Analysis I / Lineare Algebra 1

- ANALYSIS I +++
Zusammenfassung der Analysis I
für die Diplomstudiengänge Inf/WInf
im WS2003/04
an der Technischen Universität Darmstadt, TUD
Andreas Schwarzkopf
9. März 2004
1
Inhaltsverzeichnis
1 Zahlen, Induktion, Mengen
4
1.1
Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Körper und Anordnung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Der Absolutbetrag
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Peano Axiome
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.6
Mengen, Mengenaxiome, Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.7
Mächtigkeit der Potenzmenge #
℘
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Die reellen Zahlen und etwas Kombinatorik
5
5
2.1
k aus n - elementigen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Schranke, Supremum, Maximum
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Vollständigkeit von
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Binomische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.5
Die geometrische Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.6
Archimedisches Prinzip
6
2.7
Bernoulli'sche Ungleichung
R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Folgen und Reihen
6
6
3.1
Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2
Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.3
Häufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.4
Konvergente Folge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.5
Beschränkte Folge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.6
Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.7
Divergenz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.8
Teilfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.9
Teilkonvergenz
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Bolzano-Weierstrass
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.11 Anmerkung Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.12 Cauchy-Folge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.13 Reihe
3.14 Die Geometrische Reihe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.15 Die harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4 Konvergenzkriterien für Reihen
8
4.1
Leibnitzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.2
Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.3
Denition Fast alle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.4
Majorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.5
Quotientenkriterium
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.6
Wurzelkriterium
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.7
Verdichtungssatz von Cauchy
4.8
Exponentialreihe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
5 Stetige Funktionen
9
5.1
Stetig
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Lipschitz-stetig
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
5.3
Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
5.4
Weierstrass
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
5.5
Funktionenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
5.6
Stetigkeit von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7
Potenzreihe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
5.8
Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
5.9
Exponentialfunktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5.10 Cauchy - Produkt
5.11 Exponentialwachstum
9
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5.12 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5.12.1 Die Trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2
5.12.2 Rechenregeln
5.12.3 Die Zahl
π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
6 Integration
12
6.1
Beschränktheit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
6.2
Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
6.3
Supremumsnorm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
6.4
Cauchy-Folge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
6.5
Zerlegung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
6.6
Stufenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
6.7
Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
6.8
Integrationsoperator
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
6.9
Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6.10 Numerische Integration
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6.11 Hierarchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6.12 Monotonie des Integrals
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13 Mittelwertsatz der Integralrechnung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Dierentiation
14
14
7.1
Dierentiation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
7.2
Einschränkung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
7.3
Dierenzierbarkeit
7.4
Ableitungsregeln
7.5
Satz von Rolle
7.6
Mittelwertsatz der Dierentialrechnung:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
7.7
Folgerungen (Dierentialrechnung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
7.8
Ck
16
- Funktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Die Hauptsätze der Dierential- und Integralrechnung
16
8.1
Dierentialrechnung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
8.2
I. Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
8.3
II. Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
8.4
Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
8.5
Dierenzieren von Funktionsfolgen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
8.6
Tabelle mit Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
8.7
Partielle Integration
17
8.8
Integration durch Substitution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
8.9
Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
8.10 Integralvergleichs - Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1 Zahlen, Induktion, Mengen
1.1
Körper
Ein Körper besteht aus einer Menge, zwei ausgezeichneten Elementen 0 und 1 (die neutralen Elemente
der schwachen und starken Verknüpfung) sowie einer starken und schwachen Verknüpfung, die zwei Elementen der Menge eindeutig ein weiteres Element der Menge zuordnet (→ Abgeschlossenheit).
(K, 0, 1, +, ·) ist ein Körper, wenn gilt:
1.2
+, -
Verknüpfungen sind abgeschlossen
(K+), (K·), (A+), (A·), (D)
Kommutativ- / Assoziativ- / Distributiv
(N+), (N·), (I+), (I·)
Existenz inverser / neutraler Elemente
Ordnung
Eine Ordnung < ist eine zweistellige Relation
1.3
(O1)
Es gilt entweder x = y oder x < y oder y < x
(O2)
Wenn gilt x < y und y < z so gilt auch x < z
Körper und Anordnung
Ein Körper K (K, 0, 1, +, ·, <) ist angeordnet, wenn < eine Ordnung auf K ist mit:
(OK+)
wenn x < y dann: x + z < y + z
(OK·)
wenn x < y und 0 < z dann: x
·
z < y
·
z
Jeder angeordnete Körper (AK) ist unendlich.
1.4
Der Absolutbetrag
Der Absolutbetrag (Betrag) eines Elements x eines AK ist:

 x
0
|x| =

−x
1.5
·
y |
= |x|
·
falls
falls
falls
(i)
| x
(ii)
| x |
(iii)
| x + y | = |x| + |y| (Dreiecksungleichung)
(iv)
| x - y |
x>0
x=0
x<0
|y|
= |-x|
= |x| - |y|
Peano Axiome
s( ) ist die Nachfolger Operation; s(n) = n + 1
→
→
(P1)
es gibt kein s(n) = 0
(P2)
ist s(n) = s(m), dann ist n = m
(P3)
ist X' eine Teilmenge von
z.B. s(0) = 1
0 ist kein Nachfolger
N
mit 0
( Man kann keine Teilmenge von
∈
N
X' und gilt x
∈
X'
→
nden, die s( ) erfüllt )
P3 heiÿt Axiom der vollständigen Induktion.
4
s(x)
∈
X' so ist X' =
N
1.6
Mengen, Mengenaxiome, Potenzmenge
Mengen sind Zusammenfassungen gewisser Elemente (ihrerseits wiederum Mengen).
