Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik

Wolfgang Eichholz
Eberhard Vilkner
Taschenbuch der
Wirtschaftsmathematik
5. Auflage
Inhaltsverzeichnis
Benutzerhinweise ........................................................ 12
Bezeichnungen ............................................................ 13
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.6
1.7
1.8
1.8.1
1.8.2
1.9
1.9.1
1.9.2
1.9.3
1.10
Grundlagen .................................................................
Mengen ........................................................................
Aussagenlogik ..............................................................
Zahlenmengen ..............................................................
Zahlensysteme ..............................................................
Reelle Zahlen R ..........................................................
Axiome und Rechenregeln in R .................................
Summen- und Produktzeichen ......................................
Fakultät, Binomialkoeffizient .......................................
Kombinatorik ...............................................................
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen .................................
Gleichungen, Ungleichungen mit einer Variablen …...
Gleichungen .................................................................
Ungleichungen ..............................................................
Lineare geometrische Zusammenhänge .......................
Geraden ........................................................................
Halbebenen ...................................................................
Dreiecke ........................................................................
Komplexe Zahlen C .....................................................
15
15
17
18
19
20
20
26
27
28
31
33
33
39
40
40
40
41
42
2
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
Lineare Algebra und Optimierung ...........................
Determinanten ..............................................................
Begriff, Berechnung für n ≤ 3 .......................................
Entwicklungssatz von Laplace .....................................
Eigenschaften von Determinanten ................................
Matrizen ....................... ...............................................
Begriffe .........................................................................
Rechnen mit Matrizen ...................................................
Besondere Matrizen ......................................................
Eigenwerte, Eigenvektoren ...........................................
51
51
51
53
53
57
57
58
63
65
8
Inhaltsverzeichnis
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.4
2.4.1
2.4.2
2.5
2.5.1
2.5.2
2.6
2.6.1
2.6.2
2.6.3
2.6.4
Lineare Gleichungssysteme .......................................... 67
Lineare Abhängigkeit ................................................... 67
Rang ............................................................................. 68
Lösbarkeitsbedingung linearer Gleichungssysteme ..... 69
Gauß-Algorithmus ........................................................ 70
Basistransformation ...................................................... 76
Matrizengleichungen .................................................... 82
Lösen von Matrizengleichungen .................................. 82
Anwendungen in der Wirtschaft ................................... 84
Lineare Ungleichungssysteme ...................................... 85
Begriffe ......................................................................... 85
Lösen linearer Ungleichungssysteme ........................... 87
Lineare Optimierung..................................................... 91
Begriffe ........................................................................ 91
Lösen linearer Optimierungsprobleme ......................... 92
Simplexmethode .......................................................... 99
Dualität in der linearen Optimierung ........................... 106
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Funktionen, Folgen, Reihen .....................................
Begriffe .......................................................................
Eigenschaften ..............................................................
Umkehrfunktionen ......................................................
Verknüpfungen und Verkettungen ..............................
Grundfunktionen einer reellen Variablen ...................
Zahlenfolgen ...............................................................
Zahlenreihen ...............................................................
109
109
111
112
113
115
118
120
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.6.1
4.6.2
4.6.3
4.7
Grundlagen der Finanzmathematik ........................
Einfache Verzinsung ...................................................
Zinseszinsen ................................................................
Rentenrechnung ..........................................................
Tilgungsrechnung .......................................................
Investitionsrechnung ...................................................
Abschreibungsrechnung ..............................................
Lineare Abschreibung .................................................
Degressive Abschreibung ...........................................
Progressive Abschreibung ..........................................
Kursrechnung ..............................................................
124
124
128
132
136
138
141
142
143
146
147
Inhaltsverzeichnis
9
4.7.1 Kurs einer Annuitätenschuld ...................................... 147
4.7.2 Kurs einer Ratenschuld ............................................... 148
4.7.3 Kurs einer gesamtfälligen Schuld ............................... 149
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.4.4
5.4.5
5.4.6
5.5
5.5.1
5.5.2
5.5.3
5.5.4
5.5.5
5.6
5.6.1
5.6.2
5.6.3
5.6.4
5.6.5
5.6.6
5.7
5.7.1
5.7.2
5.7.3
5.7.4
Funktionen mit einer reellen Variablen ..................
Grenzwert von Funktionen .........................................
Stetigkeit .....................................................................
Ableitung einer Funktion ............................................
Anwendung der Ableitung ..........................................
Differenzial und Fehlerrechnung ................................
Grenzfunktion .............................................................
Wachstumsrate und Elastizität ....................................
Newton-Verfahren (Tangentenverfahren) ..................
Taylorscher Satz .........................................................
Regel von Bernoulli-L'Hospital ..................................
Untersuchung von Funktionen ....................................
Stetigkeit und Mittelwertsatz ......................................
Monotonie und Extremwerte ......................................
Krümmung und Wendepunkte ....................................
Kurvendiskussion .......................................................
Anwendung in der Wirtschaft .....................................
Integralrechnung .........................................................
Unbestimmtes Integral ................................................
Bestimmtes Integral ....................................................
Uneigentliche Integrale ...............................................
Integration stückweise stetiger Funktionen ................
Numerische Integration ..............................................
Anwendungen der Integralrechnung ...........................
Differenzialgleichungen .............................................
Einführung ..................................................................
Separable Differenzialgleichungen .............................
Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung .............
Lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten ......................................
5.8
Differenzengleichungen ..............................................
5.8.1 Einführung ..................................................................
5.8.2 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten
Koeffizienten ..............................................................
