Blatt 4

Prof. Dr. Vadim Kostrykin
Amru Hussein
Übungsblatt 4 zur Vorlesung
Analysis 1
im Sommersemester 2010
Aufgabe 1)
(Abbildungen) (4 Punkte)
Es sei f : X → Y eine Abbildung.
(a) Es seinen A ⊂ Y und B ⊂ Y Teilmengen von Y . Zeigen Sie:
f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B) und f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B).
(b) Es seinen C ⊂ X und D ⊂ X Teilmengen von X. Zeigen Sie:
f (C ∪ D) = f (C) ∪ f (D) und f (C ∩ D) ⊆ f (C) ∩ f (D).
(c) Geben Sie ein Beispiel an, für das die Inklusion f (A) ∩ f (B) ⊂ f (A ∩ B) falsch ist.
Bemerkung: Es gilt: f −1 (∅) = ∅.
Aufgabe 2)
(Potenzmengen) (4 Punkte)
Q
(a) Zeigen Sie, dass P ( ), die Potenzmenge der rationalen Zahlen, überabzählbar ist.
(b) Gibt es Mengen, deren Potenzmenge abzählbar unendlich ist?
Aufgabe 3)
(Monotone Abbildungen)
(4 Punkte)
Es seien X und Y geordnete Mengen. Eine Abbildung f : X → Y heißt monoton fallend (bzw.
wachsend), falls aus a < b folgt, dass f (a) ≥ f (b) (bzw. f (a) ≤ f (b)). Die Abbildung f heißt
streng monoton fallend (wachsend) falls aus a < b folgt, dass f (a) > f (b) (bzw. f (a) < f (b)).
Die Menge der (streng) monoton fallenden Abbildungen von X nach Y kann man mit einer
Halbordnung versehen: Man schreibt f ≤ g, falls f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ X gilt.
(a) Weisen Sie nach, dass dies tatsächlich eine Halbordnung ist. Warum definiert dies im
Allgemeinen keine Ordnung?
(b) Geben Sie ein minimales Element der Menge der monoton fallenden Abbildungen von
in sich an. Ein minimales Element ist eine Abbildung g mit f ≥ g für alle monoton
fallenden Abbildungen f . Ist das minimale Element eindeutig bestimmt?
N
(c) Geben Sie die Menge der streng monoton fallenden Funktionen von
einfachen Sie die Menge soweit wie möglich.
N in sich an. Ver-
bitte wenden
Aufgabe 4)
(Infimum und Supremum) (4 Punkte)
R
nichtleere, beschränkte Mengen. Man definiert die Menge A ± B :=
Es seine A, B ⊂
{x ∈ | x = a ± b für ein a ∈ A und ein b ∈ B} und −A := {−x ∈ | x ∈ A}. Beweisen Sie:
R
R
(a) −inf(−A) = sup(A),
(b) sup(A + B) = sup(A) + sup(B),
(c) sup(A − B) = sup(A) − inf(B).
Wie lauten die b) und c) entsprechenden Formeln für das Infimum?
Aufgabe 5) (4 Punkte)
Geben sie das Supremum und Infimum der folgenden Mengen an. Geben Sie weiter an, ob
diese in der Menge liegen oder nicht.
√ (a) X1 = x ∈ | |x| ≤ 2 ;
Q
(b) X2 = {z ∈ Z | 3 teilt z und exp(z) < 1};
(c) X3 = n1 | n ∈ N ;
(d) X4 = n1 | n ∈ Z \ {0} .
Hinweis: Sie können Infimum und Supremum erraten und anschließend zeigen, dass diese
tatsächlich die gewünschten Eigenschaften erfüllen. Aus der Eindeutigkeit von Supremum und
Infimum folgt dann Ihre Behauptung. Sie dürfen ihr Schulwissen verwenden.
Abgabe am Mittwoch, den 12.05.2010, um 15 Uhr