Themen Relative Extrema Die Regeln von de l`Hospital Konvexität

10 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung
Themen
◮
Relative Extrema
◮
Die Regeln von de l’Hospital
◮
Konvexität und elementare Ungleichungen
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
10.1
Relative Extrema
Eine Funktion f sei in einer Umgebung des Punktes ξ
definiert.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
10.1
Relative Extrema
Eine Funktion f sei in einer Umgebung des Punktes ξ
definiert.
ξ heißt relatives Minimum von f , wenn es eine Umgebung U
von ξ gibt mit f (ξ) ≤ f (x) für alle x ∈ U.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
10.1
Relative Extrema
Eine Funktion f sei in einer Umgebung des Punktes ξ
definiert.
ξ heißt relatives Minimum von f , wenn es eine Umgebung U
von ξ gibt mit f (ξ) ≤ f (x) für alle x ∈ U.
In einem relativen Maximum gilt analog f (ξ) ≥ f (x).
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
10.1
Relative Extrema
Eine Funktion f sei in einer Umgebung des Punktes ξ
definiert.
ξ heißt relatives Minimum von f , wenn es eine Umgebung U
von ξ gibt mit f (ξ) ≤ f (x) für alle x ∈ U.
In einem relativen Maximum gilt analog f (ξ) ≥ f (x).
Ein Minimum oder Maximum heißt strikt, wenn statt ≤ oder
≥ die strikte Ungleichung gilt. Zu beachten ist bei dieser
Definition, dass f mindestens in einem Intervall (ξ − ε, ξ + ε)
definiert sein muss.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Notwendige Bedingungen für einen Extremwert
R
Satz Die Funktion f : (a, b) → besitze in ξ ∈ (a, b) ein
relatives Minimum oder Maximum.
(a) Ist f ∈ C 1 , so gilt f ′ (ξ) = 0.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Notwendige Bedingungen für einen Extremwert
R
Satz Die Funktion f : (a, b) → besitze in ξ ∈ (a, b) ein
relatives Minimum oder Maximum.
(a) Ist f ∈ C 1 , so gilt f ′ (ξ) = 0.
(b) Ist f ∈
C 2,
so gilt zusätzlich
f ′′ (ξ) ≥ 0 falls ξ Minimum, f ′′ (ξ) ≤ 0 falls ξ Maximum.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
(a) Ist f ∈ C 1 , so gilt f ′ (ξ) = 0.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
(a) Ist f ∈ C 1 , so gilt f ′ (ξ) = 0.
Sei ξ ein relatives Minimum. Für h > 0 gilt dann
1
(f (ξ + h) − f (ξ)) ≥ 0,
h
1
(f (ξ − h) − f (ξ)) ≤ 0.
−h
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
(a) Ist f ∈ C 1 , so gilt f ′ (ξ) = 0.
Sei ξ ein relatives Minimum. Für h > 0 gilt dann
1
(f (ξ + h) − f (ξ)) ≥ 0,
h
1
(f (ξ − h) − f (ξ)) ≤ 0.
−h
Durch Grenzübergang folgt f ′ (ξ) = 0.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
(b) Ist f ∈ C 2 , so gilt zusätzlich
f ′′ (ξ) ≥ 0 falls ξ Minimum, f ′′ (ξ) ≤ 0 falls ξ Maximum.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
(b) Ist f ∈ C 2 , so gilt zusätzlich
f ′′ (ξ) ≥ 0 falls ξ Minimum, f ′′ (ξ) ≤ 0 falls ξ Maximum.
Für ein relatives Minimum ξ gilt nach (a) f
′ (ξ)
= 0.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
(b) Ist f ∈ C 2 , so gilt zusätzlich
f ′′ (ξ) ≥ 0 falls ξ Minimum, f ′′ (ξ) ≤ 0 falls ξ Maximum.
Für ein relatives Minimum ξ gilt nach (a) f
′ (ξ)
= 0.
Die Taylor-Entwicklung für n = 1 lautet daher
1
f (x) = f (ξ) + f ′′ (a)(x − ξ)2 ,
2
a ∈ (x, ξ),
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
(b) Ist f ∈ C 2 , so gilt zusätzlich
f ′′ (ξ) ≥ 0 falls ξ Minimum, f ′′ (ξ) ≤ 0 falls ξ Maximum.