Sind A und B Mengen und gilt für jedes x
∈
A auch x
∈
B so gilt A
⊆
B (A ist Teilmenge)
Zomelo-Fraenkel Axiome:
(Ex)
Existenz - es gibt Mengen
(Ext)
Extensionalität: x = y wenn x und y gleiche Elemente haben
(Aus)
Aussonderung: Ist
ϕ
eine Eigenschaft, so ist auch Z={x
∈
→
x
⊆
X | x hat
⊆
y, y
ϕ}
(Paar)
Paarmengenaxiom: Sind A, B Mengen so auch {A, B}
(Ver)
Vereinigungsmengenaxiom: A
(Pot)
Potenzmengenaxiom: die Teilmengen einer Menge bilden die Potenzmenge
(Fund) Fundierungsaxiom: Ist X
(Inf )
6=
∪
B und A
∩
B sind Mengen (∪ oder -
{ } eine Menge, so gibt es ein a
∈
∩
X mit a
x
eine Menge
und )
∩
℘
x = { }
Innit - Unendlichkeitsaxiom: Es gibt unendliche Mengen
"(Paar) bezieht sich auf Mengen, (Ver) auf deren Elemente"
"X kann nicht Element X sein"
Die leere Menge ist
φ
= { }
→
für jedes x gilt also x
3
{ }
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. (Auch der leeren Menge!) (Teilmenge
1.7
Mächtigkeit der Potenzmenge #
Habe A genau n Elemente: #A = n
6=
Element)
℘
⇒ #℘(A) = 2n
2 Die reellen Zahlen und etwas Kombinatorik
2.1
Für k
k aus n - elementigen Mengen
≤
n ist die Anzahl der k - elementigen Teilmengen einer n - elementigen Menge der Binomialkoef-
zient
2.2
n
k
=
n!
k! · (n − k)!
Schranke, Supremum, Maximum
(obere- deniere analog dazu untere)
Ist A eine Teilmenge eines angeordneten Körpers und gilt für jedes x
∈
A, dass x
≤
z, so ist z eine obere
Schranke von A.
Die kleinste obere Schranke heiÿt Supremum. Die gröÿte untere Schranke heiÿt Inmum.
Das Supremum/Inmum kann, muss aber nicht Element von A sein.
Gehört es dazu, ist es ein Maximum/Minimum.
Schreibe: sup(A), inf(A) bzw. max(A), min(A)
2.3
Vollständigkeit von
R
Ist A eine Menge von Zahlen mit einer oberen und unteren Schranke, so hat A ein Supremum bzw.
Inmum in
R
. Man sagt:
R
ist vollständig. Jeder AK, der in diesem Sinne vollständig ist, ist zu
isomorph (= hat die gleiche Gestalt).
2.4
Binomische Formel
Es gilt für alle n
∈
N
und alle Zahlen a, b
(a + b)n =
n X
n
an−k · bk
k
k=0
5
R
2.5
Sei x
Die geometrische Summe
6=
1
n
X
xk = 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn =
k=0
2.6
2.7
Archimedisches Prinzip
R
R
R
∈
∈
s ∈
(i)
zu jedem r
(ii)
zu allen r, s
(iii)
zu allen x,
gibt es ein n
∈
N
1 − xn+1
1−x
mit r < n
mit 0 < s gibt es ein n
mit x < s gibt es ein n
∈
∈
N
N
mit r < s·n
mit
x+
1
n < s
Bernoulli'sche Ungleichung
Für x > -1 und n
∈
N
gilt stets
(1 + x)n ≥ 1 + x · n
3 Folgen und Reihen
3.1
Folge
Eine Folge (reeller) Zahlen ist eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl n ein Folgenglied
Schreibe:
3.2
(an )n∈N
an
zuordnet.
Grenzwert
Eine Zahl a heiÿt Grenzwert (Limes) der Folge
Zu jedem
ε
> 0 gibt es ein N
≥
(an )n∈N , wenn gilt:
≥ N gilt:
Nε , so dass für alle k
|ak − a| < ε
Schreibe:
lim (an ) = a
n→∞
Grenzwert: Sind
an
und
bn
beschränkte Folgen, so gilt:
lim (an + bn ) = a + b
n→∞
lim (an · bn ) = a · b
n→∞
Sei
an 6= 0
Dann gilt:
3.3
für alle n. Sei
lim( a1n ) =
a 6= 0.
1
a
Häufungspunkt
Eine Zahl a heiÿt Häufungspunkt der Folge
(an )n∈N ,
{k ∈
falls für jedes
ε
> 0 die Menge
N ||ak − a| < ε }
unendlich ist.
D.h. ab einem gewissen k liegen unendlich viele Folgenglieder in der untersuchten
Zum Beispiel haben alternierende Folgen oft 2 Häufungspunkte.
Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt.
6
ε-Umgebung.
3.4
Konvergente Folge
Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt. Daraus folgt insbesondere, dass nur ein Grenzwert vorhanden ist.
3.5
Beschränkte Folge
Eine Folge
(an )n∈N
heiÿt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl r
|ak | ≤ r
für alle k
∈
N
∈
R
gibt, so dass:
(d.h. : −r ≤ |ak | ≤ r)
.
Jede Konvergente Folge ist beschränkt.
3.6
Monotonie
Eine Folge
(an )n∈N
heiÿt (streng) monoton steigend, wenn gilt:
an < an+1
Für alle n gilt
(bzw.
an ≤ an+1
)
(Analog dazu: (streng) monoton fallend)
Eine monotone und beschränkte Folge konvergiert.
3.7
Divergenz
Eine Folge ist divergent, wenn gilt:
Es gibt zu jedem r
∈
R
ein Nr
∈
N
, so dass für k
≥ Nr
gilt:
|ak | > r
Schreibe:
3.8
limn (an ) = ∞
bzw.
limn (an ) = −∞
Teilfolge
(an )n∈N eine Folge und ist (nk )k∈N
(ank )k∈N eine Teilfolge von (an )n∈N .
Ist
3.9
eine Folge natürlicher Zahlen mit
n0 < n1 < n2 < . . .,
dann ist
Teilkonvergenz
Ist a ein Häufungspunkt der Folge
3.10
(an )n∈N ,
so gibt es eine Teilfolge, die gegen a konvergiert.
