Korrekturanweisung

Ministerium
für Bildung und Kultur
des Landes Schleswig-Holstein
Zentrale Abschlussarbeit 2011
Korrekturanweisung
Mittlerer Schulabschluss
Impressum
Herausgeber
Ministerium für Bildung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein
Brunswiker Str. 16 -22, 24105 Kiel
Redaktion
Dr. Anja Fandel
Dr. Thomas Wehr
Aufgabenentwicklung
Ministerium für Bildung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein
Institut für Qualitätsentwicklung an Schulen Schleswig-Holstein
Fachkommissionen für die Zentralen Abschlussarbeiten in der Sekundarstufe I
Umsetzung und Begleitung
Ministerium für Bildung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein
Telefon 0431/988 - 2288, E-Mail: [email protected]
Druck:
Polyprint GmbH
Kiel, Mai 2011
Die Landesregierung im Internet: www.schleswig-holstein.de
Das IQSH im Internet: www.iqsh.schleswig-holstein.de
Diese Druckschrift wird im Rahmen der Öffentlichkeitsarbeit der schleswig-holsteinischen
Landesregierung herausgegeben. Sie darf weder von Parteien noch von Personen, die Wahlwerbung
oder Wahlhilfe betreiben, im Wahlkampf zum Zwecke der Wahlwerbung verwendet werden. Auch
ohne zeitlichen Bezug zu einer bevorstehenden Wahl darf die Druckschrift nicht in einer Weise
verwendet werden, die als Parteinahme der Landesregierung zugunsten einzelner Gruppen
verstanden werden könnte. Den Parteien ist es gestattet, die Druckschrift zur Unterrichtung ihrer
eigenen Mitglieder zu verwenden.
A Kurzformaufgaben
A1
Lösungen
Gib alle natürlichen Zahlen an, die man an Stelle des Platzhalters
einsetzen kann.
47 ≤ x ≤ 50
Man kann für x folgende natürliche Zahlen einsetzen: __47,48, 49, 50__
/1 P.
A2
Gegeben ist die Zahlenfolge
... , 15, 22, 29, 36, ...
¾ Gib das nächste Glied der Zahlenfolge an:
___43___
¾ Gib das Glied der Zahlenfolge vor der 15 an:
___8____
/2 P.
A3
Ergänze.
SA
SC
=
SB
SD
SC
SD
=
AC
BD
/2 P.
A4
Susanne hat eine Zahl auf Zehner gerundet und erhält 12450. Gib die
kleinste Zahl an, die zu diesem Wert gerundet werden kann.
_____12445_____
/1 P.
3
A5
Das Diagramm zeigt die Ausgaben (hell) und die Einnahmen (dunkel) des
Schulkiosks in Euro im Zeitraum Januar bis Juli.
¾ Entscheide, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.
Es kann abgelesen werden,
wahr
falsch
in welchem Monat die Ausgaben am geringsten
waren.
X
_
in welchem Monat der Unterschied zwischen
Einnahmen und Ausgaben am größten war.
X
_
dass der Gewinn im ersten Vierteljahr genau
311,17 € betrug.
_
X
dass im Januar am meisten Schüler in der
Schule waren.
_
X
/4 P.
A6
Klaus baut aus einem roten, einem gelben und einem blauen Legostein
einen drei Steine hohen Turm.
Wie viele Farbkombinationen für Türme sind mit diesen drei Steinen
möglich?
Es gibt ____6____ verschiedene Farbkombinationen.
/1 P.
A7
Bei der Aufgabe 39,3 ⋅ 19,68 kommen vier Schüler zu unterschiedlichen
Ergebnissen. Kreuze das richtige Ergebnis an.
_ Kathrin 77,3424
_ Ole 773 424
_ Michael 7734,24
X Kristin 773,424
/1 P.
4
A8
Wie viele positive zweistellige Zahlen haben die 8 als Einerziffer?
Es sind ____9____ zweistellige Zahlen.
/1 P.
A9
Claudia, Sandra und Miri würfeln mit einem Würfel. Sie legen folgende
Regeln fest:
Claudia gewinnt, wenn sie eine 6 würfelt. Sandra gewinnt, wenn sie eine
ungerade Zahl würfelt. Miri gewinnt, wenn sie eine Zahl größer 2 würfelt.
