12 Strahlensatz

Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(12)
Zum Themengebiet
Strahlensätze und
Ähnlichkeit
(erstellt in Zusammenarbeit
mit der Albert-SchweitzerSchule Kassel)
Vorschlag 12.1: Ein Baum und sein Schatten................................................... 3
Einführungsmöglichkeit des ersten Strahlensatzes durch die Schattenmethode
Vorschlag 12.2: Wie Leonardo da Vinci die Breite eines Flusses bestimmte 5
Anwendung der Strahlensätze, die eine Vielzahl von Variation ermöglicht
Vorschlag 12.3: Wie Thales die Höhe der Pyramiden bestimmte .................. 6
Nachvollziehen und Verstehen der Schattenmethode im historischen Kontext
Vorschlag 12.4: Gleichschenkliges Dreieck ...................................................... 8
Die Frage, wann eine Parallele zur Basis im gleichschenkligen Dreieck den Umfang bzw. den
Flächeninhalt halbiert, ermöglicht interessante Verknüpfungen
Vorschlag 12.5: Achsenabschnittsform der Geradengleichung...................... 9
Verknüpfungen zu den linearen Funktionen
Vorschlag 12.6: Messungen im Klassenzimmer ............................................. 10
Wie kann man eigentlich die Entfernung zum gegenüberliegenden Haus näherungsweise
berechnen ohne den Klassenraum zu verlassen?
Vorschlag 12.7: Das Försterdreieck ................................................................ 12
Das einfache Messgerät wird mit einer nicht-gleichschenkligen Variante kontrastiert
Vorschlag 12.8: Der Daumensprung ............................................................... 13
Wie man mit springenden Daumen Entfernungen schätzen kann
Vorschlag 12.9: Der Jakobsstab....................................................................... 14
Anhand von Abbildungen sollen die Schüler die Funktionsweise des Jakobsstabs nachvollziehen.
Vorschlag 12.10: Der Baumhöhenmesser von Christen ................................ 15
Anhand von Abbildungen sollen die Vorteile und Nachteile eines Messgerät besprochen werden,
das in einem Handbuch für Förster vorgestellt wird
Vorschlag 12.11: Das Regal im Dachgiebel..................................................... 17
Einführungsmöglichkeit der Strahlensätze durch einen Regalboden, der in einer Dachschräge
angebracht werden soll
Vorschlag 12.12: Flussbreiten bestimmen ...................................................... 18
Gegenüberstellung verschiedener Methoden, die Flussbreite zu bestimmen
Vorschlag 12.13: Das Polizeiauto ..................................................................... 19
Die Frage nach dem besten Beobachtungsplatz führt auf die Anwendung der Strahlensätze
Vorschlag 12.14: Geometrie aus Jules Vernes "Die geheimnisvolle Insel" . 20
In dem Roman wird der Strahlensatz angewendet, um die Höhe einer Granitwand zu bestimmen
Vorschlag 12.15: Geometrie im Gelände ........................................................ 22
Anregungen zum Verlassen des Klassenraums und zur praktischen Umsetzung der erlernten
Mathematik
Vorschlag 12.16: Die Werbetafel ..................................................................... 24
Einkleidung der Aufgabe ein flächeninhaltsmaximales Quadrat in ein vorgegebenes Dreieck
einzuschreiben, dass zahlreiche verschiedene Lösungswege ermöglicht
Vorschlag 12.17: Mathe-Nachhilfe im Internet .............................................. 25
Schüler sollen auf Fragen anderer Schüler angemessen antworten und dabei gleichseitig über das
Gelernte reflektieren
Vorschlag 12.18: Aufgaben zur Anwendung der Strahlensätze ................... 27
Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung der Strahlensätze
Vorschlag 12.19: DIN-Formate ........................................................................ 31
Interessante Anwendung, die die Themengebiete Wurzeln, Ähnlichkeit und Flächeninhalte
verknüpft
Vorschlag 12.20: Escherbilder ......................................................................... 32
Anhand von Abbildungen sollen die mathematischen Begriffe Kongruenz und Ähnlichkeit
kontrastiert werden
Vorschlag 12.21: Ähnlichkeitspuzzle ............................................................... 34
Kleine geometrische Puzzles, in denen die kongruenten Teilfiguren zur Gesamtfigur ähnlich sind
Vorschlag 12.22: Pythagoreische Grüße ......................................................... 36
Spielerische Übungsform in der zu gegebenen rechtwinkligen Dreiecken möglichst viele
ähnliche konstruiert werden
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms
"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
2
Vorschlag 12.1: Ein Baum und sein Schatten
Greta Grübel hat an einem Baum und an seinem Schatten
Längen gemessen.
Wie kann Greta die Höhe des Baumes berechnen?
Funktioniert die Methode auch, wenn der Baum an einem
(geraden) Hang steht? Begründe!
Quelle: Abakus 9, S. 99.
Offenere Version:
Wie kann man die Höhe des Baumes mit Hilfe eines Maßbandes ermitteln?
Quelle: Abakus 9, S. 99 (leicht verändert).
3
Ein Baum und sein Schatten: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Übung des ersten Strahlensatzes
 auch als Einführungsaufgabe möglich
Variationen der Aufgabe:
 weitere „Sonnenstrahlen“ einzeichnen
 ohne „Sonnenstrahlen“, aber mit Maßen
 schwierigere Zahlen nehmen
 SS erfinden selbst Zahlen
 keine Zahlenwerte vorgeben
 Beim Einsatz als Einführungsaufgabe ggf. noch suggestivere Zahlen
verwenden (vgl. Abb.) und dann über Dreisatz Vermutungen anstellen,
die schließlich zu begründen wären.
Lösungen:
h 21


2 6
h7m
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit
4
Vorschlag 12.2: Wie Leonardo da Vinci die Breite eines Flusses bestimmte
Der italienische Maler und Bildhauer LEONARDO DA VINCI
(1452 – 1519) schlug vor, die Breite eines Flusses wie in der
Abbildung dargestellt zu bestimmen.
Quelle: Bigalke, Einführung in die Mathematik, S. 84, Diesterweg.
Wie Leonardo da Vinci die Breite eines Flusses bestimmte: Anregungen für
den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Übung des zweiten Strahlensatzes an variierter Strahlensatzfigur
Variationen der Aufgabe:
 Vorgabe der Hilfsstrecken
 Neben dem Bild kann eine Skizze der Strahlensatzfigur bereitgestellt werden
 "Wie kann man die Breite eines Flusses bestimmen?"
 "Erfinde für die Hilfsstrecken plausible Zahlenwerte und berechne die Flussbreite!"
 "Entwickelt eine anwendbare Formel für Leonardo da Vincis Vorschlag" (für besonders
mathematisch interessierte Schüler)!
 „Wie genau ist das Ergebnis?“ (Doppelrechnung mit BC  0,99 m etc.)
 „Beschreibe da Vincis Methode! Kannst du die Vorgehensweise begründen?“
 "Entdecke und erkläre seinen Vorschlag!"
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit; Binnendifferenzierung möglich
(Mögliche) Lösung:
Zahlenvorschlag BC  1 m AB  20 cm
0,2 1,5