Bolzano-Weierstrass
Jede beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungspunkt.
Der gröÿte H.P. einer solchen Folge heiÿt limes superior. (
limn sup an )
limn inf an )
Der kleinste H.P. einer solchen Folge heiÿt limes inferior. (
3.11
Anmerkung Folgen
Es ist erlaubt, konvergierende Folgen statt mit
ε
auch mit
k·ε
abzuschätzen. Es können sowohl reelle,
als auch rationale Zahlen genutzt werden.
3.12
Cauchy-Folge
Eine Folge heiÿt Cauchy-Folge (auch Fundamentalfolge), wenn eine der beiden gleichwertigen Bedingungen erfüllt ist:
(1) zu jedem
(2) zu jedem
ε>0
ε>0
gibt es ein
gibt es ein
Nε ∈
Nε ∈
N
N
, so daÿ
für alle k, l
, so daÿ
für k
≥ Nε
≥ Nε
gilt:
gilt:
|ak − al | < ε
|ak − aNε | < ε
(Diese Art der Beschreibung von Konvergenz kommt ohne Limes aus - es wird der Abstand zweier
Folgenglieder genutzt. . .)
Äquivalent:
"Die Folge (an )n∈N ist konvergent."⇔ "Die Folge(an )n∈N ist eine Cauchy-Folge."
7
3.13
Reihe
Die Aufsummierung einer Folge
(an )n∈N
in der Form:
(sn )n∈N =
n
X
ak
k=0
Die Folgenglieder heiÿen Partialsummen.
3.14
Die Geometrische Reihe
∞
X
Für q = 1 divergent.
qk
Für q = 0 konvergent.
k=0
3.15
Für |q| < 1 gilt:
P∞
k=0
qk =
1
1−q
Die harmonische Reihe
Die harmonische Reihe ist divergent.
∞
X
1
k
Wenn eine Reihe konvergiert muss die Folge eine Nullfolge sein.
Der Umkehrschluss ist jedoch falsch, wie hier gesehen:
k=1
ak =
1
k ist konvergent, die Reihe jedoch nicht.
4 Konvergenzkriterien für Reihen
4.1
Ist
Leibnitzkriterium
(an )n∈N
streng monoton fallend, so konvergiert die Reihe
∞
X
(−1)k · ak
k=0
4.2
Absolute Konvergenz
P∞
n=0 an heiÿt absolut konvergent, wenn
Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent.
Eine Reihe
(absolut konvergent
4.3
⇒
P∞
n=0
|an |
konvergent ist. (→ Anti-Leibnitz)
konvergent)
Denition Fast alle
Eine Eigenschaft trit auf fast alle natürlichen Zahlen zu, wenn sie nur für endlich viele nicht zutrit.
4.4
Ist
(→
k=0 mk konvergent und |an | ≤ mn für fast alle
und damit insbesondere konvergent! )
4.5
Sei
Majorantenkriterium
P∞
an 6= 0
für fast alle n:
an+1
an
≤q
p
|an | ≤ q
P∞
n=0
an
absolut konvergent.
so konvergiert die Reihe
P∞
n=0
an
absolut.
für (fast) alle n, so konvergiert die Reihe
P∞
n=0
an
absolut.
Verdichtungssatz von Cauchy
an ≥ 0 für
n, und ist die Folge (an )n∈N
Palle
∞
n
dann, wenn
n=0 2 · a2n konvergiert.
Ist
, dann ist
Wurzelkriterium
Gibt es ein q mit 0 < q < 1, so dass
4.7
N
Quotientenkriterium
Gibt es ein q mit 0 < q < 1, so dass
4.6
n∈
monoton fallend, so konvergiert die Reihe
8
P∞
n=0
an
genau
4.8
Exponentialreihe
Für jedes
x∈
R
konvergiert die Reihe
P∞
1 k
n=0 k! x absolut.
5 Stetige Funktionen
5.1
Sei
Stetig
X⊆
R
R
eine Menge von reellen Zahlen (z.B.: X =
Dann heiÿt f stetig, wenn folgendes gilt:
Für jede Folge
xn
in X (d.h.
xk ∈ X
für alle
k∈
f :X→
) und
N
), die gegen
x∈X
R
eine Abbildung.
konvergiert gilt:
f (x) = lim f (xn )
n
Sind f und g stetig, so sind auch
f + g = [x → f (x) + g(x)]
und
f · g = [x → f (x) · g(x)]
stetig. Insbesondere sind alle Polynomfunktionen stetig!
→ p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn
Die Menge aller stetigen Funktionen ist C(x,
(C
→
5.2
Sei
) = { f : x
→
R
| f ist stetig }
Lipschitz-stetig
Eine Funktion heiÿt
5.3
R
Continuous ; C ist ein Ring (es fehlen multiplikative Inverse, falls die Funktion die 0 schneidet...)
Lipschitz-stetig, wenn es ein i ∈ R gibt mit |x − y| · i = f (x) − f (y)
Zwischenwertsatz
f :x→
R
auf dem Intervall J stetig. Sei a, b
∈
J mit f(a) < f(b).
Zu jedem y mit f(a) < y < f(b) gibt es ein x zwischen a und b mit f(x) = y
5.4
Ist
Weierstrass
J = [a, b]
ein abgeschlossenes Intervall und ist f : J
f(J) = { f(x) | x
∈
→
R
stetig, dann ist die Menge
J } wieder ein abgeschlossenes Intervall f(J) = [c, d]
Insbesondere nimmt f(x) ein Maximum und ein Minimum an;
d.h. es gibt ein u, v
5.5
Sei X
∈
J mit f(u) = c und f(v) = d also:
Funktionenfolge
⊆
R
, sei
fn
eine Funktionenfolge (fn
(fn )n∈N konvergiert punktweise
x ∈ X ist limn fn (x) = f (x)
Wir sagen
für alle
:X→
für jedes
n∈
gegen eine Funktion
N
, Bsp.:
f :x→
N
f4 (3) = 5)
R
(fn )n∈N konvergiert gleichmäÿig gegen eine Funktion f : x →
ε > 0 existiert ein Nε ∈ mit |fn (x) − f (x)| < ε für alle x ∈ X ,
Wir sagen
Zu jedem
R
f (u) ≤ f (x) ≤ f (v)
, wenn gilt:
R
, wenn gilt:
alle
n ≥ Nε .