Wer hat die größte Gewinnchance? Begründe deine Entscheidung indem du
die Wahrscheinlichkeiten angibst.
_____Miri______ hat die größte Gewinnchance, weil ______________
1 1 ⎛⎜ 3 ⎞⎟ 2 ⎛⎜ 4 ⎞⎟
< ⎜ ⎟< ⎜ ⎟
6 2 ⎜⎝ 6 ⎠⎟ 3 ⎝⎜ 6 ⎠⎟
Für jede richtige Wahrscheinlichkeit gibt es einen Punkt sowie einen Punkt
für die Begründung.
/4 P.
A10
Bei einem Würfel ist jede Seitenfläche entweder rot oder weiß angemalt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Würfeln eine rote Seite oben liegt,
1
beträgt .
3
Wie viele Seiten des Würfels sind rot?
_ 1 Seite
X 2 Seiten
_ 3 Seiten
_ 4 Seiten
_ 5 Seiten
_ 6 Seiten
/1 P.
A11
Entscheide, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.
wahr
falsch
Jedes Rechteck ist ein Quadrat.
_
X
2
18
Liter Saft ist weniger als
Liter Saft.
3
27
_
X
27 ist eine Primzahl.
_
X
X
2 ist irrational.
_
/4 P.
5
A12
Ersetze das x durch die größtmögliche einstellige Zahl, bei der noch eine
wahre Aussage entsteht.
x ⋅ 800 ≤ 7 ⋅ 103
x = ____8____
7 ⋅ 105 ≤ 7 ⋅ 10x ≤ 7 ⋅ 109
x = ____9____
/2 P.
A13
Bestimme
α.
α= ____36°_
/1 P.
A14
Ein Zug fährt um 6:45 Uhr in Kiel ab und ist um 9:38 Uhr am Zielort.
Wie viele Minuten ist der Zug unterwegs?
Der Zug ist _______2h 53 min = 173_________ Minuten unterwegs.
/1 P.
A15
Kreuze an, welche Figur immer alle nachfolgenden Eigenschaften besitzt.
¾ Mindestens zwei Seiten stehen senkrecht aufeinander.
¾ Mindestens zwei Seiten sind parallel.
¾ Die Summe der Innenwinkel beträgt 360°.
_ Rechtwinkliges Dreieck
X Rechteck
_ Drachen
_ Trapez
/1 P.
A16
Welcher Term hat den gleichen Wert wie 44 + 45 + 46 ?
_
3 ⋅ 43
_
X
3 ⋅ 44
3 ⋅ 45
_
3 ⋅ 46
/1 P.
6
A17
20% der Klasse sind heute krank. Das sind 6 Schülerinnen und Schüler.
Wie viele Schülerinnen und Schüler hat die Klasse?
Es sind _30__ Schülerinnen und Schüler in der Klasse.
/1 P.
A18
Gib die Zahl an, die in der Mitte von 600 und 950 liegt.
600
_775_
950
/2 P.
A19
Schreibe als Term:
Multipliziere die Summe der Zahlen -15 und +20 mit 12.
(−15 + 20) ⋅ 12
/1 P.
A20
Wie sehen die Körper von unten aus?
D
A
A
B
C
D
E
Schreibe den passenden Buchstaben A, B, C, D oder E in das Kästchen
unter dem Körper.
/2 P.
7
A21
Wenn eine Zahl 2 und 4 als Teiler hat, dann ist 8 auch immer ein Teiler
dieser Zahl.
Stimmt diese Aussage?
_
ja
X
nein
Begründung oder Gegenbeispiel:
Z.B. 4 und 12 sind nicht durch 8 teilbar, aber durch 2 und 4.
/1 P.
A22
Was gibt der Wachstumsfaktor 1,23 an?
_ 123% Zuwachs
X 23% Zuwachs
_ 12,3% Zuwachs
_ 2,3% Zuwachs
/1 P.
A23
Du siehst drei Kartons mit Bällen unterschiedlicher Größe.
ein Ball 2 €
ein Ball 3 €
ein Ball 4 €
Du möchtest Bälle in drei verschiedenen Größen kaufen und genau
20,- € ausgeben.
