Zeitabhängige periodische Funktionen

Grundlagen der Elektrotechnik
Praktikum Teil 2
Versuch B2/2
„Zeitabhängige periodische Funktionen“
Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE)
Elektrotechnik und Informationstechnik
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Universität Duisburg-Essen
Duisburg, September 2013
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Zeitlich periodische Funktionen . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definitionen wichtiger Größen . . . . . . . . .
1.2 Fourieranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Beispiel: Rechteckpuls . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Messung der Grund– und Oberschwingungen
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1
1
1
5
6
6
2 Messung zeitlich periodischer Funktionen
2.1 Wirkungsweise ausgewählter analoger Messwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Das Drehspulmesswerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Das Dreheisenmesswerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Das Elektrodynamometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Digitale Messgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Praktische Gesichtspunkte bei der Verwendung analoger und digitaler Messgeräte
2.4 Kompensationsmethode zur Messung von Scheitelwerten . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
7
7
8
9
9
11
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3 Versuchsvorbereitung
12
4 Versuchsdurchführung
4.1 Messung zeitlich periodischer Spannungen . . . .
4.1.1 Abschätzung der Messfehler . . . . . . . .
4.1.2 Messung der Mittelwerte, Gleichrichtwerte
4.1.3 Bestimmung der Formfaktoren . . . . . .
4.1.4 Bestimmung der Scheitelwerte . . . . . .
4.2 Messung von Schein- und Wirkleistung . . . . . .
4.3 Spektrum-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
und Effektivwerte
. . . . . . . . . . .
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13
13
13
14
14
15
15
16
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
Zeitabhängige periodische Funktionen
1 Grundlagen
1.1 Zeitlich periodische Funktionen
Eine zeitabhängige Funktion g(t) heißt periodisch mit der Periode T , falls für alle ganzen Zahlen
n = ±1, ±2, . . . die Beziehung
g(t) = g(t + nT )
(1)
gilt. Der Kehrwert der Periode T ist die Frequenz f . Mit der Feststellung, dass eine Funktion periodisch
von der Zeit abhängt, ist keine Aussage über die Form der Zeitabhängigkeit während der Periodendauer
verbunden. Bild 1 zeigt ein Beispiel für eine periodische Funktion.
Eine wichtige spezielle Form zeitlich periodischer Funktionen sind die harmonischen Zeitfunktionen.
Darunter werden Funktion mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit, d.h. Funktionen der Form
g(t) = gb cos(ωt + ϕ0 )
verstanden. gb heißt Scheitelwert oder Amplitude, ω = 2πf bezeichnet die Kreisfrequenz und ϕ0 den
b1 cos(ωt + ϕ0 ).
Nullphasenwinkel. Bild 2 zeigt als Beispiel die harmonische Zeitfunktion u1 (t) = u
1.1.1 Definitionen wichtiger Größen
Zur Beschreibung allgemeiner periodischer Zeitfunktionen werden die im Folgenden definierten Größen
herangezogen.
(a) Der lineare Mittelwert einer mit T periodischen Funktion g(t) ist definiert zu
1
g(t) :=
T
tˆ
0 +T
g(t) d t.
(2)
t0
Die Wahl des Zeitpunktes t0 ist aufgrund der Periodizität beliebig.
(b) Der Gleichrichtwert
1
|g(t)| :=
T
tˆ
0 +T
t0
|g(t)| d t.
(3)
ist der lineare Mittelwert des Betrages von g(t).
g(t) 6
..
..
T
......
......
... .............
... .............
.
.
...
..
... gb ....
...
.
...
..
...
.
.
...
.
...
...
... . ..
... . ....
.
....... ? ..
........ ..
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......
....
...
.
....... ....... ....... ....... ...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
6
u1 (t) 6
-....
....
...
..
...
..
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
....
.
......... ....... ....... ....... .......
....
..
..
...
..
1
..
..
...
..
..
..
T
-...
..
..
...
...
.... .....
..... .....
6
... .....
... .....
... ub
...
..
..
...
...
...
...
...
...
.
.
...
.
... ?
...
..
.
...
... −ϕ0 .....
.
...
...
..
ω
...
.
... ...
.... ..
.......
-
t
Abbildung 1. Periodische Zeitfunktion.
....
..
..
...
..
..
..
...
..
..
..
Abbildung 2. Harmonische Zeitfunktion.
1
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
(c) Der Effektivwert
G :=
q
v
u t +T
u
ˆ0
u1
u
g 2 (t) d t.
g 2 (t) = t
T
(4)
t0
ist der quadratische Mittelwert der Funktion g(t). Er berechnet sich als Wurzel aus dem linearen
Mittelwert des Quadrates der Funktion.
(d) Der Scheitelwert gb ist das Amplitudenmaximum, d.h. das Maximum des Betrages von g(t).
(e) Der Scheitelfaktor
gb
G
gibt das Verhältnis des Scheitelwertes zum Effektivwert an.
(5)
ks :=
(f) Der Formfaktor
kf :=
G
|g(t)|
(6)
ist definiert als Quotient aus Effektivwert und Gleichrichtwert.
