Freie Atome: Mehr-Elektronen

Entmagnetisierendes Feld
B  H  4M , M  H
aber: das angelegte Feld H0 ist in der Regel nicht mit dem Feld in der Probe identisch.
Bsp.1:
Kern eines magn. Kreises durch einen Luftspalt unterbrochen
R
L
klein [alle Kraftlinien homogen]
L

Sei
L

Pr obe
 2R
4 nI

c
HSP 
Durchflutungsgesetz:
[durch I erzeugte Feldstärke]
 HSP  
4
 nI  HP 
c
P
 HL 
/ HP  HL
L
Magn. Fluss
  BP  qP  BL  qL  const. aus div. B  0
Annahme:
qp  qL  BP  BL
BL  HL , BP  HP  4M
Beachte:
HP  HL  4M
HL  das von der Spule erzeugte Feld HSp
HSp   HP 


P
 HL 
HL  HSp  4M 
P
HP  HSp  4M 
L
L
 (HL  4M) 
P
 HL 
L
 HL (
P

L
)  4M
p
= entmagnetisierendes Feld He
1
[Feld, das in der Probe wirksam ist = äußeres Feld minus 4M
entmagn. Feld He:
L
]
L
]
- proportional zur Magnetisierung
- hängt von der Geometrie der Probe ab [
allgemeine Schreibweise:
Hi  Ha  NM
,
i = innen, a = außen
N = geometr. Entmagnetisierungsfaktor
N kann aus Tabellen gewonnen werden
Bsp. 2:
Kugelförmige Probe
Das angelegte Feld Ho erzeugt in der Probe eine Magnetisierung M.
Diese wiederum erzeugt außerhalb der Kugel ein zusätzliches H-Feld.
siehe folgendes Bild
magn. Dipol mit m  V  M
(Magn. der Kugel)
Feld außerhalb:
Ha  Ho 
für große r:
Ha
, V  4
R3
3
3(m  r )  r  r 2m
4r 5
Ho
2
3
In der Nähe der Kugel:
Feldlinien werden
hineingezogen, falls paramagnetisch
herausgedrückt, falls diamagnetisch
M // H
M antiparallel H
siehe Bild
Im Innern der Kugel ist N  4 
1
3
also für Paramagnetismus:
Bsp. 3:
aus analytischen Berechnungen
Hi  Ho 
4
M
3
Entmagnetisierung bei Rotationsellipsoiden
z y
x
Nx, Ny, Nz
Entmagn. isotrop.
Hi,x  Ho,x  NxMx
Hi,y  Ho,y  NyMy
Nx  Ny  Nz  4  1
[1 in SI]
Hi,z  Ho,z  NzMz
Beachte:
Schicht:
'N'z  1
Kugel:
'N'x  'N'y  'N'z 
Nadel:
Nz  0
,
,
Nx  Ny  0
1
3
'N'x  'N' y 
'N'i 
1
2
N
4
 SI-Einheit
In einer dünnen Schicht findet eine Entmagnetisierung nur senkrecht zur
Schichtebene statt
 siehe später: Formanisotropie [Spinausrichtung]
4
Auswirkung auf exp. bestimmte Magnetisierungskurven M(H):
Es gilt M  H unabhängig von der Form der Probe, aber
H  Hi  Ho
Bsp. Kugel: N  4 
1
3
M    H    (Ho  4 
M
allg.

M
)
3
Ho  Ho
1  4

3
Gem 

1  N
Für große  (ferrom.) wird N
d.h. Gem  
Scheinbare Suszeptibilität
1  Gem

1

N N
d.h. nur noch form-, aber nicht mehr materialabhängig
 wahre Suszeptibilität muss an einer Probe mit extrem kleinem N oder am geschlossenen
Kreis bestimmt werden [kein Austritt von Feldlinien, z.B. Rahmenkristall
]
Gescherte Magnetisierungskurve
5
2. URSACHE DES MAGNETISMUS
Klassische Modellvorstellung von Bohr.
e'
+
positiver Kern mit kreisenden Elektronen
e'
 Kreisstrom I  e   e