Wie viele Bälle kannst du von jeder Sorte kaufen? Gib eine mögliche
Einkaufskombination an.
Beispiel:
Ich kann __3__ kleine Bälle, __2__ mittelgroße Bälle und __2__ große Bälle
kaufen.
/0 oder 2 P.
8
A24
Fünf Schüler stehen der Größe nach in einer Reihe. Rolf ist kleiner als
Martin, Carsten ist kleiner als Rolf, Wolfgang ist größer als Rolf, Carsten ist
größer als Fabian, Martin ist der Größte.
In welcher Reihenfolge stehen die Jungen? Kreuze an.
_
Martin, Carsten, Fabian, Wolfgang, Rolf,
_
Martin, Rolf, Carsten, Fabian, Wolfgang
X
Martin, Wolfgang, Rolf, Carsten, Fabian
_
Martin, Wolfgang, Rolf, Fabian, Carsten
/0 oder 2 P.
9
B1 Komplexaufgabe
Gittermast - Lösung
a) Berechne AB .
AB = 3 ⋅ d
AB = 3 ⋅ 110
AB = 330 cm
(1)
AB ist 330 cm lang.
/1 P.
b) Berechne x und y.
x 2 = b2 + d 2
x =
b2 + d 2
(1)
x = 58,22 + 1102
x ≈ 124, 4 cm
(1)
x ist ungefähr 124,4 cm lang.
y 2 = a2 + d 2 − 2 ⋅ a ⋅ d ⋅ cos 95,5°
y =
(1)
a2 + d 2 − 2 ⋅ a ⋅ d ⋅ cos 95,5°
y = 902 + 1102 − 2 ⋅ 90 ⋅ 110 ⋅ cos 95,5° (1)
y ≈ 148,7 cm
(1)
y ist rund 148,7 cm lang.
/5 P.
10
c) Bestimme β und γ.
c
d
29,1
tan β =
110
tan β ≈ 0,2645
β ≈ 14,82°
tan β =
(1)
(1)
Der Winkel β beträgt rund 14,8°.
γ = 180° − 95,5° − β
γ ≈ 180° − 95,5° − 14,82°
γ ≈ 69,68°
(1)
(1)
Der Winkel γ beträgt rund 69,7°.
/4 P.
d) Berechne BC .
2
BC = a2 + (3d )2 − 2a ⋅ 3d ⋅ cos α
(1)
2
BC = 902 + (3 ⋅ 110)2 − 2 ⋅ 90 ⋅ 330 ⋅ cos 95,5°
BC ≈ 350,28 cm
(1)
BC ist ungefähr 350,3 cm lang.
/2 P.
e) Begründe, warum a nicht genau dreimal so lang wie c sein kann.
Die Begründung erfolgt z. B. über die Strahlensätze:
Wenn α = 90° wäre, dann wären a und c parallel und es
würde wegen des Strahlensatzes a = 3 ⋅ c sein,
(1)
weil AB = 3 ⋅ d ist.
(1)
Es ist aber α > 90° und daher muss dann a länger als 3 ⋅ c
sein, wie man an der Zeichnung sieht.
(1)
/3 P.
11
B2 Komplexaufgabe
Solarleuchten - Lösung
a) Berechnung des Materials für die zylindrische Verpackung
Höhe (Länge des Zylinders): 48 cm
Radius: 6 cm
(1)
O = 2π r ⋅ (r + h)
O = 2π ⋅ 6 ⋅ (6 + 48)
(1)
2
O ≈ 2035,75 cm
zzgl.5% :
(1)
2035,75 ⋅ 1,05 ≈ 2137,54
(1)
Für eine zylindrische Verpackung werden 2138 cm² Pappe benötigt.
/4 P.
b) Berechnung des Materials für die prismenförmige Verpackung.
Länge einer Dreiecksseite:
2
⎛ a⎞
a2 = ⎜ ⎟ + h2
⎝2⎠
3 2
a = 182
4
(1)
a = 432
a ≈ 20,78 cm
(1)
Für die Skizze
(1)
/3 P.