Als Beispiel sei die harmonische Zeitfunktion g(t) = A sin(ωt) betrachtet. Für diese Funktion gilt
g(t) = 0
A
|g(t)| =
T
(Mittelwert),
ˆT
| sin(ωt)| d t =
(7)
2A
T
ˆT /2
sin(ωt) d t =
0
0
T
2
v
u
T
u
u A2 ˆ
A
u
sin2 (ωt) d t = √
G=t
0
2
A
π
(Effektivwert),
gb = A
(Scheitelwert),
√
A
√ = 2
ks =
(Scheitelfaktor),
A/ 2
√
A/ 2
π
(Formfaktor).
kf =
= √
A · 2/π
2 2
(Gleichrichtwert),
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Bei der Betrachtung zeitlich periodischer Ströme und Spannungen kommt dem Effektivwert eine große
Bedeutung zu, weil sein Quadrat, unabhängig von der speziellen Form der Zeitabhängigkeit, der in
einem ohmschen Widerstand im zeitlichen Mittel in Wärme umgesetzten Leistung proportional ist
(Herleitung siehe Versuch B1/2).
Das Verständnis der Begriffe Formfaktor und Scheitelfaktor ist für den richtigen Umgang mit elektrischen Messgeräten wichtig. In Wechselspannungs– bzw. Wechselstrom–Messbereichen messen diese
im Allgemeinen den Gleichrichtwert, bringen aber den Effektivwert zur Anzeige. Voraussetzung ist,
dass der Formfaktor der zu messenden Zeitfunktion mit dem der Skalenteilung zugrunde gelegten
Formfaktor für sinusförmige Zeitabhängigkeit übereinstimmt.
Die obigen Definitionen sind gleichermaßen auf beliebige zeitlich periodische Ströme i(t) und Spannungen u(t) anwendbar. Bei den im Folgenden definierten Leistungsgrößen ist darüber hinaus der
Zusammenhang zwischen Stromstärke und Spannung von Bedeutung wie er z.B. an einem linearen,
passiven Zweipol vorliegt (Bild 3). Er kann in seinem Inneren eine beliebige Zusammenschaltung von
ohmschen Widerständen, Kapazitäten, Induktivitäten und Übertragern enthalten.
2
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
. . .◦
. . .◦
Ri
Lj
◦. . .
i(t)
◦
.........................................................................
◦. . .
u(t)
?
◦
............................................................
. . .◦
◦. . .
Ck
Abbildung 3. Linearer Zweipol
(g) Der Momentanwert der Leistung, die von dem Zweipol (Verbraucher) nach Bild 3 aufgenommen
wird, ist definiert als das Produkt
p(t) := u(t)i(t)
(13)
aus der Spannung u(t) über dem Verbraucher und der Stärke des hineinfließenden Stromes
i(t). Da Kapazitäten und Induktivitäten Energiespeicher sind, also Energie aufnehmen aber
auch wieder abgeben können, kann der Momentanwert der aufgenommen Leistung positiv oder
negativ sein. Als Produkt zweier periodischer Funktionen ist er wieder eine zeitlich periodische
Funktion. Speziell für einen zeitlich harmonischen Strom
i(t) = bı cos(ωt)
(14)
b cos(ωt + ϕ)
u(t) = u
(15)
und eine um den Phasenwinkel ϕ dagegen verschobene Spannung
berechnet sich unter Zuhilfenahme der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen der
Momentanwert der Leistung zu
b cos(ωt + ϕ) bı cos(ωt)
p(t) = u
bbı cos(ϕ) cos(ωt) − sin(ϕ) sin(ωt) cos(ωt)
=u
bbı cos(ϕ) cos 2 (ωt) − u
bbı sin(ϕ) sin(ωt) cos(ωt)
=u
bbı
bbı
u
u
=
cos(ϕ) 1 + cos(2ωt) −
sin(ϕ) sin(2ωt).
(16)
2
2
Die beiden Terme auf der rechten Seite von Gl. (16) sind periodische Zeitfunktionen mit der
Periode T /2. Der erste Term ist nie negativ (−π/2 ≤ ϕ ≤ π/2), der zweite stellt eine Leistungsschwingung dar, bei der abwechselnd gleich große Energien aufgenommen und abgegeben
werden.
(h) Die Wirkleistung ist für beliebige periodische Zeitabhängigkeit von Strom und Spannung definiert
als der lineare Mittelwert
tˆ
0 +T
1
p(t) d t
(17)
PW := p(t) =
T
t0
der zeitlich periodischen Leistung p(t). Sie gibt die im zeitlichen Mittel tatsächlich im Verbraucher in Wärme umgesetzte (verbrauchte) Leistung an. Die SI–Einheit der Wirkleistung ist das
Watt [1W = 1V · 1A]. Bei sinusförmiger Zeitabhängigkeit von Strom und Spannung gilt, wie aus
Gl. (16) sofort zu erkennen ist,
PW
1
=
T
tˆ
0 +T
t0
b cos(ωt + ϕ) bı cos(ωt) d t =
u
3
1
b bı cos ϕ = U I cos ϕ.
u
2
(18)
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
Daraus folgt, dass Leistungsmesser neben den Effektivwerten von Spannung und Stromstärke
zugleich auch den Phasenwinkel erfassen müssen.