Gleichmäÿige Konvergenz impliziert also punktweise Konvergenz.
5.6
Stetigkeit von Funktionenfolgen
Konvergiert die Folge
stetig.
(fn )n∈N
gleichmäÿig gegen die Funktion f und sind alle
9
fn
stetig, so ist auch f
5.7
Sei
Potenzreihe
(an )n∈N
eine Folge. Die Potenzreihe ist eine Folge stetiger Funktionen:
k
X
Pk (x) =
n
an · x
bzw.
(Pk )k∈N =
n=0
5.8
∞
X
an · xn
n=0
Konvergenzradius
Betrachte die Reihe:
∞
X
an · xn
n=0
Für eine Folge
an
und ein gegebenes x konvergiert diese Reihe, wenn |x| < R ist.
Diese Reihe konvergiert gleichmäÿig gegen eine stetige Funktion, die ebenfalls mit
bezeichnet wird, wenn x im Intervall
[−r, r]
P∞
n=0
an · xn
liegt - wobei r < R gilt.
R nennt sich Konvergenzradius der Reihe.
Es gilt:
Und:
R=
1
L falls L
6=
0, R = 0 falls L =
∞,
R =
∞,
falls L = 0
p
L = limn sup( 2 |an |)
Anschaulich:
"Die Reihe konvergiert nur, wenn an · xn eine Nullfolge ist. Dazu muss zumindest einer der beiden Faktoren mit
einem Wert kleiner 1 konvergieren, wenn das gesamte Produkt nach 0 konvergieren soll. → gut zu sehen: der
Bruch um das R aus L zu errechnen. Ist nämlich L ein Wert gröÿer 1 wird R kleiner 1 du umgekehrt. Nur wenn
x im Bereich -R bis +R liegt ist es klein genug um die Reihe konvergieren zu lassen."
Die Reihe ist für |x| < R konvergent, für |x| > R divergent, für |x| = R kann keine allgemeine Aussage
getroen werden.
5.9
Exponentialfunktion
exp(x) =
Hier ist
p 1
L = limn sup( ( n!
)) = 0
und damit
∞
X
1
· xn
n!
n=0
R = ∞.
Das heiÿt der Konvergenzradius ist unbeschränkt.
Die Exponentialreihe konvergiert für jedes x gegen exp(x).
Die Exponentialfunktion ist ein Homomorphismus von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die
multiplikative Gruppe der reellen Zahlen. Es gilt:
1.
exp(0) = 1
2.
exp(−x) =
3.
exp(x + y) = exp(x) · exp(y)
1
exp(x)
Weiterhin läÿt sich folgendes feststellen:
1. Die Exponentialfunktion ist streng monoton steigend.
2. exp(1) = 1 + 1 +
1
2
3. exp(z) > 0 für alle
z∈
+ . . . ≈ 2, 7
R
4. exp(n) > 1 + n für alle
⇒
N−→
x∈R
n∈
5. zu jedem y > 0 gibt es ein
(Eulersche Zahl)
(exp(n) =
1 + n + 21 n2 + . . .
> 1 + n)
mit y = exp(x) (→ Zwischenwertsatz!)
schreibe x = ln(y)
10
ln() ist die Logarithmusfunktion, die für alle positiven Zahlen deniert ist.
ln:
]0, ∞[→
R
Für y, z > 0 gilt analog zum Exponentialhomomorphismus umgekehrt:
ln(y
· z)
= ln(y) + ln(z)
6. Man setzt e = exp(1)
≈
2,7 und schreibt: exp(x) =
ex
Für andere Basen gilt:
für a > 0 und
R
x∈
gilt:
ax = exp(x · ln(a))
für a, x > 0 gilt:
lna (x) =
5.10
ln(x)
ln(a)
Cauchy - Produkt
Das Cauchy - Produkt wird deniert durch
cn =
n
X
ak · bn−k = a
k=0
Produkt
5.11
P∞
P∞
n=0 an und
n=0 bn absolut gegen a und b, so konvergiert das Cauchy c
absolut
gegen
c
=
a
·
b.
n
n=0
Konvergieren die Reihen
P∞
Exponentialwachstum
Für jedes Polynom
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn
lim =
k
gilt:
exp(k)
=∞
|p(k)|
Die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom - zumindest für groÿe k. ln(k)
lim = √
=0
n
k
k
Die Logarithmusfunktion wächst langsamer als jede Wurzelfunktion. 5.12
Trigonometrie
5.12.1 Die Trigonometrischen Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen sind deniert durch:
cos(x) =
sin(x) =
∞
X
(−1)n
n=0
∞
X
(−1)n
n=0
x2n
(2n)!
x2n+1
(2n + 1)!
Mit dem Quotientenkriterium sieht man schnell, dass beide Reihen für alle
5.12.2 Rechenregeln
Es gilt:
1.
cos(0) = 1, sin(0) = 0
2.
sin(x)2 + cos(x)2 = 1
3.
sin(x + y) = sin(x) · cos(y) + cos(x) · sin(y)
4.
cos(x + y) = cos(x) · cos(y) − sin(x) · sin(y)
11
x∈
R
konvergieren.
5.12.3 Die Zahl π
π wir denieren die Zahl π folgt:
π
ist die kleinste positive Nullstelle des Cosinus.
2
Denition
Man überlegt sich, dass
cos∞ ()
cos1 (x)
und
cos2 (x)
(jeweils die Reihe mit nur 2 bzw. 3 Elementen die richtige
- Funktion zu klein bzw. zu groÿ abschätzen.
Der cos - Graph liegt also zwischen
c1 (x) < cos(x) < c2 (x)
c1
und
c2 .
