Information Engineering WS 2014/15 - LS1

Logik
Gabriele Kern-Isberner
LS 1 – Information Engineering
TU Dortmund
Wintersemester 2014/15
WS 2014/15
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
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1 / 158
AL – Erfüllbarkeit
Teil A
A – Aussagenlogik (AL)
Kapitel 3: Erfüllbarkeit
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Logik
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AL – Erfüllbarkeit
Aussagenlogische Resolution
Der Resolutionssatz der Aussagenlogik (2/9)
Dazu definieren wir:
–
–
–
–
Res(K) =def K ∪ {K|K ist Resolvente zweier Klauseln aus K}
Res1 (K) =def Res(K)
k−1
Resk (K) =def Res(Res
(K)),für jedes k > 1
S
∞
Res (K) =def k≥1 Resk (K)
Satz 3.8 (Resolutionssatz)
Eine endliche Klauselmenge K ist genau dann unerfüllbar, wenn
∈ Res∞ (K).
Beweis
• Wir zeigen:
(1) wenn ∈ Res∞ (K) dann K unerfüllbar
(2) wenn K unerfüllbar dann ∈ Res∞ (K)
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Logik
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101 / 158
AL – Erfüllbarkeit
Aussagenlogische Resolution
Ein Zwischenfazit (1/4)
Wir haben jetzt also einen Algorithmus für das Erfüllbarkeitsproblem für
aussagenlogische Formeln, der weniger naiv vorgeht als die
Wahrheitstabellen-Methode.
• Allerdings gibt es Formeln, für die er nicht effizienter ist als die
Wahrheitstabellen-Methode
→ Im schlimmsten Fall hat er exponentielle Laufzeit (Theorem von
Haken)
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AL – Erfüllbarkeit
Aussagenlogische Resolution
Ein Zwischenfazit (2/4)
Die Frage, ob es für dieses Problem einen Algorithmus mit polynomieller
Laufzeit gibt, ist äquivalent zum berühmtesten offenen Problem der
(Theoretischen) Informatik:
dem P-NP-Problem
Näheres dazu erfahren Sie in der GTI-Vorlesung
Hier nur soviel dazu:
• Das Erfüllbarkeitsproblem für AL-Formeln ist NP-vollständig
• Wenn es einen polynomiellen Algorithmus hat, ist P = NP
• Wenn es keinen polynomiellen Algorithmus hat, ist P 6= NP
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AL – Erfüllbarkeit
Aussagenlogische Resolution
Ein Zwischenfazit (3/4)
Auch wenn es bisher keinen polynomiellen Algorithmus für AL – SAT gibt:
• Die Fähigkeit, in der Praxis SAT-Probleme zu lösen (Stichwort:
SAT-Solving). hat sich in den vergangenen 10-15 Jahren gewaltig
verbessert
• Mittlerweile werden SAT-Solver als Hilfsmittel in vielen
Anwendungsbereichen verwendet, z.B. im (Bounded) Model Checking
• Wer dazu mehr wissen möchte:
– Malik, Zhang: Boolean Satisfiabilty, Communications of the ACM,
August 2009
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AL – Erfüllbarkeit
Aussagenlogische Resolution
Ein Zwischenfazit (4/4)
Für einige eingeschränkte Klassen aussagenlogischer Formeln lässt sich das
Erfüllbarkeitsproblem effizient lösen:
• Horn-Formeln (das haben wir gesehen)
• 2-SAT-Formeln (mit maximal 2 Literalen je Klausel)
Im nächsten Kapitel beschäftigen wir uns noch mit der Erfüllbarkeit von
unendlichen Formelmengen
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AL – Erfüllbarkeit
Aussagenlogische Resolution
Zusammenfassung
Sie sollten die folgenden Themen und Techniken kennen und beherrschen:
• Fundamentale Bedeutung des Erfüllbarkeitsproblems für
aussagenlogische Formeln
• Resolventen und Resolutionsbeweise und ein darauf basierender
Algorithmus für den Erfüllbarkeitstest
• Wichtiges Ergebnis:
– Resolutionssatz
• Für das allgemeine Erfüllbarkeitsproblem ist kein effizienter
Algorithmus bekannt
• Für Hornformeln lässt sich das Erfüllbarkeitsproblem mit Hilfe des
Markierungsalgorithmus effizient lösen
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Logik
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116 / 158
AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Übersicht Aussagenlogik
1. Syntax und Semantik
2. Modellierung, Äquivalenzen und Normalformen
3. Erfüllbarkeit
4. Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Teil A
A – Aussagenlogik (AL)
Kapitel 4: Vollständigkeits- und
Endlichkeitssatz
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Nutzen von Erfüllbarkeitstests
Wir haben im letzten Kapitel einen zuverlässigen Erfüllbarkeitstest für
aussagenlogische Formeln kennen gelernt:
• den Resolutionsalgorithmus
Er entscheidet für eine gegebene aussagenlogische Formel ϕ (in KNF), ob
ϕ erfüllbar ist.
