Ubersicht Differentialgleichungen - Theoretische Physik

Übersicht Differentialgleichungen
S. Bratzik
Institut für Theoretische Physik III, Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
Aus K. Weltner, Mathematik für Physiker 1, Springer Verlag, 2008.
I.
GLEICHUNGEN DER FORM y 0 = f (x) UND y 00 = f (x)
y 0 = f (x) und y 00 = f (x) löst man mittels Seperation der Variablen:
y 00 =
dy 0 =
Z
dy 0 =
y0 =
dy
=
dx
y =
d2 y
d 0
=
y = f (x)
2
dx
dx
f (x)dx
Z
f (x)dx
Z
f (x)dx + C1
Z
f (x)dx + C1
Z Z
f (x)dx dx + C1 x + C2
Beispiel: ẍ(t) = −ω 2 cos ωt:
Z Z
x(t) =
−ω cos ωtdt dt + C1 t + C2
2
x(t) = cos ωt + C1 t + C2
II.
HOMOGENE GLEICHUNGEN a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0
mit ai = const. Sie haben die Lösung:
y = C1 y1 + C2 y2 .
Exponentialansatz y = erx in die Differentialgleichung einsetzen:
2
a2 r2 erx + a1 rerx + a0 erx = 0
erx a2 r2 + a1 r + a0 = 0
⇒ a2 r2 + a1 r + a0 = 0
Letzte Gleichung wird charakteristische Gleichung genannt. Die Lösung ist
r1,2
a1
=−
±
2a2
s
a0
a21
−
2
4a2 a2
Somit lautet die Lösung der Differentialgleichung allgemein:
y = C1 er1 x + C2 er2 x .
Fallunterscheidung (siehe Vorlesung):
a21
4a22
Fall 1:
−
a0
a2
> 0 ⇒ r1 6= r2
Lösung: y = C1 er1 x + C2 er2 x
a21
4a22
Fall 2:
−
a0
a2
< 0 ⇒ r1 = (a + ib) und r2 = (a − ib) sind komplexe Zahlen.
a1
,b=
Lösung: y = eax (C1 cos bx + C2 sin bx) mit a = − 2a
2
a21
4a22
Fall 3:
−
a0
a2
a21
4a22
−
a0
a2
a1
= 0 ⇒ r1 = r2 = − 2a
. Es existiert mit dem Exponentialansatz nur eine
2
Lösung. Die Lösung y2 = C2 xerx löst auch die Differentialgleichung.
Lösung: y = C1 er1 x + C2 xer1 x = (C1 + C2 x) er1 x
III.
INHOMOGENE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = f (x)
Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = f (x) setzt sich
zusammen aus der Lösung der homogenen Gleichung (s.oben) und einer speziellen Lösung:
y = yh + yinh
Durch das Verfahren der Variation der Konstanten kann man immer die spezielle
Lösung gewinnen. Dieses ist jedoch recht umständlich und aufwendig. Stattdessen gibt es
Lösungsansätze für die spezielle Lösung bei verschiedenen f (x).
3
Fall 1: f(x)=C=const.
Dann ist yinh =
C
a0
Fall 2: f (x) = a + bx + cx2 mit a,b,c =const.
Dann lautet der Ansatz yinh = A + Bx + Cx2 . Auch wenn das Polynom z.B. f (x) =
a + cx2 ist, muss der Lösungsansatz alle Potenzen enthalten.
Fall 3: f (x) = Aeλx
yinh = Ceλx mit C =
A
.
a2 λ2 +a1 λ+a0
Falls λ die Lösung der charakteristischen Gleichung
(a2 λ2 + a1 λ + a0 = 0) ist, verschwindet der Nenner. In diesem Fall ist yinh = Axeλx .
Fall 4: f (x) = C1 sin ax + C2 cos ax
Lösung yinh = A sin ax + B cos ax oder yinh = C cos(ax + b)