Phasenspektrum 543
Fourier-Transformation 568
Frequenzbereich 568
inverse 582
Zeitbereich 568
Fourier-Transformierte 568
freie Schwingung 492
Frequenz 188
dimensionslose 498
Kreis- 492
Frequenzbereich 568
Frequenzgang,
Amplituden- 498
Phasen- 498
Fundamentallösung 472, 476
Fundamentallösungsvektoren 506
Fundamentalsystem 476
Funktion,
√
x 224
A cos(ωt + ϕ) 195
ax 215
668
Funktion,
arccos x 225
arccot x 228
arcosh x 233
arcoth x 233
arcsin x 225
arctan x 228
arsinh x 233
artanh x 233
cos x 192
cosh x 220
cot x 192
coth x 221
ex 218
ln x 230
loga x 230
σ(t) 557
sin x 192
sinc x 266
sinh x 219
tan x 192
tanh x 221
xn 168
Ableitung 246
abschnittsweise definierte 161
achsensymmetrische 185
allgemeine Kosinus- 195
Areakosinus Hyperbolicus 233
Areakotangens Hyperbolicus 233
Areasinus Hyperbolicus 233
Areatangens Hyperbolicus 233
arithmetisches Mittel 304
Arkuskosinus 225
Arkuskotangens 228
Arkussinus 225
Arkustangens 228
äußere 166
beschränkte 190
bijektive 157
Bogenlänge 328
Definitionslücke 156
Definitionsmenge 155, 387
differenzierbare 246, 397
echt gebrochenrationale 178
Eigen- 480
Einheitssprung 557
Exponential- 215
ganzrationale 169
gebrochenrationale 176
Sachwortverzeichnis
Funktion,
gerade 184
globales Maximum 278
globales Minimum 278
Gradient 400
Heaviside- 557
Hochpunkt 273
injektive 157
innere 166
inverse 223
komplexwertige 443
Kosinus 192
Kosinus Hyperbolicus 220
Kotangens 192
Kotangens Hyperbolicus 221
lineare Ausgleichs- 414
Logarithmus- 230
lokales Maximum 273
lokales Minimum 273
mit mehreren Variablen 387
mit zwei Variablen 387
Mittelwert 304
monoton fallende 189
monoton wachsende 189
nach oben beschränkte 190
nach unten beschränkte 190
natürliche Exponential- 218
natürliche Logarithmus- 230
partielle Ableitung 394, 396, 406
partielle Ableitungs- 396
periodische 188
Potenz- 168
punktsymmetrische 185
quadratisches Mittel 304
reelle 155
Sattelpunkt 277
Sinus 192
Sinus Hyperbolicus 219
Skalierung in x-Richtung 165
Skalierung in y-Richtung 165
Spektral- 568
Spiegelung an der x-Achse 165
stetige 206, 393
streng monoton fallende 189
streng monoton wachsende 189
surjektive 157
Tangens 192
Tangens Hyperbolicus 221
Taylor-Polynom 351
Sachwortverzeichnis
Funktion,
Taylor-Reihe 352
Tiefpunkt 273
Translation 164
Treppen- 629
Übertragungs- 595
Umkehr- 223
umkehrbare 222
unecht gebrochenrationale 178
ungerade 185
vektorwertige 416
Wendepunkt 277
Wertemenge 155, 387
Wurzel- 224
Ziel- 286
zusammengesetzte 166
Funktionsgrenzwert 205, 393
Funktionsschar 163
669
Gleichungssystem,
inhomogenes 63
Koeffizient 50
lineares 50
überbestimmtes 62
unterbestimmtes 61
größer 22
größer oder gleich 23
Gradient 400
Gradientenverfahren 420
Graph 158
Grenzstabilität 514
Grenzwert 200, 393
Folge 200
Funktion 205, 393
linksseitiger 205
rechtsseitiger 205
uneigentlicher 203
Grundschwingung 537
G
ganze Zahl 18
ganzrationale Funktion 169
Gauß-Algorithmus 55
Gauß-Seidel-Iteration 68
Gaußsche Zahlenebene 427
Gaußsches Eliminationsverfahren 55
gebrochenrationale Funktion 176
Gegenvektor 75
gerade Funktion 184
gewöhnliche Differenzialgleichung 455
Gibbssches Phänomen 538
Gleichanteil 530
Gleichgewichtspunkt 461
Gleichheit,
komplexe Zahlen 431
Matrizen 122
Vektoren 74
Zahlen 22
Gleichung,
Äquivalenzumformung 37
charakteristische 146, 479
Diskriminante 39
lineare 37
Normalen- 412, 414
Potenz- 38
quadratische 39
Gleichungssystem,
Absolutglied 50
homogenes 63
H
Halbachse 368
Halbkugel 391
halboffenes Intervall 23 f.