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Überblick
In diesem Kapitel werden wir zunächst sehen, dass dieser Erfüllbarkeitstest
ziemlich flexibel anwendbar ist, denn viele Fragestellungen lassen sich auf
die Erfüllbarkeit einer aussagenlogischen Formel zurückführen, z.B.:
• ob eine endliche Menge von Formeln erfüllbar ist,
• ob eine gegebene Formel allgemeingültig ist
• ob eine gegebene Formel aus einer endlichen Menge von Formeln folgt
Außerdem werden wir einen fundamentalen Zusammenhang zwischen
semantischem Folgern und syntaktischem Beweisen kennen lernen.
Schließlich werden wir uns noch mit der Erfüllbarkeit unendlicher
Formelmengen beschäftigen.
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Anwendungen von Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit endlicher Formelmengen (1/6)
Klar: eine Menge {ϕ1 , . . . , ϕn } von Formeln ist genau dann erfüllbar, wenn
ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn erfüllbar ist.
Wir betrachten dazu jetzt ein komplizierteres Beispiel:
Beispiel (eine ehemalige Ü-Aufgabe)
• Es sollen n Werte a1 , . . . , an in m Speicherstellen s1 , . . . , sm abgelegt
werden, wobei n und m natürliche Zahlen sind
• Dabei kann in jeder Speicherstelle jeweils höchstens ein Wert
abgespeichert werden
(a) Modellieren Sie die beschriebene Situation durch eine Menge Φn,m
aussagenlogischer Formeln
(b) Zeigen Sie mittels Resolution, dass es unmöglich ist, drei Datenwerte in
zwei Speicherstellen abzulegen
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121 / 158
AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Anwendungen von Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit endlicher Formelmengen (2/6)
Allgemeiner Lösungsansatz
• Variablen für atomare Aussagen:
– Aij : „ai wird in Speicherstelle sj abgelegt“, für i ∈ {1, . . . , n} und
j ∈ {1, . . . , m}
• Formeln zur Modellierung der Situation:
– „Es sollen n Werte ... abgelegt werden“:
∗
ϕm
i =def
m
_
j=1
Aij
(i ∈ {1, . . . , n})
sagt, dass ai in mindestens einer Speicherstelle abgelegt wird
– „Dabei kann in jeder Speicherstelle jeweils höchstens ein Wert
abgespeichert werden“:
∗
ψjn =def
^
i1 ,i2 ∈{1,...,n}
i1 6=i2
¬(Ai1 j ∧ Ai2 j )
(j ∈ {1, . . . , m})
drückt aus, dass in Speicherstelle sj höchstens ein Wert abgelegt wird
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Anwendungen von Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit endlicher Formelmengen (3/6)
Erfüllbarkeit endlicher Formelmengen
• Für (a) ergibt sich insgesamt die Formelmenge
n
Φn,m = {ϕm
i |1 ≤ i ≤ n} ∪ {ψj |1 ≤ j ≤ m}
• Für (b) müssen wir die Unerfüllbarkeit von Φ3,2 nachweisen
• Wir erhalten die Formelmenge
Φ3,2 = {A11 ∨ A12 , A21 ∨ A22 , A31 ∨ A32 }
∪{¬(A11 ∧ A21 ), ¬(A11 ∧ A31 ), ¬(A21 ∧ A31 ),
¬(A12 ∧ A22 ), ¬(A12 ∧ A32 ), ¬(A22 ∧ A32 )}
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Anwendungen von Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit endlicher Formelmengen (4/6)
Erfüllbarkeit endlicher Formelmengen
• Φ3,2 ist genau dann erfüllbar, wenn
χ3,2 =def (A11 ∨ A12 ) ∧ (A21 ∨ A22 ) ∧ (A31 ∨ A32 )
∧¬(A11 ∧ A21 ) ∧ ¬(A11 ∧ A31 ) ∧ ¬(A21 ∧ A31 )