2
Nach Ampère ist diesem Kreisstrom ein magnetisches Moment  zugeordnet.
 
1
IF
c
F  die vom Strom eingeschlossene Fläche
F  r 2
  
e 2
r 
2c
L  mer 2
Der mechanische Drehimpuls ist:
 magnetomechanischer Parallelismus
 
e
L
2mec
magn.
Moment
Drehimpuls
wichtig:
dieses Vorzeichen !!
Quantenmechanische Einheit des Drehimpulses:
wobei
ħ
h
2
h  6,62  1027 erg  s
6
 auch das magnetische Moment unterliegt einer Quantisierung.
Natürliche Einheit des magnetischen Bahnmomentes:
B 
e ħ
2mec
 9,27  1021
[SI : B 
erg/Gauß
Oe cm3
Gcm3
Bohr’sches Magneton
e ħ
 9,27  1024 Am2 ]
2me
J/T

  B 
L
ħ
Bahndrehimpuls L und hiermit das magnetische Bahnmoment sind quantisiert. Die erlaubten
Werte ergeben sich aus der Schrödingergleichung des Systems.
Kurz-Repetition [streng nur für Einteilchen-Problem durchführbar]
Einzelnes Elektron im Zentralfeld der pos. Kernladung Ze
zeitunabhängige
 
Schrödingergleichung
2m
Ze2
(E 
)  
ħ
r
Da das Potential nur von r abhängt: Kugelkoord.
r, , )  f(r)  Y ,m (, )
wobei Y ,m
Randbedingungen:
Kugelflächenfunktionen
(r  )  0 ,
(o , o )  (o  2k ,   2j)
 Quantenzahlen
n  1, 2, 3...
bestimmt die Energie (in erster Näherung)
 0, 1, 2,... n  1
m   ,   1, ......  1,
7
Lösungen des Eigenwertproblems für das Quadrat des Drehimpulses ergeben die
Eigenwerte:
(L)2 Y ,m (, )  (  1)ħ2 Y ,m (, )
L2  (  1)ħ2
 0, 1, 2... n  1
 Diskrete Werte des magn. Bahnmomentes:
 
Beachte:
(  1)  B
Nur eine Drehimpulskomponente und das Drehimpulsquadrat gleichzeitig
exakt messbar
Sei die ausgewählte Komponente die z-Komponente des Drehimpulses und parallel zu
einem Magnetfeld Hz
L z Y ,m (, )  mħY ,m (, )
Lz  m  ħ
m   ,   1, ...
 z-Komponente des magnetischen Bahnmoments ist auch ein ganzzahliges Vielfaches
des Bohr’schen Magnetons.

Beispiel:
z
2
 m B
(d.h. n  3! )
L2  2(2  1)ħ2  6ħ2
 [ L  6ħ  2,45ħ]
Lz  2ħ, -1ħ, 0, +1ħ, + 2ħ
[aber L z  L ! ]
da  (  1)
Ursache: Unschärferelation
m=2
L
m=1
m=0
m = -1
2 Drehimpulskomp. sind nicht simultan
messbar
s
0
p
1
d
2
f
3
m = -2
Die Richtung des gesamten Bahnmoments ist nicht fest, sondern präzessiert um die
Magnetfeldrichtung
8
Eigendrehimpuls [Spinbewegung]
Die klassische Vorstellung der Bahnbewegung war aber nicht ausreichend zur Erklärung der
vorhandenen Spektroskopischen Daten.

Stern-Gerlach-Versuch (1922): Strahl von Wasserstoffatomen [kein Bahnmoment]
durch ein inhomogenes Magnetfeld
Ag-Atomstrahl (kein Bahnmoment,  0 ) durch inhomogenes Magnetfeld B
Resultat: Aufspaltung in 2 Teilstrahlen


Goudsmit und Uhlenbeck (1925): Elektron führt zusätzlich noch eine Eigenbewegung
durch:
zusätzliches magnetisches Moment Ms  Spinmoment
Klassische Betrachtung:
Elektronenmodell = eine um ihre Achse rotierende Kugel mit re
und der homogen verteilten Ladungen
    e s analog Bahnmoment
2mc
Aber: Stern-Gerlach-Versuch und Zeeman-Effekt zeigen
1) nur 2 Einstellungen
s
1
2
2) Verhältnis von Moment zu Drehimpuls ist um einen Faktor 2 größer als bei der Bahn
 
e
L
2me  c
man schreibt:  s  ge 
s  
e
 s  2B  s
me  c
ħ
e
s
2mc
ge  gyromagn. Faktor [gyromagn. Anomalie]
ge  2 gemäß Dirac’scher Theorie des Elektrons
ge  2,002319 genaue Messungen und neuere Theorien
Eigenwerte der Spins:
s 2  s(s  1)ħ
s
1
s z  m s ħ =  ħ
2
beachte:
Spindrehimpulsquantenzahl
ms  s,  s  1...s
1

