technische universit¨at m¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , F RANK VALLENTIN
Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester 2002)
— Wiederholungsklausur (11. Oktober 2002) —
Aufgabe 1. Logik
(20 = 10 + 10 Punkte)
1.) Gegeben seien die vier Belegungen A1 , A2 , A3 , A4 mit
A1 (A) = 1
A2 (A) = 1
A3 (A) = 0
A4 (A) = 1
A1 (B) = 1
A2 (B) = 0
A3 (B) = 1
A4 (B) = 1
A1 (C) = 0
A2 (C) = 1
A3 (C) = 1
A4 (C) = 1
a.) Finden Sie eine aussagenlogische Formel F in den atomaren Formeln A, B, C, für die die
Belegungen A1 , A2 und A3 Modelle sind.
b.) Wie viele semantisch verschiedene Formeln in den atomaren Formeln A, B, C gibt es, für
die die Belegungen A1 , A2 und A3 Modelle sind?
c.) Finden Sie eine aussagenlogische Formel G in den atomaren Formeln A, B, C, für die die
Belegungen A1 , A2 und A3 Modelle sind und die Belegung A4 kein Modell für G ist.
2.) Gegeben sei die prädikatenlogische Formel
F = ∀x∀y∃z (f (x, y) = z) ∧ (f (y, x) = z)
a.) Zeichnen Sie den Ableitungsbaum von F .
b.) Geben Sie eine Struktur an, die ein Modell für F ist.
c.) Geben Sie eine Struktur an, die kein Modell für F ist.
Aufgabe 2. Registermaschine
Gegeben sei folgendes Registermaschinenprogramm:
0:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
R1 := 1
R2 := 1
R3 := R2 · R2
R4 := R0 . R3
IF R4 = 0 GOTO 7
R2 := R2 + R1
GOTO 2
R5 := R3 . R0
IF R5 = 0 GOTO 11
R6 := 0
GOTO 12
R6 := 1
STOP
(10 Punkte)
Dieses Programm testet, ob eine natürliche Zahl n (im Register R0 ) eine bestimmte Eigenschaft besitzt (Register R6 ). Welche Eigenschaft besitzt n, wenn R6 = 1 ist?
Zur Erinnerung: Es ist a . b = max{a − b, 0}.
Aufgabe 3. Folgen und Reihen
1.)
(20 = 5 + 5 + 5 + 5 Punkte)
a.) Beweisen Sie die Konvergenz der folgenden Reihe durch Anwendung eines geeigneten
Kriteriums. Welches Kriterium haben Sie verwendet?
∞
X
(−1)n+1
n=1
2n + 1
n(n + 1)
b.) Es gilt
m
X
n+1
(−1)
n=1
2n + 1
(−1)m
=1−
.
n(n + 1)
m+1
Verwenden Sie dies, um den Grenzwert der Reihe aus Aufgabenteil a.) zu bestimmen.
2.) Bestimmen Sie ein q ∈ R, für das die folgende Formel gilt:
∞
X
q n = 5.
n=0
3.) Beweisen Sie die Konvergenz der Reihe
∞ n
X
1
n=1
n
,
indem Sie die gegebene Reihe mit einer geeigneten geometrischen Reihe vergleichen.
Aufgabe 4. Stetige Funktionen
(20 = 7 + 7 + 6 Punkte)
1.) Beweisen Sie mit Hilfe der ε-δ-Stetigkeitsdefinition, dass die Funktion
f (x) = (x − 2)2
an der Stelle x = 2 stetig ist.
2.) Beweisen Sie mit Hilfe der Folgenstetigkeitsdefinition, dass die Funktion
2x+3
für x 6= 0
x2
g(x) =
0
für x = 0
an der Stelle x = 0 nicht stetig ist.
3.) Bestimmen Sie den Grenzwert
lim
x→−2
2x2 + 8x + 8
+3 .
x+2
Aufgabe 5. Differenzierbare Funktionen
(25 = 5 + 10 + 10 Punkte)
1.) Zerlegen Sie die Zahl 15 so in eine Summe von zwei reellen Zahlen, dass ihr Produkt maximal
wird.
2.) Gegeben sei die Funktion
f :]0, ∞[→ R mit f (x) = x2 · log x
a.) Bestimmen Sie die erste Ableitung und die zweite Ableitung der Funktion f .
b.) Bestimmen Sie die lokalen Minima und Maxima der Funktion f .
3.) Der hyperbolische Sinus und der hyperbolische Kosinus sind definiert durch
ex + e−x
ex − e−x
,
cosh x :=
.
2
2
a.) Zeigen Sie, dass (sinh x)0 = cosh x gilt.
b.) Weisen Sie die Gleichung (cosh x)2 − (sinh x)2 = 1 nach.
c.) Der hyperbolische Sinus besitzt eine Umkehrfunktion, die mit arsinh bezeichnet wird.
Zeigen Sie, dass gilt
1
.
(arsinh x)0 = √
x2 + 1
sinh x :=
Aufgabe 6. Integration
(20 = 10 + 10 Punkte)
1.) Bestimmen Sie das Integral
Z
5
1
x2 + 2x + 1
dx.
2x3 + 2x
2.) Gegeben sei die Funktion
1
f (x) = x3 .
6
a.) Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen von f im Intervall [1, 3].
b.) Welche Parallele zur y-Achse teilt diese Fläche so, dass zwei flächengleiche Teilstücke
entstehen?
f :R→R
mit
Aufgabe 7. Eigenwerte und Differentialgleichungen
(15 = 10 + 5 Punkte)
1.) Gegeben sei die Matrix
A=
a b
b c
∈ R2×2 .
a.) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A.
b.) Weisen Sie nach, dass die Eigenwerte von A reell sind.
2.) Bestimmen Sie eine differenzierbare Funktion f : R → R, die die Differentialgleichung
f 0 (x) + 7f (x) = 0
und die Anfangsbedingung f (0) = 1000 erfüllt.
— VIEL ERFOLG! —