∧¬(A12 ∧ A22 ) ∧ ¬(A12 ∧ A32 ) ∧ ¬(A22 ∧ A32 )
erfüllbar ist
• Diese Formel entspricht der Klauselmenge
K3,2 =def {{A11 , A12 }, {A21 , A22 }, {A31 , A32 },
{¬A11 , ¬A21 }, {¬A11 , ¬A31 }, {¬A21 , ¬A31 },
{¬A12 , ¬A22 }, {¬A12 , ¬A32 }, {¬A22 , ¬A32 }}
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Anwendungen von Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit endlicher Formelmengen (4/5)
• Wir müssen also die Unerfüllbarkeit der Klauselmenge K3,2 zeigen:
{{A11 , A12 }, {A21 , A22 }, {A31 , A32 }, {¬A11 , ¬A21 }, {¬A11 , ¬A31 },
{¬A21 , ¬A31 }, {¬A12 , ¬A22 }, {¬A12 , ¬A32 }, {¬A22 , ¬A32 }}
{¬A12 , ¬A32 }
{¬A21 , ¬A31 }
{A31 , A32 }
{A11 , A12 }
{¬A12 , ¬A22 }
{¬A12 , ¬A21 }
{¬A21 , A32 }
{A11 , ¬A22 }
{A21 , A22 }
{¬A11 , ¬A21 }
{A21 , A22 }
{A11 , ¬A12 }
{A11 }
{A11 , A21 }
{¬A11 , A22 }
{¬A22 , ¬A32 }
{¬A11 , ¬A31 }
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{A11 , A12 }
{A31 , A32 }
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{¬A11 , ¬A32 }
{¬A11 }
{¬A11 , A32 }
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Anwendungen von Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit endlicher Formelmengen (6/6)
Antwort
• Da herleitbar ist, ist χ3,2 also unerfüllbar
• Also ist auch Φ3,2 unerfüllbar
• Also können drei Werte nicht in zwei Speicherstellen gespeichert
werden – Überraschung . . . ;)
Natürlich ließe sich die Klauselmenge K
3,2
auch direkt aus Φ3,2
berechnen
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Anwendungen von Erfüllbarkeit
Allgemeingültige Formeln (1/5)
Die Frage, ob eine Formel allgemeingültig ist, lässt sich aufgrund der
folgenden Beobachtung ebenfalls durch einen Erfüllbarkeitstest lösen:
Lemma 4.9
Eine Formel ϕ ist genau dann allgemeingültig, wenn ¬ϕ unerfüllbar ist.
Beweis
• Wir wollen (für alle ϕ) die Behauptung „(1) ⇔ (2)“ zeigen, wobei
(1) ϕ ist allgemeingültig
(2) ¬ϕ ist unerfüllbar
• Solche Äquivalenzaussagen lassen sich in zwei Schritten beweisen:
– (1) ⇒ (2)
– (2) ⇒ (1)
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Anwendungen von Erfüllbarkeit
Allgemeingültige Formeln (2/5)
Beweis (Forts.)
• Wir zeigen zuerst „(1) ⇒ (2)“: ϕ ist allgemeingültig ⇒ ¬ϕ unerfüllbar
–
⇒
⇒
⇒
⇒
Sei ϕ allgemeingültig
Für jede passende Belegung α ist [[ϕ]]α = 1
Für jede passende Belegung α ist [[¬ϕ]]α = 0
Kein α ist Modell von ¬ϕ
¬ϕ ist unerfüllbar
–
⇒
⇒
⇒
⇒
Sei ¬ϕ unerfüllbar
¬ϕ hat kein Modell (Def unerfüllbar)
Für alle passenden α ist [[¬ϕ]]α = 0
Für alle passenden α ist [[ϕ]] = 1
ϕ ist allgemeingültig
(Def von allg.-gültig)
(Def von [[¬ϕ]]α )
(Def Modell)
(Def erfüllbar)
• Jetzt zeigen wir „(2) ⇒ (1)“: ¬ϕ unerfüllbar ⇒ ϕ allgemeingültig
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(Def Modell)
(Def von [[¬ϕ]]α )
(Def von allgemeingültig)
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Anwendungen von Erfüllbarkeit
Allgemeingültige Formeln (3/5)
Beispiel
• Professor X führt in seiner Logikvorlesung einen etwas komplizierteren
Beweis vor
• Es gibt darin Bedingungen A, B, C, D, die gelten oder nicht gelten
können
• Der Beweis verwendet folgende Fallunterscheidung
1.