2
sz  s
s
s(s  1) 
1
2
 0,866
9
Einstein-de Haas - effect
light source
mirror
magnetic
coil
Energy and angular
momentum exchange !
10
 Magnetische Spinmomente
s  ge s(s  1)  B
sz  ge  s  B
3  B
1B
Der Landé’sche Faktor
Bahn- und Eigendrehimpuls eines einzelnen Elektrons addieren sich vektoriell zu einem
Gesamtdrehimpuls
JLS
Für den Betrag des Gesamtdrehimpulses gilt:
J  j(j  1)  ħ
j = Gesamtdrehimpulsquantenzahl
j s 
1
2
Jz  m j ħ
mit m j  m  ms

1 3 5
, , , etc.
2 2 2
d.h. jedes J spaltet im Magnetfeld in maximal 2j+1 Komponenten mit
m j   j,  j  1, ... , j  1, j
Gesamtdrehimpuls entspricht wieder einem magn. Moment, aber infolge der magnetomechanischen Anomalie tritt in der Verknüpfung wieder ein g-Faktor auf  Landé’scher
Faktor
 j  g j(j  1)B
g
3j(j  1)  s(s  1)  (  1)
2j(j  1)
j, , s  Drehimpulsquantenzahlen
 Drehimpuls!!
falls  0 : g  2
falls s  0 : g  1
11
Sei ge  2 ,
Beweis:
a
b
Kosinussatz:
a2  b2  c 2  2bc cos 

c
b2  c 2  a 2
bc

s
c
cos  
j
b
J
a

L
Beachte:  j     s  
S
[beachte: andere nennen es nicht
 j , sondern  , da parallel zu J ]
im Allg.
 j  a  b  c  a  2b
ge  2
 
 
  cos J, L  s cos J, S
[wobei  

 1 B , s  ge s(s  1) B ]
Kosinussatz 
cos(J, L) 
cos(J, S) 
J2  L  S2
2JL

J2  S2  L2
2JS
j(j  1)  (  1)  s(s  1)
2[j(j  1) (  1)]

1
2
j(j  1)  s(s  1)  (  1)
1
2[j(j  1) s(s  1)] 2
12
 j  g j(j  1) B

j(j  1)  (  1)  s(s  1)
j(j  1)  s(s  1)  (  1)
 B 
 B
2 j(j  1)
j(j  1)
 3j(j  1)  s(s  1)  (  1) 

 j(j  1)  B
2j(j  1)


g (Landé Faktor)
Beispiel: Ag:
 0, s 
 j
g
1
2
1
s
2
4j(j  1)
 2  ge
2j(j  1)
In einem homogenen Magnetfeld präzessiert  j um die magnetische Feldrichtung. Das
magnetische Moment muss in dieser Richtung auch eine Quantenbedingung erfüllen.
 jz  g  mj  B
mj  m  ms
g  Landé  Faktor
siehe oben
  j,  j  1,.... j
13
14
15
Freie Atome: Mehr-Elektronen-Zustände
Bisher: Atom mit nur 1 Elektron (H-ähnlich)
Jetzt: Mehr-Elektronen-Zustände, aber Beschränkung auf nicht wechselwirkende Atome, d.h.
Vernachlässigung von Kristallfeld [Bändern] und Austausch zwischen den Atomen.
Gesamtes magnetisches Moment berechnet sich aus dem Gesamtdrehimpuls J
Neue Def.:
i
, si, j i
L, S, J
Drehimpulse eines einzelnen Elektrons
Gesamtdrehimpuls aller Elektronen eines Atoms
Spin-Bahn-Wechselwirkung
  [Zeta]
Koppelt Spin- und Bahndrehimpuls zum Gesamtdrehimpuls j 
WW-Energie
Spin-Bahn-Wechselwirkung
W s  (r)  s
verknüpft
(r) 
,
das Bahn-
mit
s
e 1 dV
 
