Inhaltsverzeichnis - Schulbuchzentrum Online

Inhaltsverzeichnis
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Komplexe Zahlen und Gleichungen hçheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Imaginrzahlen und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die GAUSS’sche Zahlenebene; Polarform einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Multiplikation komplexer Zahlen in Polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Division komplexer Zahlen in Polarform; Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Quadratische Gleichungen in ¼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Polynomialgleichungen mit reellen Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Vermischte bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schularbeitstraining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Zwei Anwendungen der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Grundlagen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Berechnen von Tangentensteigungen bei Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Berechnen der Tangentensteigung beim Graphen von f(x)=x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Bestimmen der Ableitung bei weiteren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Analytische Definition der Ableitung – Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Analytische Definition der Ableitung – Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Ableitungsfunktion – erste, zweite, dritte . . . Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Vermischte bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Zur Geschichte der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ableitungsregeln – Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Potenzregel fr positive ganze Zahlen als Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Summen- und Differenzregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Produkt- und Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Verketten von Funktionen – Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Verketten von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Implizites Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Grenzwert einer Funktion an einer Stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Vermischte bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schularbeitstraining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Funktionsuntersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Extremstellen – Notwendiges Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Hinreichende Kriterien fr Extremstellen – Monotoniesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung als hinreichendes Kriterium fr Extremstellen . . . . . .
4.2.2 Monotonie und Vorzeichen der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Hinreichendes Kriterium fr relative Extremstellen mittels der 2. Ableitung . . . . . . . . . . .
4.3 Krmmung – Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Begriff der Polynomfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Untersuchen von Polynomfunktionen mit Methoden der Differentialrechnung . . . . . . . . . .
4.5 Vermischte bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schularbeitstraining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Algorithmus als zentraler Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Weitere Funktionstypen – Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Grundeigenschaften gebrochenrationaler Funktionen und Aufbau gebrochenrationaler
Funktionen aus einfachen Grundtypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 5.2 Das NEWTON -Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Anwendungen der Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Geschwindigkeit als punktuelle nderungsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Weitere Beispiele fr nderungsraten in Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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s 5.4 Untersuchung weiterer Funktionstypen und ihrer Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Trigonometrische Funktionen – Schwingungsvorgnge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Vermischte bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Blickpunkt: Verkehrsfluss in Abhngigkeit von der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schularbeitstraining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Nichtlineare analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Der Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Gleichung eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Ermittlung von Mittelpunkt und Radius eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Kreis und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Gleichungen von Kreistangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Aufstellen von Tangentengleichungen unter speziellen Vorgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Die Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Gleichung einer Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Ellipse und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Gleichungen von Tangenten an Ellipsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Die Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Gleichung einer Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Hyperbel und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Die Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Aufstellen von Parabelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Parabel und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Die Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Definition und Gleichung der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Vermischte bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Beschreibung ebener Kurven durch Parameterdarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Parameterdarstellung von Geraden und Kegelschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Weitere Beispiele ebener Kurven in Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 6.8 Parameterdarstellung von Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s 6.9 Parameterdarstellung von Flchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Blickpunkt: Historisches und Grundstzliches zu Kegelschnittslinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schularbeitstraining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Hufigkeits- und Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Hufigkeitsverteilung eines Merkmals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Zufallsvariable und deren Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Erwartungswert einer Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Varianz und Standardabweichung als Maße fr die Streuung einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.2 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.2.1 BERNOULLI -Versuche und Binomialverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.2.2 Erwartungswert einer Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.2.3 Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Blickpunkt: Tests auf Zuflligkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.3 Weitere Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3.1 Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3.2 Geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.4 Vermischte bungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Blickpunkt: Der Exakte Test von FISHER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Schularbeitstraining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Exkurs: Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
s Anhang I Mathematische Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Anhang II Lçsungen zum Schularbeitstraining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Anhang III Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Anhang IV Mathematische Zeichen – Englische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Anhang V Moderne Rechenhilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . www.dorner-verlag.at
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s Zusatzstoff . s fr Schulformen mit mehr als 3 Wochenstunden obligatorisch