1
x
AD  1,5 m
wobei x  7,5
5
Vorschlag 12.3: Wie Thales die Höhe von Pyramiden bestimmte
Thales von Milet (ca. 624 – 547 v. Chr.) war aristokratischer Herkunft und
erwarb sich auf seinen Reisen nach Babylonien und Ägypten
mathematische Kenntnisse und Methoden. Sein Interesse galt besonders
geometrischen Problemen. So weiß man aus Berichten, dass er die Höhe
ägyptischer Pyramiden durch einfache Messung bestimmen konnte. Er
brauchte nur einen Stab und ein wenig Sonne, die es ja in Ägypten
ziemlich reichlich gibt.
Wie machte er das?
Quelle: Historische Verfahren – zeitgemäß aufbereitet (19??), Aulis, S. 98.
6
Wie Thales die Höhe von Pyramiden bestimmte: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Anwendung und Einübung des zweiten Strahlensatzes an dreidimensionaler Figur
Variationen der Aufgabe:
 Zahlen statt der Variablen angeben
 SS denken sich selbst Zahlen aus.
 Beschriftung ganz weglassen (für leistungsstarke Gruppen)
 „Funktioniert diese Methode eigentlich zu jeder Tageszeit?“ (Durch Pyramide verdeckter
Schattenanteil muss ermittelbar sein.)
 Vernetzung mit Proportionen anstreben: „Wie ändert sich das Ergebnis, wenn Pyramide
doppelt so hoch ist?“
(Mögliche) Lösungen:
Thales hat gemessen, dass die Länge der Seitenkante der Pyramide 232,50 m betrug.
Für h Stock  1,20 m , L  175,30 m und S  2,80 m gilt:
hPyramide
hStock
h Pyramide
1,20 m

L  halbe Seitenkant e der Pyramide
S

291,55 m
2,80 m
h Pyramide  124,95 m
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit
7
Vorschlag 12.4: Gleichschenkliges Dreieck
ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck mit AB als Basis. Die Strecke PQ
ist parallel zur Basis.
a) Halbiert PQ den Umfang, d.h. ist der Umfang des Dreiecks PQC halb so
groß wie der des Dreiecks ABC?
b) Halbiert PQ den Flächeninhalt des Dreiecks ABC?
Quelle: Eigenmann, Geometrische Denkaufgaben, S. 53/106, Klett
Gleichschenkliges Dreieck: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Anwendung und Einübung der Strahlensätze
 Vernetzung mit Umfangs- und Flächeninhaltsbegriff sowie mit dem Wurzelbegriff
Variationen der Aufgabe:
 Lage von PQ auf halber Höhe im Dreieck vorgeben
 Zahlenwerte vorgeben
 Zusatzfrage oder Einstiegsfrage: "Wo muss PQ liegen, damit das Dreieck PQC halb so groß
ist wie das Dreieck ABC?"
(Mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit
(Mögliche) Lösung:
 Liegt PQ auf halber Höhe, dann wird der Umfang halbiert. Der Flächeninhalt wird nicht
halbiert, sondern geviertelt.
 Zusatzfrage: Für die Höhe h  im Dreieck PQC gilt h  h2 , wobei h die Höhe im Dreieck
ABC ist
8
Vorschlag 12.5: Achsenabschnittsform der Geradengleichung
Eine Gerade schneidet die x-Achse bei a und die y-Achse bei b.
Bestimme die Geradengleichung!
Achsenabschnittsform der Geradengleichung: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Übung des zweiten Strahlensatzes an innermathematischer Aufgabe
 Verknüpfung mit linearen Funktionen
Variationen der Aufgabe:
 Koordinaten des Punktes P als Linien einzeichnen
 Punkt P mit ganzzahligen Koordinaten vorgeben
 Keinen Punkt vorgeben: Dies ist eine interessante Mathematisierung
 Zusatzfrage: Kann P auf der Geraden wandern?
 Bestimme die Geradengleichung auf möglichst viele Weisen
(Mögliche) Methode:
 Partner- oder Gruppenarbeit
(Mögliche) Lösung:
y ax
x y

 1
b
a
a b
9
Vorschlag 12.6: Messungen im Klassenzimmer
Entwerft in eurer Gruppe einen Plan, um durch Messungen im
Klassenraum den Abstand zum gegenüberliegenden Haus zu berechnen.
Maßband und Anpeilstäbe stehen Euch zur Verfügung.
Klassenzimmer 1
H
A
b
U
S
a
x
y
Klassenzimmer 2
H
A
U
b
S
a
x
y
10
Messungen im Klassenzimmer: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Anwendung und Handlungsorientierung
 Die Schüler entwerfen einen Plan, führen Anpeilung, Messungen und Rechnungen durch.
 Reflexion der eigenen Vorgehensweise und Ergebnisse; Bestätigung und Verwerfen von
Lösungsschritten.
Variationen der Aufgabe:
 Zeichnung nur in leistungsschwachen Gruppen vorgeben. Dann aber: „Vergleiche die
beiden Methoden“ (Vor-, Nachteile).
 Den Schülern wird die Festlegung des Zentrums vorgegeben.
 Berechnungen und Aufgabenstellungen können auch auf den Schulhof oder auf
markanten Plätzen durchgeführt werden.
 Vorteile und Nachteile der jeweiligen Methode und der Genauigkeitsgrad werden
diskutiert.
(Mögliche) Lösungen:
x y b


x
a
x y b


y
a
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Die Schüler sollten bereits erste Erfahrungen im Umgang mit den Strahlensätzen besitzen.
11
Vorschlag 12.7: Das Försterdreieck
Martina findet in einem Bastelheft
eine Anleitung zum Bau eines Peilgerätes, mit dem man Höhen messen
kann. Die Anwendung des Peilgerätes
wird dort durch die nebenstehende
Zeichnung erklärt.
Martina erfährt von ihrem Vater, dass
Förster mit einem ähnlichen Gerät die
Höhe von Bäumen bestimmen. Ein
solches "Försterdreieck" ist ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck.
 Warum ist das Försterdreieck praktischer als das Peildreieck aus
dem Bastelheft?
 Wie hoch ist ein 18 m entfernter Baum, den ein Förster aus 1,8 m
Augenhöhe anpeilt?
Quelle: Mathematik 9. Schuljahr, Cornelsen Schwann, 1995, S. 132.
Das Försterdreieck: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Anwendungsbezug mathematischer Kalküle erkennen, entwickeln und anwenden können
Variationen der Aufgabe:
 Statt Zahlenwerten werden Variablen angegeben.
 Wo liegen die Fehlerquellen/Vorteile des Verfahren?
(Mögliche) Lösungen:
1500 x