2me2 r dr
dem
Spinmoment
über
das
elektrostatische Coulomb-Potential V.
dV
sehr groß, bei großen Kernladungszahlen
dr
 2 Grenzfälle
a)
LS-Kopplung oder Russel-Saunders Kopplung
L
i
i
b)
S   si
JLS
i
jj-Kopplung für schwere Atome
ji 
i
 si
J   ji
i
16
Russel-Saunders- oder L-S Kopplung
[  L-S Austausch]
Wechselwirkung zwischen den Spin-Momenten untereinander und den Bahn-Momenten
untereinander größer als zwischen Spin und Bahn.
L
L  L(L  1) ħ
L  0, 1, 2, 3, 4,....
S   si
S  S(S  1) ħ
1 3
S  0, , 1,
2
2
JLS
J
J(J  1) ħ
1 3
J  0, , 1,
2
2
Eigenwerte
i
Quantenzahlen,
nicht Vektoren!!
[also > 1 ]
2
Sei L und S gegeben und L>S  J beschränkt auf 2S+1 Werte:
LS ,
L  S  1 , ….. L  S
 2S  1  Multiplizität
(falls S  L  2L  1)
Ein Mehr-Elektronen-Zustand schreibt sich:
Bsp.:
6
P3
2
L1
5
S
2
J
7
D1
2S 1
LJ
L2
S3
J1
3
2
(beachte: J  S  L )
Für die z-Komponenten der Drehimpulse gelten die gleichen Beziehungen wie für die EinElektronen Zustände.
[Doch beachte: Ms kann Werte von S bis S annehmen, nicht nur 
LZ  ML  ħ
ML  L,  L  1,.... L
SZ  MS  ħ
MS  S,  S  1,.... S
JZ  MJ  ħ
MJ  J,  J  1,.... J
1
1
oder  ]
2
2
17
Auch die magnetischen Momente und der g-Faktor berechnen sich analog wie bei den EinElektronenzuständen
J  g J(J  1) B
Bsp.:
6
Bsp.:
7
g
S
P3 2
5
3J(J  1)  S(S  1)  L(L  1)
2J(j  1)
2
L1
J  32
S3
L2
J1
D1
g
3  3 2  5 2  5 2  7 2  2 72 12


3  52
30 5
g
6  12  6
3
4
Nicht sämtliche Elektronen tragen zum magnetischen Verhalten bzw. zum Gesamtdrehimpuls bei, denn für „abgeschlossene Schalen“ ist L  S  0  J  0
 nur nicht abgeschlossene Schalen sind relevant
Fe Ion :  Ar  3d 4s
2
Bsp.:
6
voll

2
voll
5
D4
Grundzustand
wieso?
L2
5 –1
S
2
2
J4
Nach dem Pauli-Prinzip kann nur 1 Elektron einen Zustand besetzen mit bestimmten n, , me
und ms
 Kästchenschema:
s-Elektronen
p-Elektronen
0
1
1

2

m
2
ms
ms
1
2
m
ms
1

2

1
2
1
2

1
2

0
d-Elektronen
1
0
1
m
 2 1
0
1  2
[Falls Schale voll  in jedem Kästchen ein e   L  S  J  0 ]
18
Hund’sche Regel für den Grundzustand
Empirisch gefundene Regel (spektroskopische Daten).
Für freie Atome (bei T  0 ) gilt:
Der Gesamtspin S 
1. Regel:
keine e- am gleichen Ort
Coulombgewinn
 msi ist maximal
i
Der Gesamtbahndrehimpuls L 
2. Regel:
m
i
ist maximal
i
e- weit weg vom Zentrum
 Coulombgewinn
ohne Verletzung von Regel 1
3. Regel:
Der Gesamtdrehimpuls ist
 J  L  S falls Schale weniger als oder genau halbvoll ist.
 J  L  S falls Schale mehr als halbvoll ist.
also
II s
also
II s
D.h. Auffüllen der Kästchen von links nach rechts.
[Beachte: J, L, S = Quantenzahlen, nicht Vektoren]
Xe 4f 7 6s2
Eu3+: Europium
Bsp. 1:
  Xe 4f 6
f  3
ms

