Blatt 2

TP2: Elektrodynamik
Arbeitsblatt 2
Wintersemester 2014/15
23/24.10.2014
Das Ampere-Gesetz
In Analogie zum ersten Aufgabenblatt betrachten Sie nun die integrale Form des Ampere-Gesetzes.
Ebenso wie das Gauß-Gesetz der Elektrostatik, ist das Ampere-Gesetz in der Regel nur auf
hochsymmetrische Probleme anwendbar, bietet dann jedoch meist die einfachste und eleganteste
Lösung. Es ist jedoch zu beachten, welchen Einfluß der Strom auf die Symmetrie des Problems
hat.
Aufgabe 1: Magnetisches Feld eines stromdurchflossenen Leiters
Betrachten Sie einen unendlich langen Draht der von einem homogenen stationären Strom durchfloßen wird. Gesucht ist das magnetische Feld B in der Höhe ρ senkrecht über dem Draht. Der
Draht liege entlang der z-Achse.
a) Das betrachtete System weist im Wesentlichen die gleiche Symmetrie wie der geladene Draht auf
dem vorherigen Blatt auf, mit einem wichtigen Unterschied: der gerichtete Strom modifiziert
die diskrete Symmetrie. Eine Rotation um 180 Grad um Achsen durch den Draht und senkrecht
zur z-Achse überführt das System nicht in sich selbst, sondern entspricht einer Umkehr des
Stromes. Schlussfolgern Sie hieraus, dass das magnetische Feld parallel zu êφ ist, wobei das
Vorzeichen durch Konvention gegeben ist.
b) Statt Gauß-Flächen verwendet man beim Ampereschen Gesetz sog. Ampere-Schleifen. Wählen
Sie eine der Symmetrie angepasste Schleife, bei der die magnetische Flussdichte überall in
Richtung des Integrationsweges zeigt.
c) Stellen Sie das Ampere-Gesetz auf und lösen Sie das Integral für die vorher gewählte Schleife.
Nutzen Sie dieses Ergebnis um das magnetische Feld im Abstand ρ vom Leiter zu bestimmen.
Aufgabe 2: Magnetisches Feld einer stromdurchflossenen Ebene
Betrachten Sie eine Ebene die von einem homogenen, stationären Strom durchflossen wird. Die
Ebene liege in der xy-Ebene mit der Flächenstromdichte ~k = kêx . Dieses System weist eine
ähnliche Symmetrie wie die geladene Ebene vom vorherigen Aufgabenblatt auf, jedoch erneut
modifiziert durch den Strom. Gesucht ist das magnetische Feld B in einem Abstand h über bzw.
unter der Ebene.
a) Rotationen um 180 Grad um die z-Achse entsprechen einer Stromumkehr, bei der das magnetische Feld sein Vorzeichen ändern muss. Außerdem muss es senkrecht zur Stromdichte sein.
Schließen Sie davon ausgehend darauf, dass B parallel zur y-Achse verlaufen muss. Durch die
Invarianz des Systems unter dem ”Umklappen” (Vertausche oben mit unten) folgt, dass die
Orientierung sich über und unter der Ebene durch ein Vorzeichen unterscheiden.
b) Wählen Sie eine rechteckige Ampere-Schleife senkrecht zur Stromdichte durch die Ebene mit
den Seitenlängen 2h und l. Führen Sie das Integral im Ampere-Gesetz für diese Schleife aus.
Beachten Sie, wie der umschlossene Strom von der Länge l der Ampere-Schleife abhängt.
Aufgabe 3: Unendlich lange Spule
Betrachten Sie eine unendlich lange Spule mit Radius R die so eng gewunden ist, dass jede Windung quasi als geschlossene Schleife aufgefasst werden kann, bzw. alternativ betrachten Sie eine
dünne Zylindermantelfläche mit konstantem Flächenstrom. Dieser Strom soll im Uhrzeigersinn
die Spule umfliessen. Die z−Achse verlaufe durch den Mittelpunkt der Spule.
a) Zunächst erschließen Sie sich wieder durch die Symmetrie die Richtung des magnetischen Felds.
Kann das Feld eine radiale Komponente haben? Beachten hierzu das Zusammenspiel von
diskreter Rotationssymmetrie und Stromumkehr.
b) Argumentieren Sie, warum das Feld nicht entlang der Stromdichte verlaufen kann.
c) Entsprechend kann das Feld nur entlang der z-Achse verlaufen. Verwenden Sie eine rechteckige
Ampere-Schleife mit Seitenlängen l und s. Legen Sie das Rechteck so an, dass eine Seite der
Länge l entlang der z-Achse durch die Spule verlaufe während die gegenüberliegende Seite
außerhalb der Spule liege.
d) Betrachten Sie den so umschlossenen Strom. Wie hängt dieser von der Seitenlänge s ab?
Schließen Sie darauf, dass das Feld außerhalb der Spule verschwindet, unter der Annahme dass
das Feld im Unendlichen verschwindet. Anderseits könnte man die Seite im Inneren beliebig
zur z-Achse verschieben. Schließen dadurch, dass das Feld im Inneren konstant ist.
e) Stellen Sie nun das Ampere-Gesetz auf und bestimmen den nicht verschwindenden Beitrag zum
Integral. Bestimmen Sie daraus das Feld wenn die Spule n Windungen pro Längeneinheit habe,
welche jeweils mit einem Strom I durchflossen werden, bzw. äquivalent die Flächenstromdichte
|k| = nI die Folie durchströmt. Bestimmen Sie daraus das Feld einer unendlich langen Spule.
Aufgabe 4: Zwei koaxiale Spulen
Wir erweitern das vorherige Beispiel um eine weitere Spule, die in der ersten koaxial positioniert
wird. Beide Spulen haben eine unterschiedliche Windungszahl n1 , n2 , unterschiedliche Radien
R1 , R2 und der Strom durchfließt sie in entgegengesetzte Richtung. Benutzen Sie ihre Ergebnisse,
um das Feld in den folgenden Regionen zu bestimmen
a) Im Inneren der inneren Spule r < R1
b) Zwischen innerer und äußerer Spule R1 < r < R2
c) Außerhalb beider Spulen R2 < r.