151
151
154
156
159
159
161
162
164
165
166
168
168
168
171
171
172
174
174
178
180
181
182
184
186
186
186
188
190
194
194
195
10
6
6.1
6.2
6.3
Inhaltsverzeichnis
6.4
6.5
6.6
Funktionen mit mehreren Variablen ......................
Begriff und Eigenschaften ..........................................
Partielle Ableitungen, Gradient, Hesse-Matrix............
Vollständiges Differenzial, Fehlerrechnung
und Elastizität .............................................................
Extremwertbestimmung ..............................................
Extremwertbestimmung mit Nebenbedingungen ........
Methode der kleinsten Quadrate (MkQ) .....................
201
201
202
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.5.1
7.5.2
7.5.3
7.6
7.7
7.8
7.9
7.9.1
7.9.2
7.9.3
7.10
Numerische Verfahren ............................................. 214
Fehlerarten .................................................................. 214
Zahlendarstellungen .................................................... 215
Fehleranalyse .............................................................. 216
Grundbegriffe der Funktionalanalysis ........................ 218
Iterationsverfahren ...................................................... 220
Fixpunktiteration bei nichtlinearen Gleichungen ........ 221
Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme ............. 222
Iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme ..... 224
Direkte Lösungsverfahren der linearen Algebra ........ 226
Lösungsverfahren für Bandmatrizen .......................... 227
Pseudolösungen .......................................................... 228
Interpolation ............................................................... 229
Klassische Interpolation ............................................. 230
Spline-Interpolation .................................................... 231
Bézier-Kurven ............................................................ 234
Numerische Differenziation ....................................... 236
8
8.1
8.1.1
8.1.2
8.1.3
8.2
8.2.1
8.2.2
8.2.3
8.2.4
8.2.5
Statistik ......................................................................
Wahrscheinlichkeitsrechnung .....................................
Grundbegriffe .............................................................
Diskrete Verteilungen .................................................
Stetige Verteilungen ...................................................
Beschreibende (deskriptive) Statistik .........................
Univariate Datenanalyse ............................................
Bi- und multivariate Datenanalyse .............................
Maß- und Indexzahlen ................................................
Bestands- und Bewegungsmasse ................................
Zeitreihenanalyse ........................................................
204
206
209
210
238
238
238
248
260
271
271
287
301
305
308
Inhaltsverzeichnis
11
8.3
8.3.1
8.3.2
8.3.3
Schließende (induktive) Statistik ................................
Grundgesamtheit und Stichprobe ...............................
Statistische Schätzverfahren .......................................
Statistische Tests ........................................................
318
318
321
325
9
9.1
9.1.1
9.1.2
9.2
9.3
9.3.1
9.3.2
9.4
9.4.1
9.4.2
9.5
9.6
9.6.1
9.6.2
9.6.3
9.7
9.8
9.8.1
9.8.2
9.8.3
9.8.4
Operations Research ................................................
Spezielle Probleme der linearen Optimierung ............
Transportproblem .......................................................
Zuordnungsproblem ...................................................
Rundreiseproblem ......................................................
Reihenfolgemodelle ...................................................
Algorithmus von Johnson-Bellman ............................
Zeilenbewertungsverfahren (n ≥ 3) ............................
Netzplanmodelle ........................................................
Einführung .................................................................
Zeitplanung nach Critical Path Method (CPM) .........
Standortproblem .........................................................
Lagerhaltung ..............................................................
Einführung .................................................................
Deterministische Modelle ..........................................
Stochastische Modelle ...............................................
Standardmodell für offene Wartesysteme ..................
Simulationsmodelle ....................................................
Ziele und Verfahren der Simulation ...........................
Erzeugung von Zufallszahlen .....................................
Deterministische Simulation .......................................
Stochastische Simulation ............................................
331
331
331
335
338
341
342
343
344
344
346
350
352
352
353
358
359
361
361
363
367
369
T1
T2
T3
T4
T5
Tafeln ........................................................................
Verteilungsfunktion der Normalverteilung ................
t-Verteilung ................................................................
Chi-Quadrat-Verteilung .............................................
Zinsberechnungsmethoden .........................................
Tabelle ausgewählter Integrale ..................................
372
372
373
374
375
376
Literaturverzeichnis ................................................. 379
Sachwortverzeichnis ................................................. 382
1
Grundlagen
1.1
Mengen
G
Der Mengenbegriff
Eine Menge ist nach CANTOR die Gesamtheit bestimmter, wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens,
wobei von jedem dieser Objekte eindeutig feststeht, ob es dazu gehört oder nicht. Die Objekte heißen Elemente.
Zwei Mengen A und B über einem gegebenen Grundbereich sind
gleich, wenn jedes Element der Menge A auch Element der Menge B
ist und umgekehrt, A = B.
Eine Menge A heißt Teilmenge oder Untermenge einer Menge B,
wenn jedes Element von A auch Element von B ist, A ⊆ B.
Eine Menge M heißt leer, wenn sie kein Element enthält, M = ∅.
Mengenoperationen
Die Mengenoperationen werden durch die VENNschen Diagramme graphisch unterstützt, siehe Abbildung 1.1.
Die Vereinigung A ∪ B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die mindestens einer der beiden Mengen A oder B angehören.
A ∪ B:
A ∩ B:
Der Durchschnitt A ∩ B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl A als auch B angehören.
A \ B:
Bemerkung
Zwei Mengen A und B mit A ∩ B = ∅
werden als disjunkte Mengen bezeichnet.
A:
Die Differenz A \ B zweier Mengen A
und B ist die Menge aller Elemente
von A, die nicht zu B gehören.
Abbildung 1.1
Gegeben sei eine Grundmenge S und eine Teilmenge A von S, A ⊆ S.
Die Differenz A = S \ A heißt Komplementärmenge von A bezüglich S.