(i) Für sinusförmig von der Zeit abhängige Ströme und Spannungen wird außerdem die Amplitude
der Leistungsschwingung, die als zweiter Term in Gl. (16) beobachtet wurde, als die Blindleistung
PB :=
1
b bı sin ϕ = U I sin ϕ
u
2
(19)
definiert. Sie beschreibt die jeweils während einer Viertelperiode den Energiespeichern des Verbrauchers zugeführte und in ihnen in der folgenden Viertelperiode wieder entzogene Energie.
Die Blindleistung ist für induktive Verbraucher positiv und für kapazitive Verbraucher negativ.
Zur Unterscheidung wird als Einheit der Blindleistung Var geschrieben [1var = 1V · 1A], der
Buchstabe “r” steht für “reaktiv”. Obwohl die Blindleistung im Verbraucher nicht umgesetzt
wird, ist ihre Messung z.B. für die Auslegung von Starkstromleitungen bzw. die Kompensation
von Verbrauchern wichtig. Auch bei der Messung der Blindleistung muss die Phasenverschiebung
zwischen Spannung und Strom berücksichtigt werden.
(j) Als weitere Leistungsgröße wird bei sinusförmiger Zeitabhängigkeit von Spannung und Strom
die komplexe Scheinleistung
P S := PW + jPB
(20)
definiert. Die Definition ist durch Gl. (18) und Gl. (19) motiviert. Es gilt nämlich
P S = U I cos(ϕ) + j sin(ϕ) = U I exp( jϕ).
Der Betrag der komplexen Scheinleistung
|P S | :=
q
PW 2 + PB2 = U I
(21)
(22)
heißt Scheinleistung. Es ist die “scheinbare” Leistung, die dem Produkt der unabhängig voneinander gemessenen Effektivwerte von Spannung und Stromstärke
|P S | := U I =
1
b bı
u
2
(23)
entspräche. Die Scheinleistung ist also sehr einfach zu messen und erlaubt mit Gl. (22) bei
bekannter Wirkleistung die Bestimmung der Blindleistung und umgekehrt. Nützlich ist sie auch
wegen
PW ≤ |P S | und |PB | ≤ |P S |
(24)
zur Abschätzung von Wirk– und Blindleistung.
(k) Der Leistungsfaktor
cos ϕ =
PW
|P S |
(25)
ist definiert als das Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung. Er stimmt mit dem Kosinus
des Phasenwinkels zwischen Spannung und Stromstärke überein.
4
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
1.2 Fourieranalyse
Eine beliebige stückweise glatte, periodische Funktion g(t) lässt sich in einen Gleichanteil und eine (im
Allgemeinen unendliche) Folge aus Sinus– und Kosinusfunktionen der Grundfrequenz ω0 und deren
Vielfachen zerlegen (Fourieranalyse). Die Überlagerung der Einzelanteile in Form der Fourierreihe
∞ X
a0
+
am cos(mω0 t) + bm sin(mω0 t) .
g(t) =
2
m=1
(26)
liefert, mit Ausnahme eventueller Unstetigkeitsstellen, wieder die ursprüngliche Funktion. Die in
Gl. (26) auftretenden Fourierkoeffizienten am und bm berechnen sich zu
2
a0 =
T
tˆ
0 +T
2
T
tˆ
0 +T
am =
g(t) d t,
(27)
t0
g(t) cos(mωt) d t
t0
für m = 1, . . . , ∞
(28)
Abbildung 4. Synthese eine Rechteckpulses:
(a) Rechteckpuls der Periode T ;
(b) Grundschwingung und erste Oberwelle (gestrichelt) ;
(c) Überlagerung der Komponenten aus Teilbild (b) und darauf folgende Fourierkomponente ;
(d) Approximation des Rechteckpulses nach Teilbild (a) durch die ersten neun Terme der Fourierreihe (durchgezogen) und nachfolgende Fourierkomponente (gestrichelt).
5
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
und
bm
2
=
T
tˆ
0 +T
g(t) sin(mωt) d t
t0
für m = 1, . . . , ∞.
(29)
Die Größe t0 ist beliebig und kann so gewählt werden, dass die Integration möglichst einfach auszuführen ist. Integrationsintervall ist die Periodendauer T . Der Gleichanteil a20 stimmt mit dem linearen
Mittelwert der Funktion nach Gl. (2) überein. Die Glieder mit m = 1 beschreiben die Grundschwingung
und diejenigen mit m > 1 die Oberschwingungen.
1.2.1 Beispiel: Rechteckpuls
Für die Zeitfunktion nach Bild 4a, einem Rechteckpuls, ergeben sich nach Gl. (27) bis (29) die Fourierkoeffizienten
am = 0 für alle m,
(30)
und
bm =

0
für gerades m
b
 4a
mπ
für ungerades m
(31)
.
