Aufgabenblatt 7

Spieltheorie
7-1
Wintersemester 2008/09
Aufgabenblatt 7
Inhalt: Kapitel 3, Dynamische Spiele mit vollständiger Information
Aufgabe 7.1
Betrachten Sie noch einmal das Spiel aus Aufgabe 5.2:
1b
HH
L
r
T
2
r
@ R
@
@r
4, 2
1, 1
HB
HH 2
Hr
L @ R
@
@r
r
5, 1
2, 2
(a) Nehmen Sie nun an, dass Spieler 2 den Zug des ersten Spielers nicht beobachten kann.
Wie sehen die extensive Form bzw. die Normalform aus?
(b) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte des simultanen Spieles.
Aufgabe 7.2
A überlegt, ob er am Abend in Ruhe ein Buch bei einem Glas Rotwein lesen sollte, oder
mit einer Freundin B ein klassisches Konzert besuchen möchte. Zur Auswahl stehen entweder
Bartok oder Schubert. Sollte er sich für die Literatur entscheiden, endet das Spiel und die
Auszahlungen sind (2, 2). Wählt er das Konzert, so treffen A und B simultan die Auswahl
zwischen Bartok oder Schubert. Die daraus resultierenden Auszahlungen sind in der folgenden
Matrix dargestellt (A wählt die Zeile; B die Spalten):
Bartok
Schubert
Bartok
3, 1
0, 0
Schubert
0, 0
1, 3
(a) Bestimmen Sie die extensive Form sowie die Normalform des Spieles.
(b) Zeigen Sie, dass das Ergebnis (Bartok; Bartok) das einzige Gleichgewicht der Normalform
ist, wenn auch schwach dominierte Strategien eliminiert werden.
Spieltheorie
7-2
Wintersemester 2008/09
(c) Bestimmen Sie die teilspielperfekten Gleichgewichte.
(d) Wie könnte man argumentieren, um das teilspielperfekte Gleichgewicht
(Konzert Bartok, Bartok) mit Auszahlungen (3, 1) als die Lösung“ zu motivieren?
”
Aufgabe 7.3
Betrachten Sie das folgende Beispiel für das sogenannte Hold-up“ Problem mit perfekter
”
Information. Ein Käufer (K) und ein Verkäufer (V) wollen ein Gut handeln. Der Verkäufer
habe keine Produktionskosten um das Gut herzustellen. Bevor über den Preis verhandelt
wird, kann der Käufer ein Investment machen, dass seine Wertschätzung des Gutes von v auf
v (v > v > 0) steigert. Die Kosten dieses Investments betragen c < v − v ≡ I.
Die Zeitabfolge des Spieles ist folgendermaßen:
1. Der Käufer entscheidet ob er investiert oder nicht. Falls er investiert, sind muss er die
Kosten auf jeden Fall tragen.
2. Der Verkäufer beobachtet die Investmententscheidung des Käufers und kann diesem dann
eine ulimatives Preisangebot p machen (Take-it-or-leave-it-offer).
3. Der Käufer akzeptiert das Preisangebot oder lehnt endgültig ab.
Falls der Käufer das Angebot akzeptiert, findet der Handel statt. Der Verkäufer erhält dann
eine Auszahlung von p und der Käufer bekommt netto v − c − p, falls er investiert hat und
v − p, falls er nicht investiert hat. Falls der Käufer ablehnt bekommt der Verkäufer 0. Der
Käufer bekommt −c, falls er investiert hat und 0, falls er nicht investiert hat. Nehmen Sie an,
dass der Käufer das Angebot akzeptiert, falls er indifferent zwischen annehmen und ablehnen
ist.
(a) Finden Sie das teilspielperfekte Gleichgewicht durch Rückwärtsinduktion.
Spieltheorie
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Wintersemester 2008/09
Nehmen Sie nun an, das der Verkäufer das Investment des Käufers nicht beobachten kann.
(b) Argumentieren Sie, warum der Verkäufer im Gleichgewicht nur zwei bestimmte Preise
in Betracht ziehen wird. Welche?
(c) Zeigen Sie, dass in diesem Spiel kein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht in reinen
Strategien existiert.
(d) In dem eindeutigen Gleichgewicht in gemischten Strategien, mischt der Verkäufer zwischen zwei Preisen und der Käufer mischt zwischen investieren und nicht investieren.
Berechnen Sie das teilspielperfekte Gleichgewicht in gemischten Strategien und berechnen Sie die erwarteten Gleichgewichtsauszahlungen beider Spieler.