Für ein relatives Minimum ξ gilt nach (a) f
′ (ξ)
= 0.
Die Taylor-Entwicklung für n = 1 lautet daher
1
f (x) = f (ξ) + f ′′ (a)(x − ξ)2 ,
2
a ∈ (x, ξ),
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
daher
Folgen
1
0 ≤ f (x) − f (ξ) = f ′′ (a)(x − ξ)2 ,
2
x = xn → ξ liefert die Behauptung.
a ∈ (x, ξ).
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Hinreichende Bedingung für einen Extremwert
Satz Für die Funktion f ∈ C 2 (a, b) seien in ξ ∈ (a, b) die
Bedingungen f ′ (ξ) = 0 sowie f ′′ (ξ) > 0 (f ′′ (ξ) < 0) erfüllt.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Hinreichende Bedingung für einen Extremwert
Satz Für die Funktion f ∈ C 2 (a, b) seien in ξ ∈ (a, b) die
Bedingungen f ′ (ξ) = 0 sowie f ′′ (ξ) > 0 (f ′′ (ξ) < 0) erfüllt.
Dann besitzt f in ξ ein striktes relatives Minimum
(Maximum).
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Wegen f ′ (ξ) = 0 lautet die Taylor-Entwicklung
1
f (x) − f (ξ) = f ′′ (a)(x − ξ)2 ,
2
a ∈ (x, ξ).
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Wegen f ′ (ξ) = 0 lautet die Taylor-Entwicklung
1
f (x) − f (ξ) = f ′′ (a)(x − ξ)2 ,
2
a ∈ (x, ξ).
Ist nun f ′′ (ξ) > 0, so ist wegen der Stetigkeit von f ′′ auch
f ′′ (a) > 0 für alle a in einer genügend kleinen Umgebung von
ξ.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Einseitige Extremwerte
Extremwerte am Rande des Definitionsintervalls nennt man
einseitige Extremwerte.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Einseitige Extremwerte
Extremwerte am Rande des Definitionsintervalls nennt man
einseitige Extremwerte.
Bei diesen gibt es nur notwendige und hinreichende
Bedingungen erster Ordnung, also nur für die erste Ableitung
von f .
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Einseitige Extremwerte
Extremwerte am Rande des Definitionsintervalls nennt man
einseitige Extremwerte.
Bei diesen gibt es nur notwendige und hinreichende
Bedingungen erster Ordnung, also nur für die erste Ableitung
von f .
Besitzt f ∈ C 1 ([a, b]) ein Minimum an der Stelle a, so folgt
für h > 0 f (a + h) − f (a) ≥ 0 und damit f ′ (a) ≥ 0.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Einseitige Extremwerte
Extremwerte am Rande des Definitionsintervalls nennt man
einseitige Extremwerte.
Bei diesen gibt es nur notwendige und hinreichende
Bedingungen erster Ordnung, also nur für die erste Ableitung
von f .
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Besitzt f ∈ C 1 ([a, b]) ein Minimum an der Stelle a, so folgt
für h > 0 f (a + h) − f (a) ≥ 0 und damit f ′ (a) ≥ 0.
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Gilt f ′ (a) > 0, so folgt aus dem Differenzenquotienten, dass
f in a ein striktes relatives Minimum besitzt.
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Einseitige Extremwerte
Extremwerte am Rande des Definitionsintervalls nennt man
einseitige Extremwerte.
Bei diesen gibt es nur notwendige und hinreichende
Bedingungen erster Ordnung, also nur für die erste Ableitung
von f .
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Besitzt f ∈ C 1 ([a, b]) ein Minimum an der Stelle a, so folgt
für h > 0 f (a + h) − f (a) ≥ 0 und damit f ′ (a) ≥ 0.
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Gilt f ′ (a) > 0, so folgt aus dem Differenzenquotienten, dass
f in a ein striktes relatives Minimum besitzt.
Rationale und
reelle Zahlen
Beachte: Die Vorzeichen für den rechten Randpunkt kehren
sich um.