Oberfläche der prismenförmigen Verpackung:
Länge: 48 cm
Dreieckshöhe: 18 cm
(1)
O = 2 ⋅ ADreieck + 3 ⋅ Rechtecke
(1)
a ⋅ hDreieck
+ 3 ⋅ hPr isma ⋅ a
2
20,78 ⋅ 18
O ≈ 2⋅
+ 3 ⋅ 48 ⋅ 20,78
2
O ≈ 3366,36 cm2
(1)
O = 2⋅
Für die prismenförmige Verpackung werden rund 3366 cm² Pappe benötigt.
/3 P.
12
c) Bestimmung des Hohlraumes zylindrische Verpackung
Kugeldurchmesser: 12 cm
Kugelvolumen:
4 3
πr
3
4
= π ⋅ 63
3
≈ 904,78 cm3
VKu =
VKu
VKu
(1)
Volumen der zylindrischen Verpackung:
VZy = π ⋅ r 2 ⋅ h
VZy ≈ π ⋅ 62 ⋅ 48
VZy ≈ 5428,67 cm3
(1)
Hohlraum:
VHo = VZy − 4 ⋅ VKu
(1)
VHo ≈ 5428,67 − 4 ⋅ 904,78
VHo ≈ 1809,55 cm3
Verhältnis =
VHo
VZy
Verhältnis ≈
1809,55 18 1
≈
=
5428,67 54 3
(1)
(1)
Die Schätzung ist richtig. Der Hohlraum macht ziemlich genau
1
des
3
Volumens der Verpackung aus.
/5 P.
13
B3 Komplexaufgabe
Hochspannungsleitung - Lösung
a) Die Gleichungen B und D scheiden aus, da der Scheitelpunkt des
parabelförmigen Kabelstücks unterhalb des Erdbodens liegen würde.
(1)
Die Gleichung C scheidet aus, da der Scheitelpunkt höher als im Frühjahr
liegen würde und das Kabelstück somit kürzer als im Frühjahr wäre.
(1)
Die Gleichung A ist die gesuchte Lösung, da der Scheitelpunkt niedriger als im
Frühjahr liegt und das Kabel somit stärker durchhängt und damit länger als
im Frühjahr ist.
(1)
/3 P.
b)
x = 150 m
y = 52,5 m
c = 30 m
(1)
y = a ⋅ x2 + c
y − c = a ⋅ x2
y −c
a=
x2
52,5 − 30
a=
1502
a = 0,001
(1)
(1)
Die Gleichung lautet y = 0,001 ⋅ x 2 + 30 .
(1)
/4 P.
c)
r = 520 m
1
⋅2⋅ π⋅r
10
1
l = ⋅π⋅r
5
1
l = ⋅ π ⋅ 520
5
l = 104 ⋅ π
l ≈ 326,7256 m
(1)
l =
(1)
diff = l − 300
diff ≈ 26,7256 m
Das Kabel ist rund 26,7 m länger als der Abstand zwischen den Masten. (1)
/3 P.
14
d) Abstand zum Wasser.
Rechnerische Lösung:
x = 0m
y = 0,002 ⋅ x 2 + 52
y = 0,002 ⋅ 02 + 52
(1)
y = 52 m
Der niedrigste Punkt des Kabels befindet sich 52 m über der
Wasseroberfläche.
(1)
Alternative Lösung
Textform:
Der Scheitelpunkt ist (0/52). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ist der
Scheitelpunkt der niedrigste Punkt.
(1)
Der niedrigste Punkt des Kabels befindet sich 52 m über der
Wasseroberfläche.
(1)
/2 P.
e) Höhe der Befestigungspunkte an den Hochspannungsmasten.
x = 90 m
(1)
y = 0, 002 ⋅ x 2 + 52
(1)
2
y = 0, 002 ⋅ 90 + 52
y = 68, 2 m
Das Kabel ist in einer Höhe von 68,2 m an den Masten befestigt.
(1)
/3 P.
15
B4 Komplexaufgabe
Lösung - Bakterien
a)
¾ Nach 9,5 Tagen sind rund 400 Bakterien vorhanden.