 1.
20
10
2.
1500 x

20
20
(Mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit
 Herstellung eines Försterdreiecks und „Schätzungen“ auf dem Schulhof oder einer Exkursion
12
Vorschlag 12.8: Der Daumensprung
Strecke einen Arm aus und visiere den
Daumen zunächst mit dem linken Auge,
dann mit dem rechten Auge an.
Du bemerkst, dass der Daumen einen
„Sprung“ im Gelände macht. Diese
Tatsache benutzt man, um
Entfernungen in der Landschaft zu
schätzen (Daumensprungmethode).
Wie ist es möglich, die Entfernung zu
dem Schloss zu „schätzen“??
Quelle: Mathematik heute 9, 1996, S. 188.
Der Daumensprung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Anwendungsbezug herstellen und umsetzen
 Selbständige Problemlösung einer Anwendungsaufgabe
 Übung und Vertiefung
Variationen der Aufgabe:
 Aufgabenstellung ohne Bild: Schließt man abwechselnd das linke und rechte Auge, so macht
der mit ausgestrecktem Arm aufrecht gehaltene Daumen scheinbar im Gelände einen Sprung.
Probiere den Daumensprung selber aus, entwirf eine Zeichnung und erkläre die Methode. (als
anspruchsvolle Aufgabe)
 Welche Längen müssen bekannt sein, um die Entfernung zu einem gegenüberliegenden Haus
zu bestimmen
 Die Zeichnung wird mit einer konkreten Fragestellung vorgegeben: Welche Beziehung
besteht zwischen der Armlänge (l), dem Augenabstand (a) der Entfernung (e) und der
Streckenlänge (s)?
 Oder wie oben: Cora hat die Armlänge 70 cm und den Augenabstand 6,4 cm. Sie schätzt bei
einer Mauer die „Sprungstrecke“ s auf 5 m. Wie weit ist Cora von der Mauer entfernt, wenn
die Schätzung stimmt?
 Welche Fehlerquellen hat das Verfahren mit dem Daumensprung?
(Mögliche) Lösungen:
e s


l a
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Kleingruppenarbeit
 Projektarbeit
13
Vorschlag 12.9: Der Jakobsstab
Die obigen Bilder zeigen in zeitgenössischen Darstellungen aus dem 16.
Jahrhundert den Gebrauch des Jakobsstabs. Dieser ist ein kreuzförmiges
Holz mit verschiebbarer Vertikalen. Beispielsweise wurde die Entfernung
zwischen zwei Punkten (Stern und Mond) mit diesem Gerät angenähert
ermittelt.
Wie kann dies geschehen? Welche Größen braucht man gegebenenfalls?
Quellen: Mathematik heute 9, 1996, S. 189 und
Einführung in die Mathematik Bigalke, 1986, Diesterweg S. 77.
Der Jakobsstab: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Anwendung der Strahlensätze
 Selbständige Lösungsstrategien entwickeln, überprüfen und bestätigen
Variationen:
 Herstellung eines Modells vom Jakobstab und Anwendungen zur Höhenmessung
 Konkrete Zahlenwerte werden vorgegeben. (e = 20m; C D = 15 cm; m = 12cm)
(Mögliche) Lösung:
x CD


e
m
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- Kleingruppenarbeit
 Projektarbeit
14
Vorschlag 12.10: Der Baumhöhenmesser von Christen
In einem Leitfaden für Förster wird der
Höhenmesser von CHRISTEN beschrieben. Er
besteht aus einem einfachen Metall-Lineal mit
einer 30 cm  bc  langen Aussparung. Von
einem geeigneten Standpunkt aus muss der
Beobachter den Höhenmesser so halten, dass
er gleichzeitig den Baumfußpunkt an der
unteren und die Baumspitze an der oberen
Linealaussparung sehen kann. Gleichzeitig
muss er die Spitze der 4m-Latte anvisieren
und die entsprechende Höhe aus der
Einteilung des Höhenmessers ablesen. Bei der
Messung ist der Höhenmesser so locker zu
halten, dass er senkrecht hängt.
Als Vorteil wird gepriesen, dass keine
Entfernungsmessung notwendig und nur eine Ablesung am Instrument
erforderlich ist. (Als Nachteil gilt der Transport einer 4m-Latte durch das Dickicht, wobei schon so
manches Wildschwein aufgeschreckt worden sein soll!)
Überprüfe diese Behauptung und kläre das Messverfahren auf!
Quelle: Unbekannter Leitfaden für Förster (verändert)
15
Der Baumhöhenmesser von Christen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Ein differenziertes und anspruchsvolles Anwendungsbeispiel bearbeiten können
Variationen der Aufgabe:
 Alternative Ablesehilfe oder Ablesetabelle erstellen.
 Mit „aufgehängten“ Linealen und Messlatten eigene Messungen auf dem Schulhof
durchführen.
Lösung:
0,3 x
1,2
1,2
 ; h =
; x =
h
4
x
h
Für verschiedene Baumhöhen lassen sich folgende x-Werte berechnen:
Höhe in m
X in cm
4
30
5
24
6
20
8
15
10
12
12
10
15
8
20
6
30
4
35
3,4
40
3
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- und Kleingruppenarbeit
 Projekt- oder umfangreiche Hausarbeit
16
Vorschlag 12.11: Das Regal im Dachgiebel
In der Nische einer Dachschräge soll in
1,00 m Höhe ein Boden aus Glas
angebracht werden.
a) An welcher Stelle des schrägen
Brettes muss ein Träger für den
Boden angebracht werden?
b) Wie lang muss der Glasboden
sein? Löse diese Aufgaben
rechnerisch; begründe.
Quelle: Schroedel, Elemente 9, S. 91.
Das Regal im Dachgiebel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Einführung der Strahlensätze (Teil a: Erster Strahlensatz; Teil b: Zweiter Strahlensatz)
 Kann auch als Übungsaufgabe verwendet werden
Variation der Aufgabe:
 Abstand des Regalbodens von S direkt vorgeben.
(Mögliche) Lösungen:
1,5
x
 a)
, also x  1,92