In Bild 4b-d ist angedeutet, wie durch Überlagerung der Einzelschwingungen wieder die Zeitfunktion
nach Bild 4a entsteht (Synthese).
1.2.2 Messung der Grund– und Oberschwingungen
Das Prinzip eines Messverfahrens, mit dem die Amplituden der in einer periodischen Zeitfunktion
enthaltenen harmonischen Komponenten (Grund– und Oberschwingungen) bestimmt werden können,
zeigt Bild 5. Ein Sägezahngenerator steuert ein abstimmbares Filter über einen vorgegebenen Frequenzbereich. Das Filter lässt im Idealfall jeweils nur Schwingungen einer Frequenz durch. Das ausgefilterte Signal wird gleichgerichtet und über einen Verstärker auf die Y-Ablenkung eines Oszilloskops
gegeben. Die X-Ablenkung wird durch den Sägezahngenerator angesteuert. Ist die Sägezahnspannung
proportional zur Durchlassfrequenz des Filters, so zeigt das Oszilloskop nun die Amplituden der in der
periodischen Zeitfunktion enthaltenen harmonischen Komponenten über einer linearen Frequenzskala
an. Geräte, die nach diesem Prinzip arbeiten, werden Spektrum–Analysatoren genannt.
abstimmbares GleichFilter
richter
...
....
.. ..
...........
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
.......
......
.
......
......
......
. .................
...........
......
Verstärker
......
......
......
......
......
......
......
...........
.
.
.
.
...
.
.
......
.....
.
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.....
......
......
... ..
..
.....
.. ...
s.
.
.
...
...
...
...
...
...
.
.
...
...
...
...
...
...
.....
...
...
... ..............
Sägezahngenerator
... ...
......
.
...............................
.......
......
.
.
.
.
.
.....
...
.
.
...
.
...
...
.
...
....
...
...
...
............
.
...... ...
...
...
..
.
...
..
...
.
.
.
...
.
.....
...
......
....
........
......
.............................
s
Abbildung
Analysators.
6
5.
Prinzip
eines
Spektrum–
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
2 Messung zeitlich periodischer Funktionen
2.1 Wirkungsweise ausgewählter analoger Messwerke
2.1.1 Das Drehspulmesswerk
Das Drehspulmesswerk besteht aus einer rahmenförmigen Drehspule des Durchmessers 2r und der
Höhe h, die zwischen den Polschuhen eines Permanentmagneten drehbar gelagert ist und die den Zeiger
trägt (Bild 6). Die Drehspule befindet sich auf einem kreiszylindrischen Weicheisenkern, so dass sich im
Luftspalt zu den Polschuhen ein radiales magnetisches Feld B ausbildet. Die magnetischen Feldlinien
stehen damit unabhängig von der Stellung der Drehspule immer senkrecht auf den w Windungen.
Folglich ist das Drehmoment
M (t) = 2rF (t) = 2rBhwi(t)
(32)
proportional dem Messstrom, der durch die Spule fließt. Durch eine Spiralfeder wird ein vom Ausschlagwinkel linear abhängiges Rückstellmoment erzeugt. Aufgrund der Eigendämpfung ist der Zeigerausschlag dann dem linearen Mittelwert des Messstromes i(t) proportional. Drehspulinstrumente
können mit hoher Genauigkeit hergestellt werden. Da sie zugleich sehr empfindlich sind, lassen sich mit
Hilfe von Vorwiderständen bzw. Parallelwiderständen hochohmige Spannungsmesser und niederohmige
Strommesser realisieren.
2.1.2 Das Dreheisenmesswerk
Im Inneren einer Rundspule (unten in Bild 7) befinden sich ein Festeisen (links) und ein an der
Zeigerachse befestigtes Dreheisen. Beide werden durch das magnetische Feld der Spule gleichsinnig
magnetisiert. Sobald ein Strom fließt, wird somit das Dreheisen von dem Festeisen abgestoßen und
übt somit ein Drehmoment auf die Zeigerachse aus. Das Drehmoment lässt sich durch Differentiation
der im Feld der Spule gespeicherten magnetischen Energie
a0
1
Wm = L(α)i2
2
2
T
(33)
|
.
.....................◦
................
...............
◦
-
Abbildung 6. Sinnbild und Aufbau eines
Drehspulmesswerkes.
Abbildung 7. Sinnbild und Aufbau eines
Dreheisenmesswerkes.
7
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
nach dem Drehwinkel α bestimmen. Die Winkelabhängigkeit der Induktivität ergibt sich aus dem
Einfluss des Dreheisens. Für das Drehmoment folgt mit Gl. (33)
M (t) =
1 dL 2
i (t).
