π ∂ ψ ∂ ψ π ∂ψ ∂

1
Einführung in die Atomphysik
Materie zeigt im Bereich der Mikrophysik Welleneigenschaften. Nach deBroglie ist einem
„Teilchen“ eine Welle zuzuordnen. Weitergehend ordnen wir der Materie eine
Wellenfunktion zu:
(x,y,z,t)
Materie wird damit in Raum und Zeit beschrieben, Meßbar ist nur Leistung = Strahlungsdichte. Für Welle ist diese I ≈ E2, wenn E = Feldstärke. Nach Max Born ist analog 2 Maß für
mittlere Teilchenzahldichte. Bei nur einem „Teilchen“ soll 2 als Wahrscheinlichkeitsdichte
interpretiert werden. Die Größe 2dV gibt die Wahrscheinlichkeit an, das betreffende
Teilchen zur Zeit t im Volumenelement dV=dxdydz zu finden. Die Ortsbestimmung
erfolgt nach statistischen Gesetzen. Deshalb Normierung notwendig:
2dV = 1
entspricht Wahrscheinlichkeit, das gesuchte Teilchen mit Gewissheit irgendwo zu finden.
Erwin Schrödinger suchte verallgemeinerte Gleichung, die o.g. Wellenfunktionen genügt:

h 2  2 ( x , t )
8 2 m
x 2
 U ( x , t ) ( x , t )  i
h  ( x , t )
2
t
Schrödinger Gleichung
Sie ist Grundlage der Quantenmechanik. Beschreibt Raum-Zeitliches Verhalten der Wellenfunktion , die wiederum die Eigenschaften mikrophysikalischer Objekte statistisch
beschreibt.
Die Schrödingergleichung hat analoge Bedeutung für die Mikrophysik, wie Newton’sche
Gleichungen für die klassische Physik oder die Maxwell’schen Gleichungen für
Elektrodynamik.
Einfaches quantenmechanisches Beispiel:
Teilchen in Box = Energiezustände einer 1D-stehenden Welle =
Potentialtopf
Stehende Welle für
Energie:
:
n 
2L
; n  1,2,3... Impuls:
n
h2
pn2
2
En 
n
2m
8mL2
Elektron in 1D-
pn 
h
n
Beschreibung als zeitunabhängig Wellenfunktion: : x,tx) F(t),

nh
2L
2
 2 ( x ) 8 2 m
 2 U ( x ) ( x )  0
x 2
h
Ansatz:
x)=0 sin(knx), mit kn = n /L ergibt Eigenwerte
U  En  n
und Eigenfunktionen :
2
h2
8mL2
x)=0 sin(n x /L)
mit
0 
2
L
Schlussfolgerungen
1.: Energie des Grundzustandes > 0 ! folgt aus Unschärferelation :
Ortsunschärfe x =L ; Impulsunschärfe px = px - (-px) = 2px
Aus Unschärferelation x px = h  px = h/2L
Gesamtenergie = kin.Energie:
2
h
px2

E1 
2m 8mL2
2.: Elektron hält sich in bestimmten Bereichen des Topfes länger auf, als in andern.
n2(x) beschreibt Aufendhaltswahrscheinlichkeit. Stärkste Diskontinuität bei n=1,
Tendenz zur „Gleichverteilung“ nimmt mit wachsendem n zu.
3.: Elektron kann aus dem Potentialtopf gelangen, Lösung der Schrödingergleichung für
endlich-tiefen Potentialtopf führt zu kleinerer Energie und zur Ausdehnung der Wellenfunktion außerhalb des Topfes Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen außerhalb des
Topfes
zu finden, nimmt mit n zu !
 Tunneleffekt
Transmissionskoeffizient durch Barriere L:
T  exp( 2 L
8 2 m(U  E )
h2
)
Anwendung : Raster-Tunnel-Mikroskopie
Energiezustände des Wasserstoffatoms
Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten lösen: mit
² 
1 ² 1  ²
1 
1 ² 