(1)
¾ Nach 3 Tagen sind es rund 50 Bakterien
(1)
¾ Bakterien nach 12 Tagen: 20 ⋅ 44,5 = 890
(1)
Bakterien nach 24 Tagen: 20 ⋅ 44,52 = 39605
(1)
Bakterien nach 36 Tagen: 20 ⋅ 44,53 ≈ 17624 00
(1)
/5 P.
b) Faktor q für einem Tag und Bakterien nach einem Tag.
g0 = 20, gn = 97, n = 5
(1)
gn = go ⋅ q n
qn =
gn
g0
q=
gn
g0
n
97
20
q ≈ 1,37
q=
(1)
5
(1)
Der Wachstumsfaktor beträgt also ungefähr 1,37.
g1 = go ⋅ q
g1 ≈ 20 ⋅ 1,37
g1 ≈ 27, 4
(1)
Nach einem Tag sind rund 27 Bakterien vorhanden.
(1)
(Richtig ist auch die Antwort 28 Bakterien)
/5 P.
16
c) In welcher Zeit haben sich die Bakterien einer anderen Bakterienart von 10
auf 20 000 vermehrt? 10 bis 12 Tage?
g0 = 10, gn = 20 000, q = 1,8
(1)
g n = go ⋅ q n
lg gn = lg g0 + n ⋅ lg q
(1)
lg gn − lg g0 = n ⋅ lg q
n=
lg gn − lg g0
lg q
n=
lg 20 000 − lg 10
lg 1, 8
(1)
n ≈ 12, 93
(1)
Petra irrt sich. Erst nach rund 13 Tagen sind über 20 000 Bakterien
vorhanden.
(1)
Alternativ z.B. durch Probieren:
g0 = 10, n1 = 10, n2 = 12, gn = 20 000, q = 1,8
(1)
g10 = go ⋅ q10
g10 ≈ 10 ⋅ 1,810
g10 ≈ 3570
(1)
g12 = go ⋅ q12
g12 ≈ 10 ⋅ 1,812
g12 ≈ 11568
(1)
g13 = g12 ⋅ 1,8
g13 = 11568 ⋅ 1,8
g13 ≈ 20822
(1)
Petra irrt sich. Erst nach rund 13 Tagen sind über 20 000 Bakterien
vorhanden.
(1)
/5 P.
17
B5 Komplexaufgabe
Schultheater - Lösung
a) Für Eltern verkaufte Eintrittskarten.
144 : 5 = 28,8
(1)
Durchschnittlich wurden 29 (28) Karten für Eltern pro Tag verkauft.
¾ Prozentualer Anteil der in der Woche für Schüler, Eltern und Lehrer verkauften
Karten.
Summe = 180 + 144 + 36 = 360
180 ⋅ 100
pSchüler =
% = 50%
360
144 ⋅ 100
pEltern =
% = 40%
360
pLehrer = 100% − 50% − 40% = 10%
(1)
(1)
(1)
¾ Kreisdiagramm
−
−
−
Zeichnung entspricht im Wesentlichen den Anforderungen (Größe und Prinzip der
Kreisgrafik richtig, 50%-Sektor richtig, die anderen beiden Sektoren wenigstens
(1)
annähernd richtig)
komplett richtige Aufteilung in die Sektoren
(1)
(1)
richtige Beschriftung mit % oder Bruch
/7 P.
b) Welche Packungsgröße ist am günstigsten?
Bei den Softdrinks ist die 0,5 Liter - Packungsgröße am günstigsten,
bei den Erdnüssen ist die 125 g - Packungsgröße am günstigsten.
(1)
(1)
/2 P.
18
c) Baumdiagramm für zweimaliges Drehen.
−
Für die Darstellung der zwei Ebenen mit 2 mal 3 Zweigen:
(1)
−
Für die sinnvolle Beschriftung der Knoten und Enden:
(1)
−
Für die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen der Stufe 1:
(1)
−
Für die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen der Stufe 2:
(1)
Die Angabe der Wahrscheinlichkeiten am Ende der Pfade ist hier
gemäß Auftrag nicht erforderlich.
¾ Wahrscheinlichkeit nacheinander zweimal Gelb zu treffen.
