Inhaltsverzeichnis - Schulbuchzentrum Online

Inhaltsverzeichnis
1.
Funktionen
8
1.1
Funktionen und ihre Darstellung
9
Blickpunkt: Grafikfähige Taschenrechner
17
1.2
1.2.1
1.2.2
Lineare Funktionen ± Geraden
Begriff der linearen Funktion
Parallelität und Orthogonalität von Geraden
19
19
22
1.3
Quadratische Funktionen
24
Klausurtraining
28
Exkurs: Der Funktionsbegriff als fundamentaler Begriff der Mathematik
30
2.
Folgen und Grenzwerte
32
2.1
2.1.1
2.1.2
Folgen als Hilfsmittel zum Beschreiben funktionaler Zusammenhänge
Folgen und ihre Darstellung
Geometrische Folgen
33
33
38
2.2
2.2.1
2.2.2
Grenzwerte bei Folgen
Grenzwert einer Folge
Grenzwertsätze für Folgen
42
42
46
2.3
2.3.1
2.3.2
Geometrische Reihen
Geometrische Reihen als Folgen
Konvergenz der geometrischen Reihe
49
49
52
Blickpunkt: Web-Diagramme
54
2.4
56
Vermischte Übungen
Klausurtraining
58
Exkurs: Unendlich in der Mathematik
60
3.
Differentialrechnung
62
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
63
63
66
70
3.1.5
3.1.6
Ableitung einer Funktion an einer Stelle
Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
Berechnen der Tangentensteigung beim Graphen von x 7! x2
Bestimmen der Ableitung bei weiteren Funktionen
Sonderfälle und Probleme bei der Berechnung der Tangentensteigung
Analytische Definition der Ableitung ± Differenzierbarkeit
Vermischte geometrische Anwendungen
74
77
80
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
Ableitungsfunktion ± Anwendungen
Ableitungsfunktion ± erste, zweite, dritte, ... Ableitung
Geschwindigkeit als punktuelle ¾nderungsrate
Dichte eines Gases als punktuelle ¾nderungsrate
Weitere Beispiele für ¾nderungsraten in den Anwendungen
82
82
85
87
89
3.3
3.3.1
3.3.2
3.3.3
Ableitungsregeln
Potenzregel für natürliche Zahlen als Exponenten
Faktorregel
Summen- und Differenzregel
91
91
93
94
3.4
Vermischte Übungen
98
Blickpunkt: Näherungsweises Bestimmen der Ableitung und der Ableitungskurve
102
Klausurtraining
104
Exkurs: Zur Geschichte der Differentialrechnung
106
4.
Untersuchung ganzrationaler Funktionen
108
4.1
4.1.1
4.1.2
4.1.3
Ganzrationale Funktionen
Begriff der ganzrationalen Funktion ± Globalverlauf
Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ± Polynomdivision
Das Newton-Verfahren
109
109
112
118
4.2
Extremstellen ± Notwendiges Kriterium
121
4.3
4.3.1
Hinreichende Kriterien für Extremstellen ± Monotoniesatz
Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung als hinreichendes Kriterium
für Extremstellen
Monotoniesatz und Vorzeichen der Ableitung
Hinreichendes Kriterium für relative Extremstellen mittels der
2. Ableitung
128
4.3.2
4.3.3
128
131
134
4.4
Linkskurve, Rechtskurve ± Wendepunkte
137
4.5
Ausführliche Untersuchung ganzrationaler Funktionen
142
4.6
Vermischte Übungen
148
Blickpunkt: Verkehrsfluss in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
150
Klausurtraining
152
5.
Bestimmen von Funktionen ± Extremwertaufgaben
154
5.1
Bestimmen ganzrationaler Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften
155
5.2
Extremwertprobleme
160
5.3
Untersuchung von Funktionenscharen
167
Blickpunkt: Safttüte mit minimalem Materialbedarf
172
Klausurtraining
174
6.
Integralrechnung
176
6.1
6.1.1
Das Integral
Berechnen des Flächeninhalts einer Fläche unter dem Graphen einer
Funktion im 1. und 2. Quadranten
Orientierte Flächeninhalte ± Definition des Integrals
Berechnen von Integralen ± Einfache Integrationsregeln
177
6.1.2
6.1.3
177
183
191
6.1.4
6.1.5
6.1.6
Verwenden von Integralen zur Flächenberechnung
Flächeninhalt der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
Vermischte Übungen
197
201
204
6.2
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und
seine Anwendung
Integralfunktion
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Stetigkeit
Stammfunktionen
Berechnen von Integralen mithilfe einer Stammfunktion
207
207
210
213
215
218
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
Anwendungen des Integrals
Volumen eines Rotationskörpers
Physikalische Arbeit
Anwendungen des Integrals bei Geschwindigkeiten und
Beschleunigungen
221
221
225
227
Exkurs: Messen als zentrale Idee
230
6.4
232
Vermischte Übungen
Klausurtraining
238
Exkurs: Zur Geschichte der Integralrechnung
240
7.
Exponential- und Logarithmusfunktionen
242
7.1
7.1.1
7.1.2
7.1.3
Exponential- und Logarithmusfunktionen ± Eigenschaften
Exponentialfunktionen x 7! bx
Allgemeine Exponentialfunktionen x 7! a bx
Logarithmusfunktionen
243
243
247
250
7.2
7.2.1
7.2.2
Ableitung der Exponentialfunktionen
Die e-Funktion
Natürlicher Logarithmus und Ableitung der Exponentialfunktion
255
255
260
7.3
Die Funktion x 7! aekx ± Anwendungen
263
7.4
Funktionsuntersuchungen an Exponentialfunktionen
268
7.5
Ableitung der Logarithmusfunktionen
270
7.6
Vermischte Übungen
272
Blickpunkt: Anwachsen der Weltbevölkerung
276
Klausurtraining
278
Exkurs: Zahlen ± historisch betrachtet
280
8.
283
Aufgaben zur Vorbereitung auf das Abitur
Lösungen zum Klausurtraining
Stichwortverzeichnis
Verzeichnis mathematischer Symbole
291
301
304