2.
3.
4.
5.
Fall:
Fall:
Fall:
Fall:
Fall:
keine der Bedingungen gilt
D gilt, aber nicht A
A gilt, aber nicht C
B gilt, aber nicht D
C gilt
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Anwendungen von Erfüllbarkeit
Allgemeingültige Formeln (4/5)
Beispiel (Forts.)
• Sind dadurch alle Fälle berücksichtigt?
• Aussagenlogisch modelliert führt dies zur Frage, ob
ϕ = (¬A ∧ ¬B ∧ ¬C ∧ ¬D) ∨ (D ∧ ¬A) ∨ (A ∧ ¬C) ∨ (B ∧ ¬D) ∨ C
allgemeingültig ist
• Das ist äquivalent zur Frage, ob
¬ϕ = (A ∨ B ∨ C ∨ D) ∧ (¬D ∨ A) ∧ (¬A ∨ C) ∧ (¬B ∨ D) ∧ ¬C
unerfüllbar ist
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Anwendungen von Erfüllbarkeit
Allgemeingültige Formeln (5/5)
Beispiel (Forts.)
• Dass ¬ϕ in der Tat unerfüllbar ist, zeigt folgender Resolutionsbeweis
{A, B, C, D} {¬C}
{A, B, D}
{¬B, D}
{A, D} {¬D, A}
{A} {¬A, C}
{C}
{¬C}
• Also ist ϕ allgemeingültig und die Fallunterscheidung erfasst alle
möglichen Fälle
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Folgerung und Unerfüllbarkeit (1/4)
Eine der wichtigsten Anwendungen von Erfüllbarkeitstests ist das
Überprüfen von Folgerungen.
Dazu betrachten wir jetzt aussagenlogische Folgerungen:
• Grundsituation:
– Gegeben sind eine Menge Φ von Formeln und eine weitere Formel ψ
– Die Frage ist, ob ψ aus Φ „folgt“, das heißt, ob das Gelten von Φ das
Gelten von ψ zwangsläufig nach sich zieht
• Beispielsweise ist die Formel B immer wahr, wenn die Menge
{A, A → B} wahr ist
Das definieren wir jetzt formal.
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Folgerung und Unerfüllbarkeit (2/4)
Definition 4.4 (Aussagenlogische Folgerung)
• Sei Φ eine Menge von AL-Formeln und ψ eine AL-Formel
• ψ folgt aus Φ, in Zeichen: Φ |= ψ, gdw.a jede zu Φ ∪ {ψ} passende
Belegung, die Modell von Φ ist, auch Modell von ψ ist.
a
gdw. = genau dann, wenn
Beispiel
{A, A → B} |= B
Zu beachten: die Menge Φ kann auch unendlich sein
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Folgerung und Unerfüllbarkeit (3/4)
Die folgende Proposition formuliert den Zusammenhang zwischen
Folgerungen und Erfüllbarkeit:
Proposition 4.10
• Sei Φ eine Menge von AL-Formeln und ψ eine AL-Formel
• Dann gilt: Φ |= ψ gdw. Φ ∪ {¬ψ} ist unerfüllbar
Die Aussage folgt direkt aus der Definition von |=
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Folgerung und Unerfüllbarkeit (4/4)
Wir haben jetzt also eine semantische Folgerungsbeziehung Φ |= ψ
definiert:
• Ist Φ eine Formelmenge und ψ eine Formel, so folgt ψ semantisch aus
Φ, falls in allen Situationen, in denen Φ gilt, auch ψ gilt
• Im Falle der Aussagenlogik werden die „Situationen“ gerade durch die
passenden Belegungen beschrieben
Auch hier gilt, was zu dem simplen Erfüllbarkeitstest gesagt wurde:
• Alle „Situationen“ auszuprobieren ist sehr aufwändig und für
mächtigere Logiken unmöglich
Deshalb interessieren wir uns für syntaktische Methoden zum
Schlussfolgern.
