Mathefit WS2017/2018 Übungsblatt №1 21.09.2017 Aufgabe 1

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WS2017/2018
Übungsblatt №1
21.09.2017
Aufgabe 1. Transkribiere mit griechischen Kleinbuchstaben und finde die Bedeutung des
Satzes
ΜΗ ΕΙΗΑΙ ΒΑΣΙΛΙΚΗΝ ΑΤΡΑΠΟΝ ΕΠΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΝ
Aufgabe 2. Zeige, daß für beliebige Mengen A, B, C allgemein gilt (Venn-Diagramm)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Aufgabe 3. Gegeben seien die Mengen
A = {x ∈ R | 2 ≤ x < 3}
C = {x ∈ R | x2 ≤ 6}.
B = {2, 4}
Bestimme A ∩ Z ∪ {3}, B \ A, A \ C c .
Aufgabe 4. Gegeben seien die drei Mengen
A =]1, 2]
C = {x ∈ N | x2 < 4}
B = {1, 3}
Bestimme die Mengen (A ∩ C) ∪ B, A \ C und B \ C.
Aufgabe 5. Gegeben seien die Mengen
A = {x ∈ R | 3 ≤ x < 10}
B = {x ∈ R | x ≥ 0}
C = {x ∈ R | 5 ≤ |x| ≤ 6 oder x ≤ −5}
(a) Stelle den Durchschnitt A ∩ B ∩ C formal als Menge und auf der Zahlengerade dar.
(b) Stelle die Vereinigung A ∪ B ∪ C formal als Menge und auf der Zahlengerade dar.
1
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Übungsblatt №2
22.09.2017
Aufgabe 6. Wo ist der Fehler in der folgenden Herleitung der Identität „5 = 4“?
20 = 20
45 − 25 = 36 − 16
5 · 9 − 52 = 4 · 9 − 42
81
81
− + 5 · 9 − 52 = − + 4 · 9 − 42
4
4
2
2
9
9
− 5−
=− 4−
2
2
2 2
9
9
= 4−
5−
2
2
9
9
5− =4−
2
2
5=4
Aufgabe 7. Vereinfache die Terme
6x
2xy
−
(a)
2
x − 4x 3x − 12
2
√
1
(c) x
x− √
x
(e)
1−
5
(x+1)2
1
x+1
−
2
x+1
x2 + 1
x+1
−
2
x − 4 2x + 4
√
√
√
x+1
x−1
2
(d)
x −1 √
−√
x−1
x+1
q
q
x+3
+ x−3
x−3
x+3
q
(f) q
x+3
− x−3
x−3
x+3
(b)
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Übungsblatt №3
25.09.2017
Aufgabe 8. Bestimme die maximalen Definitionsbereiche der folgenden Funktionen und
skizziere die Graphen.
1
(a) f (x) = −
(b) f (x) = x3
x+2
x2
+1
(d) f (x) = ln(x + 2)
(c) f (x) =
2
x+1
(e) f (x) = e 2
(f) f (x) = sin(2x)
(g) f (x) = cos(x + π)
(h) f (x) = sin(1/x)
Aufgabe 9. Bestimme eine lineare Funktion f (x) = kx + d, die die Werte f (1) = 2 und
f (2) = 6 annimmt. Wieviele solche Funktionen gibt es?
Aufgabe 10. Bestimme alle x ∈ [0, 2π] für die gilt
cos(x) sin(x) ≥ 0
Aufgabe 11. Löse die folgenden Gleichungen
1
(a)
= 3x
(b) 2x + 3 · 2x+1 = 28
9
x
1
1
(c)
(d) 3x · 4x+1 = 5x−1
=
25
5
Aufgabe 12. Caesium 137 hat eine Halbwertszeit von etwa 30 Jahren. Vor Fukushima
wurde 2011 ein Fisch mit 740000 Bq/kg gefangen, der Grenzwert liegt bei 500 Bq/kg.
Wie lang muß man den Fisch einfrieren, bevor er wieder genießbar wird?
Aufgabe 13. Führe die folgenden Polynomdivisionen durch.
(a)
8x2 + 26x + 15 : 2x + 5 =
(b)
2x4 + 5x3 + 9x2 + 9x + 6 : x2 + 2x + 2 =
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Aufgabe 14. Finde alle Lösungen der folgenden Gleichungen.
x3 + 2x2 − 5x − 6 = 0
(a)
6x4 + 7x3 − 11x2 − 7x = −5
(b)
5x4 − 7x3 + 2x2 = 0
(c)
(d)
2 sin3 x + 2 sin2 x − sin x − 1 = 0
Aufgabe 15. Löse die folgenden Gleichungssysteme.
(a)
3x − y + 2z = 30
3x + 4y + z
= 60
5x − 8y − 3z = −26
∗∗∗
(b)
(c)
2x − y + 3z = 9
3x − 5y + z = −4
4x − 7y + z
=5
∗∗∗
2x − y + 3z = −7
3x − 5y + z
=0
4x − 7y + z
=1
Aufgabe 16. Für welche Werte von α hat das Gleichungssystem
αx +
2y
= 1
x + (1 + α)y = 1
(i) Keine Lösung.
(ii) Genau eine Lösung.
(iii) Unendlich viele Lösungen.
Übungsblatt №4
26.09.2017
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Übungsblatt №5
27.09.2017
Aufgabe 17. Berechne Realteil und Imaginärteil der Zahlen
(1 + i)(1 − 2i)2
(3 + 2i)(4 − i)
(b)
z
=
(a)
z=
1
(2 + i)3
− 21 i
2
Aufgabe 18. Berechne
(a)
(1 − i)8
(b)
√
( 3 − i)7 .
Aufgabe 19. Löse das Gleichungssystem
2 x + (−2 + i) y = i
−i x + (1 + i) y = 1
über den komplexen Zahlen.
Aufgabe 20. Löse die folgenden Gleichungen über C:
(a)
z2 − 2 z + 1 − 2 i = 0
(b)
x3 + x2 − 2 = 0.
3
1
.
und Q =
0
−1
Aufgabe 21. Von einer Geraden g kennt man die Punkte P =
3
(a) Stelle fest, ob der Punkt R =
auf der Geraden liegt.
−1
(b) Bestimme die Menge aller Punkte auf der Geraden (Parameterdarstellung).
Aufgabe 22. Bestimme den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der beiden Geraden
3
−2
g={
+λ
| λ ∈ R}
−2
1
x
h={
∈ R2 | 2x − 3y = 5}
y
2
Aufgabe 23. Gegeben seien der Punkt P =
und die Gerade
−5
3
1
g={
+λ
| λ ∈ R}
7
2
(a) Bestimme die Gleichung derjenigen Geraden durch P , die zu g parallel ist, in Normalvektorform und in Parameterdarstellung.
(b) Bestimme die Gleichung derjenigen Geraden durch P , die auf g normal steht, in
Normalvektorform und in Parameterdarstellung.
4
Aufgabe 24. Der Punkt C =
ist die Spitze eines gleichschenkeligen Dreiecks ABC,
12
dessen Basis AB auf der Geraden 2x − y5 = 35 liegt. Die Länge der Basis entspricht
4
der Länge der Höhe auf die Basis. Berechne Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt und
3
Umkreismittelpunkt des Dreiecks.