Mathematik - Klasse 05

 5 / 1 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Ganze Zahlen – Zahlengerade Menge der natürlichen Zahlen Menge der natürlichen Zahlen mit Null € Menge der ganzen Zahlen {
}
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} !!
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} !!
IN = 1, 2, 3, 4, 5, ... !!
0
€
Auf der Zahlengerade liegen die negativen Zahlen −1, −2, −3, ... links von der Null, die !!
€ von der Null. positiven Zahlen +1, +2, +3, ... rechts !!
Die Entfernung zweier Punkte auf der Zahlengerade, die zu benachbarten ganzen Zahlen gehören, ist stets gleich und heißt Längeneinheit (LE). €
LE: 1cm €
(
(
)
-2
)
-1
0
1
2
3
4
LE: 3cm 0
1
2
Je größer die Zahl ist, desto weiter rechts steht sie auf der Zahlengerade. Beispiele: !−2
! < −1 !−2
! < 4 !2! < 4 €
€
€
Grundwissen Mathematik 5. Klasse 5 / 2 Ganze Zahlen – Betrag und Gegenzahl – Runden Die Entfernung einer Zahl a auf der Zahlengeraden von der Null heißt Betrag von a und wird mit a bezeichnet. !!
Beispiele: −7 = 7 5 = 5 −5 = 5 0 = 0 !!
!!
!!
!!
€
Zu jeder von null verschiedenen Zahl gibt es eine Zahl auf der Zahlengerade, die auf der anderen Seite der Null liegt und die gleiche Entfernung von Null hat. Diese Zahl heißt €
€
€
€
Gegenzahl. Beispiele: !!−5 ist die Gegenzahl zu !+5
! !!+3 ist die Gegenzahl zu !−3
! Für das Runden ist nur die Ziffer von Bedeutung, die der Stelle, auf die gerundet werden €
€
soll, unmittelbar folgt. €
€
Bei den Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4 Bei den Ziffern 5, 6, 7, 8 und 9 rundet man ab. rundet man auf. Bsp.: !!1527 ≈ 1500 Bsp.: !!1527 ≈ 1530 (gerundet auf Hunderter) (gerundet auf Zehner) €
€
Grundwissen Mathematik 5. Klasse 5 / 3 Addition ganzer Zahlen Haben die beiden Summanden gleiche Vorzeichen: 1. Addiere ihre Beträge. 2. Gib dem Ergebnis das gemeinsame Vorzeichen. ( ) ( )
( ) ( )
Beispiele: +17 + +29 = +46 !!
−17 + −29 = −46 !!
€
Haben die beiden Summanden verschiedene Vorzeichen: €
1. Subtrahiere vom größeren Betrag den kleineren Betrag. 2. Gib dem Ergebnis das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag. ( ) ( )
( ) ( )
Beispiele: +67 + −56 = +11 !!
−67 + +56 = −11 !!
€
€
Grundwissen Mathematik 5. Klasse 5 / 4 Subtraktion ganzer Zahlen Eine ganze Zahl wird subtrahiert, indem man ihre Gegenzahl addiert. ( ) ( ) ( ) ( )
Bsp.: +15 − −8 = +15 + +8 = 23 !!
€
Vereinfachung der Schreibweise bei Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Zwei aufeinander folgende gleiche Zeichen können durch ein + ersetzt werden. ( ) ( )
Beispiele: −12 + +13 = −12+13 = 1 !!
(−12) − (−13) = −12+13 = 1 !!
Zwei aufeinander folgende verschiedene Zeichen können durch ein – ersetzt werden. ( ) ( )
€
+12 − +13 = 12 −13€
= −1 Beispiele: !!
€
€
(−12) + (−13) = −12 −13 = −25 !!
5 / 5 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Das Koordinatensystem y-Achse
Um die Lage von Punkten in der Zeichenebene zu beschreiben verwendet man zwei Zahlengeraden, die senkrecht zueinander angeordnet sind. Man erhält ein Koordinatensystem. Der Punkt A hat die x-­‐Koordinate -­‐2 und die y-­‐Koordinate 3. kurz: A(-­‐2/3) B(1/1) ; C(-­‐4/-­‐3) ; D(1/-­‐1) Jeder Punkt lässt sich durch ein Zahlenpaar, bestehend aus x-­‐ und y-­‐
Koordinate, beschreiben. x-Achse
Beispiele: Ursprung
5 / 6 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Strecke – Gerade – Kreis Die Strecke AB ist die kürzeste Verbindung der beiden Punkte A und B. !!