Harmonische 537
harmonische Schwingung 444
Heaviside-Funktion 557
hebbare Unstetigkeitsstelle 208
Hesse-Matrix 407
Hessesche Normalenform 103
Hochpunkt 273
Höhenlinie 390
homogene lineare DGL 468
homogenes Gleichungssystem 63
Hyperbel 367, 369
Hyperbolisches Paraboloid 391
Hypotenuse 32
I
Im 426
imaginäre Achse 427
imaginäre Einheit 426
Imaginärteil 426
Implikation 12
implizite Form 458
Impulsantwort 595
inhomogene lineare DGL 468
inhomogenes Gleichungssystem 63
670
injektive Funktion 157
innere Funktion 166
instabiles Differenzialgleichungssystem 513
Instabilität 513
Integral 295
bestimmtes 298
unbestimmtes 301
uneigentliches 322
Integralsymbol 295
Integrand 295
Integration 301
Interpolation 237
Intervall 23
abgeschlossenes 23
halboffenes 23
offenes 23
unendliches 24
unendliches, halboffenes 24
unendliches, offenes 24
inverse Fourier-Transformation 582
inverse Funktion 223
inverse Matrix 139
Inversion 449
invertierbare Matrix 139
irrationale Zahl 21
J
Jacobi-Iteration 67
Jacobi-Matrix 417
K
kartesische Form 427
kartesisches Koordinatensystem 98
Katenoide 220
Kathete 32
Kegel 398
Kegelschnitt 367
Kern 143
Kettenlinie 220
kleiner 22
kleiner oder gleich 23
Klothoide 383
Koeffizient 50
Binomial- 31
konstanter 479, 505
Koeffizientenvergleich 170
Komplement 16
komplexe Fourier-Reihe 540
Sachwortverzeichnis
komplexe Zahl 426
Argument 428
Betrag 427
Einheitswurzel 437
Exponentialform 429
Gaußsche Zahlenebene 427
Gleichheit 431
imaginäre Achse 427
imaginäre Einheit 426
Imaginärteil 426
kartesische Form 427
konjugiert 430
Ortskurve 443
Polarform 428
Polarkoordinaten 428
Realteil 426
reelle Achse 427
Wurzel 437
komplexer Fourier-Koeffizient 540
komplexwertige Funktion 443
Komponente 90
Komponentenzerlegung 88 f.
Komposition 166
konjugiert komplexe Zahl 430
Kontrollpunkt 380
Konturlinie 390
konvergente Folge 200
konvergentes uneigentliches Integral 323
Konvergenz 347
absolute 349
Folge 200
uneigentliches Integral 323
Konvergenzradius 350
Koordinate 90, 98
Koordinatensystem 98
Korrespondenzsymbol 568, 582, 602, 628
Kosinus 192
Additionstheorem 194
amplitudenmodulierter 579
Doppelwinkelformel 194
Kosinus Hyperbolicus 220
Kosinus-Fourier-Transformation 571
Kotangens 192
Additionstheorem 195
Kotangens Hyperbolicus 221
Kreis 367
Mittelpunkt 367
Radius 367
Kreisfrequenz 195, 492
Sachwortverzeichnis
kreistreue Abbildung 451
Kreiszylinder 329
Kreuzprodukt 83
Krümmung 375 f.
Krümmungskreis 376
Krümmungskreisradius 376
Kurve,
Archimedische Spirale 365
Bogenlänge 378
Bogenlängenparametrisierung 379
Ellipse 367 f.
Hyperbel 367, 369
Kegelschnitt 367
Klothoide 383
Kreis 367
Krümmung 375 f.