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Semantisches Folgern und syntaktisches
Beweisen (1/3)
Wir wenden uns jetzt also dem syntaktischen Beweisen zu:
• Φ ` ψ soll bedeuten, dass ψ aus Φ durch syntaktische Operationen
hergeleitet (bewiesen) werden kann
• Die genaue Bedeutung von „`“ hängt dabei jeweils von einem
spezifischen Beweissystem ab
• Unsere Mindestanforderung an ein solches Beweissystem ist, dass es
korrekt ist: Φ ` ψ impliziert Φ |= ψ
• Idealerweise sollte ein Beweissystem auch noch vollständig sein:
Φ |= ψ impliziert Φ ` ψ
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Semantisches Folgern und syntaktisches
Beweisen (2/3)
Ein Beweissystem für die Aussagenlogik mit diesen Eigenschaften kennen
wir eigentlich schon: den Resolutionskalkül
Wir wissen, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
• Φ |= ψ
• Φ ∪ {¬ψ} ist unerfüllbar
Unerfüllbarkeit können wir auf syntaktischem Wege mit dem
Resolutionskalkül überprüfen
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Semantisches Folgern und syntaktisches
Beweisen (3/3)
Wir definieren deshalb:
Φ ` ψ gdw. ∈ Res∞ (K(Φ ∪ {¬ψ}))
Dabei bezeichnet K(Φ ∪ {¬ψ}) die Menge aller Klauseln, die sich aus den
Formeln in Φ ∪ {¬ψ} ergeben, wenn sie in KNF gebracht werden.
Zu beachten: Φ darf hier auch eine unendliche Menge sein.
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Logik
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Folgern, Beweisen und Erfüllbarkeit: Beispiel
Beispiel
• Die Frage, ob aus den Formeln A → B und B → C die Formel
A → C folgt, können wir wie folgt notieren:
{A → B, B → C} |=? A → C
• Gemäß Proposition 4.10 ist sie äquivalent zur Frage, ob die
Formelmenge
{A → B, B → C, ¬(A → C)}
unerfüllbar ist
• Wenn wir mit Hilfe des Resolutionskalküls herausfinden, dass diese
Menge unerfüllbar ist, so können wir dies zunächst durch
{A → B, B → C} ` A → C
notieren und aus der Korrektheit des Resolutionskalküls dann
{A → B, B → C} |= A → C
folgern
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139 / 158
AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik: endliche
Version
Satz 4.11 (Vollständigkeitssatz (endl.))
• Sei Φ eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln
• Sei ψ eine (endliche) Formel
• Dann sind äquivalent:
– Φ |= ψ
– Φ`ψ
Beweis
• Sei Φ = {ϕ1 , . . . , ϕn } und ϕ =def ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn
Φ |= ψ ⇔ Φ ∪ {¬ψ} unerfüllbar
⇔ ϕ ∧ ¬ψ unerfüllbar
⇔ ∈ Res∞ (K(ϕ ∧ ¬ψ))
⇔ ∈ Res∞ (K(Φ ∪ {¬ψ}))
⇔Φ`ψ
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Logik
(Prop. 4.10)
(Resolutionssatz)
(Def.)
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Alte Klausuraufgabe (1/3)
Aufgabenstellung
Anton hat gerade seine Logik-Klausur geschrieben. Wie immer diskutiert er
im Anschluss mit seinen Kommilitonen über die einzelnen Aufgaben. Dabei
gelangt er zu folgenden Überlegungen:
1. Für ein Bestehen der Klausur muss er mindestens eine der drei
Aufgaben richtig gelöst haben.
2. Aufgabe 3 konnte er nur dann richtig bearbeiten, wenn er eine der
ersten beiden richtig gelöst hat.
3. Er hat die ersten beiden Aufgaben entweder beide richtig oder beide
falsch gelöst.
(a) Übersetzen Sie Antons Überlegungen in aussagenlogische Formeln.
(b) Zeigen Sie mittels aussagenlogischer Resolution, dass Anton nur dann
die Klausur besteht, wenn er die erste Aufgabe richtig gelöst hat.