 


r ² r ² r ²   ² tan   sin ²  ² 
Der allein von () abhängige Anteil (Anteil in Runden Klammern) entspricht dem
Drehimpulsoperator L  l ,Zu dem Drehimpulsoperator gehört die Eigenwertgleichung
3
L ²Ylm   ²l (l  1)Yml
für die Bahnimpulsquantenzahl l=0,1,2…,
die z-Komponente von L genügt der Eigenwertgleichung
L z Yml  l z Ylm  mYlm
Lösung sind Kugelflächenfunktionen
für magnetische Quantenzahl m = -l,….,0,…+l.
Yl , m ( , )  Cml eim Pl m (cos ) –
ergeben s, p, d oder f-artige Winkelabhängigkeiten.
Bleibt konkrete Lösung für radialabhängigen Anteil zu finden:

 ² 1 ²
L²

ER(r )Y ( ,  )  
r
 U (r )  R(r )Y ( ,  )

 2m r r ²
2mr ²


Die Wirkung des Drehimpulsoperators kann durch seinen Eigenwert L ²  l (l  1) ersetzt
werden. Lösung für den Radialanteil hängt von der Wahl des radialabhängigen Potenzials
U(r) ab. Üblicherweise konstruiert man die Gesamtwellenfunktion aus
 n , l , m ( , , r )  Yl , m ( , ) Rnl (r )
mit Rnl (r ) 
unl (r )
 Cnl r l e  r / 2 L2nnl 11 (r ) ,
r
wobei u (r ) ² die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einer Kugelschale zwischen r und r+dr ,
aber R(r ) ² die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Volumenelement drdd beschreibt.
Lkm (r ) sind assoziierte Laguerre Polymome.
Im Atom wird Potential U durch Coulomb-Wechselwirkung des Elektrons mit dem
Atomkern (hier Proton) beschrieben.
2
1 e
U (r )  
4 r
r = Abstand Elektron-Proton. Setzt man U(r) in radialabhängige Schrödingergleichung ein, so
erhält man Eigenwerte = Energiezustände analog der Lösung von Bohr:
me 4 1
En   2 2 2
8 h n
Die Eigenfunktion = Wellenfunktion des Grundzustands (n=1) hat die Form :
R(r ) 
1
a 03
e  r / a0 a0 (Bohrscher Radius) = 0.052 9nm
Wahrscheinlichkeitsdichte ist :
R 2 (r ) 
1  2 r / a0
e
a 03
Radiale Wahrscheinlichkeitsdichte P(r+dr):
P ( r )  R 2 ( r )( 4r 2 ) 
4 2  2 r / a0
r e
a 03
zeigt Maximum bei r = a0 , 90% Wahrscheinlichkeit bei r= 2.7 a0 .
4
Ordnung der Energieniveaus im Wasserstoff:
Grundzustand gegeben durch QZ : n=1, l=0, ml =0, ms = +0.5 oder -0.5
erster angeregter Zustand : n=2, l=0,
Wellenfunktion:
1
R200 (r ) 
( 2  r / a 0 )e  r / a0
4 2a 03
1
2
R 200
(r ) 
(2  r / a 0 ) 2 e  2 r / a
3
32a 0
1
P (r ) 
8a0
0
2
 r
r 2 r / a 0
  (2  )e
a0
 a0 
Wellenfunktion für n=2, l=1, ml =-1,0,+1  entlang der x bzw. y-Achse
 211 ( x)  xe  r / a ,  210 ( z )  ze  r / a
0
0
,
alle 3 Zustände sind ohne äußeres Magnetfeld ununterscheidbar
integrale Wahrscheinlichkeitsdichte:
1
3
1
3
1
3
1
1 4 2 r / a 0
2 2 r / a 0
 221 (r ) 
r
e
,............
P
(
r
)

r e
96a 05
24a 05
 221 (r )  ( ) 2211 ( r , )  ( ) 2210 (r , )  ( ) 2211 (r , )
Bisherige Berechnung der Energieniveaus des Wasserstoffs gehen davon aus, dass
Elektron um ortsfesten Kern rotiert, aber Elektron und Proton rotieren um „center of mass“
 reduzierte Masse (siehe Mechanik)
mM
m

m  M 1 m
M
meff 
Für Wasserstoffatom:
meff 
m
1
1
183615
.