2 dα
(34)
Da die Winkelabhängigkeit der Induktivität und das Rückstellmoment der Spiralfeder vom Messstrom
unabhängig sind, ist der Ausschlag eine Funktion des Quadrates der Stromstärke. Die mechanische
Dämpfungseinrichtung (oberhalb der Rundspule) bewirkt eine zeitliche Mittelwertbildung und gestattet es, die Skala des Dreheisenmesswerkes in Effektivwerten der Stromstärke bzw. der anliegenden
Spannung zu eichen. Dreheisenmesswerke können als Gleich– und Wechselstrommesswerke verwendet
werden. Sie sind im Allgemeinen weniger empfindlich als Drehspulmesswerke, benötigen also einen größeren Strom und haben somit einen kleineren Innenwiderstand. Ihre Genauigkeit ist im Allgemeinen
ebenfalls geringer als die von Drehspulmesswerken.
2.1.3 Das Elektrodynamometer
Beim elektrodynamischen Messwerk tritt an die Stelle des im Drehspulinstrument verwendeten Permanentmagneten eine feststehende Feldspule (Bild 8). Fließt durch die Feldspule ein Strom der Stärke
i1 (t) so wird anstelle des permanenten magnetischen Feldes B in Gl. (32) am Ort der Drehspule nun
ein der Stromstärke i1 (t) proportionales mittleres Feld
B(t) ∼ i1 (t)
(35)
wirksam. Wenn gleichzeitig durch die Drehspule ein Strom der Stärke i2 (t) fließt, so ist das Drehmoment dem Produkt der beiden Stromstärken proportional:
M (t) ∼ i1 (t)i2 (t).
(36)
Bei linearem Rückstellmoment der Spiralfeder und unter Berücksichtigung der mechanischen Dämpfungseinrichtung (Bild 8, oberhalb der Spulen) ist dann der Zeigerausschlag dem zeitlichen Mittelwert
i1 (t)i2 (t) proportional. Schleift man nun wie in Bild 9 die Feldspule in den Stromkreis eines Verbrauchers ein und und schaltet die Drehspule parallel zum Verbraucher, so zeigt das Elektrodynamometer
den Mittelwert des Produkts u(t)i(t) an, d. h. die Wirkleistung PW = U I cos ϕ (siehe Gl. (17)).
Elektrodynamometer eignen sich also zur Messung von Wirkleistungen.
PW
u(t)
iM (t)
Verbraucher
Abbildung 9. Schaltung zur Messung der
Wirkleistung.
Abbildung 8. Sinnbild und Aufbau eines
Elektrodynamometers.
8
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
2.2 Digitale Messgeräte
In digitalen Messgeräten für Spannung und Stromstärke wird die analoge Messgröße unter Verwendung
unterschiedlicher Verfahren elektronisch umgesetzt. Bei einfachen Geräten geschieht dies im Allgemeinen über die Zeit oder die Frequenz als Zwischengrößen. Beispiele sind das Ladungskompensationsverfahren oder das Zweirampenverfahren (Bild 10). Bei Letzterem wird mittels eines Integrators, gebildet
aus einer Kapazität und einem Operationsverstärker, die Eingangsspannung −Ux während eines festen
Zeitraumes t1 (N1 Impulse eines Referenztaktes fref ) aufintegriert. Danach wird auf die Referenzspannung Uref umgeschaltet, um den Kondensator mit einem konstanten Strom wieder zu entladen. Die
dazu benötigte Zeit tx ist dann der Messspannung proportional. Wird während der Zeit tx ein Zähler
mit dem Referenztakt auf den Wert Nx hochgezählt, so ergibt sich ein der Spannung Ux proportionaler
Zählerstand.
Digitale Messgeräte nach diesem Prinzip sind nicht unbedingt genauer als analoge Drehspulinstrumente. Neben dem offensichtlichen Quantisierungsfehler muss die Grundgenauigkeit des Gerätes beachtet
werden (Referenzspannung, Integrator, Kurzzeitschwankungen des Referenztaktes). In Wechselspannungsbzw. Wechselstrom–Messbereichen verschlechtert die Gleichrichtung die Genauigkeit ebenso wie bei
Drehspulinstrumenten. Da der Messvorgang ebenfalls ein zeitlich periodischer Vorgang ist, können
periodische Störspannungen zusätzliche Messfehler hervorrufen. Zu beachten ist, dass die Mehrzahl
der digitalen Vielfachmessgeräte keine echten Effektivwertmesser sind.
2.3 Praktische Gesichtspunkte bei der Verwendung analoger und digitaler Messgeräte
Entscheidend für die Auswahl des Messgerätes ist zunächst die zu messende Größe. Mit Drehspulmesswerken können unmittelbar nur Gleichspannungen bzw. Gleichströme gemessen werden. Analoge wie
Abbildung 10. Prinzip des Zweirampenumsetzers.
9
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
digitale Vielfachmessgeräte gestatten es, einen Gleichrichter vorzuschalten, so dass der Gleichrichtwert
einer Wechselgröße gemessen werden kann. Der Formfaktor ist bereits in der Anzeige berücksichtigt,
so dass unmittelbar der Effektivwert abzulesen ist. Die Anzeige stimmt jedoch nur dann, wenn die zu
messende Funktion denjenigen Formfaktor aufweist, der auch der Eichung zugrunde liegt. Bei üblichen
Geräten ist das immer der Formfaktor für sinusförmige Zeitabhängigkeit.