→ Folgerungsproblem: Bestehen ⇒ 1. Aufgabe richtig
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Logik
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Alte Klausuraufgabe (2/3)
Beispiellösung
(a) Es ergeben sich:
–
–
–
–
–
(b)
Ai : Anton hat Aufgabe i richtig gelöst
B : Anton hat die Klausur bestanden
ϕ1 =def (¬B ∨ A1 ∨ A2 ∨ A3 )
ϕ2 =def (¬A3 ∨ A1 ∨ A2 )
ϕ3 =def (¬A1 ∨ A2 ) ∧ (A1 ∨ ¬A2 )
– Die Aussage in (b) entspricht der Formel ψ =def B → A1
– Es muss überprüft werden, ob {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 } |= ψ gilt
– Dazu muss die Unerfüllbarkeit von
{¬B ∨ A1 ∨ A2 ∨ A3 , ¬A3 ∨ A1 ∨ A2 , (¬A1 ∨ A2 ) ∧ (A1 ∨ ¬A2 ), B ∧ ¬A1 }
≡ {{¬B, A1 , A2 , A3 }, {A1 , A2 , ¬A3 },
{¬A1 , A2 }, {A1 , ¬A2 }, {B}, {¬A1 }}
gezeigt werden
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Logik
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142 / 158
AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Alte Klausuraufgabe (3/3)
Beispiellösung
• Zeige die Unerfüllbarkeit von {{¬B, A1 , A2 , A3 }, {A1 , A2 , ¬A3 },
{¬A1 , A2 }, {A1 , ¬A2 }, {B}, {¬A1 }}:
{¬B, A1 , A2 , A3 } {B}
{A1 , A2 , A3 } {A1 , A2 , ¬A3 }
{A1 , A2 }
{A1 , ¬A2 }
{A1 }
{¬A1 }
• herleitbar
⇒ Formelmenge unerfüllbar
⇒ {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 } |= ψ gilt
⇒ Anton hat nur bestanden, wenn er Aufgabe 1 richtig hat
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Logik
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143 / 158
AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz
Erfüllbarkeit für unendliche Mengen von
AL-Formeln
Satz 4.11 stellt einen fundamentalen Zusammenhang zwischen
• semantischem Folgern (Φ |= ψ) und
• syntaktischem Beweisen (Φ ` ψ) dar
• Allerdings ist er nur für endliche Mengen Φ formuliert
Gilt er auch für beliebige Mengen aussagenlogischer Formeln?
Wir sehen dazu als nächstes:
• Die Erfüllbarkeit unendlich vieler Formeln lässt sich auf die
Erfüllbarkeit endlich vieler Formeln zurückführen
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144 / 158
AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz der Aussagenlogik (1/10)
Satz 4.12 (Endlichkeitssatz)
Sei AV eine abzählbare Menge von aussagenlogischen Variablen.
Für eine unendliche Menge Φ von AL-Formeln über AV sind äquivalent:
(i) Φ ist erfüllbar
(ii) Jede endliche Teilmenge von Φ ist erfüllbar
Beweis
• (i) ⇒ (ii) ist offensichtlich
• Gelte also nun (ii); zu zeigen: Φ ist erfüllbar
• OBdA: Φ verwendet nur Variablen der Art Ai mit i ∈ N
• Wenn es zwei Formeln ϕ 6= ψ in Φ mit ϕ ≡ ψ gibt, ändert sich die
Erfüllbarkeit von Φ nicht, wenn wir ψ entfernen
• Wir können also jetzt annehmen, dass Φ keine Formeln ϕ 6= ψ mit
ϕ ≡ ψ enthält
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Logik
WS 2014/15
145 / 158
AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz der Aussagenlogik (2/10)
Beweis (Forts.)
• Für jedes n ≥ 1 sei Φn die Menge aller Formeln aus Φ, die nur
Variablen aus {A1 , . . . , An } verwenden; es gilt: Φn ⊆ Φn+1
n
• Da es, für jedes n, nur 22 verschiedene Wahrheitstabellen für
n
A1 , . . . , An gibt und damit nur 22 semantisch verschiedene Formeln
über A1 , . . . , An , ist Φn insbesondere endlich
• Da nach Voraussetzung (ii) jede endliche Teilmenge von Φ eine
erfüllende Belegung hat, ist also jedes Φn erfüllbar
• Unser Plan:
(1) Wir wählen für jedes Φn eine erfüllende Belegung αn
(2) Wir konstruieren daraus induktiv eine Belegung α aller Variablen Ai
(3) Dann zeigen wir: α |= Φ
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Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz der Aussagenlogik (3/10)
Beweis (Forts.)