16
1 Grundlagen
Geordnete Paare, Produktmengen, Abbildungen
Ein geordnetes Paar (a, b) ist die Gesamtheit von zwei Elementen
a und b, wobei die Reihenfolge zu berücksichtigen ist.
Zwei geordnete Paare (a, b) und (c, d) heißen genau dann gleich,
wenn gleichzeitig a = c und b = d gelten.
Analog werden geordnete Tripel (a, b, c) bzw. geordnete n-Tupel
(a1, a2, ..., an) definiert.
Bemerkung
Es gilt für a ≠ b: (a, b) ≠ (b, a).
M1 und M2 seien Mengen. Die Menge aller geordneten Paare (x1, x2)
mit x1 ∈ M1 und x2 ∈ M2 heißt Produktmenge (auch: Kreuzmenge,
Kreuzprodukt, kartesisches Produkt) M1 x M2 von M1 und M2.
Eine Teilmenge der Produktmenge M1 x M2 zweier gegebener
Mengen M1 und M2 wird als Abbildung A aus M1 in M2 bezeichnet.
Ist A eine Abbildung aus M1 in M2, so wird die Menge aller x1 ∈ M1,
für die ein x2 derart existiert, dass (x1, x2) ∈ A ist, der Definitionsbereich (DB) DA von A genannt.
Die Menge aller x2 ∈ M2, für die ein x1 ∈ M1 derart existiert, dass
(x1, x2) ∈ A ist, wird Wertebereich (WB) WA von A genannt.
Bemerkung
Stimmt der Definitionsbereich DA einer Abbildung A mit der Menge M1
überein, DA = M1, so wird die Abbildung als A von M1 bezeichnet.
Stimmt andererseits der Wertebereich WA einer Abbildung A mit der
Menge M2 überein, WA = M2, so wird die Abbildung als A auf M2 bezeichnet.
Für eine Abbildung A aus M1 in M2 wird die Menge (x2, x1) mit
x2 ∈ M2, x1 ∈ M1 und (x1, x2) ∈ A als Umkehrabbildung oder
inverse Abbildung A −1 von A bezeichnet.
Eine Abbildung A aus M1 in M2 heißt eindeutig (surjektiv), wenn jedem
Element x ∈ DA höchstens ein Element y ∈ WA zugeordnet wird.
Eine Abbildung A heißt eineindeutig oder umkehrbar eindeutig
(bijektiv), wenn sowohl A als auch A −1 eindeutig sind.
Eine eindeutige Abbildung A wird Funktion genannt.
1.2 Aussagenlogik
1.2
17
Aussagenlogik
Eine Aussage p ist die Beschreibung eines Sachverhaltes. Der Aussage können die Wahrheitswerte wahr ( W ) oder falsch ( F ) zugeordnet werden.
Durch Verknüpfungen von Aussagen ergeben sich neue Aussagenverbindungen:
Aussagenverbindung
Name
Kurzzeichen
nicht p
p und q
p oder q
wenn p, so q
p genau dann, wenn q
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
p
p∧q
p∨q
p→q
p↔q
Die Negation wird als einstellige, die weiteren als zweistellige Aussagenverbindungen bezeichnet.
Die Wahrheitswerte der Aussagenverbindungen sind in der folgenden
Zusammenstellung enthalten:
p
p
p
q
p∧q
p∨q
p→q
p↔q
W
F
F
W
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
F
F
W
W
W
F
W
F
W
W
W
F
F
W
Aussagenlogische Gesetze, Identitäten bzw. Tautologien sind Aussagenverbindungen, die bei beliebiger Belegung der Wahrheitswerte
für die beteiligten Aussagen den Wahrheitswert W annehmen.
Aussagenlogische Gesetze
p∨ p
(p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
(p ∨ q) ↔ (q ∨ p)
(p ↔ q) ↔ (q ↔ p)
( p ∨ q) ↔ p ∧ q
(p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ (q ∧ r) ↔ p ∧ q ∧ r
(p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r) ↔ p ∨ q ∨ r
[(p ↔ q) ↔ r] ↔ [p ↔ (q ↔ r)] ↔ ( p ↔ q ↔ r)
p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
( p ∧ q) ↔ p ∨ q
p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(p → q) ↔ ( p ∨ q)
(p → q) ↔ (q → p )
p↔ p
p∧ p
G
18
1 Grundlagen
1.3
Zahlenmengen
komplexe Zahlen
reelle Zahlen
rationale Zahlen
ganze Zahlen
nichtnegative ganze Zahlen
nicht reelle Zahlen
irrationale Zahlen
nicht ganze Zahlen
negative Zahlen
Die Umkehrung von Rechenoperationen führt zur Erweiterung der Zahlenmengen. So ist zum Beispiel die Subtraktion als Umkehrung der Addition in der Menge der natürlichen Zahlen nicht immer ausführbar. Darum
werden die negativen Zahlen eingeführt. Die Division als Umkehrung der
Multiplikation führt zur Einführung der rationalen Zahlen. Schließlich
führen die Umkehrungen des Potenzierens, das Logarithmieren und
Radizieren in die Menge der irrationalen bzw. der komplexen Zahlen.
Im Allgemeinen führt die Grenzwertbildung zur Menge der reellen Zahlen.
Die komplexen Zahlen bestehen aus einer reellen und aus einer imaginären Komponente.