Krümmungskreis 376
Krümmungskreisradius 376
Parabel 367, 370
Parameterdarstellung 363
Phasen- 503
Polarkoordinaten 365
Schraubenlinie 366
singulärer Punkt 374
Tangente 372
Tangentenvektor 372
Umkehrpunkt 374
Wurfparabel 381
Zustands- 503
Zykloide 382
L
Landau-Symbol 203
Länge 73
Laplace-Transformation 602
Korrespondenzsymbol 602
Spektralbereich 602
Zeitbereich 602
Leitlinie 370
linear abhängige Vektoren 87
linear unabhängige Vektoren 87
lineare Abbildung 143
Bild 143
Kern 143
Rang 143
lineare Ausgleichsfunktion 414
lineare Differenzengleichung 634
lineare Differenzialgleichung 468
mit konstanten Koeffizienten 479
671
lineare Gleichung 37
lineare Interpolation 237
lineares Gleichungssystem 50
lineares zeitinvariantes System 594
Linearfaktor 173
Linienelement 461
linksseitiger Grenzwert 205
logarithmisches Ableiten 262
logarithmisches Differenzieren 262
Logarithmusfunktion 230
logisches Oder 12
logisches Und 12
lokales Maximum 407
lokales Minimum 407
Lösung,
allgemeine 456
Differenzialgleichung 456
Eindeutigkeit 36
Existenz 36
Menge 36
partikuläre 460
spezielle 460
Lösungsmenge 36
M
Majorante 349
Mantelfläche 332
Rotationskörper 332
Matrix 117
Bild 143
charakteristische Gleichung 146
Determinante 130 f., 135
Diagonal- 119
Dreiecks- 120
dyadisches Produkt 126
Eigenvektor 144
Eigenwert 144
Einheits- 119
Gleichheit 122
Hesse- 407
inverse 139
invertierbare 139
Jacobi- 417
Kern 143
Multiplikation 124 f.
Null- 119
Produkt 124 f.
quadratische 118
Rang 143
672
Matrix 117
reguläre 139
singuläre 139
Spaltenvektor 118
symmetrische 121
transponierte 121
Vandermondesche 411
Zeilenvektor 118
Matrixmultiplikation 124 f.
Matrixprodukt 124 f.
dyadisches 126
Maximum,
globales 278
lokales 273, 407
mehrdimensionales Newton-Verfahren 418
Menge,
Definitions- 155, 387, 416
Differenz- 15
Element 15
ganze Zahlen 18
irrationale Zahlen 21
Komplement 16
komplexe Zahlen 426
leere 15
Lösungs- 36
natürliche Zahlen 17
rationale Zahlen 19
reelle Zahlen 21
Schnitt- 15
Teil- 15
Vereinigungs- 15
Werte- 155, 387, 416
Methode,
der kleinsten Fehlerquadrate 410
Potenz- 149
Minimum,
globales 278
lokales 273, 407
Minorante 349
Mittel,
arithmetisches 304
quadratisches 304
Mittelpunkt 367
Mittelwert 304, 530
Mittelwertsatz,
Differenzialrechnung 253
Integralrechnung 305
Satz von Rolle 254
Möbius-Transformation 450
Sachwortverzeichnis
Moment 339
monoton fallende Folge 201
monoton fallende Funktion 189
monoton wachsende Folge 201
monoton wachsende Funktion 189
Monotonie,
Folge 201
Funktion 189
N
Nahtstelle 161
natürliche Exponentialfunktion 218
natürliche Logarithmusfunktion 230
natürliche Zahl 17
Negation 12
Neigungswinkel 269
Newton-Iteration 282
Newton-Verfahren 282
Niveaulinie 390
Normalenform 103
Normalengleichungen 412, 414
Nullmatrix 119
Nullstelle 157
p-fache 174
doppelte 174
mehrfache 174
Vielfachheit 174
Nullvektor 74
O
obere Dreiecksmatrix 120
Oberschwingung 537
Obersumme 296
offenes Intervall 23 f.
Ordnung,
Differenzengleichung 634
Differenzialgleichung 457
Differenzialgleichungssystem 505
lineare Differenzialgleichung 468
Orthogonaltrajektorie 462
Ortskurve 443
Ortsvektor 98
P
Parabel 367, 370
Brennpunkt 370
Leitlinie 370
parallele Vektoren 74
Sachwortverzeichnis
Parallelepiped 86
Parameterdarstellung 363
Parametrisierung nach der Bogenlänge 379
Partialsumme 347
partielle Ableitung 394, 396
höherer Ordnung 406
partielle Ableitungsfunktion 396
partikuläre Lösung 460
Peaks 388
Periode 188
periodische Funktion 188
Frequenz f 188
Gleichanteil 530
Mittelwert m 530
Schwingungsdauer T 188
periodischer Prototyp 591
Periodizität 188
Phase 575
Phasenebene 503
Phasenfrequenzgang 498 f.