• Seien jetzt also erfüllende Belegungen αn für die Mengen Φn gewählt
(Schritt 1)
• Beobachtung (*): da Φn ⊆ Φn+1 ⊆ . . . , gilt für alle i ≥ n : αi |= Φn
• Idee: Wir definieren α auf A1 , . . . , An so, wie „die Mehrheit“ der αi
mit i ≥ n
• Komplikation: in unendlichen Mengen können die
Mehrheitsverhältnisse „schwierig“ sein
– Beispiel: in N sind weder die geraden noch die ungeraden Zahlen in der
Mehrheit
• Modifizierte Idee: Wir definieren α auf A1 , . . . , An so, dass es mit
unendlich vielen der αi mit i ≥ n übereinstimmt
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AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz der Aussagenlogik (4/10)
Beweis (Forts.)
Schritt (2): Wir konstruieren aus den αn induktiv eine Belegung α:
• Definition von α(A1 ):
– α(A1 ) =def 1, falls für unendlich viele i gilt αi (A1 ) = 1
– α(A1 ) =def 0, andernfalls
(dann gibt es unendlich viele i mit αi (A1 ) = 0)
• Sei nun I1 =def {i ∈ N|α(A1 ) = αi (A1 )}
– I1 enthält also alle i, für die αi mit α auf A1 übereinstimmen
⇒ I1 ist unendlich!
• α stimmt also mit unendlich vielen αi in A1 überein
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Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz der Aussagenlogik (5/10)
Beweis (Forts.)
• Definition von α(An ) für n > 1, wenn In−1 (unendlich!) bekannt:
– α(An ) =def 1, falls für unendlich viele i ∈ In−1 gilt: αi (An ) = 1
– α(An ) =def 0, andernfalls
– und wieder gilt dann für unendlich viele i : α(An ) = αi (An )
• In =def {i ∈ In−1 |α(An ) = αi (An )} (unendlich!)
– In enthält also alle i ∈ In−1 , für die αi mit α auf A1 , . . . , An
übereinstimmen
– Außerdem: In ist unendlich!
• α stimmt also mit unendlich vielen αi auf A1 , . . . , An überein
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Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz der Aussagenlogik (6/10)
Beweis (Forts.)
• Es fehlt nur noch Schritt (3): Zeige α |= Φ
–
⇒
⇒
–
Sei dazu ϕ ∈ Φ beliebig
es gibt ein n, so dass ϕ ∈ Φn
αi |= ϕ, für alle i ≥ n (wegen Beobachtung (*))
In enthält unendlich viele i, für die αi mit α auf A1 , . . . , An
übereinstimmen, also auch unendlich viele solcher i ≥ n
– Insbesondere gibt es also ein j ≥ n mit
α(A1 ) = αj (A1 ), . . . , α(An ) = αj (An )
⇒ α |= ϕ (da αj |= ϕ)
– Da dies für jede Formel ϕ ∈ Φ gilt, folgt: α |= Φ
Satz 4.12 wird oft auch Kompaktheitssatz genannt.
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Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz der Aussagenlogik (7/10)
Als Beispiel für die Mächtigkeit des Endlichkeitssatzes zeigen wir den
folgenden Satz:
Satz 4.13
• Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph mit einer abzählbaren
Knotenmenge V
• Falls jeder endliche Teilgraph von G 3-färbbar ist, dann ist auch G
3-färbbar
Beweis
• Sei also jeder endliche Teilgraph von G 3-färbbar
• Sei V = {v1 , v2 , . . .} und seien c1 , c2 , c3 die erlaubten Farben
• Wir verwenden aussagenlogische Variablen Ai,j für i ∈ N und
j ∈ {1, 2, 3} mit der Bedeutung:
– Ai,j : „Knoten vi wird mit Farbe cj gefärbt“
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Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz der Aussagenlogik (8/10)
Beweis
• Für jedes i ∈ N sei ϕi =def Ai,1 ∨ Ai,2 ∨ Ai,3
(Knoten i hat mindestens eine Farbe)
• Für jedes i 6= l sei ψi,l =def ¬(Ai,j ∧ Al,j )
(Knoten i und l haben verschiedene Farben)
• Sei Φ =def {ϕi |i ∈ N } ∪ {ψi,l |(vi , vl ) ∈ E}
• Klar: G 3-färbbar ⇔ Φ erfüllbar
• Jede endliche Teilmenge von Φ spricht über einen endlichen
Teilgraphen von G und ist daher erfüllbar nach Voraussetzung
⇒ Φ ist erfüllbar
⇒ G ist 3-färbbar
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Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz der Aussagenlogik (9/10)
Zur weiteren Illustration der Mächtigkeit des Endlichkeitssatzes betrachten
wir das folgende Beispiel:
Beispiel
• Sei V = {Ai |i ∈ N}
• Für jedes i ≥ 1 sei
ϕi = ((A3i−2 ∧ A3i−1 ) ∨ (A3i−2 ∧ A3i ) ∨ (A3i−1 ∧ A3i ))
∧ ¬(A3i−2 ∧ A3i−1 ∧ A3i )
– (jeweils genau 2 der 3 Variablen A1 , A2 , A3 und A4 , A5 , A6 und
A7 , A8 , A9 . . . sind jeweils wahr)
• Für jedes i ≥ 1 sei ψi =def Ai ↔ Ai2 +1
• Ist Φ =def {ϕi , ψi |i ≥ 1} erfüllbar?