•
€
Halbgerade AB !!
[ ]
•
•
[
Gerade AB [ ]
Länge der Strecke AB : !AB
! = 3cm !!
€
€
€
• Alle Punkte eines Kreises haben von seinem Mittelpunkt M den gleichen Abstand. Dieser Abstand heißt Radius r des Kreises. 5 / 7 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Winkel Zwei Halbgeraden mit demselben Anfangspunkt bilden einen Winkel. Winkel werden mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet: α (alpha) β (beta) γ (gamma) δ (delta) ε (epsilon) €
€
Winkelarten: €
spitzer Winkel stumpfer Winkel €
€
o
o
o
!!90 < α < 180 !!0 < α < 90 rechter Winkel €
überstumpfer Winkel €
o
!!α = 90 €
o
o
o
!!180 < α < 360 €
Grundwissen Mathematik 5. Klasse 5 / 8 Parallele und senkrechte Geraden – Abstand €
Die Geraden a und b sind jeweils senkrecht zur Geraden c. €
Kurz: a⊥c und b⊥c Die Geraden a und b sind zueinander parallel. Kurz: !!a|| b Der Abstand des Punktes P von der Geraden g ist die kürzeste Entfernung des Punktes P von g. !!AP = 2,6 cm 5 / 9 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Achsensymmetrie Zwei Punkte P und P’ liegen bezüglich einer Geraden g symmetrisch, wenn [ ]
•
die Verbindungsstrecke PP" senkrecht ist !!
zur Geraden g und •
P und P’ den gleichen Abstand von g haben. €
Die Gerade g nennt man Symmetrieachse. Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn es zu jedem Punkt der Figur einen achsensym-­‐ metrischen Punkt gibt. Symmetrieachse 5 / 10 Grundwissen Mathematik 5.Klasse Multiplikation und Division ganzer Zahlen Zwei ganze Zahlen werden multipliziert / dividiert, indem man ihre Beträge multi-­‐ pliziert / dividiert und dem Ergebnis als Vorzeichen ein + gibt, wenn beiden Zahlen gleiche Vorzeichen haben, €
– gibt, wenn beiden Zahlen verschiedene Vorzeichen haben. . Beispiele: 3⋅ 2 = +6 = 6
+ – + + – – – + 24 :3 = +8 = 8
(−3)⋅ 2 = −6
3⋅ ( −2) = −6
−3 ⋅ −2 = +6 = 6
!!( ) ( )
€
(−24) :3 = −8
24 : ( −3) = −8
−24) : ( −3) = +8 = 8
!!(
: 5 / 11 Grundwissen Mathematik 5.Klasse Grundrechenarten Unter den vier Grundrechenarten versteht man die Addition und die Subtraktion sowie die Multiplikation und die Division. Es gelten folgende Bezeichnungen: Addition 1. Summand
2
Subtraktion Minuend
2. Summand
+
7
Subtrahend
7
= 9
-
3
= 4
Differenz
Summe
Multiplikation 1. Faktor
Division 2. Faktor
Dividend
3 ⋅ 5 = 15
8
Divisor
:
4
= 2
Quotient
Produkt
5 / 12 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Potenzen Produkte mit lauter gleichen Faktoren lassen sich als Potenz schreiben: Basis
Exponent
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 4 Potenz
Potenzen mit Basis 10 Potenzen mit Exponent 2 liefern Quadratzahlen: liefern Stufenzahlen: 2
2
2
2
101 = 10
!!12 = 1 !!2 = 4 !!3 = 9 !!4 = 16 !!5 = 25 2
2
2
2
102 = 100
!!62 = 36 !!7 = 49 !!8 = 64 !!9 = 81 !!10 = 100 2
2
2
2
103 = 1⋅000
!!112 = 121 !!12 = 144 !!13 = 169 !!14 = 196 !!15 = 225 4
⋅
€
€
€
€
2
2 €
2
2
!!162 = 256 !!10 = 10000
!!17 = 289 !!18 = 324 !!19 = 361 !!20 = 400 €
€
€
€
€
... ... €
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
5 / 13 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Zählprinzip Lässt sich ein Vorgang in Stufen zerlegen, so erhält man die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, indem man die Anzahl der Möglichkeiten der einzelnen Stufen miteinander multipliziert. Bsp.: Wie viele verschiedene Wörter mit den drei Buchstaben kann man aus P, A und N bilden, wenn jeder Buchstabe genau einmal vorkommen darf? Veranschaulichung mit einem Baumdiagramm: Es gibt insgesamt !!3⋅ 2⋅ 1 = 6 Möglichkeiten. €
5 / 14 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Rechengesetze Assoziativgesetz der Addition: Für alle ganzen Zahlen a, b, c gilt: Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle ganzen Zahlen a, b, c gilt: (a + b) + c = a + (b + c) Bsp.: [( −3) +6] +5 = ( −3) + [6 +5] !!