Da aber sowohl
c1
als auch
c2
Nullstellen haben und
gilt, muss nach dem Zwischenwertsatz auch der cos - Graph eine Nullstelle da-
zwischen haben.
6 Integration
6.1
Sei
Beschränktheit von Funktionen
x⊆
R
R
(z.B. ganz
f :x→
Eine Funktion
x∈X
oder ein Intervall auf
R
R
)
Die Menge aller beschränkten Funktionen X heiÿt B(X,
Sind f und g beschränkte Funktionen und ist
R
·
(c + d)
·
(c
d)
∈
B(X,
R
) und c, d
f = cf + df
·
f = c
Es gilt stets: c·f + d·g
B(X,
|f (x)| ≤ k
für alle
)
c=r·f
⇒ a, b, c ∈ B(X,
R)
·
(d
·
R)
∈ B(X,
∈
R
gilt:
(f + g) + h = f + (g + h)
(f + g) = (g + f )
f)
(-1)·f + f = 0
(c + d) + f = c + (d + f )
Man nennt
gibt, so dass
so gilt:
(f + g) = cf + cg
·
R
R
) der beschränkten Funktionen auf x ist durch die Addition und Multiplikation ein
reeller Vektorraum, d.h. für alle f, g, h
c
R
r∈
b = f · g,
a = f + g,
Die Menge B(X,
k ∈
heiÿt beschränkt, wenn es eine Zahl
Wobei 0 die Nullfunktion ist.
R)
Ring - zum Körper fehlen nur multiplikative Inverse, denn f(x)
·
g(x) = 1 hat keine
Lösung, wenn f(x) Nullstellen hat.
6.2
Stetige Funktionen
Die stetigen Funktionen C(X,
C(X,
→
R
)
⊆
B(X,
R
)
R
) (continuous ) sind eine Teilmenge der beschränkten Funktionen:
nicht jede beschränkte Funktion ist stetig, aber jede stetige Funktion ist beschränkt.
6.3
Für f
Supremumsnorm
∈
B(X,
R
|| f(x) ||
|| c
·
≥
0
f(x) || = |c|
|| f + g ||
6.4
{|f(x)| |
) denieren wir die Supremumsnorm ||f|| = sup
≤
|| f(x) ||
Cauchy-Folge
Eine Funktionenfolge
mit:
für alle l, m > N gilt:
für alle c
|| f || + || g ||
(fn )n∈N
in B(X,
für alle
R
R
∈ B(X, ),
∈
f, g ∈ B(X,
für alle f
·
R
∈
X
), x
∈
x
R
x
∈
X
}
X
) heiÿt Cauchy-Folge, wenn zu jedem
ε
> 0 ein N
∈
N
existiert
||fl − fm || < ε
Mit anderen Worten: Die Funktionen nähern sich immer weiter aneinander an. Es reicht dazu, dies durch die
Supremumsnorm zu formulieren, da sich so alle Punkte aneinander annähern müssen - würde das nicht so sein,
wäre irgendwann einer dieser Punkte ein neuer Wert für die Supremumsnorm und die Ungleichung würde nicht
12
für beliebige Annäherung erfüllt.
Die Folge
(fn )n∈N
konvergiert gegen f in B(X,
(fn )n∈N
diese Bedingung sagt genau, dass
Umgekehrt ergibt sich:
(fn )n∈N
Ist
6.5
), falls:
limn ||fn − f || = 0
R
eine Cauchy Folge in B(X,
Man schreibt:
R
gleichmäÿig gegen f konvergiert.
), dann gibt es ein f
f = limn fn
∈
B(X,
R
) mit
limn ||fn − f || = 0
Zerlegung
{a = s0 < s1 < s2 < s3 < . . . < sk = b} heiÿt Zerlegung (der Länge k) von
Z1 wird von einer Zerlegung Z2 verfeinert, wenn gilt: Z1 ⊆ Z2
Z0 und Z1 Zerlegungen, so auch Z2 = Z0 ∪ Z1 (Vereinigung) und es gilt Z0 ⊆ Z2
Eine Menge
x = [a, b].
Eine Zerlegung
Sind
und
Z1 ⊆ Z2
Es gibt immer eine gemeinsame Verfeinerung zweier Zerlegungen. 6.6
Stufenfunktionen
Auch Treppenfunktion. Stufenfunktionen sind beschränkt.
Die Menge Step(X,
R
) aller Stufenfunktionen ist ein Untervektorraum von B(X,
Das Integral einer Stufenfunktion f
R
∈ step(X,
ist deniert als:
) bezüglich einer Zerlegung
R
).
Z = s0 < s1 < s2 < s3 < . . . < sk
Also die Breite (sj −sj−1 ) einer Stufe multipliziert mit ihrer Höhe. Die Höhe ergibt
b
Z
f (x) =
a
k
X
(sj − sj−1 ) · dk =
k
X
(sj − sj−1 ) · f
j=1
j=1
sj + sj−1
2
sich durch den Funktionswert an der Stelle
1
· (sj + sj+1 ) - also die Mitte der Stufe.
2
Beachte: Flächen unter der x-Achse zählt
negativ!
Z1 und ist Z2 eine Verfeinerung
{t0 < t1 < t2 < t3 < . . . < tk } ist
Ist f eine Stufenfunktion bezüglich einer Zerlegung
Für
k
X
Z1
=
{s0 < s1 < s2 < s3 < . . . < sk } ⊆ Z2
(sj − sj−1 ) · f
j=1
6.7
sj + sj−1
2
=
k
X
(tj − tj−1 ) · f
j=1
Regelfunktion
Eine Beschränkte Funktion
=
f ∈ B(X,
R)
tj + tj−1
2
D.h. der Ausdruck
heiÿt Regelfunktion, wenn es eine Folge
Die Menge aller Regelfunktionen ist ein Untervektorraum von B(X,
Step(X,
R
)
⊆
Reg(X,
R
)
$
R
B(X,
Auf einem abgeschlossenen Intervall
)
[a, b]
Z1 ,
so gilt:
Rb
f(x) hängt nicht von
a
der gewählten Zerlegung ab.
funktionen gibt, die gleichmäÿig gegen f konvergiert.