Phasenkurve 503
Phasenspektrum 543
Phasenverschiebung 195
Phasenwinkel 195
Pi 34
Pol 209
Polarform 428
Polarkoordinaten 365, 428
Polstelle 209
Polygonzugverfahren von Euler 517
Polynom 169
charakteristisches 146
Koeffizientenvergleich 170
Linearfaktor 173
trigonometrisches 532
Polynomdivision 171
Potenz 28
Potenzfunktion 168
Potenzgleichung 38
Potenzmethode 149
Potenzreihe 350
Konvergenzradius 350
Taylor-Restglied 352
Problem,
Anfangswert- 458
Randwert- 459
Produkt,
Cauchy- 356
komplexe Zahlen 433
673
Produkt,
Kreuz- 83, 95
Matrizen 124
Skalar- 79, 93
Spat- 86, 96
Vektor- 83, 95
Zahlen 27
Produktzeichen 27
Projektion 82
Prototyp 591
prozentualer Fehler 285
Punkt,
Gleichgewichts- 461
singulärer 374
Umkehr- 374
Punktsymmetrie 185
punktsymmetrische Funktion 185
Q
quadratische Gleichung 39
quadratische Matrix 118
Quotientenkriterium 349
R
Re 426
Radius 367
Randwertproblem 459
Rang 143
rationale Zahl 19
Realteil 426
Rechte-Hand-Regel 83
Rechteckimpuls 558
rechtsseitiger Grenzwert 205
Rechtssystem 83
reelle Achse 427
reelle Funktion 155
reelle Zahl 21
reeller Fourier-Koeffizient 533
reguläre Matrix 139
Reihe,
alternierende 348
Entwicklungspunkt 350
Fourier- 533
Konvergenz 347
Majorante 349
Minorante 349
Partialsumme 347
Potenz- 350
674
Reihe,
Quotientenkriterium 349
Wurzelkriterium 349
rekursive Folge 199
relativer Fehler 285
Richtung 73
Richtungsableitung 400
Richtungsfeld 461
Gleichgewichtspunkt 461
Singularität 461
Richtungskosinus 94
Richtungswinkel 94
Romberg-Verfahren 336
Rotation 448
Rotationskörper,
Mantelfläche 332
Volumen 330 f.
Rotationsparaboloid 397
Rückwärtsdifferenzenquotient 280
RWP 459
S
sinc -Funktion 266
Sattelpunkt 277
Satz von Euler 429
Satz von Fourier 534
Satz von Rolle 254
Satz von Schwarz 406
Schar 163
Schaubild 158
Schnittmenge 15
Schnittwinkel 270
Schranke 203
Schraubenlinie 366
Schwingung,
Dämpfungsgrad 498
dimensionslose Frequenz 498
Erregeramplitude 495
Erregerkreisfrequenz 495
erzwungene 492
freie 492
harmonisch angeregte 495
harmonische 444
überkritische 497
unterkritische 497
Verstärkungsfaktor 498
Schwingungsdauer 188
Schwingungsdifferenzialgleichung 492
Sekante 246
Sachwortverzeichnis
Sekantenverfahren 284
senkrechte Asymptote 209
senkrechter Kreiszylinder 329
separierbare Differenzialgleichung 464
Signum 27
singuläre Matrix 139
singulärer Punkt 374
Singularität 461
Sinus 192
Additionstheorem 194
Doppelwinkelformel 194
Sinus Hyperbolicus 219
Sinus-Fourier-Transformation 571
Skalarprodukt 79, 125
Skalierung 448
x-Richtung 165
y-Richtung 165
Sombrero 392
Spaltenvektor 118
Spat 86
Spektralbereich 602
Spektralfunktion 568
Spektrum,
Betrags- 543
Phasen- 543
spezielle Lösung 460
Spiegelung an der x-Achse 165
Spirale 365
Sprungstelle 208
stabiles Differenzialgleichungssystem 513
Stabilität 513
asymptotische 513
grenzwertige 514
Stammfunktion 301
statisches Moment 339
Stelle,
Naht- 161
Null- 157
Unstetigkeits- 208 f.