€ €
€
Kommutativgesetz der Multiplikation: Für alle ganzen Zahlen a und b gilt: ( ) ( )
Distributivgesetz: € Für alle ganzen Zahlen a, b und c gilt: (
)
( )
[(− 3) ⋅ 2]⋅ 5 = (− 3) ⋅ [2 ⋅ 5] Bsp.: !! a + b = b + a Bsp.: 3+ −6 = −6 +3 !!
€
Kommutativgesetz der Addition: Für alle ganzen Zahlen a und b gilt: ( )
a⋅ b ⋅ c = a⋅ b⋅ c !!
!!
!!a⋅ b = b⋅ a (−6)⋅ 3 = 3⋅ (−6) Bsp.: !!
€
€
(
)
a⋅ b + a⋅ c = a⋅ b + c oder a⋅ b − a⋅ c = a⋅ b − c !!
!!
Bsp.: 16 ⋅ 7 + 16 ⋅ 3 = 16 ⋅ ( 7 + 3) = 16 ⋅10 = 160 Vorteilhaft rechnen! €
€
€
5 / 15 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Verbindung der Grundrechenarten und Potenzen Grundregeln:  Klammern haben absoluten Vorrang. Löse sie von innen nach außen auf!  Rechne „Hoch vor Punkt vor Strich!“  Sind Rechenarten gleichberechtigt, so muss von links nach rechts gerechnet werden! Beispiele (−15) : (17 −12) −5 = (−15) :5 −25 = −3 −25 = −28 2
!! 3
3
[(5 −7)⋅ (−8) − (−5)] = [(−2)⋅ (−8) +5] = [16 +5]
!!
3
= 213 = 9261 €
2
!! 20 −5⋅ 8 = 20 −5⋅ 64 = 20 −320 = −300 2
2
20 − 8⋅ 5) = (20 − 40) = ( −20)
!!(
€
2
= 400 €
2
!!5 −20 ⋅ 8 = 5 − 400⋅ 8 = 5 −3200 = −3195 €
€
5 / 16 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Gliederung von Termen Rechenausdrücke, die mit Zahlen, Platzhaltern, Klammern und Rechenzeichen gebildet werden, heißen Terme. Die zuletzt ausgeführte Rechnung legt die Art des Terms fest. Terme lassen sich mit Gliederungsbäumen oder in Wortform beschreiben. Beispiel: !!7⋅ 5 −(18+6): 8 Art des Terms: Differenz Differenz
Minuend
€
Produkt 1. Faktor 7 Subtrahend
Quotient
2. Faktor 5 Dividend Summe 1. Summand 18 Divisor 8 1. Summand 6 Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 7 und 5 einen Quotienten, dessen Dividend die Summe der Zahlen 18 und 6 ist und die Zahl 8 als Divisor besitzt. 5 / 17 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Primzahlen und Primfaktorzerlegung Primzahlen sind natürliche Zahlen, ausgenommen der Eins, welche nur durch Eins und sich selbst geteilt werden können. Die Menge der Primzahlen {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …} ist unendlich groß. Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt aus lauter Primzahlpotenzen schreiben. Diese Zerlegung heißt Primfaktorzerlegung. Beispiele: !!455 = 5⋅ 7⋅ 13 3
2
!!600 = 6⋅ 10⋅ 10 = 2⋅ 3⋅ 2⋅ 5⋅ 2⋅ 5 = 2⋅ 2⋅ 2⋅ 3⋅ 5⋅ 5⋅ = 2 ⋅ 3⋅ 5 €
€