→
von
(fn )n∈N
von Stufen-
R
)
ist jede stetige Funktion auch eine Regelfunktion.
Zu den Regelfunktionen gehören die Treppenfunktionen und die stückweise stetigen Funktionen.
Regelfunktionen sind eine echte Teilmenge der beschränkten Funktionen.
Rb
Rb
Rb
Sind f, g Regelfunktionen, so ist auch f · g eine Regelfunktion. Im Allgemeinen ist a f g 6= a f · a g
Sind
f, g ∈ Reg(X,
6.8
R)
und gilt
f (x) ≤ g(x)
Integrationsoperator
Es gilt für
Rb
a
Rb
f, g ∈ Step(X,
(f + g)(x)dx =
Rb
a
Rb
R)
und
f (x)dx +
c∈
R
Rb
g(x)dx
a
für alle
c · f (x)dx = c · a f (x)dx
R
R
b
b
a f (x)dx ≤ a |f (x)|dx ≤ ||f || · (b − a)
a
x ∈ X,
so schreiben wir
f ≤g
Mit anderen Worten:
Der Integrationsoperator Step (X,
f
→
R
f(x)dx
R
)
→
R
ist eine lineare Abbildung - man sagt auch ein lineares Funktional.
13
6.9
Riemann-Integral
Für eine Regelfunktion f
∈ Reg(X,
R)
denieren wir das Riemann - Integral
b
Z
Z
b
gn (x)dx
f (x)dx = lim
n
a
a
N eine beliebige Folge von Stufenfunktionen ist, die gleichmäÿig gegen f konvergiert.
wobei (gn )n∈
6.10
Sei f :
Numerische Integration
[a, b] →
R
∈
stetig. Für N
N
tk,N = a + k ·
setze
SN =
b−a
2 und betrachte
N −1
b−a X
f (tk )
N
k=0
N →∞
Für
konvergiert
SN
gegen
Rb
a
f (x)dx,
also ist
SN
für groÿe N eine gute Approximation für das
Integral.
6.11
Hierarchie
In der Klasse der beschränkten Funktionen
haben wir folgende Hierarchie:
Diese sechs Klassen von Funktionen bilden
jeweils reelle Vektorräume. Das Integral ist
eine lineare Abbildung in die reellen Zahlen
auf den unteren fünf Funktionsklassen.
6.12
Es gilt
Monotonie des Integrals
Rb
a
6.13
Sei
f (x)dx ≤
Rb
a
g(x)dx
falls f
≤
g
Mittelwertsatz der Integralrechnung
p ∈ Reg(X,
R)
Dann gibt es ein
, f ∈ C(X,
t ∈ [a, b] mit
R)
mit p(x)
Z
≥
0 für alle
x ∈ X.
b
Z
f (x)p(x)dx = f (t)
a
b
p(x)dx
a
Insbesondere der Spezialfall p(x) = 1 für alle
x∈X
b
Z
f (x)dx = (b − a) · f (t)
a
Man kann ein Rechteck mit gleichem Flächeninhalt nden Breite = Länge des Intervalls und Höhe = besagter Wert f(t)
7 Dierentiation
7.1
Dierentiation
→
t0 ∈ X .
Sei f : x
Sei
R
eine stetige Funktion.
Wir wollen f nahe bei
t0
durch eine Gerade, eine an-lineare Funktion approximieren.
Geradengleichung:
l(t) =
f (t1 ) − f (t0 )
· (t − t0 ) + f (t0 )
t1 − t0
14
⇒
f (t0 ) = l(t0 )
dann gilt:
Für die Dierentiation betrachten wir den Fall:
7.2
Sei
Einschränkung
Y ⊆X⊆
R
f :x→
, sei
R
eine Funktion.
Dann liefert f, eine Funktion auf y, mit
die
Einschränkung
R
f |Y : Y → , Y → f (Y )
Y ⊆ X.
von f auf die Teilmenge
R
g : Y → eine Funktion.
f : x → setzt g fort , falls f
Sei umgekehrt
Man sagt
∆t = t1 − t0 → 0
R
| Y = g
Ist f eine stetige Fortsetzung von g und läuft die Folge
(yn )n∈N
gegen einen Wert x so gilt:
limy→x g(y) = f (x)
7.3
Dierenzierbarkeit
X =]a, b[ ein
f : x → stetig
Sei
R
oenes Intervall
und
Wir sagen f ist in
t0
t0 ∈ X
dierenzierbar, wenn die Funktion p(h) mit
p(h) =
eine stetige Fortsetzung in 0 hat; also
limh→0
p(h) = c =
limh→0
f (t0 + h) − f (t0 )
h
p(h) existiert
f 0 (t0 )
p(h) ist der Dierenzenquotient.
Man sagt f ist im Punkt t0 dierenzierbar
7.4
Ableitungsregeln
Seien f, g in
t0
dierenzierbar.
Folgende Funktionen sind dann ebenfalls in
dierenzierbar:
R
Für c ∈
gilt
c · f : t → c · f (t)
f · g : t → f (t) · g(t)
(f ·g)0 (t0 ) = f 0 (t)·g(t)+f (t)·g 0 (t) (c · f )0 (t0 ) = c · f 0 (t0 )
Die Summe
Das Produkt (Leibnitz-Regel)
f + g : t → f (t) + g(t)
(f + g)0 (t0 ) = f 0 (t0 ) + g 0 (t0 )
Der Quotient
(t)
: t → fg(t)
0
f
(t0 ) =
g
t0
(∀t.g(t) 6= 0)
Die Komposition (Kettenregel)
f
g
f 0 (t0 )g(t0 )−f (t0 )g 0 (t0 )
g(t0 )2
R
f ◦g :X →Y →
(f ◦ g)0 (t0 ) = f 0 (g(t0 )) · g 0 (t0 )
Ist f dierenzierbar in t0 und hat f in t0 ein Extremum, so ist f '(t0 ) = 0.