5 5
25
p2gelb =
⋅
=
≈ 0,098 = 9,8%
(1)
16 16 256
Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 gelbe Felder nacheinander getroffen werden ist
25
gleich
.
256
¾ Wahrscheinlichkeit nacheinander Gelb und Rot zu treffen..
5 2
20
5
⋅
=
=
≈ 0,078 = 7,8%
(1)
16 16 256 64
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gelbes und ein rotes Feld nacheinander getroffen
5
werden ist gleich
(Auch der ungekürzte Bruch wird akzeptiert.).
64
2⋅
/6 P.
19
Zusatzaufgabe
Lego – Pyramide – Lösung
a) Skizziere den Aufbau der 5.Schicht.
/1 P.
b) Ergänze die Tabelle.
Nummer der Anzahl der
Schicht
Steine für
von oben
die Schicht
Anzahl der Steine
an einer Seite
der Schicht
1. Schicht
2
1
2. Schicht
4
1,5
3. Schicht
6
2
4. Schicht
8
2,5
n. Schicht
2⋅n
n 1
n +1
+ oder
2 2
2
(2)
99. Schicht
198
50
(2)
100. Schicht
200
50,5
(2)
Die Punkte für die richtigen Einträge bei der 99. und 100. Schicht gibt es nur bei
nachvollziehbaren Erklärungen oder Rechnungen.
Erläuterung zu 99: (z.B.)
Berechnung der Anzahl der Steine in der 99. Schicht:
Ich habe die Formel 2 ⋅ n benutzt.
oder:
Ich habe zuerst die 100. Schicht berechnet und dann 2 Steine abgezogen.
Berechnung der Anzahl der Steine für eine Seite der 99. Schicht:
20
Ich habe die Formel
n +1
benutzt.
2
oder:
Ich habe die Nummer der Schicht halbiert und zur Anzahl der Steine einen
halben Stein dazu addiert.
Erläuterung zu 100: (z.B.)
Berechnung der Anzahl der Steine in der 100. Schicht:
Für die Berechnung der Anzahl der Steine in der 100. Schicht habe ich die
Formel 2 ⋅ n benutzt.
oder:
Ich habe 2 ⋅ 50 Steine und dann noch 2 ⋅ 49 addiert, weil an zwei Seiten ja
immer ein Stein weniger gebraucht wird.
Berechnung der Anzahl der Steine für eine Seite der 100. Schicht:
Ich habe die Formel
n +1
benutzt.
2
oder:
Ich habe zu dem Wert für die 99. Schicht einen halben Stein dazu addiert.
/6 P.
c) Für die Bestimmung der Anzahl der Steine für eine Pyramide mit n-Schichten
kann man bspw. die Methode von Gauß anwenden.
Anzahl der Steine für eine Pyramide mit n-Schichten
= 2 + 4 + 6 + ... + 2n
⎛ 2n ⎛ 2n
⎞⎞
= (2 + 2n ) + ( 4 + (2n − 2 ) ) + ... + ⎜
+⎜
+ 2⎟⎟
⎝ 2
⎠⎠
⎝ 2
= (2 + 2n ) + (2 + 2n ) + ... + (2 + 2n )
(1)
(1)
(1)
n
Summanden
2
= (2 + 2n ) ⋅
n
2
(1)
n
n
+ 2n ⋅
2
2
2
=n+n
= 2⋅
(1)
= n ⋅ ( n + 1)
/5 P.
21
d) Berechnung des Pyramidenvolumens.
Die Grundkante der Pyramide mit n = 100 Schichten besteht aus
n + 1 100 + 1
=
= 50,5 Steinen.
2
2
Damit ergibt sich für die Seitenlänge s und die Höhe h:
s = 50,5 ⋅ 32 mm = 1616 mm
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
≈ 162 cm ≈ 1,62 m
h = 101 ⋅ 10 mm = 1010 mm
= 101 cm = 1,01 m
1
⋅G ⋅h
3
1
≈ ⋅ 1,622 ⋅ 1,01 m3
3
≈ 0,884 m3
(1)
V Pyramide =
V Pyramide
V Pyramide
(1)
(1)
Das Volumen beträgt rd. 0,884 m3.
/3 P.
22
23
24