Dreheiseninstrumente sind vom Prinzip echte Effektivwertmesser und daher von der speziellen Form
der Zeitabhängigkeit unabhängig. Zu beachten ist aber, dass der Innenwiderstand eines Dreheiseninstrumentes frequenzabhängig ist. Periodische Funktionen, die einen großen Oberwellenanteil haben,
führen daher zu falschen Ergebnissen. Bei der Messung ist daher grundsätzlich der zulässige Frequenzbereich zu beachten. Dies gilt im Übrigen auch für Drehspulinstrumente.
Von großer Bedeutung ist die Berücksichtigung des Innenwiderstandes. Seine Missachtung kann zu
völlig falschen Ergebnissen führen. Ein idealer Spannungsmesser sollte den Innenwiderstand Ri = ∞,
ein idealer Strommesser den Innenwiderstand Ri = 0 haben. Bei Vielfachmessgeräten sind daher in
den Spannungsmessbereichen Serienwiderstände und in den Strommessbereichen Parallelleitwerte zugeschaltet. Die Innenwiderstände für die einzelnen Messbereiche sind entweder als Tabelle auf dem
Gerät angegeben, oder, da mit dem Messbereich proportional zunehmend, z.B. als Quotient Widerstand/Spannung. Die Angabe 500 Ω/V bedeutet also, dass das Gerät im Spannungsmessbereich 10 V
einen Innenwiderstand von 5000 Ω aufweist. Bei Kenntnis des Innenwiderstandes der zu vermessenden
Quelle kann mit diesen Angaben die Verfälschung des Messwertes abgeschätzt werden. Ist neben dem
ohmschen Innenwiderstand noch eine Serieninduktivität angegeben, oder eine Parallelkapazität (z.B.
bei hochohmigen Vielfachmessgeräten mit Vorverstärker), ist auch diese zu berücksichtigen.
Darüber hinaus muss der Anzeigefehler des Gerätes selbst beachtet werden. Die Genauigkeitsklasse
ist im Allgemeinen in Prozent des Skalenendwertes auf dem Gerät angegeben. Der Aufdruck 1, 5
bedeutet zum Beispiel, dass das Gerät bei Vollauschlag einen Anzeigefehler von nicht mehr als 1, 5
Prozent liefern darf. Bei geringerem Zeigerausschlag nimmt der Anzeigefehler relativ gesehen zu. Es
sollte daher immer ein Messbereich gewählt werden, der annähernd auf Vollausschlag des Zeigers führt.
Bei Abweichungen von der vorgesehenen Betriebslage (Neigung), Fremdfeldeinfluss oder Abweichungen
von der Betriebstemperatur kann der Anzeigefehler erheblich zunehmen.
Vor der Messung ist bei analogen Messwerken grundsätzlich eine Nullpunkteinstellung vorzunehmen.
Bei hochohmigen Geräten ist im Spannungsmessbereich zunächst der Eingang kurzzuschließen. An
der Einstellsschraube wird dann der Zeiger auf den Skalenwert 0 V eingestellt. Der Zeiger und sein
Spiegelbild müssen bei der Betrachtung der Skala übereinander liegen, um Ablesefehler (Parallaxe)
auszuschließen. Dies gilt natürlich auch für die Ablesung der Messwerte.
Schließlich sind die maximal zulässigen Spannungs– und Stromwerte zu beachten. Bei der Einstellung
des Messbereiches sollte grundsätzlich vom größten Messbereich ausgehend schrittweise heruntergeschaltet werden.
10
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
2.4 Kompensationsmethode zur Messung von Scheitelwerten
..............................................
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
u(t)
◦
•
∼
...
?
..
...
...
...
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...
...
...
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⊲|
⊲|
◦
•
...............................................................................................................................................................
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=
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.................................................................................
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...
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................
...
...
...
...
...
...
.
•
•
⊲|
⊲|
տ
I=0
•
•
b
u
C
?
•
=
տ U U
?
•
Abbildung 11. Kompensationsschaltung zur Messung des Scheitelwertes der Wechselspannung u(t).
Zur Messung des Scheitelwertes einer periodischen Spannung muss diese zunächst gleichgerichtet werden. Wird der Ausgang eines Brückengleichrichters nach Bild 11 an einen Kondensator angeschlossen,
so lädt sich dieser im Verlaufe einiger Perioden auf den Spitzenwert der gleichgerichteten Spannung
auf. Mit einem idealen Spannungsmesser (Ri = ∞) könnte dann unmittelbar der Scheitelwert gemessen werden. Bei endlichem Messstrom würde jedoch der Kondensator teilweise wieder entladen und
eine zu kleine Spannung gemessen. Dies kann durch Verwendung der Kompensationsschaltung nach
Bild 11 vermieden werden. Der Messstrom durch das Voltmeter wird einer zusätzlichen einstellbaren
Gleichspannungsquelle entnommen. Ist die Kompensationsschaltung abgeglichen, d.h. der Strom durch
b = U= abgelesen werden. Dabei
das Amperemeter gleich Null, so kann am Voltmeter der Scheitelwert u
ist zu beachten, dass der Abgleich wegen der Dioden nur von einer Seite erfolgen kann; zu Beginn des
Abgleichs muss die Gleichspannung U= kleiner als die zu messende Spitzenspannung sein.