Merken: Bei den klassischen Mini-Max Aufgaben müssen die Intervallränder - auch wenn dort kein Extremum
vorliegt - ausgerechnet und mit den Werten der Extrema abgeglichen werden!
7.5
Sei
Satz von Rolle
f : [a, b] →
R
Dann gibt es ein
7.6
Ist
stetig, f(a) = f(b), sei f in allen
t0 ∈]a, b[
mit
t ∈]a, b[
dierenzierbar.
f 0 (t0 ) = 0.
Mittelwertsatz der Dierentialrechnung:
f : [a, b] →
R
stetig, und dierenzierbar in allen
f 0 (t0 ) =
t ∈]a, b[,
so gibt es ein
f (b) − f (a)
b−a
15
t0 ∈]a, b[
mit
7.7
Folgerungen (Dierentialrechnung)
a.
gilt f '(t)
≥
0 für alle t
∈ X =]a, b[,
so ist f monoton steigend.
b.
gilt f '(t)
≤
0 für alle t
∈ X =]a, b[,
so ist f monoton fallend.
c.
ist f '(t) = 0 für alle t
d.
ist |f '(t)|
Ck
7.8
Sei X =
≤
∈ X =]a, b[,
k für alle t
so ist f konstant.
∈ X =]a, b[,
so ist f Lipschitz-stetig, |f(u) - f(v)|
≤
k|u-v|
- Funktionen
R
]a, b[, f : x →
Ist f an jeder Stelle
t0 ∈ X
dierenzierbar, so
heiÿt f dierenzierbar.
Die Funktion
Ist
f
0
f 0 : t → f 0 (t)
zusätzlich
stetig,
dierenzierbar oder C
1
heiÿt Ableitung.
so
heiÿt
f0
stetig
Funktion.
Falls f stetig dierenzierbar ist, und falls
f0 : x →
R
stetig ist, so heiÿt f ' zweimal stetig
dierenzierbar, f ist die Ableitung von f '.
Analog deniert man k-mal stetig dierenzierbare Funktionen.
k
C (X,
R
) = {f: X
∈
Vektorraum.
R
| f ist k-mal stetig dierenzierbar } ist mit seinen Rechenregeln ein reeller
Jede Polynomfunktion ist stetig dierenzierbar (Das bleibt auch für Potenzreihen richtig.)
∞
Die Funktionen in C
(X,
R) = ∩k≥1C k (X, R)
heiÿen glatte Funktionen.
Die Rechenregeln für Ableitungen sagen, daÿ der Dierentialoperator
d
dx
: f → f 0,
der jeder Funktion f
die Ableitung f ' zuordnet, eine lineare Abbildung ist.
C k (X,
R)
d
dx
C k−1 (X,
→
R)
8 Die Hauptsätze der Dierential- und Integralrechnung
8.1
Dierentialrechnung
R
[a, b], f : x →
a ≤ u ≤ v ≤ b setze
Sei X =
Für
eine Regelfunktion
f (x)|vu = f (v) − f (u)
Die Einschränkung von f auf
[u, v]
ist eine Regelfunktion, deren Integral wir als
Auÿerdem gilt:
f (x)|vu
=
−f (x)|uv bzw.
Z
v
Für festes
8.2
t0 ∈ [a, b]
betrachte die reelle Funktion
f (x)dx = −
Rt
t0
f (x)dx
mit
F :X→
I. Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung
Sei f:[a, b]
→
R
Rt
t0 ∈ [a, b], F (t) = t0 f (x)dx
t ∈]a, b[ stetig dierenzierbar und
stetig,
Dann ist F in jedem
16
F' = f.
f (x)dx
f (x)dx
v
F (t) =
u
u
Z
u
Rv
R
schreiben.
8.3
II. Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung
Sei F:]a, b[→
Für
R
stetig dierenzierbar.
a<u≤v<b
gilt:
v
Z
F 0 (x)dx = F (x)|vu = F (v) − F (u)
u
8.4
Stammfunktion
Ist F stetig dierenzierbar, mit Ableitung F' = f, so heiÿt F Stammfunktion zu f.
Integrale lösen = Suchen von Stammfunktionen
8.5
Es sei
Wenn
Dierenzieren von Funktionsfolgen
(fn )n∈N
(fn )n∈N
punktweise gegen f:x
gleichmäÿig gegen g:x
Ist
(fn )n∈N
]a, b[.
eine Folge von Funktionen auf X =
→
R
R
→
konvergiert, jedes
fn
stetig dierenzierbar ist und
konvergiert, so ist f stetig dierenzierbar und f ' = g.
(fn0 )n∈N
eine Folge von Funktionen, die gleichmäÿig gegen f konvergiert, so ist
Z
v
n
u
Z
n
f (t) =
P∞
n=0
an tn
v
f (x)dx
u
v
Z
v
fn (x)dx =
lim
Folgerung: Sei
Z
fn (x)dx =
lim
u
f (x)dx
u
eine Potenzreihe, die für alle |t| < R konvergiert. Dann ist
0
f (t) =
∞
X
an+1 (n + 1)tn
n=0
und
t
lim f (x)dx =
0
8.6
∞
X
1
an−1 · tn
n
n=0
Tabelle mit Ableitungen
→
→
f
f'
sin(x)
cos(x)
cos(x)
-sin(x)
xn
nxn−1
exp(x)
sinh(x)
cosh(x)
ln(x)
exp(x)
cosh(x)
sinh(x)
1
x
Liest man die Tabelle rückwärts, erhält man Stammfunktionen.
(z.B.:
8.7
Rv
u
cos(x)dx = sin(x)|vu = sin(v) − sin(u))
Partielle Integration
Der Grundgedanke hinter der Partiellen Integration ist, die Leibnitz-Regel (zum Ableiten) rückwärts
anzuwenden.