2,5 3,2
b)
1,5 x
 , also x  1,2
2,5 2
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Gruppenarbeit
17
Vorschlag 12.12: Flussbreiten bestimmen
Will man die Breite x eines Flusses von einer Uferseite aus bestimmen, so kann man
vier Punkte wie in Fig. 1, Fig.2 oder Fig. 3 wählen. Aus den Abständen a, b und c lässt
sich x berechnen. Bestimme jeweils x für
a) Fig. 1 mit a = 45 m, b = 18 m, c = 11m
b) Fig. 2 mit a = 40 m, b = 33,5 m, c = 12m
c) Fig. 3 mit a = 75 m, b = 50 m, c = 47 m
Quelle: Klett, Lambacher-Schweizer 9, S. 173.
Flussbreiten bestimmen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Vertieftes Üben der Strahlensätze
(Mögliche) Lösungen:
x
b
x
18
 

 a)
, also x  7,33 m
xc a
x  11 45
x
b
x
33,5
 

 a)
, also x  61,85 m
xc a
x  12
40
x
b
x
75
 

 a)
, also x  70,5 m
xc a
47 50
Weiterführung/Vertiefung:
 Auf einem Blatt gibt man einen See und zwei
Punkte A und B vor.
Welche Strecken würdest du messen,
um mit Hilfe der Strahlensätze die
Seebreite zu bestimmen?
A
B
Die Schüler sollten eine der obigen Figuren
übertragen können.
18
Vorschlag 12.13: Das Polizeiauto
Ein Polizeiauto steht in einer Einfahrt.
a) Wie viele Meter der gegenüberliegenden Straßenfront kann die
Streife überblicken?
b) Kann man mehr oder weniger sehen, wenn das Auto beim gleichen
Abstand zur Straße weiter rechts in der Einfahrt steht?
Quelle: Klett, Lambacher-Schweizer 9, S. 173.
Das Polizeiauto: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Übung des 2. Strahlensatzes
Lösung:
2
2
 x , also x  16 m (wenn man nur das halbe Dreieck betrachtet)
26 2

a)