5 / 18 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Einheiten: Geld – Länge – Masse – Zeit Geld: 1 € = 100 ct Länge: 1 km = 1000 m 1 dm = 10 cm 1 m = 10 dm 1 cm = 10 mm Umrechnungszahl: 10 Masse: 1 t = 1000 kg 1 g = 1000 mg 1 kg = 1000 g Umrechungszahl: 1000 Zeit: 1 d = 24 h 1 h = 60 min 1 min = 60 s Umrechnungszahl: 100 Beispiele: 1060000 g = 1060 kg = 1,06 t 1,037 km = 1037 m = 10370 dm 1 h 45 min = 105 min = 6300 s 3 € 1 ct = 301 ct = 3,01 € 1,5 t + 710 kg = 1500 kg + 710 kg = 2210 kg = 2,210 t = 2,21 t 2 € 95 ct – 1 € 7 ct =295 ct – 107 ct = 188 ct = 1,88 € Gleiche Einheit! 5 / 19 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Maßstab € Ist ein Modell oder eine Landkarte im Maßstab !!1:3000000 (lies: „1 zu 3000000“) abge-­‐
bildet, so entspricht 1cm im Modell oder auf der Landkarte in Wirklichkeit !!3000000cm. Bsp. 1: €
Die Entfernung auf einer Landkarte zwischen zwei Städten beträgt bei einem Maßstab €
von !!1:3000000 4 cm. In Wirklichkeit beträgt die Entfernung !!3000000⋅ 4 cm = 12000000 cm = 120 km . Bsp. 2: Ein Kirchturm ist 15 m hoch. €
Ein Modell im Maßstab !!1:100 ist !!15 m :100 = 1500 cm :100 = 15 cm hoch. €
€
5 / 20 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Flächeneinheiten 1 km2 = 100 ha (Hektar) 1 ha = 100 a (Ar) 1 a = 100 m² 1 m2 = 100 dm2 1 dm2 = 100 cm2 1 cm2 = 100 mm2 1 km2 45 ha 17 a 11 m2 = 1451711 m2 = 145171100 dm2 7ha 11 a 5 m2 = 71105 m2 Umrechungungszahl: 100 Beispiele: Null beachten! 27 ha 81 a 29 m2 + 88a 88 m2 = 27 ha 169 a 117 m2 = 28 ha 70 a 17 m2 1 ha 56 a 55 m2 : 1 a 1 m2 = 15655 m2 : 101 m2 = 155 5 / 21 Grundwissen Mathematik 5. Klasse Umfang u und Flächeninhalt A von Rechteck und Quadrat Rechteck Quadrat ( )
u = 2⋅ l +2⋅ b = 2⋅ l + b !!
!!A = l⋅ b Beispiele: 2
!!A = a €
€
€
€
!!Umfang u = 2⋅ 12m +2⋅ 18m = 60m 2
!!Flächeninhalt A = 12m⋅ 18m = 216m !!Seitenlänge a = u : 4 = 44m : 4 = 11m Flächeninhalt A = 11m = 121m2 !!
(
)
2
€ €
Grundwissen Mathematik 5. Klasse Quader und Würfel €
€
2. Gegeben ist ein Quadrat mit Umfang u = 44 m . € €
!!u = 4⋅ a 1. Gegeben ein Rechteck mit Länge l = 12m und Breite b = 18 m . €
Schrägbild eines Quaders: Netz eines Quaders: Oberfläche eines Quaders: !!O = 2⋅ l⋅ b +2⋅ l⋅ h +2⋅ b⋅ h Bsp.: !!l = 3cm, b = 2cm, h = 2cm 2
!!O = 2⋅ 3cm⋅ 2cm +2⋅ 3cm⋅ 2cm +2⋅ 2cm⋅ 2cm = 32cm Oberfläche eines Würfels: €
2
!!O = 6⋅ a 5 / 22