Unendliche
Reihen
Folgen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Bestimmung der globalen Extremwerte
Bei der Bestimmung der globalen Extremwerte einer
differenzierbaren Funktion sind alle Nullstellen der ersten
Ableitungen und die Randpunkte zu untersuchen.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Bestimmung der globalen Extremwerte
Bei der Bestimmung der globalen Extremwerte einer
differenzierbaren Funktion sind alle Nullstellen der ersten
Ableitungen und die Randpunkte zu untersuchen.
Bei unbeschränktem Definitionsbereich zusätzlich das
Verhalten im Unendlichen.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel
Sei
f (x) =
x2
x +1
in I = (−1, ∞).
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel
Sei
f (x) =
x2
x +1
in I = (−1, ∞).
Es gilt für x > −1
f ′ (x) =
x2
2x
−
= 0 ⇔ 2x(x + 1) − x 2 = 0
x + 1 (x + 1)2
mit einziger Lösung x = 0 in I .
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel
Sei
f (x) =
x2
x +1
in I = (−1, ∞).
Es gilt für x > −1
f ′ (x) =
x2
2x
−
= 0 ⇔ 2x(x + 1) − x 2 = 0
x + 1 (x + 1)2
mit einziger Lösung x = 0 in I .
Da f ′ < 0 in (−1, 0) und f ′ > 0 in (0, ∞), ist f streng
monoton fallend in (−1, 0) und streng monoton wachsend in
(0, ∞).
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel
Sei
f (x) =
x2
x +1
in I = (−1, ∞).
Es gilt für x > −1
f ′ (x) =
x2
2x
−
= 0 ⇔ 2x(x + 1) − x 2 = 0
x + 1 (x + 1)2
mit einziger Lösung x = 0 in I .
Da f ′ < 0 in (−1, 0) und f ′ > 0 in (0, ∞), ist f streng
monoton fallend in (−1, 0) und streng monoton wachsend in
(0, ∞).
x = 0 ist daher das globale Minimum. Klar ist
limx→−1+ f (x) = ∞, limx→∞ f (x) = ∞.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
10.2
Die Regeln von de l’Hospital
Wir betrachten zwei Funktionen f und g , die in Umgebung
eines Punktes ξ definiert sind, wobei für ξ auch ±∞
zugelassen ist.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
10.2
Die Regeln von de l’Hospital
Wir betrachten zwei Funktionen f und g , die in Umgebung
eines Punktes ξ definiert sind, wobei für ξ auch ±∞
zugelassen ist.
Wir nehmen an, dass die Grenzwerte für x → ξ existieren,
also f (ξ) → α, g (x) → β. Aus den Rechenregeln für
Zahlenfolgen folgt, dass lim f (x)/g (x) = α/β, sofern α/β
eine Zahl ist.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
10.2
Die Regeln von de l’Hospital
Wir betrachten zwei Funktionen f und g , die in Umgebung
eines Punktes ξ definiert sind, wobei für ξ auch ±∞
zugelassen ist.
Wir nehmen an, dass die Grenzwerte für x → ξ existieren,
also f (ξ) → α, g (x) → β. Aus den Rechenregeln für
Zahlenfolgen folgt, dass lim f (x)/g (x) = α/β, sofern α/β
eine Zahl ist.
Klar ist auch der Fall α 6= 0 und β = 0, g ≥ 0, weil dann
f (x)/g (x) → sign (α)∞.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Die Regeln von de l’Hospital
Aber was passiert in den Fällen α = β = 0 und α = β = ∞ ?
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Die Regeln von de l’Hospital
Aber was passiert in den Fällen α = β = 0 und α = β = ∞ ?
Wir sprechen dann von unbestimmten Ausdrücken der Form
∞
0
0 und ∞ .
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Die Regeln von de l’Hospital
Aber was passiert in den Fällen α = β = 0 und α = β = ∞ ?
Wir sprechen dann von unbestimmten Ausdrücken der Form
∞
0
0 und ∞ .
Hier kommt es offenbar darauf an, wie schnell die Funktionen
gegen 0 bzw. gegen ∞ konvergieren.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Die Regeln von de l’Hospital
Liegt für die differenzierbaren Funktionen f und g ein
∞
vor, so gilt
unbestimmter Ausdruck der Form 00 oder ∞
lim
x→ξ
f (x)
f ′ (x)
= lim ′ ,
g (x) x→ξ g (x)
sofern g ′ (x) 6= 0 in einer Umgebung von ξ und der Grenzwert
auf der rechten Seite existiert.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Die Regeln von de l’Hospital
Liegt für die differenzierbaren Funktionen f und g ein
∞
vor, so gilt
unbestimmter Ausdruck der Form 00 oder ∞
lim
x→ξ
f (x)
f ′ (x)
= lim ′ ,
g (x) x→ξ g (x)
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
sofern g ′ (x) 6= 0 in einer Umgebung von ξ und der Grenzwert
auf der rechten Seite existiert.