stetige Funktion 206, 393
Störfunktion 468, 505
streng monoton fallende Folge 201
streng monoton fallende Funktion 189
streng monoton wachsende Folge 201
streng monoton wachsende Funktion 189
Strenge Monotonie,
Folge 201
Funktion 189
Sachwortverzeichnis
Summe,
komplexe Zahlen 432
Matrizen 122
Vektoren 75, 91
Zahlen 27
Summenzeichen 27
surjektive Funktion 157
symmetrische Matrix 121
System,
Differenzialgleichungs- 500
gewöhnliche DGL 500
lineares Gleichungs- 50
T
Tangens 192
Additionstheorem 195
Tangens Hyperbolicus 221
Tangente 247, 372
Tangentenvektor 372
Tangentialebene 399
Taylor-Polynom 351
Taylor-Reihe 352
Taylor-Restglied 352
Teilmenge 15
Tiefpunkt 273
totales Differenzial 402
Trajektorie 456, 503
Transformation,
z- 628
Fourier- 568
inverse Fourier- 582
Laplace- 602
Möbius- 450
Translation 164, 448
transponierte Matrix 121
Trapez 334
Treppenfunktion 629
trigonometrisches Polynom 532
triviale Lösung 65, 468
U
überbestimmtes Gleichungssystem 62
überkritische Schwingung 497
Übertragungsfunktion 595
umkehrbare Funktion 222
Umkehrfunktion 223
Umkehrpunkt 374
unabhängige Variable 155
675
unbestimmt divergente Folge 203
unbestimmtes Integral 301
unecht gebrochenrationale Funktion 178
uneigentlicher Grenzwert 203
uneigentliches Integral 322
divergentes 323
konvergentes 323
unendliches Intervall 24
Unendlichkeit 18
ungerade Funktion 185
Unstetigkeitsstelle,
1. Art 208
2. Art 209
hebbare 208
unterbestimmtes Gleichungssystem 61
untere Dreiecksmatrix 120
unterkritische Schwingung 497
Untersumme 296
Ursprung 98
V
Vandermondesche Matrix 411
Variable,
abhängige 155
unabhängige 155
Variation der Konstanten 473
Vektor 73
antiparallel 74
Basis- 90
Betrag 73
Einheits- 74
Gegen- 75
Gleichheit 74
Komponente 90
Komponentenzerlegung 88 f.
Koordinate 90
Kreuzprodukt 83
Länge 73
linear abhängig 87
linear unabhängig 87
Null- 74
Orts- 98
parallel 74
Parallelepiped 86
Projektion 82
Rechte-Hand-Regel 83
Rechtssystem 83
Richtung 73
Richtungskosinus 94
676
Vektor 73
Richtungswinkel 94
Skalarprodukt 79
Spalten- 118
Spat 86
Vektorprodukt 83
Verbindungs- 98
Zeilen- 118
Vektoriteration 149
Vektorprodukt 83
vektorwertige Funktion 416
Definitionsmenge 416
Wertemenge 416
verallgemeinerte Ableitung 562
Verbindungsvektor 98
Vereinigungsmenge 15
Verfahren,
Bisektions- 235
Euler- 517
Gauß-Seidel- 68
Gradienten- 420
Jacobi- 67
mehrdimensionales Newton- 418
Newton- 282
Potenzmethode 149
Romberg- 336
Sekanten- 284
Verstärkungsfaktor 498
Vielfachheit einer Nullstelle 174
Volumen,
Rotationskörper 330 f.
Spat 86
Vorwärtsdifferenz 633
Vorwärtsdifferenzenquotient 280
Vorzeichen 27
Vorzeichenwechsel 209
W
waagrechte Asymptote 213
Wendepunkt 277
Wertemenge 155, 387, 416
Winkel,
Neigungs- 269
Schnitt- 270
winkeltreue Abbildung 451
Wurfparabel 381
Wurzel 30, 437
Wurzelfunktion 224
Sachwortverzeichnis
Wurzelkriterium 349
Z
z-Transformation 628
Bildbereich 628
Korrespondenzsymbol 628
Zeitbereich 628
Zahl,
e 217
i 426
π 34
Betrag 25
Dezimal- 19
Eulersche 217
Fakultät 30
ganze 18
Gleichheit 22
größer 22
größer oder gleich 23
irrationale 21
kleiner 22
kleiner oder gleich 23
komplexe 426
natürliche 17
Potenz 28
rationale 19
reelle 21
Signum 27
Vorzeichen 27
Wurzel 30
Zahlenfolge 198
Zeiger 446
Zeigerdarstellung 446
Zeilenvektor 118
Zeitbereich 568, 602, 628
zentraler Differenzenquotient 280
Zielfunktion 286
zusammengesetzte Funktion 166
Zustandsebene 503
Zustandsgröße 502
Zustandskurve 503
Zustandsvariable 502
Zykloide 382
Zylinder 329