m
1000545
.
verändert Bindungsenergie, anstelle
E1= - 13.6057 eV  E1 = -13.5983 eV
für Deuterium M=Mproton+Mneutron
 E1=-13.6020 eV
sichtbar als Doublett der Spektrallinien von E=0.027%, im Intensitätsverhältnis von 6000:1
Entdeckung des Deuteriums durch H.C.Urey 1932 , Nobelpreis für Chemie 1934
5
Vollständige Lösung des Wasserstoffproblems:
erfordert Berücksichtigung von 4 Quantenzahlen:
Hauptquantenzahl
Nebenquantenzahl
magnetische QZ
Spinquantenzahl
n
l
ml
s
(Energieniveaus)
(Bahndrehimpuls)
(Ausrichtung des Bahndrehimpulses)
(Eigendrehimpuls des Elektrons)
Spin wird nicht durch Schrödingergleichung beschrieben, erst in Dirac´scher QED !!!
Bahndrehimpuls: klassisches Analogon eines kreisenden Elektrons , --> Vektor !
in Quantenmechanik ist Bahndrehimpuls quantisiert, nicht beliebige Werte von L sind
L  l (l  1
möglich, sondern
l = 0,1,2,...(n-1), ist Bahndrehimpuls-QZ = NQZ
l=0 für n=1.
l=0,l für n=2, d.h. es gibt zwei Werte für L
„kreisendes“ Elektron wirkt wie Stromschleife und erzeugt ein magnetisches Moment µ,
klassisch
µ = - (e/2m) L
in QM: mit L = h/2µB= µ = eh/(4m) = 9.274 10-24 J/T  Bohr’sches Magneton
nach Bohr sollte µ (H) bei n=1 µ = µB sein, das ist falsch!, QM : µ(H)= 0, weil l=0 für n=1 !
Richtung von L: Vorzugsrichtung durch Anlegen eines äußeren Feldes entlang z. L kann nicht
beliebige Lagen bezüglich z annehmen, sondern:
Lz = ml h/2
ml ist magnetische Quantenzahl , mit ml = -l,...,-2.-1,0,1,2,...,l
beschreibt Richtungsquantelung von L. Für n=2 und l=1 ist ml = -1,0,+1.
Winkel zur z-Achse:  = arccos (Lz/L) = arccos (1+ 1/ l)-1/2= 45°
 Nachweis über Zeemanneffekt ( später )
Stern-Gerlach Versuch (Otto Stern und Walther Gerlach 1922) führte zum Nachweis des
Elektronenspins.
Sz = ms h/2
mit ms = +1/2, -1/2, äußerstes Ag-Elektron ist entweder spin-up oder spin-down ausgerichtet
Spin ist mit Schrödinger QM nicht zu erklären. Er ergibt sich erst aus der Dirac’schen
Quantenelektrodynamik (QED) magn. Moment infolge Spin
µs,z= - 2 ms µB QED-->2.002319..
doppelt so effektiv ist , wie das magn Moment infolge des Bahndrehimpulses:
µl,z = - ml µB
Spin kann durch äußeres Magnetfeld ausgerichtet , und durch ein Hochfrequenzfeld
umgeklappt werden - Elektron-Paramagnetische Resonanz  EPR
6
Aufbau der Atome und Periodensystem
Bereits Mosely’sches Gesetz lässt Systematik der Atomanordnung erkennen.  siehe
Ordnungsprinzip ist Kernladungszahl Z, (nicht die Massezahl A, -->Isotope)
Aufbauprinzip der Atome nach
- Quantenzahlen n, l , m , s : Die Wasserstoff QZ können genutzt werden, um die
Elektronen eines Atoms in Schalen und Subschalen aufzuteilen unabhängig von ihrer Zahl
- Pauli Prinzip : In einem Vielelektronenatom können niemals zwei oder mehr Elektronen
einen durch (n,l,m,s) gegebenen Quantenzustand gleichzeitig besetzen
- Minimumenergie-Prinzip: Es werden immer die Energiezustände „von unten nach oben“
besetzt. Für gegebenes n steigt E mit l.
HQZ n bestimmt Periode:
NQZ l bestimmt Symmetrie des Bahnmoments
l
0 1
2
3
4...
Symbol s
p d
f
g...
sharp, principal, diffuse, fundamental…
Notation: n=1, l =0 : 1s ; n=4, l =3 : 4f
- Jede Periode beginnt mit Alkaliatom und endet mit Edelgasatom (besitzt sphärische
Symmetrie)
Zahl der Zustände pro Subschale ist :2(2 l +1)
damit: l =0 : 2 ; l =1 : 6; l =2 : 10; l =3 : 14