b) Man könnte zunächst annehmen, dass das Auto in der Mitte steht.
1
2
 x , also x  28 m
1 6 2
Ein weiterer Spezialfall wäre, das Auto steht ganz rechts:
1
4
 , also wieder x  28 m
1 6 x
Pendelt der Betrachter auf einer Parallelen zur Straßenfront im Abstand von 1m, so ändert
sich die Strahlensatzfigur, das Ergebnis aber nicht.
Weiterführung/Vertiefung:
 Wie ändert sich die Übersicht, wenn das Auto 1 m zurückfährt?
19
Vorschlag 12.14: Geometrie aus Jules Vernes "Die geheimnisvolle Insel"
Die Beobachtungsmomente der verflossenen Tage waren nunmehr durch die Berechnung der
Plateauhöhe über dem Meeresspiegel zu vervollständigen....
Cyrus Smith hatte eine gerade, zwölf Fuß lange Stange mitgenommen, die er an seiner eigenen,
ihm bekannten Körperlänge gemessen hatte. Harbert trug ein Lot oder Senkblei; es bestand aus
einem einfachen Stein, der an eine geschmeidige Pflanzenfaser gebunden war. Etwa zwanzig
Fuß vom Küstensaum und etwa fünfhundert Fuß von der senkrecht aufsteigenden Granitwand
entfernt, grub Cyrus Smith die Stange zwei Fuß tief in den Sand und brachte sie durch
sorgfältiges Absteifen mittels des Lotes in eine senkrechte Stellung zur Himmelsebene. Darauf
ging er so weit zurück, bis er, im Sande liegend, die Spitze der Stange mit dem Grate der
Granitwand zugleich sah. Diesen Punkt kennzeichnete er durch einen Pflock. "Du kennst doch
die Grundlehren der Geometrie?" fragte er Harbert.
"Einigermaßen, Herr Cyrus", antwortete Harbert, der nie mehr sagte als er wusste. "Welche
Eigenschaften ähnliche Dreiecke haben, weißt du doch noch?" "O ja", erwiderte Harbert, "die
entsprechenden Seiten derselben sind einander proportional." "Richtig, mein Sohn", sagte der
Ingenieur. "Sieh, ich habe hier soeben zwei einander ähnliche rechtwinklige Dreiecke
konstruiert, das erste, kleinere hat als Seiten oder Schenkel die senkrechte Stange, die
Entfernung zwischen Pflock und Basis der Stange und als Hypotenuse meinen Gesichtswinkel;
das zweite Dreieck hat als Seiten die senkrechte Wand, deren Höhe noch gemessen werden soll,
die Entfernung zwischen Pflock und Basis der Wand und meinen Gesichtswinkel wieder als
Hypotenuse, die als Verlängerung der des ersten Dreiecks zu betrachten ist." "Ach, Herr Cyrus,
ich verstehe!" rief Harbert. "Da die Entfernung zwischen Pflock und Stange der Entfernung
zwischen Wandbasis und Pflock proportional ist, so ist auch die Höhe der Stange der Höhe
dieser Wand proportional."
"Sehr richtig, Harbert", antwortete der Ingenieur, "und wenn wir die ersten beiden Entfernungen
gemessen haben, so brauchen wir nur, da uns die Höhe der Stange bekannt ist, eine
Verhältnisrechnung aufzustellen, um die Höhe der Felswand zu ermitteln. Wir sparen uns
dadurch die Mühe, die Wand direkt zu messen."
Die beiden Horizontalen wurden mit Hilfe der Stange ermittelt, deren Höhe über dem Sand
genau zehn Fuß betrug.
Die erste Horizontale beziehungsweise die Entfernung
zwischen dem Pflock und dem Standpunkt der Stange betrug
fünfzehn Fuß, die Entfernung zwischen dem Pflock und der
Mauerbasis nur fünfhundert Fuß. Als das Ergebnis der
Messung festlag, kehrten Cyrus Smith und Harbert zu den
Schloten zurück.
Dort suchte der Ingenieur einen flachen Stein hervor, den er
auf einem seiner früheren Wege gefunden hatte, eine Art
Schieferstein, auf den er mit einer scharfen Muschel leicht
schreiben konnte, und er stellte folgende Proportion auf:
15 : 500 = 10 : x
500 100 = 15  x
5000 = 15  x
5000
x =
15
x = 333,33
Diese Berechnung ergab für die Granitwand eine Höhe von
dreihundertdreiunddreißig Fuß (1 ft = 12 Zoll = 0,3048 m).
An der Stelle, von wo er die Stangenspitze
sich mit dem Felsgrat decken sah, trieb er
seinen Pflock in den Boden. Jetzt war die
Messung einfach.
Quelle: Jules Verne: Die geheimnisvolle Insel. Verlag Neues Leben. Berlin. 4. Aufl. 1977. S. 102 f.
20
Geometrie aus Jules Vernes "Die geheimnisvolle Insel": Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Einführung der Strahlensätzen durch Nachvollziehen einer Anwendung
 Übungsaufgabe, in der Informationen gestrichen werden
Variationen der Aufgabe:
 Als Übungsaufgabe können die folgenden Informationen weggestrichen werden: Die gesamte
Rechnung und das im Text angegebene Ergebnis sowie die Höhe der Stange über dem Sand
im viertletzten Absatz (da diese berechenbar).
Eignung, (mögliche) Methoden:
 Partner- oder Gruppenarbeit
 Hausaufgabe
Alternativen:
 Als Alternative oder mögliche Fortführung kann ein Ausschnitt aus dem Kinofilm Apollo 13
von 1995 dienen (eine anschauliche Darstellung wäre sicher auch interessant):
In einer Szene dieses Films ist zu sehen, wie der Hauptdarsteller mit ausgestrecktem Arm
die Mondscheibe mit seinem rechten Daumen verdeckt und so versucht, den Durchmesser
des Mondes bzw. die Entfernung Erde-Mond zu bestimmen. Da viele Schüler diesen Film
gesehen haben, könnte man die beschriebene Szene sehr gut als "Aufhänger" für die
Erarbeitung der Strahlensätze benutzen. Daran anknüpfend, lassen sich folgende
Einstiegsfragen in die Thematik " Über den Daumen peilen" wählen:
o Wie kann man auf diese Art den Monddurchmesser abschätzen?
o Welche Größen muss man dazu noch kennen?
o Wie wirkt es sich auf das Ergebnis aus, wenn man sich bei der Breite des Daumens
um 1 mm verschätzt?
Quelle: Beuthan, S.: "Können wir so etwas nicht öfter machen? In: MiS 34 (1996), H. 2, S. 84.
21
Vorschlag 12.15: Geometrie im Gelände
Kaum ein Themengebiet lädt so sehr zur
praktischen Umsetzung ein, wie die Strahlensätze.
Im Folgenden sollen die Vorteile aber auch die
Risiken, die ein Verlassen des Klassenraums mit
sich bringt, angesprochen werden.
Geometrie im Gelände: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziele:
 Lernen an der Wirklichkeit
 Antwort auf die Frage "Wozu braucht man das?"
 Schülermotivation
 Förderung der Teamarbeit
 Entdecken der Wurzeln der Geometrie
 Vorstellungsentwicklung
 Tieferes Verständnis der mathematischen Inhalte
Bemerkungen:
 Für eine praktische Umsetzung bieten sich Messungen mit der Stabmethode (vgl. Abb.) oder
dem Försterdreieck besonders an. Möglich ist aber natürlich auch ein Einbezug der
Schattenmethode oder der Holzfällermethode sowie Peilungen mit dem Jakobsstab oder dem
Höhenmesser von Christen.
 In manchen Lerngruppen kann die Beschränkung auf eine Methode oder die Vorgabe zu
messender Objekte zweckmäßig sein.
 Abhängig von Lerngruppe kann eine (sehr) intensive Vorbereitung der praktischen
Durchführung im Klassenraum sinnvoll sein. Vorschläge für konkrete Arbeitsanweisungen
inkl. Kopiervorlagen finden sich u.a. bei Beuthan, S.: Mathematik auf dem Schulhof. In: PM
38 (1996), H. 3, S. 104-107 oder Beuthan, S.: "Können wir so etwas nicht öfter machen?" In:
MiS 34 (1996) H. 2, S. 82-92 (vgl. auch die folgende Abb.).
 Für die Auswertung der Ergebnisse kann es sinnvoll sein, die Schüler Protokolle schreiben zu
lassen oder von Beginn an Schülervorträge einzuplanen. Zentral ist hierbei die Reflexion von
