Lineare Algebra Kapitel 1.10 Aufgaben 1. Ein Unternehmen
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Lineare Algebra Kapitel 1.10 Aufgaben 1. Ein Unternehmen produziert zwei Endprodukte (in Produktionsstufe 2) E1 und E2 aus vier zuvor gefertigten Zwischenprodukten Z1 , Z2 , Z3 und Z4 . Deren Anfertigung erfolgt (in Produktionsstufe 1) unter Einsatz der drei Rohstoffe R1 , R2 und R3 . Die Zusammenhänge zwischen Rohstoffeinsatz, Zwischenprodukt- und Endproduktfertigung sind der nachstehenden Skizze zu entnehmen. E1 E2 1 2 1 1 5 Z1 Z2 2 1 Z4 Z3 1 3 R1 R2 1 2 R3 (a) Bestimmen Sie die Produktionsmatrix MRZ der Produktionsstufe 1 und die Produktionsmatrix MZE der Produktionsstufe 2 und damit die Produktionsmatrix MRE des gesamten Produktionsprozesses. Hinweis: Die Verknüpfung der beiden Produktionsstufen kann durch eine geeignete Matrizenmultiplikation ausgeführt werden. (b) Wie viele Einheiten der Rohstoffe R1 , R2 und R3 benötigt man zur Produktion je einer Endprodukteinheit E1 ? (c) Bestimmen Sie den Bedarf an Rohstoffeinheiten Ri (i = 1, 2, 3) zur Produktion von 200 Einheiten des Endprodukts E1 und 300 Einheiten des Endprodukts E2 . (d) Wie hoch sind die Rohstoffkosten zur Produktion je einer Endprodukteinheit Ej (j = 1, 2), wenn die Preise für je eine Rohstoffeinheit Ri (i = 1, 2, 3) der Zeilenmatrix pR = 4 2 1 entsprechen? 1 2. In einem Unternehmen werden in einem zweistufigen Produktionsprozess aus drei Rohstoffen R1 , R2 und R3 über drei Zwischenprodukte Z1 , Z2 und Z3 zwei Endprodukte E1 und E2 hergestellt. Die Produktionszusammenhänge können den folgenden Matrizen entnommen werden: 4 0 2 5 2 MRZ = 2 1 2 MZE = 3 1 3 2 1 2 2 Am Markt kann für eine Einheit von E1 ein Preis von 150 Franken und für eine Einheit von E2 ein Preis von 100 Franken durchgesetzt werden. Eine Einheit von R1 kostet 3 Franken, eine von R2 kostet 1 Franken und eine von R3 kostet 2 Franken. Sie möchten jeweils 100 Einheiten von E1 und E2 produzieren. (a) Wie hoch ist der Rohstoffverbrauch für das angegebene Produktionsprogramm? (b) Wie hoch sind die Materialkosten je einer Einheit von E1 bzw. E2 ? (c) Wie hoch ist der Gewinn (Erlös minus Materialkosten), falls Sie das angegebene Produktionsprogramm zu den angegebenen Preisen absetzen? 3. Sie sind Möbelbauer und produzieren Schränke, Tische und Stühle. Hierfür benötigen Sie lediglich Holz, Schrauben und Klebstoff. Zur Herstellung eines Schranks benötigen Sie 9 m2 Holz, 3 Päckchen Schrauben und 2 Tuben Klebstoff. Für einen Tisch verwenden Sie 2 m2 Holz, 1 Päckchen Schrauben und 1 Tube Klebstoff. Ein Stuhl beansprucht lediglich 1 m2 Holz und 1 Päckchen Schrauben. (a) Stellen Sie die Produktionsmatrix auf. Es befinden sich 1 400 Einheiten der Rohstoffe auf Lager. Zudem liegt doppelt soviel Holz (in m2 ) und halb soviel Klebstoff (in Tuben) wie Schrauben (in Päckchen) im Lager. (b) Wie viele Rohstoffe der einzelnen Sorten besitzen Sie? (c) Wie viele Rohstoffe jeder Sorte bleiben im Lager, wenn Sie 50 Schränke, 100 Tische und 150 Stühle herstellen? 1 m2 Holz hat Sie 10 Franken gekostet, 1 Päckchen Schrauben 2 Franken und 1 Tube Klebstoff 3 Franken. Für einen Schrank erzielen Sie einen Erlös in Höhe von 250 Franken, für einen Tisch in Höhe von 50 Franken und für einen Stuhl in Höhe von 15 Franken. (d) Wie hoch ist Ihr Gewinn (Erlös minus Materialkosten), falls Sie die gesamte in (c) produzierte Menge absetzen können? 2 Lineare Algebra Kapitel 1.10 Lösungen+ 1. (a) MRZ ist eine 3 × 4-Matrix, da sie die Gleichung qR = MRZ · qZ erfüllen muss. 2 1 0 0 MRZ = 0 3 1 0 0 0 1 2 MZE ist eine 4 × 2-Matrix, da sie die Gleichung qZ = MZE · qE erfüllen muss. 1 0 5 1 MZE = 2 0 0 1 1 0 2 1 0 0 7 1 5 1 MRE = MRZ · MZE = 0 3 1 0 · 2 0 = 17 3 0 0 1 2 2 2 0 1 (b) Für eine Einheit E1 benötigt man 7 Einheiten R1 , 17 Einheiten R2 und 2 Einheiten R3 . 200 (c) Mengenvektor der Endprodukte: qE = 300 Mengenvektor der Rohstoffe: 7 1 1700 200 qR = MRE · qE = 17 3 · = 4300 300 2 2 1000 7 1 (d) kE = pR · MRE = 4 2 1 · 17 3 = 64 12 2 2 4 0 2 5 2 24 12 2. (a) MRE = MRZ · MZE = 2 1 2 · 3 1 = 17 9 3 2 1 2 2 23 10 24 12 3600 100 (b) qR = MRE · qE = 17 9 · = 2600 100 23 10 3300 (c) Materialkosten pro Einheit E1 bzw. E2 : 24 12 kE = pE · MRE = 3 1 2 · 17 9 = 135 65 23 10 (d) Gewinn pro Einheit: gE = pE − kE = 150 100 − 135 65 = 15 35 100 G = gE · qE = 15 35 · = 5000 Franken 100 9 2 1 3. (a) MRE = 3 1 1 2 1 0 1 (b) H: Holz (Quadratmeter), S: Schauben (Päckchen), K: Klebstoff (Tuben) H + S + K = 1400 2S + S + 12 S = 1400 3.5S = 1400 S = 400 ⇒ H = 800 ⇒ K = 200 800 qL1 = 400 200 50 (c) Rohstoffbedarf für qE = 100: 150 9 2 1 50 800 qR = MRE · qE = 3 1 1 · 100 = 400 2 1 0 150 150 50 50 0 qL2 = qL1 − qR = 100 − 100 = 0 150 150 0 Es bleiben keine Vorräte mehr im Lager 9 2 1 (d) kE = pR · MRE = 10 2 3 · 3 1 1 = 102 25 12 2 1 0 gE = pE − kE = 250 50 15 − 102 25 12 = 148 25 3 50 G = gE · qE = 148 25 3 · = 100 = 10 350 Franken 150 2
