KAPITEL 3 (S. 117-120) Grundlagen der

KAPITEL 3 (S. 117-120)
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Excel
Vielleicht irritiert es Sie mehrfach, dass das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung in diesem Buch
behandelt wird. Einmal hört sich der Begriff schon so an, als hätte er nichts mit der exakten
Wissenschaft der Statistik zu tun. Dann erscheint es auch fragwürdig, ob mit Wahrscheinlichkeiten
überhaupt (im Sinne der Mathematik) gerechnet werden kann. Und was Excel damit zu tun hat, ist
sowieso unklar (wenn man einmal von der Fragestellung „Hoffentlich stürzt mir Excel nicht wieder
mitten in der Arbeit ab" absieht.
Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung kein unwesentlicher Bereich der Statistik. Da oftmals
nicht mit kompletten Grundgesamtheiten, sondern mit Auszügen daraus (so genannten Stichproben)
gearbeitet wird, ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit der erlangten Aussagen unbedingt zu stellen.
In der Mathematik ist der Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung unter dem Begriff Stochastik
eingeordnet, also eine über die Statistik hinausgehende Sache.
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, und zwar
in dem Maße, in dem diese mit Excel dargestellt werden kann. Das Kapitel fällt also knapper aus, als
Sie es in manchen anderen Statistiklehrbüchern finden. Das folgende Kapitel handelt von der
Normalverteilung und hat damit auch etwas mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun – doch damit
greife ich vor. Beschäftigen wir uns zuvor lieber etwas damit, was Wahrscheinlichkeiten sind.
Wie wahrscheinlich ein Ereignis ist hängt davon ab, mit welcher Sicherheit dieses zu erwarten ist.
Ausgedrückt wird das (in der Wahrscheinlichkeitsrechnung) immer durch eine Zahl oder einen
Prozentwert. Je stärker die Zahl gegen 1 oder 100% geht, umso wahrscheinlicher ist es, dass das
Ereignis eintritt und je stärker es gegen 0 oder 0% geht, umso unwahrscheinlicher ist das Eintreten des
Ereignisses.
Die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit geht eigentlich auf eine reine Addition zurück (lassen Sie sich
nicht irritieren, nur weil die Formeln komplizierter aussehen!). Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten
sämtlicher möglicher Ereignisse gibt immer 1 oder 100%.
Kombinieren und Wiederholen
Die Kombinatorik als Teilgebiet der Mathematik wird auch der Statistik zugerechnet. Zumindest deren
Methoden werden auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung immer wieder eingesetzt. Deshalb vorweg
einiges zu diesem Thema.
Kombinatorische Fragestellungen
Kombinatorik beschäftigt sich mit der Anordnung verschiedener Dinge. Das können Buchstaben, aber
auch Gegenstände oder Experimente sein.
Typische Fragestellungen sind:
●
●
●
Wie viele Möglichkeiten gibt es, Paare (2) aus einer Gruppe von Personen (z.B. 8)
zusammenzustellen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer Gruppe von 49 Zahlen 6 Zahlen auszuwählen?
Die Kombination an einem Banksafe besteht aus vier Zahlenscheiben mit jeweils den Ziffern 0–
9. Wie viel Möglichkeiten muss ein Bankräuber durchprobieren, wenn er den Safe ohne Gewalt
öffnen will.
Viele Probleme aus der Kombinatorik können auf zwei grundsätzliche Fragen zurückgeführt werden:
1. Auf wie viele Arten lassen sich die Elemente einer Menge (M) hinsichtlich einer vorgegebenen
Eigenschaft anordnen.
2. Wie viele verschiedene Teilmengen (Auswahlen von k Elementen) aus einer Grundmenge M
gibt es?
Permutationen
Jede Zusammenstellung einer endlichen Anzahl von Elementen in irgendeiner Anordnung, in der
sämtliche Elemente verwendet werden, heißt Permutation der gegebenen Elemente. Eigentlich haben
wir mit so etws im täglichen Leben ständig zu tun.
Permutationen ohne Wiederholung
Beispiel:
Bei einem Schwimmwettbewerb werden die 6 Bahnen unter den 6 Teilnehmern des Wettkampfes
ausgelost. Dazu werden aus einer Urne die Namenszettel gezogen. Dabei ergeben sich folgende
Möglichkeiten für die einzelnen Bahnen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Bahn: Jeder Schwimmer ist noch an der Ziehung beteiligt -> 6 Möglichkeiten.
Bahn: Nur noch 5 Schwimmer sind an der Ziehung beteiligt -> 5 Möglichkeiten.
Bahn: 4 Schwimmer -> 4 Möglichkeiten.
Bahn: 3 Schwimmer -> 3 Möglichkeiten.
Bahn: 2 Schwimmer -> 2 Möglichkeiten.
Bahn: 1 Schwimmer -> 1 Möglichkeit.
Jede Möglichkeit kann mit einer anderen kombiniert werden. So ergeben sich
6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 Zuordnungsmöglichkeiten. Jede dieser einzelnen Möglichkeiten bezeichnet
man als Permutation oder auch als 6-Tupel.