Problemen, die sich in der Praxis ergeben haben.
 Besonders intensiv werden die verschiedenen Messmethoden von den Schülern erlebt, wenn
sie die dazu erforderlichen Instrumente selbst herstellen. Bauanleitungen finden sich u.a. in
den Raabits Unterlagen Strahlensätze und ihre praktische Anwendung bei der Projektarbeit
im Gelände (liegt im Modellversuchsraum vor).
 Für eine praktische Durchführung sollte die Genehmigung der Eltern eingeholt werden.
 Falls in der Nähe der Schule keine geeigneten Objekte zu finden sind, kann mit Kreide auch
ein Flusslauf auf dem Schulhof markiert werden, dessen Breite bestimmt werden soll.
 Die Ernsthaftigkeit der Schüler kann möglicherweise durch die Bereitstellung von
Messinstrument (z.B. Meßlatten) erhöht werden.
 Geeignete Meßlatten mit Einteilung können einfach durch Dachlatten und Klebestreifen
hergestellt werden.
22
 Eine Fülle von Anregungen finden sich bei Vollath, E.: Geometrie im Gelände. In:
Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht (Schriftenreihe der IstronGruppe; Bd. 1), Franzbecker 1994, S. 123-135 (liegt im Modellversuchsraum vor). Hier
werden insbesondere die Bestimmung von Baumhöhen und Flussbreiten thematisiert.
 Ein solches Mini-Projekt kann auch durch einen schriftlichen Bericht abgeschlossen werden.
Einen von Schüler verfassten Jahrbuchartikel sowie einige unterrichtspraktische
Bemerkungen finden sich bei Zender, D.: Messungen mit Hilfe der Strahlensätze. In:
mathematik lehren (1997), H. 80, S. 48-49.
 Weitere Anregungen und Erfahrungen von Modellversuchsschulen aus Rheinland-Pfalz sind
im dortigen Modellversuchsband abgedruckt (liegt jeder Schule vor) oder unter
http://berater.bildung-rp.de/reichelstein/sinus/ abrufbar.
Eignung, Methoden:
 Gruppenarbeit
23
Vorschlag 12.16: Die Werbetafel
Mit
großen
Schritten
geht
die
Fertigstellung
des
neuen
Verwaltungsgebäudes der weltbekannten Schokoladenfirma „Ritter Sport“
voran. Es fehlt noch die gute alte quadratische Reklametafel an der
Giebelfläche. Doch dieses Prunkstück aus alten Tagen ist viel zu klein für
diese riesige Fläche. Welche Größe könnte eine neue quadratische
Werbetafel maximal haben?
Die Giebelfläche kannst du im Verhältnis 1 : 250 leicht zeichnen: Sie sieht
aus wie ein Dreieck mit den Seitenlängen 12 cm, 10 cm und 7,2 cm.
Quelle: Modellversuchsband Rheinland-Pfalz, S. 49 (verändert, liegt jeder Schule vor).
Die Werbetafel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Extremwertaufgabe, die eine Vielzahl verschiedener Lösungsmöglichkeiten zulässt
 Vergleich und Reflexion verschiedener Lösungswege
(Mögliche) Lösungen:
(1) Zentrische Streckung anwenden
Das kleine Quadrat durch systematisches Probieren, so in das
Dreieck legen, dass die Figur als Ergebnis einer zentrischen
Streckung gedeutet werden kann. Das kleine Quadrat kann z. B.
ausgeschnitten oder zeichnerisch verschoben werden.
(2) Ähnlichkeitssätze anwenden
Einem kleinen Quadrat wird ein Dreieck umbeschrieben, dessen Seiten parallel zu den Seiten des großen
gegebenen Dreiecks sind.
(3) Strahlensätze anwenden
Nach erfolgter konstruktiver Lösung (siehe 1. bzw. 2. Weg) oder an
Hand einer möglichen Skizze lässt
sich die Seitenlänge des Lösungsquadrats mit Hilfe der
Strahlensätze berechnen.
(4) Systematisches Probieren
Mit einem geeigneten Computerprogramm das Dreieck auf den Bildschirm zeichnen und systematisch
probieren, ein Quadrat einzubeschreiben
(5) Lineare Funktionen anwenden
Ein geeignetes Koordinatensystem auf das Dreieck legen und die Eckpunkte des gesuchten Quadrats
rechnerisch bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler
können selbst erkennen, dass es sinnvoll ist, als Einheit auf
den Achsen 1 cm zu wählen.
Da die Seiten des Quadrats gleich lang
sind, gilt:
y1  x2  x1
Eingesetzt in die Geradengleichungen:
x 2  x1  0,75 x1
x 2  x1  1,5 x1  18
Eignung, (mögliche) Methoden:
 für leistungsstärkere Schüler
24
Vorschlag 12.17: Mathe-Nachhilfe im Internet
Im Internet gibt es unter http://www.zahlreich.de/ die Möglichkeit, Fragen zu
Mathematikaufgaben zu veröffentlichen und sich von anderen helfen zu
lassen. Hier ist eine Auswahl der Fragen, die Schüler dort gestellt haben.
Kannst du ihnen helfen?
Sonntag, den 09. Juli, 2000 - 22:24
Emily
Wie ist der Rechenweg das Ergebnis dieser Aufgabe:
Indianer Häuptling "Galoppierende Schnecke" kann bei ausgestrecktem Arm
(Armlänge 80cm) mit seinem Daumen (Breite 3 cm) die 120m lange
Eisenbahnbrücke über den Rattlesnake River gerade verdecken. Wie weit ist er von
der Brücke entfernt?
Gruß
E.
Dienstag, den 18. Mai, 1999 - 15:07
Kolja
Zeichne ein Dreieck ABC durch das eine Gerade läuft, die die Seite |AC| im Punkt D
und die Seite |AB| im Punkt E schneidet (Leider kann ich die Schaufigur nicht
mitschicken).
|AD|=4cm; |AC|=6cm; |AB|=7,5cm;
|BC|=3,6; |DE|=2,4cm
Frage: Ist |BC| parallel zu |DE|?
cu Kolja.
Samstag, den 08. Mai, 1999 - 17:48
ewuerdemann
Frage: Der Mond ist 382200km von der Erde entfernt. Wenn man einen
Bleistift von 7mm Durchmesser in einer Entfernung von c.a.78cm vor das
Auge hält verdeckt dieser gerade den Mond. Welchen Durchmesser hat der
Mond?
Danke, Anna!
Mittwoch, den 03. März, 1999 - 18:27
Seven
Hallo ihr alle!
Kann mir mal bitte jemand helfen? Ich brauche die Lösung aber heute noch!!
Viktor hält mit ausgestrecktem Arm (60 cm) ein Streichholz so in der Hand, dass
es gerade einen Laternenmast (Höhe etwa 4 m) verdeckt. Wie viele Meter steht er
vom Laternenmast entfernt?
Hoffentlich kann mir jemand helfen!!!!!!!!!
25
Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 19:22
Anonym Wer kann mir die Umkehrung der Strahlensätze erklären und wie man diese
dann auf die Aufgaben anwendet?
Wie beweist man den 1. Strahlensatz?
Wir haben zwar was im Heft stehen aber ich versteh nicht wie ich das morgen in
der Arbeit schreiben soll.
Zudem weiß ich nicht, wie man den 1. und 2. Strahlensatz auf Aufgaben.
Theoretisch kann ich ihn aber nicht praktisch.
Wenn man a, b, a1 gegeben hat, wie rechnet man das dann mit dem
Strahlensatz.
Oder wenn c gesucht wird?
Das ist sicher gar nicht schwierig, aber ich raff das echt nicht.
Also helft mir bitte, wenn ihr wollt, das ich morgen nicht schon wieder eine 5
schreibe.
Bitte!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Samstag, den 26. Juni, 1999 - 09:25
Martin
Hallo!
Ich brauche Informationen zu den Strahlensätzen
--> aber allgemeine!!! Geschichtlichen Hintergrund, wer hat sie "erfunden"? Soll
ein Referat werden. Was das ist und wie das geht mit den SS weiß ich schon.
Vielen DANK!
Martin
Mathe-Nachhilfe im Internet: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Verfassen einer schülergerechten Antwort auf ein mathematisches Problem
Eignung, Methoden:
 Die Schüler erhalten die Anfragen als Kopie und beantworten eine davon als Hausaufgabe
 Die Schüler beantworten eine Anfrage in Gruppenarbeit
(Mögliche) Lösung:
12000
x