11
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
3 Versuchsvorbereitung
u2 (t) 6
u3 (t) 6
...
...
... ..... 6
... .....
.. ..
.. ..
... .... uc2
... ....
.. ....
.. ....
...
...
...
...
.
...
...
...
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... ?
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t
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.
...
.
... ..
...
.
... ..
... .
..
... ..
... ..
... ...
... ...
....
....
..................
..................
..................
.. ..
.
.
.
.
.. ...
.. ....
.. ....
.. ..
.. ..
.. ..
.. .
.. ...
... uc3 ... ...
..
.
.
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...
...
...
..
.
.
.
.
...
..
.. ...
.. ..
................?
.
.
.
.
.
.
.
.
.................... .......................
.......
....... ....... ....... ......
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
T
....... .......
6 ...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
t1-.....
T
...
..
...
..
...
..
...
..
...
t
-
-
Abbildung 12. Dreiecksschwingung.
Abbildung 13. Rechteckschwingung.
(a) Geben sie jeweils eine mathematische Beschreibung für die zeitlich periodischen Funktionen
u1 (t), u2 (t) und u3 (t) nach Bild 2, Bild 12 und Bild 13 an:
u1 (t) =
u2 (t) =
u3 (t) =
(
(
(b) Berechnen Sie Mittelwerte, Gleichrichtwerte und Effektivwerte der drei Funktionen aus Teilaufgabe (a) und tragen Sie die Ergebnisse in Tabelle 1 ein.
(c) Vervollständigen Sie anhand der Ergebnisse aus Teilaufgabe (b) Tabelle 1 um die Scheitelfaktoren
und Formfaktoren.
u1 (t)
(Sinus)
u2 (t)
(Dreieck)
u3 (t)
(Rechteck)
u(t)
U
|u(t)|
ks
kf
Tabelle 1. Berechnete Mittelwerte, Effektivwerte, Gleichrichtwerte, Scheitelfaktoren und Formfaktoren für die zeitlich periodischen Funktionen nach Bild 2, Bild 12 und Bild 13.
12
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
4 Versuchsdurchführung
4.1 Messung zeitlich periodischer Spannungen
Mit Hilfe eines Funktionsgenerators sollen die zeitlich periodischen Spannungen u1 (t), u2 (t) und u3 (t)
nach Bild 2, Bild 12 und Bild 13 realisiert werden. Notieren Sie bitte zunächst die vom Betreuer
vorgegeben Werte:
u1 (t)
(Sinus)
u2 (t)
(Dreieck)
u3 (t)
(Rechteck)
bi /V
u
f /Hz
t1
T
=
Bild 14 zeigt die Messschaltung, die zur Messung der Mittelwerte, Effektivwerte und Gleichrichtwerte verwendet werden soll. Da der Innenwiderstand des Funktionsgenerators für Messungen mit dem
Dreheiseninstrument zu hoch ist, wird ein Verstärker nachgeschaltet. Die Ankopplung erfolgt kapazitiv, damit die Messung nicht durch den Gleichspannungsanteil des Funktionsgenerators verfälscht
wird. Das Oszilloskop soll im Verlauf des gesamten Versuches nur zur Einstellung und Kontrolle des
Generators herangezogen werden.
4.1.1 Abschätzung der Messfehler
Bauen Sie die Messschaltung zunächst soweit auf, dass Sie die Funktion u1 (t) (Sinusschwingung) auf
dem Oszilloskop darstellen können. Um einen groben Näherungswert für den Innenwiderstand RG der
Quelle zu ermitteln, wird die Amplitude bei unbelastetem Ausgang um 10 Prozent erhöht und der
b1 einstellt. Es ist dann
Lastwiderstand RL bestimmt, für den sich ungefähr wieder u
RG =
Funktionsgenerator
1
RL ≈
10
Verstärker
(Impedanzwandler)
◦
◦
◦
> 1µF
RG
≈ 600 Ω
uG,i (t)
uin
K · uin
?
◦
?
...............................................................
?
◦
◦
◦
◦
◦
'$ .............◦.
T
.
.......................
...............
տ
|
◦
տ
-
ui (t)
&%
?
◦
◦
Abbildung 14. Messschaltung zur Bestimmung der Mittelwerte, Effektivwerte und
Gleichrichtwerte zeitlich periodischer Spannungen.
13
···
◦
···
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
Vergleichen Sie diesen Wert mit den Innenwiderständen der Messgeräte im benötigten Spannungsmessbereich. Stellen Sie auch die Güteklassen der Geräte fest:
T
Instrument:
|
.
..............◦
.......................
...............