1
2

1
2
m
S3






3
2
1
0
-1
-2

7
L3
 F0
J  L  S  0 
-3
gefüllt
L S0
Fe 2 : Eisen
Bsp. 2:
[Ar] 3d6 4s2
ms
S2

1
2


1
2





2
1
0
-1
-2
m

5
L2
 D4 - Multiplett
J  L  S  4 
19
Bsp. 3:
 Ar  3d5 4s2
Mn:
gefüllt
Symbol


6
 S5
5 2
J LS  
2
ms
5
2
L0
S
1

2

1
2
m





2
1
0
-1
-2
siehe Tabelle Bild 1.4
Magnetische Momente
S  2
Fe
2
5
: D4 :

g
L  2
J  4

3 45  23  23 3

245
2
J  g  J(J  1) B 
3
 4  5  3 5 B
2
[Beachte: das ist nur richtig für den Grundzustand]
(L, S)  Multipletts
[Anzahl Entartungen]
alle mögl. Zustände
Bsp.: C
1s2 2s2 2p2
gefüllt
Grund
zus tand,
1
2 Elektronen mit si 
2
i
1
2p Elektron
  0, 1, 2
S   si
L


1
0
Grundzustand
3
p0
1
i
 Zusammenhang verschiedener Gesamtspin- und Gesamtdrehimpulse
20
[Beachte: s und
dürfen nicht gleich sein, d.h. falls s1  s2 

S = 0 Spinsinglett
1

2
]
s1  s2
1
m  1, 0, 1
Bahn-L
Mulitplett
Entartung
Ms
ML
1
L0
1
S
1
0
0
0
L 1
1
P
3
0
0,  1
L2
1
5
0
0,  1,  2
D

S = 1 Spintriplett
s1  s2 
1

-1
2
Bahn-L
Mulitplett
Entartung
Ms
ML
L0
3
S
3
0,  1
0
L 1
3
P
9
0,  1
0,  1
L2
3
D
nicht möglich, da s1 = s2, 1 = 2
1 = 2  1 + 2 = 2
00
10
-1 0
01
11
-1 1
0 -1
11
-1 -1
Aufhebung der Entartung im Magnetfeld
E
Energie im Magnetfeld
E  E0  mB
1
S
m1
m0
m  1
1
P
 E0  mJgJ  BB0
1
D
3
S
3
P
B0
(Grundzustand nach Hund: 3 P0 )
21
Entartung von z.B. 3 P kann durch die Spin-Bahn-Kopplung noch aufgespalten werden (auch
bei B = 0)
(Spin-Bahn-Aufspaltung)
ELS   (L  S)
JLS
 [Zeta] Spin-Bahn WW Konstante

J2  L2  S2  2LS
1
L S  (J2  L2  S2 )
2

ELS 
1
 (J2  L2  S 2 )
2
Für 2 benachbarte Niveaus eines Multipletts ist S = const. und L = const., nur J variiert um 1
ELS (J  1,J) 
1
 [J(J  1)  (J  1)  J]   J
2
S1
E
3
P
3
P2
3
P1
P 1
2

3
P0
Annahme: Große Multiplettaufspaltung:   J
Bsp. C [2P2 ]
kT
J0
3
J1
3
P1
J2
3
P2
P
ELS    2
J LS
3
P2
3
P1
+2
+1
0
-1
-2
MJ= 1
MJ= 0
MJ= -1
2

3
9-fach
entartet
ELS    1
[Spin-Bahn-Kopplung]
E
3
P0
P0
B0
J=0
B0
Beachte Aufspaltung ohne
äußeres Magnetfeld
22
J  J  Kopplung
tritt nur bei den schwersten Elementen auf. Falls die Spin-Bahn-Kopplung für jedes einzelne
Elektron sehr stark wird, bildet sich zuerst
ji 
und erst dann J 
i
 si
j
i
i
Bsp.:
UO2
(U  [Rn]5f 3 6d17s2 ) Grundzustand 5f 2
angeregter Zustand: 5f 16d1
5f 1 :
 3, s 
1
5
7
, j1  , j2 
2
2
2
6d1 :
 2, s 
1
3
5
, j3  , j4 
2
2
2
[  s,  s]
 der tiefste Zustand ergibt sich aus J  j1  j3  4
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