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Beachte: Es kann sein, dass der linke Grenzwert existiert, der
rechte aber nicht!
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Zunächst sei ξ ∈
R und f (ξ) = g (ξ) = 0.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Zunächst sei ξ ∈
R und f (ξ) = g (ξ) = 0.
Dann folgt aus dem verallgemeinerten Mittelwertsatz der
Differentialrechnung
f (x) − f (ξ)
f ′ (ξ ′ )
f (x)
=
= ′ ′ ,
g (x)
g (x) − g (ξ)
g (ξ )
ξ ′ ∈ (x, ξ).
Wegen ξ ′ → ξ für x → ξ folgt die Behauptung.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Im Falle ξ = ∞ verwenden wir die Transformation x = 1t ,
f ( 1t )
f (x)
lim
= lim
= lim
x→∞ g (x)
t→0+ g ( 1 )
t→0+
t
1
d
dt f ( t )
d
1
dt g ( t )
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Im Falle ξ = ∞ verwenden wir die Transformation x = 1t ,
f ( 1t )
f (x)
lim
= lim
= lim
x→∞ g (x)
t→0+ g ( 1 )
t→0+
t
1
d
dt f ( t )
d
1
dt g ( t )
f ′ ( 1t )
−f ′ ( 1t )t −2
f ′ (x)
=
lim
=
lim
x→∞ g ′ (x)
t→0+ g ′ ( 1 )
t→0+ −g ′ ( 1 )t −2
t
t
= lim
Diese zunächst nur formal gültige Beziehung ist korrekt,
wenn man sie von rechts nach links liest.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Nun sei wieder ξ ∈
R und f (x), g (x) → ∞ für x → ξ.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Nun sei wieder ξ ∈
R und f (x), g (x) → ∞ für x → ξ.
Sei
lim
x→ξ
f ′ (x)
=a∈
g ′ (x)
R.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Nun sei wieder ξ ∈
R und f (x), g (x) → ∞ für x → ξ.
Sei
lim
x→ξ
f ′ (x)
=a∈
g ′ (x)
R.
Zu jedem ε > 0 gibt es eine Umgebung U von ξ mit
f ′ (x)
− a < ε für alle x ∈ U.
′
g (x)
Anwendungen
der Differentialund
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Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
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Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Nun sei wieder ξ ∈
R und f (x), g (x) → ∞ für x → ξ.
Sei
lim
x→ξ
f ′ (x)
=a∈
g ′ (x)
R.
Zu jedem ε > 0 gibt es eine Umgebung U von ξ mit
f ′ (x)
− a < ε für alle x ∈ U.
′
g (x)
Für x, y ∈ U gilt damit nach dem verallgemeinerten
Mittelwertsatz
f (x) − f (y )
− a < ε.
g (x) − g (y )
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Zahlen und
vollständige
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Rationale und
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Folgen
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Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
In der Beziehung
f (x)
f (x) − f (y ) (g (x) − g (y )) f (x)
=
·
g (x)
g (x) − g (y ) (f (x) − f (y )) g (x)
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
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elementare
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Zahlen und
vollständige
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Rationale und
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Folgen
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Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
In der Beziehung
f (x)
f (x) − f (y ) (g (x) − g (y )) f (x)
=
·
g (x)
g (x) − g (y ) (f (x) − f (y )) g (x)
„kürzen“ wir den rechten Bruch um g (x)f (x),
f (x) − f (y ) 1 −
f (x)
=
·
g (x)
g (x) − g (y ) 1 −
g (y )
g (x)
f (y )
f (x)
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Zahlen und
vollständige
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Rationale und
reelle Zahlen
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Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
In der Beziehung
f (x)
f (x) − f (y ) (g (x) − g (y )) f (x)
=
·
g (x)
g (x) − g (y ) (f (x) − f (y )) g (x)
„kürzen“ wir den rechten Bruch um g (x)f (x),
f (x) − f (y ) 1 −
f (x)
=
·
g (x)
g (x) − g (y ) 1 −
Wir halten y 6= ξ fest.