Zahlenmengen
N, `
*
Menge der nichtnegativen ganzen (natürlichen) Zahlen
+
N
Z, ]
Menge der positiven ganzen Zahlen (früher N )
Menge der ganzen Zahlen
Q, _
Menge der rationalen Zahlen
R, \
Menge der reellen Zahlen
R>0
C, ^
Menge der positiven reellen Zahlen (früher R )
Menge der komplexen Zahlen
+
1.4 Zahlensysteme
1.4
19
Zahlensysteme
Positionssysteme
Eine Ziffer ist ein Zeichen aus einem Zeichenvorrat von B verschiedenen
Zeichen, denen als Zahlenwerte die ganzen Zahlen 0, 1, ..., B − 1 zugeordnet werden, B > 1.
Für das übliche Dezimalsystem ist B = 10. Weitere gebräuchliche Positionssysteme sind das Dualsystem mit B = 2, das Oktalsystem mit B = 8
und das Hexadezimalsystem mit B = 16. Die folgende Übersicht zeigt
den Zahlenaufbau verschiedener Positionssysteme:
dual
oktal
dezimal
hexadezimal
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
22
23
24
25
26
27
30
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Zahlendarstellung einer ganzen Zahl z im Positionssystem mit B = b
n
z = ± ∑ a k ⋅ b k = ± (an ⋅ bn + an−1 ⋅ bn−1 + ... + a1 ⋅ b1 + a0 ⋅ b0 )
k =0
Ziffer:
ak ∈ {0, 1, 2, ..., b}, an ≠ 0
Schreibweise der Zahl z : z = ± an an−1 ... a1 a0
G
Sachwortverzeichnis
Abbildung 16
-, bijektive 16
-, eindeutige 16
-, inverse 16
-, surjektive 16
Abbruchfehler 214
Abgangsmasse 305
Ableitung 156
- höherer Ordnung 159
-, partielle 202
- von Grundfunktionen 157
Abschreibung 141
Abschreibungsprozentsatz 142
Abschreibungsrate 145
Abschreibungsrechnung 141
Absolutbetrag 26
absolute Häufigkeit 241
Absolutskala 272
Abstand 218
Abzinsung 129
Achsenabschnittsform 40
Addition 20
-, inverses Element 20
-, Matrizen 58
Additionssatz für unabhängige
Ereignisse 247
Adjazenzmatrix 346
Adjunkte 52
Algebra
-, Fundamentalsatz 36
-, lineare 51
Algorithmus
-, EUKLIDischer 20
-, GAUSS- 70, 72
-, JOHNSON-BELLMAN- 342
-, Simplex- 100
Anfangskapital 124
Animation 362
Annuitätenmethode 138
Annuitätenschuld 147
Annuitätentilgung 136
Ansatz 24, 189, 191, 192, 196, 198
Anzahl der Zinstage 125
Approximation 229
Äquivalenz 17
Argument 44
arithmetisches Mittel 277
Assoziativgesetz 20, 60
Asymptote 153
Aufzinsfaktor 124, 132
Aufzinsung 128
Ausartung 99, 332, 335, 336
Aussage 17
Aussagenlogik 17
Aussagenverbindung 17
Axiom 20, 242
Bandmatrix 227
Barwert 124, 125, 129, 134
Basis 21, 98
Basisdarstellung 98
Basislösung 98
-, ausgeartete 99
-, zulässige 98
Basisperiode 302
Basistransformation 76, 88, 100
-, ausführliche 76, 100
-, verkürzte 100
Basisvariable 76, 98
BAYESsche Formel 246
BECKERsches Schema 305
bedingte Häufigkeitsverteilung 289
bedingte Wahrscheinlichkeit 244
BENFORD-Menge 258
BENFORD-Verteilung 258
Berichtsperiode 302
BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel
166
BERNOULLIsches Versuchsschema
252
BERNSTEIN-Polynom 234
beschreibende Statistik 271
Bestandsdiagramm 305
Bestandsfortschreibung 306
Sachwortverzeichnis
Bestandsmasse 305
Bestellmenge 352
Bestellniveau 357
Bestimmtheitskoeffizient 293
Bestimmtheitsmaß 293
Betrag 26, 44
Bewegungsmasse 305
Beziehungszahl 301
BEZIER-Kurve 234
bijektiv 16
Binom 27
Binomialkoeffizient 27
Binomialverteilung 252
Binomische Formeln 22
Binomischer Satz 28
bivariate Häufigkeitsverteilung 287
Blockmatrix 57
Boxplot 281
Branch-and-Bound Methode 339
Bruch 22
Bruchgleichung 36
Buchwert 142
CANTOR-Menge 15
charakteristische Gleichung 65
Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest
329
Computerzahl 215
CRAMERsche Regel 56
CRAMÉR
-, Maß 300
Critical Path Method 346
Darstellung komplexer Zahlen 43
Datenanalyse
-, bi- und multivariate 287
-, univariate 271
Datenfehler 214
DE MOIVRE-LAPLACE
-, Grenzwertsatz 270
Defekt 228
definit
-, negativ 207
-, positiv 207, 208
Definitionsbereich 16
Determinante 51
Dezilabstand 277
383
Dezimalsystem 19
Diagonalmatrix 63
Dichtefunktion 260
Differenz 21
Differenzenausdrücke 236
Differenzengleichung 194
Differenzenquotient 156
Differenzial
-, totales 159, 204
-, vollständiges 204
Differenzialgleichung 186
-, lineare 188, 190
-, separable 186
Differenzialquotient 156
Differenziation
-, logarithmische 158
-, numerische 236
Differenziationsregeln 157