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Endlichkeitssatz
Endlichkeitssatz der Aussagenlogik (10/10)
Beispiel (Forts.)
• Der Versuch, zunächst die Formeln ϕi mit einem
systematischen/periodischen Muster (z.B. 10101010101. . . ) oder
1101110111011101. . . ) wahr zu machen, schlägt fehl
• Wir können aber für jede Menge Φn (definiert wie oben) induktiv eine
Belegung konstruieren
• Der (Beweis des) Endlichkeitssatz(es) garantiert, dass auf diese Art ein
Modell für Φ gefunden werden kann
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Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik
Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik:
abzählbare Version (1/3)
Satz 4.14 (Vollständigkeitssatz (abz.))
• Sei Φ eine Menge aussagenlogischer Formeln über einer abzählbaren
Menge aussagenlogischer Variablen
• Sei ψ eine aussagenlogische Formel
• Dann sind äquivalent:
– Φ |= ψ
– Φ`ψ
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Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik
Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik:
abzählbare Version (2/3)
Beweis
• Es gelte Φ |= ψ
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Φ ∪ {¬ψ} ist unerfüllbar
(nach Definition)
es gibt eine unerfüllbare endl. Teilmenge Φ0 von Φ ∪ {¬ψ} (Satz 4.12)
∈ Res∞ (K(Φ0 ))
(Satz 3.8)
∈ Res∞ (K(Φ ∪ {¬ψ}))
(da Φ0 ⊆ Φ ∪ {¬ψ})
Φ`ψ
(nach Definition)
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Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik
Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik:
abzählbare Version (3/3)
Beweis (Forts.)
• Gelte umgekehrt Φ ` ψ
– Also: ∈ Res∞ (K(Φ ∪ {¬ψ}))
⇒ ∈ Resk (K(Φ ∪ {¬ψ})), für ein k
– Es gibt also einen Resolutionsbeweis der Tiefe k für aus
K(Φ ∪ {¬ψ})
– Sei Φ0 die (endliche!) Menge von Formeln aus Φ ∪ {¬ψ}, die in diesem
Beweis verwendet werden
⇒ Φ0 ist unerfüllbar
⇒ Φ ∪ {¬ψ} ist unerfüllbar
⇒ Φ |= ψ
(nach Definition)
Sowohl der Endlichkeitssatz als auch der Vollständigkeitssatz lassen sich
auch für nicht abzählbare Variablenmengen zeigen; der Beweis verwendet
dann das Auswahlaxiom.
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Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik
Zusammenfassung
Sie sollten die folgenden Themen und Techniken kennen und beherrschen:
• Der Resolutionskalkül lässt sich auch verwenden, um
– Erfüllbarkeit für endliche Mengen von Formeln zu testen
– Allgemeingültigkeit von Formeln zu testen, und
– semantische Schlussfolgerungen zu überprüfen
• Wir können die Methoden zum Nachweis der Unerfüllbarkeit von
Formeln auch auf unendliche Formelmengen erweitern
• Die entscheidende Verbindung stellt dabei der Endlichkeitssatz bereit
• Die Hauptanwendung des Endlichkeitssatzes ist der
Vollständigkeitssatz, der die Äquivalenz des semantischen Folgerns und
des syntaktischen Beweisens für (unendliche) Mengen
aussagenlogischer Formeln zeigt
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