g (y )
g (x)
f (y )
f (x)
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Zahlen und
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Reihen
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Stetigkeit
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Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
In der Beziehung
f (x)
f (x) − f (y ) (g (x) − g (y )) f (x)
=
·
g (x)
g (x) − g (y ) (f (x) − f (y )) g (x)
„kürzen“ wir den rechten Bruch um g (x)f (x),
f (x) − f (y ) 1 −
f (x)
=
·
g (x)
g (x) − g (y ) 1 −
g (y )
g (x)
f (y )
f (x)
Wir halten y 6= ξ fest.
Beim Grenzübergang x → ξ konvergiert der zweite Bruch auf
der rechten Seite gegen 1.
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Zahlen und
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Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
g (y )
f (x)
f (x) − f (y ) 1 − g (x)
=
·
g (x)
g (x) − g (y ) 1 − f (y )
f (x)
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Reihen
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Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
g (y )
f (x)
f (x) − f (y ) 1 − g (x)
=
·
g (x)
g (x) − g (y ) 1 − f (y )
f (x)
Für x in einer genügend kleinen Umgebung von ξ gilt dann
f (x)
f (x)
f (x) − f (y ) − K (x, y ) := −
< ε.
g (x)
g (x) g (x) − g (y )
Anwendungen
der Differentialund
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l’Hospital
Konvexität und
elementare
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Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
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Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
g (y )
f (x)
f (x) − f (y ) 1 − g (x)
=
·
g (x)
g (x) − g (y ) 1 − f (y )
f (x)
Für x in einer genügend kleinen Umgebung von ξ gilt dann
f (x)
f (x)
f (x) − f (y ) − K (x, y ) := −
< ε.
g (x)
g (x) g (x) − g (y )
Wir hatten |a − K (x, y )| < ε gezeigt. Daher f (x)/g (x) → a.
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Konvexität und
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Zahlen und
vollständige
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Rationale und
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Folgen
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Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
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Analysis
Integration
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Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
g (y )
f (x)
f (x) − f (y ) 1 − g (x)
=
·
g (x)
g (x) − g (y ) 1 − f (y )
f (x)
Für x in einer genügend kleinen Umgebung von ξ gilt dann
f (x)
f (x)
f (x) − f (y ) − K (x, y ) := −
< ε.
g (x)
g (x) g (x) − g (y )
Wir hatten |a − K (x, y )| < ε gezeigt. Daher f (x)/g (x) → a.
Der Fall ξ = ∞ wird wie zuvor behandelt.
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vollständige
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Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel 1
Bei x α ln x, α > 0, liegt ein unbestimmter Ausdruck der
Form 0 · ∞ für x → 0 vor.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
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Zahlen und
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Rationale und
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Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel 1
Bei x α ln x, α > 0, liegt ein unbestimmter Ausdruck der
Form 0 · ∞ für x → 0 vor.
Dieser läst sich leicht auf einen bekannten Fall zurückführen
lim x α ln x = lim
x→0+
x→0+
ln x
1
xα
= lim
x→0+
1
x
1
−α x α+1
= 0.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
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Konvexität und
elementare
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Zahlen und
vollständige
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Rationale und
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Folgen
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Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
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Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel 1
Bei x α ln x, α > 0, liegt ein unbestimmter Ausdruck der
Form 0 · ∞ für x → 0 vor.
Dieser läst sich leicht auf einen bekannten Fall zurückführen
lim x α ln x = lim
x→0+
x→0+
ln x
1
xα
= lim
x→0+
1
x
1
−α x α+1
= 0.
Wir haben damit einen alternativen Beweis für die Tatsache
kennengelernt, dass der Logarithmus langsamer gegen
unendlich geht als jede Wurzel gegen Null.
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Integralrechnung
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elementare
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Zahlen und
vollständige
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Rationale und
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Folgen
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Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel 1
Bei x α ln x, α > 0, liegt ein unbestimmter Ausdruck der
Form 0 · ∞ für x → 0 vor.