Differenzmenge 15
disjunkte Menge 15
Disjunktion 17
diskontierter Wert 129
Diskordanz 299
diskrete Verteilung 248, 252
diskrete Zufallsvariable 247
Distributivgesetz 21, 60
divergent 152
Dividend 21
Division 21
-, algebraische Summe 23
Divisor 21
Doppelsumme 26
Doppel-t-Test 328
Drehstreckung 46
Dreieck 41
Dualität 106
Durchschnitt 15
-, gleitender 309, 311
Eigenvektor 65
Eigenverbrauch 84
Eigenwert 65
einfacher GAUSS-Algorithmus 70
Einheitsmatrix 63
Einschwingphase 370
Einselement 21
Elastizität 163, 204
384
Sachwortverzeichnis
-, partielle 205
-, relative 163, 188, 205
Element 15
Elementarereignis 241
Eliminationsverfahren 70
empirische Standardabweichung 281
empirische Varianz 281
empirische Verteilungsfunktion 273,
274
empirischer Variationskoeffizient
281
Endkapital 124, 125
Endwert 124, 125
Entscheidungsvariable 91
Entwicklungssatz von LAPLACE 53
Ereignis
-, abhängiges 246
-, atomares 241
-, Elementar- 241
-, komplementäres 239, 241, 242
-, Produkt 239
-, sicheres 238, 241
-, Summe 239
-, unabhängiges 246
-, unmögliches 238, 241
-, unvereinbares, unverträgliches
239
-, zufälliges 238
-, zusammengesetztes 241
Ereignisfeld 241
-, LAPLACEsches 243
Ereignismasse 305
Erlösfunktion 185
Erwartungswert 249, 260
erweitern 22, 32
EUKLIDischer Abstand 218
EUKLIDischer Algorithmus 20
EULERsche Form 43
EULERsche Formel 44
EULERsche Zahl 32, 116, 119, 153,
255
Exponent 21, 32
Exponentialform 44
Exponentialfunktion 116
Exponentialgleichung 37
Exponentialverteilung 264
exponentielle Glättung 311, 313
Extremum 169
Extremwertbestimmung 206
Extremwerte 168, 206
-, mit Nebenbedingungen 209
Exzess 262
Faktor 21
Fakultät 27
FALKsches Schema 59
Fehler
-, absoluter 159, 204
-, relativer 159, 204
Fehleranalyse 216
Fehlerarten 214, 325
Fehlerformel 159, 204
Fehlerrechnung 159, 204
Fehlmengen 356
FISCHER-Kriterien 321
Fixpunkt 221
Fixpunktiteration 221, 224
Folge 118
-, alternierende 119
-, arithmetische 118
-, divergente 119
-, geometrische 118
-, konstante 118
-, konvergente 119
Format einer Matrix 57
Formel
-, BAYESsche 246
-, EULERsche 44
-, MOIVREsche 48
-, STIRLINGsche 27
Freiheitsgrad 78
Fundamentalsatz der Algebra 36
Funktion 16, 109
-, äußere 114
-, Bestandteile 110
-, echt gebrochenrationale 24
-, ganzrationale 113, 115, 116
-, gebrochenrationale 114
-, gerade 112
-, identische 114
-, innere 114
-, inverse 112
-, konkave 111
-, konvexe 111
Sachwortverzeichnis
385
-, lineare 115
-, monotone 111
-, trigonometrische 41, 117
-, ungerade 112
-, verkettete 114
Funktionalanalysis 218
-, POISSON 256
größter gemeinsamer Teiler 23
Grundgesamtheit 318
Grundintegrale 175
Gruppe 273
Gruppierung 273
GANTT-Diagramm 342, 350
GAUSS-Algorithmus 70, 72, 226
GAUSS-JORDAN-Algorithmus 76
GAUSSsche Zahlenebene 43
GE - Geldeinheit 93
Gegenwartswert 139
geometrische Verteilung 257
geometrisches Mittel 278
geordnetes Paar 16
Gerade 40
Gewinnannuität 139
Gewinnfunktion 185
gewöhnliches Moment 252, 262
GINI-Koeffizient 284
gleichartige Matrizen 58
gleichnamiger Bruch 22
Gleichung 33
-, lineare 35
-, quadratische 35
Gleichungssystem
-, homogenes 78
-, inhomogenes 79
-, lineares 51, 67, 69, 226
-, nichtlineares 224
Gleichverteilung 263
Gleitkommazahl 215
Gliederungszahl 301
GLIWENKOscher Satz 319
GOMPERZ-Funktion 294
Gradient 203
Grenzfunktion 156, 161
Grenzwert 119
- einer Folge 119
- einer Funktion 151
- einer Reihe 121
-, linksseitiger 152
-, Rechenregeln 153
-, rechtseitiger 152
Grenzwertsatz
-, LAPLACE-DE MOIVRE 270
Halbebene 40
harmonisches Mittel 278
Häufigkeiten
-, absolute 241
-, relative 241, 242
Häufigkeitsfunktion 288
Häufigkeitstabelle 272, 287
Hauptabschnittsdeterminante 52, 207
Hauptdiagonale 57
Hauptnenner 22, 23, 36
Hauptsatz der Integralrechnung 178
HESSE-Matrix 203, 207
Hexadezimalsystem 19
Histogramm 274
Hochpunkt 168
Höhe 41
Höhensatz 41
homogenes Gleichungssystem 78
HORNER
-, Berechnungmethode 116
Hyperbel 115
hypergeometrische Verteilung 253
Hypotenuse 41
Hypothese 325
Imaginärteil 42
Implikation 17
indefinit 207
Index 302
Indexzahl 301, 302
inhomogenes Gleichungssystem 79
Integral
-, bestimmtes 178
-, RIEMANNsches 178