Gilt, wenn f und g stetig dierenzierbar sind, denn (f·g)' = f 'g + fg' (Leibnitz-Regel).
Z
b
a
b Z
b
f (x)g(x)dx = f (x)g(x) −
f (x)g 0 (x)
a
0
a
Denn:
Z
a
8.8
b
b
f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) = f (x)g(x)
a
Integration durch Substitution
Die Idee hierbei ist, die Kettenregel rückgängig zu machen:
Z
v
0
Z
0
f (g(x))g (x)dx =
u
a
mit s = g(x), a = g(u), b = g(v)
17
b
f 0 (s)ds
8.9
Uneigentliche Integrale
Um auch Intervalle der Form X =
[a, ∞[, X = ] − ∞, b] und X = ] − ∞, ∞[ integrieren zu können, deniert
man (falls es Sinn macht bzw. falls der Grenzwert existiert):
1.
2.
3.
R∞
f (x)dx = limr→∞
Rr
f (x)dx
Rb
f (x)dx = limr→−∞ r f (x)dx
−∞
R∞
Ra
R∞
f (x)dx = −∞ f (x)dx + a f (x)dx
−∞
a
a
Rb
Ist X = [a, b[ und ist f auf jedem Intervall [a, r] für a < r < b eine Regelfunktion und existiert
limr→b
Rr
a
f (x)dx,
so setzt man
Z
b
Z
f (x)dx = limr→b
a
(Analoge Denition für X =
8.10
]a, b]
bzw. X =
f (x)dx
a
]a, b[)
Integralvergleichs - Kriterium
...
18
r
Index
Abbildung, 13
Grenzwert, 6
Ableitungsregeln, 15
Absolutbetrag, 4
H.P., 6
absolute Konvergenz, 8
Häufungspunkt, 6, 7
alle, 8
harmonische Reihe, 8
Anordnung, 4
Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung,
16, 17
Approximationsgerade, 14
Homomorphismus, 10
Archimedisches Prinzip, 6
Aufsummierung, 8
I. Hauptsatz der Dierential- und Integralrech-
Axiome, 4
nung, 16
II. Hauptsatz der Dierential- und Integralrech-
Bernoulli'sche Ungleichung, 6
nung, 17
beschränkt, 7
Beschränkte Folge, 7
Induktion, 4
Beschränktheit, 12
Inmum, 5
Betrag, 4
Integral, 13, 14, 16
Binomialkoezient, 5
Integration, 12, 14
Binomische Formel, 5
Integrationsoperator, 13
Bolzano-Weierstrass, 7
integrieren, 17
Intervall, 9, 13, 15
Cauchy, 7, 8, 11, 12
Cauchy - Folge, 12
k aus n, 5
Cauchy - Produkt, 11
Körper, 4
Cauchy-Folge, 7
Ketten-Regel, 15
continuous, 16
Kombinatorik, 5
Cosinus, 11
konstant, 16
konvergent, 7
Dierentialrechnung, 16
Konvergente Folge, 7
Dierentiation, 14
Konvergenz, 7, 8
Dierenzenquotient, 15
Konvergenzkriterien, 8
dierenzierbar, 15
Konvergenzradius, 10
Dierenzierbarkeit, 15
Konvergezkriterien, 8
Dierenzieren von Funktionsfolgen, 17
Leibnitz-Regel, 15
Divergenz, 7
Leibnitzkriterium, 8
e, 10
Limes, 6
Einschränkung, 15, 16
limes inferior, 7
exp(), 10
limes superior, 7
Exponentialfunktion, 10
lineare Abbildung, 13, 16
Exponentialreihe, 9
Lipschitz-stetig, 9, 16
Exponentialwachstum, 11
ln(), 10
log(), 10
fast alle, 8
Logarithmus, 10
Fläche, 13
Folge, 6, 7, 12
Mächtigkeit, 5
Folgen, 6, 7
Majorantenkriterium, 8
Fortsetzung, 15
Maximum, 5, 9
Funktionen, 14
Menge, 4
Funktionen - Hierarchie, 14
Mengen, 5
Funktionenfolge, 9
Mengenaxiome, 5
Funktionenfolgen, 9
Minimum, 5, 9
Funktionsfolgen, 17
Mittelwertsatz, 14
Mittelwertsatz der Dierentialrechnung, 15
geometrische Reihe, 8
monoton, 16
Geometrische Summe, 6
Monotonie, 7
Geradengleichung, 14
Monotonie des Integrals, 14
glatte Funktionen, 16
gleichmäÿig, 17
Norm, 12
gleischmäÿige Konvergenz, 9
Numerische Integration, 14
19
Ordnung, 4
Partialsumme, 8
Peano Axiome, 4
Pi, 11
Polynomfunktion, 9
Potenzmenge, 5
Potenzreihe, 10, 17
Produkt, 11
Produkt-Regel, 15
punktweise, 17
punktweise Konvergenz, 9
Quotienten-Regel, 15
Quotientenkriterium, 8
reelle Zahlen, 5
Regelfunktion, 13, 16
Reihe, 810, 17
Reihen, 6
Relation, 4
Riemann - Integral, 14
Rolle, 15
Satz von Rolle, 15
Schranke, 5
Sinus, 11
Stammfunktion, 17
steigend, 16
stetig, 9, 12
stetige Funktionen, 9, 12
Stetigkeit von Funktionenfolgen, 9
Stufenfunktion, 13, 14
Summe, 6, 8
Supremum, 5
Supremumsnorm, 12
Tangente, 14
Teilfolge, 7
Teilkonvergenz, 7
Teilmengen, 5
Treppenfunktionen, 13
Trigonometrie, 11
Untervektorraum, 13
Vektorraum, 14, 16
Verdichtungssatz, 8
Verfeinerung, 13
Vollständigkeit, 5
Wachstum, 7, 11
Weierstrass, 7, 9
Wurzelkriterium, 8
Zerlegung, 13
Zomelo-Fraenkel, 5
Zwischenwertsatz, 9
20