 x  320000cm  3,2 km
3
80
 (2) Dreieckskonstruktion: BC ist nicht unbedingt parallel zu DE. Das wäre die Umkehrung
des 2. Strahlensatzes. Von Dreieck ADE sind 2 Seiten und der der kleineren Seite
gegenüberliegende Winkel bekannt. Wäre DE  BC , wäre die Konstruktion eindeutig.
 (1) Galoppierende Schnecke:
0,007
d

 d  3430000m  3430 km
0,78 382200000
400
x

 x  6000cm  60 m
 (4) Streichholz:
4
60
 (3) Monddurchmesser:
Variationen der Aufgabe:
 Die Schüler empfehlen sich untereinander eine mehrfarbige Zusammenstellung zu den
Strahlensätzen: http://www.zum.de/ZUM/dwu/depot/mss001fl.gif .
26
Vorschlag 12.18: Aufgaben zur Anwendung der Strahlensätze
(1) Anwendungen der Strahlensätze
1
Welche Strecken in der Abbildung sind parallel zueinander?
2
Eine Kleinbildkamera macht Negativbilder der Größe 24 mm x 36 mm.
a) Geben die üblichen Vergrößerungsmaße das ganze Bild wieder?
(7 cm x 10 cm; 9 cm x 13 cm; 10 cm x 15 cm; 13 cm x 18 cm)
b) Gib, falls möglich, den Vergrößerungsfaktor an.
3
Berechne a, b, c und d (Maße in cm). Die Geraden g und h sind parallel zueinander.
11
d
17,5
10
3,6
b
14
c
8,4
a
g
h
4
5
Im Gebirge sieht man häufig Straßenschilder, die die Steigung
bzw. das Gefälle einer Straße in Prozent angeben. 12% bedeutet
z.B., dass die Straße auf 100m horizontal gemessen um 12 m
ansteigt.
a) Welchen Höhenunterschied überwindet die Straße auf 2,3 km?
b) Was bedeutet 100% Steigung?
c) Was steht auf dem Schild, wenn eine Straße auf 3,8 km einen
Höhenunterschied von 285 m überwindet.
Eine Wäschespinne hat sechs Leinen. Sie sind im Abstand
von 12,5 cm gespannt. Die innerste Leine ist 30,5 cm vom
Mittelpunkt entfernt und ist vier mal 40 cm lang.
a) Wie lang ist die äußerste Leine?
b) Wie viel Meter Leine steht auf der Wäschespinne
insgesamt zur Verfügung?
6
a) Bei einem Fotokopiergerät wurden bei einer Kopie alle Seiten im Verhältnis 2 : 5
verkleinert. Auf wie viel Prozent hat sich die Fläche verkleinert?
b) Bei einer anderen Fotokopie wurde die Fläche auf 225% vergrößert. Um wie viel
Prozent wurden die Strecken vergrößert?
7
Welche der folgenden Figuren sind immer ähnlich zueinander?
a) gleichseitige Dreiecke, spitzwinklige Dreiecke, kongruente Dreiecke, rechtwinklige
Dreiecke, gleichschenklige Dreiecke.
b) Kreise, Rechtecke, Quadrate, Drachen, Rauten.
27
(2) Anwendungen der Strahlensätze
1
Ein Kirchturm wird wie in der Zeichnung dargestellt
vermessen.
a) Wie hoch ist der Turm?
b) Wie lang ist eine Kante?
2
Ein Försterdreieck ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges
Dreieck. Du willst die Höhe eines Turmes mit Hilfe eines
Försterdreiecks“ bestimmen. Beschreibe dein Vorgehen.
Begründe, warum diese Methode funktioniert.
Benutze in deiner Erklärung den Begriff „ähnlich“.
3
Wie hoch ist der Baum?
Wie hoch ist dein Schulgebäude?
4
Der Maßstab bei einer Zeichnung oder Landkarte zeigt das
Verhältnis der Länge einer Strecke in der Zeichnung zu der
Länge in der Wirklichkeit an.
Auf der neben stehenden Landkarte sind zwei interessante
Ausflugsziele 43 mm voneinander entfernt.
5
6
Gib die Luftlinienentfernungen von 4 Orten deiner Wahl
an. Die Karte ist im Maßstab 1 : 15 000 000 abgebildet.
7
Im alten Ägypten wurden die Höhen
von Pyramiden nach der
„Schattenmethode“ mit Hilfe eines
Stabes bestimmt.
a) Fertige eine geeignete Skizze
der Schattenmethode an und
erläutere, wie man den Stab
halten muss.
b) Berechne die Pyramidenhöhe
für die Cheopspyramide.
Länge des Schattens der Pyramide (am Boden
gemessen; inklusive der halben Pyramidenbreite):
Höhe des Stabes:
Länge des Schattens des Stabes (am Boden gemessen):
240 m
3m
5m
Zwei Punkte A und B liegen am Rand einer
Schlucht in ebenem Gelände. Ihr Abstand soll mit
Hilfe der Punkte Q, R und S bestimmt werden. Sie
sind so gewählt, dass RS zu AB parallel ist.
Berechne aus den Angaben den Abstand AB .
28
(3) Anwendungen der Strahlensätze
1
Eine Person (Augenhöhe 1,70 m) steht in einer Entfernung
von 10,0 m vor einer Skulptur, welche auf einem Sockel steht.
Um die Höhe der Skulptur zu bestimmen, dreht sich die
Person auf der Stelle mit dem Rücken zur Skulptur und hält
sich einen 25 cm hohen, ebenen Spiegel vertikal so vor das
Gesicht, dass sie darin die Skulptur gerade formatfüllend
(ohne den Sockel!) sieht. Der Spiegel muss sich dabei genau
50 cm vor dem Gesicht befinden.
a) Erstelle zunächst eine (nicht maßstabsgetreue)
Überlegungsskizze! Beachte dabei, dass das Spiegelbild
eines Gegenstandes in derselben Entfernung hinter dem
Spiegel zu sein scheint, in welcher sich der Gegenstand
vor dem Spiegel befindet.
b) Berechne die Höhe der Skulptur!
c) Berechne die Höhe des Sockels, wenn sich die Spiegelunterkante genau 1,67 m
über dem Boden befindet!
2
Um die Entfernung eines unzugänglichen Punktes X zu
bestimmen kann man folgendermaßen vorgehen:
Man legt zwei Punkte A und B fest, die mit X auf einer
Geraden liegen ("fluchten"). Mit einfachen optischen Geräten
werden Lotgeraden zu AB festgelegt und auf diesen zwei
Punkte C und D, die wieder in einer Flucht mit X stehen.
(a) Berechne aus AC = 60 m, BD = 67 m und AB = 35 m den
Abstand XA.
(b) Wie groß ist der prozentuale Fehler des Ergebnisses,
wenn AC um 1% zu groß gemessen wurde?
3
4
a) Eine Kreisscheibe mit 8 cm Durchmesser
bedeckt genau den Vollmond, wenn sie 8 m 84
cm 7 mm vom Auge entfernt ist. Zur gleichen
Zeit wird die Entfernung Erde-Mond mit einem
Radarstrahl zu 384 400 km bestimmt. Berechne
den Durchmesser des Mondes!
b) Bei einer totalen Sonnenfinsternis bedeckt der
Mond genau die Sonne, die zu dieser Zeit 149
600 000 km von der Erde entfernt ist. Welchen
Durchmesser hat die Sonne, wenn die
Entfernung Erde-Mond zum Zeitpunkt der
Sonnenfinsternis 373 600 km beträgt?
Die Seitenteile eines Regals sind 1,80 m bzw. 1,50 m
lang. Zur Stabilisierung des Regals sollen zwei
Diagonalstreben festgeschraubt werden.
In welcher Höhe h treffen sich die beiden Streben?
Was wäre, wenn das Regal breiter wäre?
29
Quellen: Welt der Mathematik 9 (1990); Mathematik Heute 9 (1996); Lambacher Schweizer 9 (1997);
Schnittpunkt 9 (1995); Unterlagen der MUED.
Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Übung / Anwendung
 Vertikale Vernetzung
(Mögliche) Lösungen:
 Blatt (1):
 (1) B2 A2 || B4 A4
 (2) a) gemeint: nur 10 x 15 tut’s; b) 2,4
 (3) a  15,4; b  5,04; c  12,5; d  6