Zahl der Zustände pro Periode: 2n2 : n=1 : 2 ; n=2: 2+6=8; n=3 : 2+6+10 = 18
- Elektronenkonfiguration: n l Zahl
z.B. Li (Z=3) : 1s2 2s1
F (Z=9) : 1s2 2s2 2p5
Ne(Z=10) : 1s2 2s2 2p6
Na(Z=11) : 1s2 2s2 2p6 3s1
(H-ähnlich)
(Edelgaskonfiguration)
(H-ähnlich)
- Bindungsstärke ändert sich mit l. äußerstes Elektron H-ähnlicher Atome haben geringste
Bindungsenergie = Ionisierungsenergie ; Edelgasatome die größte !! , nimmt absolut mit
steigendem n ab, wegen Abschirmung der Protonenladung durch die inneren Elektronen
- Für Vielelektronensysteme ist Schrödingergleichung nicht mehr direkt lösbar.
Wellenfunktionen sind nicht mehr „Wasserstoff-  Funktionen“ sondern eher als
Superposition „wasserstoffähnlicher“ zu verstehen.
Variationsprinzip: Man variiere Zahl und Gestalt von so lange, bis E minimal wird.
-->
Etheorie > Eexakt z.B. über Hartree- Fock Ansatz
7
Atomspektroskopie
Der Gesamtdrehimpuls eines Elektrons setzt sich aus Bahndrehimpuls und Spin zusammen
J=L+S
Dieser ist wiederum nicht direkt messbar. Man kann nur den Betrag |J| und Jz messen.
|J| = (j ( j+1))1/2 h/2,
mit j = ml + ms > 0
und
Jz = mJ h/2 mit
mJ = (-j, -j+1,....,+j-1,+j)
damit sind (2j + 1) Einstellungen relativ zur z-Achse möglich :
l =0, ml =0, ms = + ½ oder – ½
 j= ½
Bsp.
l =1, ml =1, ms = + ½ oder - ½
 j = 3/2 und 1/2
l =2, ml =2, ms = + ½ oder - ½
 j = 5/2 und 3/2
gilt für Einelektronensysteme : H, Li, Na...
messbare Elektronenenergie ist von j abhängig spektroskopischer Übergang im Na-D:
1 ungepaartes Außenelektron wird thermisch (optisch) angeregt und springt zurück:
aus angeregtem Zustand: n=3, l =1 (p-Zustand)  2 Zustände : j= 3/2 und j=1/2
in den Grundzustand :
n=3, l =0 (s-Zustand)  1 Zustand j=1/2
Daher : 2 Spektrallinien : Übergang (Rücksprung von p  s)
Doublettstruktur Elektronenübergänge ist typische Erscheinung der Alkalispektren
Grundzustand : l =0, und s = - ½ oder + ½ j= ½
angeregte Zustände l > 0  j = l + ½
Systematik der spektralen Energieniveaus:
n
R = S ( l =0), P ( l =1) , D ( l =2)...
spektrale Übergänge genügen „Auswahlregeln“
(2S+1)
Rj
n = | nk - ni | , beliebig ganz zahlig
 l=| lk- li|=1
 j= | j k - j i | = 0,1
Mehrelektronenspektren ( Zahl der Valenzelektronen > 1)
J =L +S
Gesamtdrehimpuls:
Es treten verschiedene Multipletts der Spektrallinien auf:
Bsp.: Helium (Z=2) : besteht aus Singulett S=0,  1S Parhelium
aus Triplett S=1,  3P Orthohelium
ergibt zwei unabhängige Spektren : Interkombinationsverbot!
Niveaubezeichung wie oben , wenn J=j, L=l ; Auswahlregeln :
n = | nk - ni | , beliebig ganzzahlig
L= | L k -L i | = 1
 J= | J k - J i | = 0,1
Beachte Möglichkeit der Doppelanregung !!
Wechselwirkung mit einem äußeren Magnetfeld
8
Unter Einfluss eines äußeren Magnetfeldes wird Entartung der J-Zustände (Entartung =
Ununterscheidbarkeit Energiezustände – hier bezüglich mJ ) aufgehoben und jedes Niveau
spaltet in (2J+1) Zustände auf  Zeemaneffekt
Bei Beobachtung senkrecht zu B (transversaler ZE) erscheinen die 3 Linien, linear polarisiert.
Bei Beobachtung parallel zu B (longitudinaler ZE) verschwindet die Mittellinie, während die
anderen beiden links/rechts zirkular polarisiert sind.
Normaler Zeemaneffekt :
Für den Spezialfall S = 0,(Singuletts- erfordert 2 Valenzelektronen) misst man 3 Linien:

 = |µB| B 2/h = mL ½ (e/m) B ,
Lamorfrequenz
klassische Deutung als Präzessionsbewegung eines Kreisels um die Rotationsachse
E = mL |µB| B
Energieaufspaltung:
mL = -L,....., L mL = (-1, 0, 1) magnetische QZ
Energieniveaus spalten in (2L+1) äquidistante Niveaus auf. Im Cd (Hörsallversuch) sind die
Niveaus mit L=2 , S=0 (Grundzustand) und L=3, S=0 (angeregter Zustand beteiligt.
Grundzustand spaltet in 5 Subniveaus mit Abstand E(mJ – m(1-J) ) = |µB| B
Angeregter Zustand in 7 Subniveaus mit gleichem Abstand ;
Übergänge zwischen L=3  L=2 Niveaus ergeben 3 Liniengruppen mit je 5 Übergängen
Siehe H.N.“Atome Abb. 8.3 Seite 229“
Anomaler Zeemaneffekt :
Gilt für alle Niveaus mit S <>0 : Energieaufspaltung: E
E = g |µB| B mJ mit mJ = -J,....., J mJ = (0,1)
g - Landefaktor, beschreibt Projektion von L und S auf Richtung von B
g
3J ( J  1)  S ( S  1)  L( L  1)
2 J ( J  1)
Beachte : Im Normalen Zeemaneffekt ist g =1 und mJ = mL
Im anormalen Zeemaneffekt ist g <> 1 und J = L + S (L-S Kopplung)
Bsp. Na-D.Linie: ergibt 2 Serien:
Im Zustand B=0  Doublett ; Grundzustand unf beide angeregte Zustände sind in B<>0
aufgespalten : Grundzustand --> 2S1/2 : g=2 ; mJ = - ½ , + ½ , d.h. 2 Niveaus E= ± µB B
Angeregte Zustände :
1. 2P3/2 : g = 4/3 und mJ = -3/2, -1/2, 1/2, 3/2, d.h. 4 Niveaus mit
E = 4/3 |µB| B mJ = (2, 2/3, -2/3,-2) |µB| B
2
2. P1/2 : g = 2/3 , und mJ = -1/2, ½ , d.h. 2 Niveaus mit
E = 2/3 |µB| B mJ = (1/3, -1/3) |µB| B
Spektroskopische Übergänge unter Berücksichtigung mJ = (-1,0,+1):
2
P3/2  2S1/2 6 Linien ;
2
P1/2  2S1/2 4 Linien
siehe Hänsel & Neumann.“Atome” Abb 8.6 Seite 235
Weitere Aufspaltungen : Hyperfeinstruktur
Auch bei B=0 kann man Aufspaltung der Niveaus beobachten infolge der WW zwischen dem
resultierenden Bahnmoment der Elektronen J und dem „resultierendem“ Kernspin
9
 siehe Kernphysik ;
Kernspin I ist isotopenabhängig:
im Na-Isotop
23
Na : Z=11, N=12 : I =3/2
WW des Elektronen- mit dem Kernmoments :
F=I+J
2
S1/2 Niveau: F = 3/2 + 1/2= 2; 3/2 - 1/2=1 ;  2 Unterniveaus Es
P1/2 :
F = 2, 1
 2 Unterniveaus; mit Ep < Es
2
P3/2 :
F = 3/2+3/2,..,-3/2 = 3,2,1,0  4 Unterniveaus
Übergangsregeln : F = -1, 0, 1
Hyperfeinstrukturübergänge:
2
P1/2 --> 2S1/2 : 4 messbar 2=0.0023nm
2
P3/2--> 2S1/2 : 6
=0.0021nm
Bei B<> 0 spalten diese Zustände entsprechend der Regel des anomalen Zeemaneffektes auf.
2
Paschen - Back- Effekt : L-S- Kopplung gilt nur für „kleine“ Feldstärken von B , sonst
ergibt sich eine andere Kopplung (j-j-Kopplung ) und die magnetische Aufspaltung ist für
E = |µB| B ( mL + mS )
jeden Zustand :
2
2
Das hat zu Folge dass die P3/2 und P1/2 Zustände im Na in insgesamt 5 Niveaus
aufspalten und infolge der Übergangsregeln 2 x 3 Linien beobachtet werden.
Elektron-Paramagnetische Resonanz :
Anlegen eines konstanten Magnetfeldes führt zu (2J+1) facher Aufspaltung der
Energieniveaus. Gleichzeitig wird ein HF –Feld eingespeist, welche eine Energie bereitstellt,
die gerade der Differenz der durch das Magnetfeld induzierten Niveauaufspaltung entspricht.
I.Allg wird B=const. und HF (E= h ist variabel :