◦
-
AMM
DVM
Güteklasse
gewählter Messbereich
⇒ max. Fehlangabe [Volt]
Innenwiderstand
⇒ Spannungsabfall an RG
Wären vergleichbare Messergebnisse zu erwarten, wenn die Amplitude am Funktionsgenerator einmal
eingestellt, und dann der Reihe nach jeweils ein Messgerät angeschlossen und wieder entfernt würde?
Wie ist daher vorzugehen?
4.1.2 Messung der Mittelwerte, Gleichrichtwerte und Effektivwerte
Vervollständigen Sie den Messaufbau und messen Sie Mittelwerte, Gleichrichtwerte und Effektivwerte
jeweils mit mindestens einem dazu geeigneten Messgerät. Vermerken Sie bitte das Symbol des verwendeten Gerätes und des Messbereich (“=” bzw. “∼”). Zur Messung des Gleichrichtwertes steht ein
separater Brückengleichrichter zur Verfügung.
Gerät
Bereich
u1 (t)
(Sinus)
u2 (t)
(Dreieck)
u3 (t)
(Rechteck)
u(t)
U
|u(t)|
Notieren Sie zum Vergleich für alle drei Zeitfunktionen die Anzeige des Analogmultimeters (WechselspannungsMessbereich) und erklären Sie die Bedeutung der abgelesenen Werte.
Bereich
u1 (t)
(Sinus)
u2 (t)
(Dreieck)
u3 (t)
(Rechteck)
Anzeige AMM
4.1.3 Bestimmung der Formfaktoren
Ermitteln Sie aus den obigen Messergebnisse die Formfaktoren. Bestimmen Sie die prozentuale Abweichung der Ergebnisse von den in Tabelle 1 berechneten und benennen Sie die Hauptursache eventueller
Abweichungen.
14
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
u1 (t)
kf
gemessen
kf
berechnet
(Sinus)
u2 (t)
(Dreieck)
u3 (t)
(Rechteck)
Abweichung [%]
4.1.4 Bestimmung der Scheitelwerte
Messen Sie mit Hilfe des Kompensationsverfahrens nach Abschnitt 2.4 die Scheitelwerte der zeitlich
periodischen Spannungen u1 (t), u2 (t), u3 (t) nach Bild 2, Bild 12 und Bild 13. Berechnen Sie anschließend unter Verwendung der vorherigen Messergebnisse die Scheitelfaktoren und vergleichen Sie diese
mit den in Tabelle 1 berechneten.
u1 (t)
(Sinus)
u2 (t)
(Dreieck)
u3 (t)
(Rechteck)
b
u
ks
gemessen
ks
berechnet
Abweichung [%]
4.2 Messung von Schein- und Wirkleistung
Unter Verwendung der Schaltung nach Bild 15 soll mit einem Elektrodynamometer die Wirkleistung
an der Reihenschaltung einer Spule (mit Eisenkern) und eines einstellbaren ohmschen Widerstandes
gemessen werden. Achten Sie darauf, dass Strom– und Spannungspfad des Leistungsmessers nicht vertauscht und die richtigen Messbereiche (siehe unten) gewählt werden (Beschädigung des Messwerkes!).
Stellen Sie den einstellbaren Widerstand zunächst auf den größtmöglichen Wert, bevor sie die Quelle
anschalten! Stellen Sie dann I = 1 A ein und messen die Spannung U am Verbraucher, die Spannung
UR über dem ohmschen Widerstand und die Wirkleistung PW . Ermitteln Sie daraus die übrigen Werte der folgenden Tabelle. Wiederholen Sie die Messung für I = 4 A. Wie sind die Unterschiede zu
erklären? Ermitteln Sie dazu den Innenwiderstand des Spannungspfades und des Strompfades:
Ri,U =
Größe
I
Einheit
A
U
PW
PS
,
UR
1
4
15
PW,R
PW,L
PB
Ri,I
IM /I
Versuch B2/2 - Zeitabhängige periodische Funktionen
....................................................................
...
...
...
...
..
M
...
.....
.
...............................................................................................................................................................................................................................
..
...
....
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
R
...
...
...
...
...
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
....
..
...
...
...
...
...
..
....
.............................................................................................................................................................................................................................
...
PW
...
..
|
.
.....................◦
........
......................
◦
................
230 V
◦
∼
?
................
◦
..................
...
...
...
...
...
...
6
տ
U
I
R
U տ
25 V
L
?
................
?
I
6
•
AMM
?
•
Abbildung 15. Messschaltung zur Bestimmung der Wirkleistung und der Scheinleistung
an einer Serienschaltung von Spule und ohmschem Widerstand. Spannungsangaben sind
Effektivwerte.
4.3 Spektrum-Analyse
Bestimmen Sie unter Anleitung des Betreuers die Grund- und Oberschwingungen einer Rechteckschwingung mit Hilfe eines Spektrum-Analysators und übertragen Sie die Ergebnisse in die nachfolgenden Diagramme. Vergleichen Sie die abgelesenen Werte mit den in Abschnitt 1.2 berechneten.
16