-, unbestimmtes 174
-, uneigentliches 180
Integration
-, numerische 182
-, partielle 176, 177
Integrationsregeln 175, 178
386
Sachwortverzeichnis
Interpolation 229
Intervallarithmetik 217
Intervallschätzung 321
Intervallskala 272
inverse Abbildung 16
inverse Matrix 64, 80
Inversionsmethode 365
Investitionsrechnung 138
irrationale Zahl 18
Irrtumswahrscheinlichkeit 321, 325
Iterationsverfahren 220
JACOBI-Matrix 225
JACOBI-Verfahren 222
JOHNSON-BELLMANAlgorithmus 342
kanonische Form 76
Kapitalrückfluss 138
Kapitalwertmethode 139
kartesische Darstellung 43
kartesisches Produkt 16
Kathete 41
Kehrmatrix 64
Kettenregel 158
Klammer 21
Klasse 273
Klassenanzahl 274
Klassenhäufigkeit 274
kleinstes gemeinsames
Vielfaches 23
KOLMOGOROV 242
Kombination 29
Kombinatorik 28
Kommutativgesetz 21
komplementäres Ereignis 239, 241,
242
Komplementärmenge 15
komplexe Zahl 18, 42
-, Rechenregeln 45
Konditionszahl 216
-, absolute 216
Konfidenzintervall 322
Konfidenzschätzung 321, 322
Kongruenzmethode 363
konjugiert komplexe Zahlen 43
Konjunktion 17
konkav 171
Konkordanz 299
Konkordanzkoeffizient 299
Konsumentenrente 185
Kontingenzkoeffizient 300
Kontingenztabelle 287, 288, 329
Konvergenzkriterien 122
konvex 171
konvexe Linearkombination 86, 95
konvexe Punktmenge 86
Konzentrationskoeffizient 284
Konzentrationsmaß 284
Korrelationskoeffizient 290
Korrelationsrechnung 290
Korrelationstabelle 287, 292
Kosinussatz 41
Kostenfunktion 184
Kovarianz 290
Kreuzmenge 16
Kreuzprodukt 16
Kreuztabelle 287, 288, 329
Krümmungsverhalten 171
Kuponanleihe 149
Kurs 147
Kursrechnung 147
Kurvendiskussion 171
kürzen 22, 27
Lageparameter 276
Lagerbestand 352
Lagerhaltung 352
LAGRANGE
-, Multiplikatorenmethode 209
LAPLACE
-, Entwicklungssatz 53
-, Ereignisfeld 243
-, Grenzwertsatz 270
LASPEYRES-Index 303
LEIBNIZ-Kriterium 122
LEIBNIZsche Zinseszinsformel 128
LEONTIEF-Modell 84
L'HOSPITALsche Regel 166
linear abhängig 67
linear unabhängig 67
lineare Algebra 51
lineare Gleichung 35
lineare Optimierung 91
Sachwortverzeichnis
lineares Ungleichungssystem 85
Linearkombination 67, 201
-, konvexe 86, 95
Logarithmengleichung 38
Logarithmus 31, 32
-, dekadischer 116
-, natürlicher 117
Logarithmusfunktion 116
logistische Funktion 294, 310
LORENZ-Fläche 284
LORENZ-Kurve 284
Losgröße 172
Lösung
-, allgemeine zulässige 87
-, graphische 87, 92
-, verallgemeinerte 228
-, zulässige 86, 92
Lösungsmenge 34
Manhattan-Abstand 218
Marginalanalyse 161
marginale Klasse 288
Marginalfunktion 156, 161
MARKOV-Kette 63
Maß von CRAMÉR 300
Maßzahl 301
Matrix 57
-, diagonaldominante 223
-, Format 57
-, gestürzte 57
-, gleichartige 58
-, Hauptdiagonale 57
-, inverse 64
-, Multiplikation 59
-, Nebendiagonale 57
-, orthogonale 63
-, positiv definite 207
-, reguläre 64
-, reziproke 64
-, singuläre 64
-, Spur 57
-, symmetrische 57
-, transponierte 57
-, verkettete 59
Matrizengleichung 82
Maximum 169
-, absolutes 169
387
-, relatives 168, 206
Maximum-Abstand 218
Maximum-Likelihood-Schätzmethode 321
Maximumnorm 219
Median 276
Menge 15
-, Differenz- 15
-, disjunkte 15
-, Durchschnitt 15
-, komplementäre 15
-, leere 15
-, Vereinigung 15
Mengenindex 304
Mengenoperation 15
Merkmal
-, diskretes 271
-, stetiges 271
Merkmalswert 271
Messzahl 302
Methode der kleinsten Quadrate 210,
229
Minimum 169
-, absolutes 169
-, relatives 168, 206
Minuend 21
Mittel
-, arithmetisches 277
-, geometrisches 278
-, gewichtetes 277
-, harmonisches 278
Mittelwertsatz 168
mittlere absolute Abweichung 279
mittlere quadratische Abweichung
280
mittlere Verweildauer 307
Modalwert 276
Modellierungsfehler 214
Modul 33, 44
Modus 276
MOIVREsche Formel 48
Moment
-, gewöhnliches 252, 262
-, zentrales 252, 262
monoton 168
Monte-Carlo-Methode 363
multiple Korrelation 297
388
Sachwortverzeichnis
multiple Regression 296
multipler Korrelationskoeffizient 297
multiples Bestimmtheitsmaß 297
Multiplikation 20
Multiplikation von Matrizen 59
Multiplikationsregel für
Wahrscheinlichkeiten 244
Multiplikationssatz für unabhängige
Ereignisse 247
Multiplikatorenmethode
-, LAGRANGE 209
nachschüssig 126
natürliche Zahl 18
Nebenbedingung 85, 91
Nebendiagonale 57