Resonanzabsorption wird beobachtet, wenn die Energie der HF
 ik  E i  E k   g |  B | B(mk  mi )
gleich der Energiedifferenz zweier (B-Feldinduzierter) Subniveaus entspricht.
Ebenso kann Energie der HF fest sein und B = B(Zeit) variieren.
Mit ESR kann man die atomare Struktur im Magnetfeld messen (Zahl der Linien ist abhängig
von Zahl der Valenzelektronen)
Stark –Effekt :
ähnlich wie magnetische Felder (Zeeman) führt auch ein elektrisches Feld zu einer
Aufspaltung von Energiezuständen.
---> Starkeffekt
Durch angelegtes Feld wird Kugelsymmetrie des Systems gestört,
(2J+1)-fache Entartung teilweise aufgehoben. Dehimpulskomponente || E <> _|_ E
lineare Abhängigkeit nur für schwache E ; für größere E quadratischer Effekt :
Größe der Aufspaltung:
E = - mDipol (E) E ~ E2 ;
weil mDipol = α E
im H-Atom : aus 2s und 2 p Niveaus entstehen im E-Feld je 3 Linien
10
Systematik spektroskopischer Zustände
Elektronensystem
aus Ein -
Zwei-
Mehr Elektronen
Na
|
Mg
|
Al
2
6
1
+
2
1.Grundzustand
1s ,2s ,2p ,3s
|
Na ,3s
|
Na+,3s2,3p1
|
|
2.angeregte Zustand.
3p1
3s1 3p1
z.B. 3s1 3p2
3.Feinstruktur: S= s ; Zahl der Linien: 2S+1 (S ist positive Zahl !)
S=
1/2
|
0, 1
|
1/2, 3/2
2
L-S Kopplung:
32P1/2, 3/2 |
31P1
3
P1/2, 3/2
|
2
3
4
L+S
3 D3/2, 5/2
3 P0,1,2
3 P5/2,3/2,...
3
3 D1,2,3
4.Hyperfeinstruktur --->siehe
5.Magnetfeld=0 :
Zahl der Niveaus : 2J+1
32P1/2: 2
31P1: 3
32P1/2 : 2
32P3/2 : 4
33P2 : 5
34P5/2 : 6
6. Übergangsregeln: mJ = 0,1 , |l | =1
32PJ->32S1/2
31P1->31S1
32PJ->32S1/2
B=0
2
1
2
B<>0
4, 6
3
4,6
33PJ->33S1/2
34P5/2->34S1/2
B=0
3
4
B<>0
9
12
2
Drehimpulse in der Atomphysik
Generell sind Drehimpulse quantisiert. Der Impuls J eines Rotators ist der Messung nicht
zugänglich, sondern nur sein Betrag J  J ( J  1) und die Projektion des Vektors J auf
eine Vorzugsachse, wahlweise z-Achse J Z  m k , wobei m eine Quantenzahl mit dem
Wertevorrat m= -J...+J ist. Daraus ergeben sich (2J+1) diskrete Einstellmöglichkeiten.
Anwendungen :
1. Bahndrehimpuls eines Hüllenelektrons wird durch Bahndrehimpulsvektor l
beschrieben.
Energiezustände hängen von n und l ab. Messbar sind
l  l (l  1) , wobei l die
Nebenquantenzahl mit dem Wertevorrat l =0,1,2,..(n-1) ist, und die Projektion auf zAchse l z  m k , mit m als Quantenzahl m = - l....+ l .m- Zahl der möglichen
Projektionen des Bahndrehimpulses auf die z-Achse.
2. magnetisches Bahnmoment lässt sich klassisch damit erklären, dass ein elektrischer
q
Kreisstrom ein magnetisches Moment der Größe m 
L hervorruft. In QM ist m
2m
e
quantisiert. m  
l mit m  l (l  1)  B , mit l = 0,1,2..(n-1), und m z  m B k
2m
mit m = - l ,...0,...+ l als magnetische Quantenzahl. m beschreibt die Zahl der
Einstellmöglichkeiten des magnetischen Momentes in Bezug auf ein äußeres Feld.
11
3. Elektronenspin lässt sich nur QM beschreiben: “Eigendrehimpuls des Elektrons“.
Betrag des Eigendrehimpulses s  s( s  1) und dessen Projektion auf z-Achse sind
messbar s  m s k mit ms= - ½ , + ½ als Spinquantenzahl.
4. Magnetisches Spinmoment ist m s  2 s( s  1)  B und dessen Projektion
m sz  
B gs sz