 (4) a  276m; c  7,5 %
 (5) ca. 1950 m
 (6) a) auf 16% b) um 50%
 (7) a) gleichseitige und kongruente Dreiecke b) Kreise und Quadrate
 Blatt (2):
 (1) a) 18 m; b) 20,4 m
 (3) 6 m
 (6) b) 144 m
 (7) 610 m
 Blatt (3):
 (1) b) 5,5 m; b) 1,04 m
 (2) a) 300 m; b) Fehler = 26,4 m, also 10 %
 (3) a) 3476 km; b) 1392000 km
 (4) h  82 cm. Unabhängig von Regalbreite!
Alternativen
Weitere Arbeitsblätter auch für leistungsschwächere Gruppen finden sich in MAT(H)ERIALIEN
7-10 Geometrie, S. 144ff (liegt jeder Schule vor).
Eine Vielzahl von Aufgaben ist im Internet unter http://did.mat.unibayreuth.de/smart/navigation/ abrufbar.
30
Vorschlag 12.19: DIN-Formate
Für DIN-A Formate gelten folgende Bedingungen:
1. Die Rechtecke sind einander ähnlich
2. Durch Halbieren der längeren Seite erhält
man das nächstkleinere DIN-A Format,
z.B. aus DIN A4 entsteht DIN A5
3. Ein Rechteck des Formats DIN A0 ist 1m2
groß
Was kannst du über die einzelnen
Seitenlängen aussagen?
Quelle: Text: Elemente 9 (1995), S. 88 (verändert), Abb.: Lambacher Schweizer 9 (1997), S. 177.
DIN-Formate: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Vernetzung von Ähnlichkeit und Irrationalität
Variationen der Aufgabe:
 Siehe unten stehenden Kasten
 (1) Nenne Verwendungsbeispiele dieser DIN Formate
 (2) "Bestimme das Verhältnis der Seitenlängen für das DIN-A1-Blatt. Bestimme dieses
Verhältnis auch für andere Formate. Was fällt dir auf?"
 (3) "Wie lang sind Seiten eines DIN-A3-Blattes?"
 (4) "Bestimme den Verkleinerungsfaktor"
 (5) "Mit einem Fotokopierer kann man vergrößern und verkleinern. Dazu stellt man einen
Prozentsatz ein. 100% bedeutet, dass die Größe erhalten bleibt. Wählt man 120%, so werden
alle Längen um den Faktor 1,2 verlängert. Gibt man 75% ein, so werden alle Längen um den
Faktor 0,75 verkleinert. Was muss man einstellen, wenn man ein DIN A4 Blatt in DIN A5
verkleinern will?"
(Mögliche) Lösung:
 (3)
DIN Ax Länge Breite
0
118,92 84,09
1
84,09 59,46
2
59,46 42,04
3
42,04 29,73
4
29,73 21,02
5
21,02 14,87
6
14,87 10,51
Die Größe von Briefpapier oder
Schulheften ist genormt. Das Format der
großen Hefte ist DIN A4, das der kleinen
DIN A5. Vokabelhefte sind oft DIN A6.
Was haben alle Hefte gemeinsam?
Bemerkungen:
 Verschiedenfarbige Blätter in den unterschiedlichen Formaten mitbringen, damit die Schüler
den Zusammenhang auch sinnlich erfahren können
31
Vorschlag 12.20: Escherbilder
Finde möglichst viele Gemeinsamkeiten und Unterschiede der folgenden
Abbildungen
 M.C. Escher Foundation-Baarn-Holland
32
Escherbilder: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Einführung des Ähnlichkeitsbegriffs
 Aufbau einer Vorstellung zum Ähnlichkeitsbegriff
Variationen der Aufgabe:
 Schüler notieren Auffälligkeiten schriftlich
 Mögliche Fragen: "Wie kann man zwei dieser Figuren aufeinander abbilden?", "Wie kann
diese Vermutung überprüft werden?"
Eignung, Methoden:
 Gruppen- oder Partnerarbeit
(Mögliche) Lösung:
 Abb. 1: Kongruenz, Abb.2: Kein mathematischer Begriff, Abb. 3: Ähnlichkeit (wird leider
nicht ganz deutlich, da einige Rochen im Original farblich hervorgehoben)
Bemerkungen:
 Mögliche Weiterführung durch zentrische Streckung, da dabei ähnliche Figuren hergestellt
werden. Für Arbeitsblätter vgl. MAT(H)ERIALIEN 7-10 Geometrie, Schroedel, S. 138ff
(liegt jeder Schule vor)
 Mögliche Weiterführung durch Herstellen von ähnlichen Figuren mit Hilfe eines
Storchenschnabels (Pantographen). Für eine Bauanleitung vgl. MAT(H)ERIALIEN 7-10
Geometrie, Schroedel, S. 149f (liegt jeder Schule vor). Einfache Modelle sind auch im
Spielwarenhandel erhältlich.
 Als Alternative können auch Spielkarten mit ähnlichen Buchstaben dienen (vgl.
MAT(H)ERIALIEN 7-10, S. 136f). Dort finden sich auch Vorlagen zur
Wohnungseinrichtung (aber natürlich auch in Möbelkatalogen).
 Der Begriff der Ähnlichkeit kann auch
durch Vergrößerung von Schnittmustern
oder Landkarten eingeführt werden
(zunächst
mit
Vorgabe
eines
Quadratrasters und später ohne). Für
diesbezügliche Vorschläge vgl. Profke,
L.:
Zur
Behandlung
der
Ähnlichkeitsgeometrie. In: DdM (1988)
H. 1, S. 56-75.
 Mögliche
Weiterführung
durch
perspektivische Zeichnungen. Z.B. über
Optische Täuschungen. Weiterführung
durch Korrektur der Zeichnung (vgl.
Abb.). Weitere Mögliche Frage: Durch
welche Abbildung wird Herr C auf Herrn A abgebildet? (vgl. MUED: Materialien für den
Mathematikunterricht in der Sek. I – Nr. 3, S. 41.)
Wie müsste Herr A
gezeichnet werden, damit er
genau so groß aussieht wie
Herr C?
33
Vorschlag 12.21: Ähnlichkeitspuzzle
Quelle: Armbrust, A.: In: mathematik lehren (1998), H. 91, S. 69.
34
Ähnlichkeitspuzzle: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Spielerische Übung der Ähnlichkeit
Variationen der Aufgabe:
 Alternative Aufgabenstellung für leistungsstärkere Schüler: "Zerlege die Figuren in jeweils
vier zueinander kongruente Einzelteile, die selbst zur Ausgangsfigur ähnlich sind.
 "Benenne die geometrischen Figuren"
Eignung, Methoden:
 Gruppen- oder Partnerarbeit
 Auch für Vertretungsstunden
(Mögliche) Lösung:
35
Vorschlag 12.22: Pythagoreische Grüße
Quelle: Wälti, B.: Mathespiele für die Sek. I. Verlag an der Ruhr, S. 63f (liegt im MV-Raum vor)
Pythagoreische Grüße: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
 Zu gegebenen Dreieck möglichst viele ähnliche finden und zeichnen
 Spielerische Herangehensweise an Ähnlichkeit und den Satz des Pythagoras
Spielregeln
 Die Spieler zeichnen als Ausgangsfigur gemeinsam zwei (rechtwinklige) Dreiecke A und B,
die eine Seite gemeinsam haben (vgl. Abb.). Spieler 1 beginnt, indem er eine der 4
vorhandenen freien Dreiecksseiten wählt und darüber ein zu A oder B ähnliches Dreieck
errichtet. Meistens gibt es dabei mehrere Möglichkeiten. Bedingung ist allerdings, dass das
neue Dreieck vollständig auf das Blatt passt, dass die Seitenlängen auf ganze Millimeter
angegeben werden und dass keine Seite weniger als 1 cm lang ist. Der rechte Winkel und die
Maße sollen in die Zeichnung eingetragen werden. Dann versucht Spieler 2 unter den
gleichen Bedingungen ein weiteres Dreieck zu zeichnen...
Wer das letzte Dreieck zeichnen kann, gewinnt das Spiel.
Variationen der Aufgabe:
 Spiel als kooperative Aufgabe: Welcher Gruppe gelingt es, möglichst viele Dreiecke nach den
genannten Regeln zu zeichnen.
36