Negation 17
negativ definit 207
negative Zahl 18
Nennwert 147
Netzplan 345
-, kritischer Weg 348
-, Pufferzeiten 349
-, Vorgangsknotennetz 345
-, Vorgangspfeilnetz 345
NEWTON-RAPHSON-Verfahren 225
NEWTON-Verfahren 164
Nichtbasisvariable 76, 98
nichtlineare Regression 294
Nichtnegativitätsbedingung 91
Nominalskala 271
Nominalwert 147
Nordwestecken-Regel 332
Norm 219
-, EUKLIDische 219
-, Matrix- 220
-, Vektor- 219
Normalform, 1. 86, 97
Normalform, 2. 85, 97
Normalverteilung 266
-, standardisierte 267
normierter Eigenvektor 65
n-Tupel 16
Nullelement 20
Nullfolge 119
Nullhypothese 325, 328
Nullmatrix 58
Nullteiler 60
Numerus 32
Nutzungsdauer 141
Oktalsystem 19
Operation 20
Operations Research 91, 331
optimale Lösung 92
Optimierung 91
Optimierungsproblem 91
-, 1. Normalform 97
-, 2. Normalform 97
Ordinalskala 271
orthogonale Matrix 63
Paar
-, geordnetes 16
-, gleiches 16
PAASCHE-Index 303
Parabel 115
Partialbruchzerlegung 24
Partialdivision 23
Partialsumme 120
PASCALsches Dreieck 28
periodische Schwankung 313
Permutation 29
Phase 44
Phasendurchschnittsverfahren 315
Pivotisierung 226
POISSON-Verteilung 255
Polarkoordinaten 43
Polynom 23, 36, 113, 116
Polynomdivision 23, 36
Polynomfunktion 116
Positionssystem 19
positiv definit 207
postnumerando 126
Potenz 21, 31
Potenzfunktion 115
pränumerando 126
Preisindex 304
Produkt 21
-, kartesisches 16
Produktmenge 16
Produktzeichen 26
Produzentenrente 185
Progressionsbetrag 146
Sachwortverzeichnis
progressive Zinsmethode 127
Protokoll 272
Pseudolösung 228
Punkt 40
-, kritischer 169
-, stationärer 169, 206
Punktmenge
-, konvexe 86
Punktrichtungsform 40
Punktschätzung 321
quadratische Form 207
quadratische Gleichung 35
Quadrat-Mitten-Methode 363
Quantil 262, 277
Quartil 277, 282
Quartilsabstand 279
Quotient 21
Quotientenkriterium 122
Rändern 55
Randgerade 40
Randhäufigkeit 288
Randhäufigkeitsfunktion 289
Randklasse 288
Rang 68
Rangkorrelation 298
Rangkorrelationskoeffizient 298
Raten-Renten-Formeln 135
Ratenschuld 148
Ratentilgung 136
rationale Zahl 18
Rationalmachen des Nenners 32
Raum
-, metrischer 219
Reaktionsparameter 312
Realteil 42
Realwert 147
reelle Zahl 18, 20
Regel
-, BERNOULLI-L´HOSPITALsche
166
-, CRAMERsche 56
-, SARRUSsche 51
Regressionsgerade 291
Regressionsrechnung 291
regulär 64
389
Reihe 51
-, alternierende 122
-, arithmetische 120
-, endliche 120
-, geometrische 121
-, harmonische 122
-, unendliche 121
Reihenfolgeproblem 341
Rekonvertierung 20
relative Elastizität 163, 188, 205
relative Häufigkeit 241, 242
Rente 132
Rentenbarwertfaktor 138, 147
Rentenendwert 132
Resonanzfall 192, 198
Restriktion 85, 91
Restwert 142
reziproke Matrix 64
Rundreiseproblem 338, 339
Rundungsfehler 214
Saisonindex 314
Saisonschwankung 314
SARRUSsche Regel 51
Satz
- des EUKLID 41
- des PYTHAGORAS 41
- von GLIWENKO 319
- von LAPLACE 53
- von SCHWARZ 203
Schachbrettregel 52
Schattenpreis 107
Schätzverfahren 321
Schema
- von BECKER 305
- von FALK 59
Schiefe 252, 262
schließende Statistik 318
Schlupfvariable 86, 97
Schranke 111
Schwerpunktskoordinaten 351
Sehnen-Trapezregel 182
Servicegrad 357
sicheres Ereignis 238
Sicherheitsbestand 358
Sigma-Regeln 269
Signifikanzniveau 325
390
Sachwortverzeichnis
Signifikanztest 325
Simplexmethode 99
SIMPSON-Regel 183
Simulation 361
-, deterministische 367
-, mathematische 362
-, stochastische 370
singulär 64
Sinussatz 41
Skala 271
Skalarprodukt 59
Skalentransformation 271
Skalentyp 271
Skalenwert 271
Sollwert
Spalte 52
Spaltensumme 288
Spannweite 279
Sparkassenformeln 135
SPEARMAN-Koeffizient 298
spiegeln 53
Splineinterpolation 231
Spur einer Matrix 57
Stabdiagramm 272
Staffelmethode 127
Stammfunktion 174
Standardabweichung 250, 261, 280
standardisierte Normalverteilung 267
Standortproblem 224, 350
Statistik 238
-, beschreibende 271
-, deskriptive 271
-, induktive 318
-, schließende 318
statistische Einheit 271
statistische Maßzahl 276, 290
statistische Momente 252, 262
statistische Sicherheit 325
statistischer Test 325
STEINER-WEBER-Problem 350
Sternvariable 97
stetige Verteilung 260
stetige Zufallsvariable 247
Stetigkeit 154
Stichprobe 318