Dieser läst sich leicht auf einen bekannten Fall zurückführen
lim x α ln x = lim
x→0+
x→0+
ln x
1
xα
= lim
x→0+
1
x
1
−α x α+1
= 0.
Wir haben damit einen alternativen Beweis für die Tatsache
kennengelernt, dass der Logarithmus langsamer gegen
unendlich geht als jede Wurzel gegen Null.
limx→∞
x −α ln x
= 0 zeigt man genauso.
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elementare
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Zahlen und
vollständige
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Rationale und
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Folgen
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Analysis
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Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel 2
Oft muss die Hospitalsche Regel mehrfach ausgeführt
werden, um zum Erfolg zu kommen, wie in
lim
x→0+
1
x
−
(sinh x − x)′
1 = lim
x→0+ (x · sinh x)′
sinh x
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Zahlen und
vollständige
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Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel 2
Oft muss die Hospitalsche Regel mehrfach ausgeführt
werden, um zum Erfolg zu kommen, wie in
lim
x→0+
1
x
−
(sinh x − x)′
1 = lim
x→0+ (x · sinh x)′
sinh x
(cosh x − 1)′
x→0+ (x cosh x + sinh x)′
= lim
sinh x
= 0.
x→0+ x sinh x + 2 cosh x
= lim
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Konvexität und
elementare
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Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
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Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel 3
Bei Ausdrücken der Form 1∞ geht man zum Logarithmus
über.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
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l’Hospital
Konvexität und
elementare
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Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
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Folgen
Unendliche
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Funktionen und
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Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel 3
Bei Ausdrücken der Form 1∞ geht man zum Logarithmus
über.
Um limx→1+ x 1/(x−1) zu untersuchen, verwenden wir
ln x
x→1+ x − 1
lim ln x 1/(x−1) = lim
x→1+
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
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l’Hospital
Konvexität und
elementare
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Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel 3
Bei Ausdrücken der Form 1∞ geht man zum Logarithmus
über.
Um limx→1+ x 1/(x−1) zu untersuchen, verwenden wir
1
ln x
= lim x = 1,
x→1+ x − 1
x→1+ 1
lim ln x 1/(x−1) = lim
x→1+
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der Differentialund
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Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
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Folgen
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Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beispiel 3
Bei Ausdrücken der Form 1∞ geht man zum Logarithmus
über.
Um limx→1+ x 1/(x−1) zu untersuchen, verwenden wir
1
ln x
= lim x = 1,
x→1+ x − 1
x→1+ 1
lim ln x 1/(x−1) = lim
x→1+
daher limx→1+ x 1/(x−1) = e.
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Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Nachteil der Regeln von de l’Hospital
Vor allem bei Ausdrücken der Form 00 ist die bereits
vorgestellte Untersuchungsmethode mit Hilfe der
Taylorentwicklung meist einfacher.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Nachteil der Regeln von de l’Hospital
Vor allem bei Ausdrücken der Form 00 ist die bereits
vorgestellte Untersuchungsmethode mit Hilfe der
Taylorentwicklung meist einfacher.
Nehmen wir als Beispiel den Ausdruck f (x)h(x)/g (x) mit
f (x), g (x) → 0 und h(x) → 1 für x → 0, so ist klar, dass der
Grenzwert nicht von Ableitungen von h abhängt.
Anwendungen
der Differentialund
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Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Nachteil der Regeln von de l’Hospital
Vor allem bei Ausdrücken der Form 00 ist die bereits
vorgestellte Untersuchungsmethode mit Hilfe der
Taylorentwicklung meist einfacher.
Nehmen wir als Beispiel den Ausdruck f (x)h(x)/g (x) mit
f (x), g (x) → 0 und h(x) → 1 für x → 0, so ist klar, dass der
Grenzwert nicht von Ableitungen von h abhängt.
Bei unverständiger Anwendung der Hospitalschen Regel wird
man dagegen die Ableitungen von fh nach der Produktregel
bestimmen.
Anwendungen
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Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Nachteil der Regeln von de l’Hospital
Vor allem bei Ausdrücken der Form 00 ist die bereits
vorgestellte Untersuchungsmethode mit Hilfe der
Taylorentwicklung meist einfacher.
Nehmen wir als Beispiel den Ausdruck f (x)h(x)/g (x) mit
f (x), g (x) → 0 und h(x) → 1 für x → 0, so ist klar, dass der
Grenzwert nicht von Ableitungen von h abhängt.