 2m s  B , mit gs - gyromagnetisches Verhältnis, gs =2 für freie
Elektronen.
5. Gesamtdrehimpuls eines Hüllenelektrons j  l  s , messbar sind der Betrag
j 
j ( j  1) mit j  l  m s  0 als Gesamtdrehimpuls, und die Projektion
j z  m j k mit mj =-j,...,+j als Gesamtdrehimpulsquantenzahl., ergibt (2j+1)
Einstellmöglichkeiten von j auf die z-Achse.
6. Gesamtdrehimpuls mehrerer Valenzelektronen J wird im Rahmen der L-S
Kopplung beschrieben . J  L  S   l n   s n ,wobei sich jeweils die Bahndrehn
n
impulse und die Spins der Valenzelektronen summieren. L-S Kopplung gilt für
Atome niedriger Kerladungszahl
Dann gelten o.g. Regeln sowohl für das resultierende Gesamtbahnmoment L mit
Betrag L  L( L  1), mit L z  Mk , M=-L,.., +L und des resultierendes
magnetisches
Bahnmoment M L mit M L | L( L  1)  B und M Lz  M  B k und M=-L,...,+L;
Als auch für Gesamtspin S  S ( S  1) und dessen magnetischen Spinmoment
M S  2 S ( S  1)  B und deren Projektionen auf die z-Achse.
Daraus resultiert Gesamtdrehimpuls für J mit J  J ( J  1) mit J =L+Ms >0 und
J z  M J k mit MJ = -J,...+J, als Zahl der möglichen Einstellwerte des
Gesamtbahndrehimpulses zur z-Achse = (2J+1).
7. Das magnetische Moment des Gesamtdrehimpulses M J  M L  M s besitzt die
Projektion M Jz  g L  B
J ( J  1) cos( J , k )  g L  B M J auf die Richtung des
magnetischen Feldes.
3J ( J  1)  S ( S  1)  L( L  1)
und MJ ist magnetische
2 J ( J  1)
Quantenzahl der Valenzelektronen.
gL ist der Lande-Faktor g L 