Stichprobenfunktion 319
Stichprobenumfang 318
STIRLINGsche Formel 27
Störfunktion 188, 190, 192, 198
Streuungsmaß 279
Streuungszerlegung 293
Strukturmatrix 346
stürzen 53
Substitutionsmethode 175
Subtrahend 21
Subtraktion 21
Summand 21
Summenhäufigkeitsfunktion 274
Summennorm 219
Summenpolygon 275
Summenzeichen 26
surjektiv 16
Tageszinsen 126
Tangenssatz 41
Tangentenverfahren 164
Tautologie 17
TAYLOR-Polynom 165
Teilmenge 15
Teilsumme 120
Term 33
-, echt gebrochen 23
-, ganzrational 23
-, unecht gebrochen 23
Tiefpunkt 168
Tilgungsrate 136
Tilgungsrechnung 136
TÖRNQUIST-Funktion 294
totale Wahrscheinlichkeit 245
transponierte Matrix 57
Transportproblem 331
-, Ausartung 335
-, gesperrte Verbindungen 335
-, klassisches 331
-, Minimumregel 332
-, Optimalitätskriterium 333
-, Potenzialmethode 333
-, VOGELsche
Approximationsmethode 332
Trapezregel 182
Traveling-Salesman-Problem 338
Trendermittlung 309
Trendfunktion 210
Trendparameter 313
Sachwortverzeichnis
Trennen der Veränderlichen 186, 189
Treppenfunktion 248, 272
Tridiagonalmatrix 227
trigonometrische Funktion 41
Tripel 16
triviale Lösung 78
TSCHEBYSCHEV-Ungleichung 251,
369
t-Test 327
Typ einer Matrix 57
Umkehrabbildung 16
Umkehrfunktion 112
Umschlagshäufigkeit 307
ungarische Methode 336
ungleichnamiger Bruch 22
Ungleichung 39
Ungleichungssystem
-, 1. Normalform 86
-, 2. Normalform 85
-, graphisch 87
-, lineares 85
-, normales lineares 86
univariate Datenanalyse 271
unmögliches Ereignis 238
Unstetigkeitsstelle 155
-, hebbare 156
Unterdeterminante 52
Untermatrix 57
Untermenge 15
Unterperiode 126
Urliste 272
Variable
-, künstliche 97
Varianz 249, 261, 280
Variation 29
Variation der Konstanten 189
Variationskoeffizient 280
Variationsreihe 272
Vektor 57
VENNsches Diagramm 15
Vereinigung 15
Verfahrensfehler 214
Verflechtung 1. Art 61, 84
Verhältnisskala 272
Verhältniszahl 301
391
verkettete Matrizen 59
verketteter GAUSS-Algorithmus 72
Verkettung 114
Verknüpfung 113
verkürzte Basistransformation 102
Verschiebungssatz 250
Verteilung
-, BENFORD 258
-, Binomial- 252
-, diskrete 248, 252
-, Exponential- 264
-, geometrische 257
-, Gleich- 263
-, hypergeometrische 253
-, Normal- 266
-, POISSON- 255
-, standardisierte Normal- 267
-, stetige 260
Verteilungsfunktion 248, 260
Verteilungsparameter 249
Verteilungstabelle 248
Verweildauer 306
Verweildiagramm 305
Verzinsung
-, einfache 124
-, gemischte 135
-, stetige 131
-, unterjährliche 130
VIETAscher Wurzelsatz 35
VOGELsche Approximationsmethode
332
vollständiges System 239
Vollständigkeitsrelation 248, 260
Vorgangsknotennetz 345
vorschüssig 126
Wachstum
-, degressives 171
-, progressives 171
Wachstumsmodell 187
Wachstumsrate 162
Wahrheitswert 17
Wahrscheinlichkeit 241, 243
-, bedingte 244
-, totale 245
Wahrscheinlichkeitsfunktion 248
Wahrscheinlichkeitsrechnung 238
392
Sachwortverzeichnis
Wartesystem 359
-, Bediendauer 359
Wendepunkt 111, 171
-, horizontaler 170
Wertebereich 16
Wertindex 303
Wertvolumen 303
Whisker 282
Winkel 44
Wölbung 262
Wurzel 31
Wurzelfunktion 115
Wurzelgleichung 37
Wurzelkriterium 123
Zahl
-, ganze 18
-, irrationale 18
-, komplexe 18, 42
-, konjugiert komplexe 43
-, natürliche 18
-, negative 18
-, rationale 18
-, reelle 18, 20
Zahlendarstellung 19, 215
Zahlenebene
-, GAUSSsche 43
Zahlenfolge 118
Zahlenmenge 18
Zahlenreihe 120
Zahlensystem 19
Zahlungsweise
-, nachschüssige 126
-, vorschüssige 126
Zeile 52
Zeilenbewertungsverfahren 343
Zeilensumme 288
Zeilensummennorm 220
Zeit-Mengen-Bestand 306
Zeitreihe 308
Zeitreihenanalyse 308
Zeitreihenwert 302
zentrales Moment 252, 262
Zentralwert 276
Zielfunktion 91
Ziffer 19
Zinsen bei Kontobewegungen 127
Zinsfuß
-, interner 140
Zinssatz
-, effektiver 147
-, konformer 131
-, nomineller 130, 147
-, realer 147
-, relativer 130
Zinsschulden 149
Zinstage 125
Zinsteiler 126
Zinszahl 126
Z-Test 326
zufälliges Ereignis 238
Zufallsgröße 247
Zufallsstichprobe 318
Zufallsvariable 247
Zufallsversuch 238
Zufallszahlen 363
-, Transformation 366
Zugangsmasse 305
zulässige Basislösung 98
Zuordnungsproblem 335
Zusammenhangsmaß 287, 290, 297,
300
Zweifachregression 296
Zweipunkteform 40