Bei unverständiger Anwendung der Hospitalschen Regel wird
man dagegen die Ableitungen von fh nach der Produktregel
bestimmen.
Dagegen schreibt man bei Verwendung der Taylorentwicklung
h(x) = 1 + O(x) und sieht sofort, dass der Term O(x) ohne
Belang ist.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
10.3
Konvexität und elementare Ungleichungen
f
f
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
R
Eine auf einem Intevall I ⊂ definierte Funktion f heißt
konvex, wenn für alle x, y ∈ I und t ∈ [0, 1] gilt
f (tx + (1 − t)y ) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y ).
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
10.3
Konvexität und elementare Ungleichungen
f
f
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
R
Eine auf einem Intevall I ⊂ definierte Funktion f heißt
konvex, wenn für alle x, y ∈ I und t ∈ [0, 1] gilt
f (tx + (1 − t)y ) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y ).
f heißt konkav, wenn −f konvex ist.
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Erläuterung
Die Menge {z = ta + (1 − t)b, t ∈ [0, 1]} parametrisiert die
Strecke mit Endpunkten a und b.
Anwendungen
der Differentialund
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l’Hospital
Konvexität und
elementare
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Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Erläuterung
Die Menge {z = ta + (1 − t)b, t ∈ [0, 1]} parametrisiert die
Strecke mit Endpunkten a und b.
Bei einer konvexen Funktion liegt daher jede Sekante
oberhalb des Graphen von f , wie im Bild links zu sehen ist.
Das rechte Bild zeigt eine konkave Funktion.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
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Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Konvexkombination
R
Sind x1 , . . . , xk ∈ I und
P t1 , . . . , tk ∈ mit 0 ≤ ti ≤ 1 und
P
t
=
1,
so
heißt
i ti xi Konvexkombination der xi .
i i
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der Differentialund
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l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Konvexkombination
R
Sind x1 , . . . , xk ∈ I und
P t1 , . . . , tk ∈ mit 0 ≤ ti ≤ 1 und
P
t
=
1,
so
heißt
i ti xi Konvexkombination der xi .
i i
In der Definition der Konvexität hatten wir
f (tx + (1 − t)y ) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y ).
tx + (1 − t)y ist eine Konvexkombination von x und y .
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l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Äquivalente Formulierung der Konvexität
R
R
Sei I ⊂ ein Intervall. Eine Funktion f : I → ist
Pgenau
dann konvex, wenn für alle Konvexkombinationen i ti xi ,
xi ∈ I , gilt
k
k
X
X
ti xi ≤
f
ti f (xi ).
i=1
i=1
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
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Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Für konvexes f ist die Behauptung für k = 2 erfüllt.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
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l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Für konvexes f ist die Behauptung für k = 2 erfüllt.
Für k > 2 verwendenPwir Induktion über k. Für eine
k+1
ti xi können wir 0 < tk+1 < 1
Konvexkombination i=1
annehmen.
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Konvexität und
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Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Für konvexes f ist die Behauptung für k = 2 erfüllt.
Für k > 2 verwendenPwir Induktion über k. Für eine
k+1
ti xi können wir 0 < tk+1 < 1
Konvexkombination i=1
annehmen.
Der Punkt
y=
k
X
i=1
ti
xi
1 − tk+1
wird durch eine Konvexkombination aus k Punkten
dargestellt.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Aus der Definition der Konvexität und der
Induktionsvoraussetzung für k folgt
f
k+1
X
i=1
ti xi = f (1 − tk+1 )y + tk+1 xk+1
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der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Aus der Definition der Konvexität und der
Induktionsvoraussetzung für k folgt
f
k+1
X
ti xi = f (1 − tk+1 )y + tk+1 xk+1
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
i=1
≤ (1 − tk+1 )f
k
X
i=1
≤
k+1
X
i=1
ti
xi + tk+1 f (xk+1 )
1 − tk+1
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
ti f (xi ).
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Konvexität diffferenzierbarer Funktionen
R
Satz Sei I ⊂ ein Intervall. f ∈ C 2 (I ) ist genau dann
konvex (konkav), wenn f ′′ (x) ≥ 0 (f ′′ (x) ≤ 0) für alle x ∈ I .
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der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Für x0 ∈ I liefert der Satz von Taylor für n = 1
1
f (x)−f (x0 )−f ′ (x0 )(x −x0 ) = f ′′ (ξ)(x −x0 )2 ,
2
ξ ∈ (x0 , x).
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
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l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Für x0 ∈ I liefert der Satz von Taylor für n = 1
1
f (x)−f (x0 )−f ′ (x0 )(x −x0 ) = f ′′ (ξ)(x −x0 )2 ,
2
ξ ∈ (x0 , x).
Ist f konvex, so ist die linke Seite nichtnegativ, weil die
Tangente y (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) einer konvexen
Funktion unterhalb ihres Graphen liegt.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
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l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Für x0 ∈ I liefert der Satz von Taylor für n = 1
1
f (x)−f (x0 )−f ′ (x0 )(x −x0 ) = f ′′ (ξ)(x −x0 )2 ,
2
ξ ∈ (x0 , x).
Ist f konvex, so ist die linke Seite nichtnegativ, weil die
Tangente y (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) einer konvexen
Funktion unterhalb ihres Graphen liegt.
Division durch (x − x0 )2 und Grenzübergang x → x0 zeigt
f ′′ (x0 ) ≥ 0. Die umgekehrte Richtung folgt analog.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
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Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Beweis
Für x0 ∈ I liefert der Satz von Taylor für n = 1
1
f (x)−f (x0 )−f ′ (x0 )(x −x0 ) = f ′′ (ξ)(x −x0 )2 ,
2
ξ ∈ (x0 , x).
Ist f konvex, so ist die linke Seite nichtnegativ, weil die
Tangente y (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) einer konvexen
Funktion unterhalb ihres Graphen liegt.
Division durch (x − x0 )2 und Grenzübergang x → x0 zeigt
f ′′ (x0 ) ≥ 0. Die umgekehrte Richtung folgt analog.
Beispiel Der Logarithmus ist wegen ln′′ (x) = −x −2 < 0 in
seinem Definitionsbereich konkav.
Anwendungen
der Differentialund
Integralrechnung
Relative Extrema
Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Youngsche Ungleichung
Die Youngsche Ungleichung mit ε
1
ε
ab ≤ a2 + b2
2
2ε
∀a, b ≥ 0, ε > 0,
läßt sich mit der binomischen Formel beweisen.
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Die Regeln von de
l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Verallgemeinerte Youngsche Ungleichung
ab ≤
1 p p 1 −q q
ε a + ε b
p
q
∀a, b ≥ 0, ε > 0,
mit p −1 + q −1 = 1, 1 < p, q < ∞.
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Konvexität und
elementare
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Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Verallgemeinerte Youngsche Ungleichung
ab ≤
1 p p 1 −q q
ε a + ε b
p
q
∀a, b ≥ 0, ε > 0,
mit p −1 + q −1 = 1, 1 < p, q < ∞.
Beweis Die Ungleichung erhält man für a, b > 0 aus
1
1
1
1
ln εp ap + ε−q bq ≥ ln(εp ap ) + ln(ε−q bq ) = ln(ab).
p
q
p
q
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Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
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Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Verallgemeinerte Youngsche Ungleichung
ab ≤
1 p p 1 −q q
ε a + ε b
p
q
∀a, b ≥ 0, ε > 0,
mit p −1 + q −1 = 1, 1 < p, q < ∞.
Beweis Die Ungleichung erhält man für a, b > 0 aus
1
1
1
1
ln εp ap + ε−q bq ≥ ln(εp ap ) + ln(ε−q bq ) = ln(ab).
p
q
p
q
Die linke Ungleichung ist richtig, weil der ln konkav ist.
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l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Ungleichung des geometrischen und des arithmetischen Mittels
n
n
Y
1/n
1X
ai ,
ai
≤
n
i=1
i=1
ai > 0,
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der Differentialund
Integralrechnung
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l’Hospital
Konvexität und
elementare
Ungleichungen
Die Natürlichen
Zahlen und
vollständige
Induktion
Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Ungleichung des geometrischen und des arithmetischen Mittels
n
n
Y
1/n
1X
ai ,
ai
≤
n
ai > 0,
i=1
i=1
Dafür gibt es eine Vielzahl von Beweisen. Am elegantesten
nutzt man die Monotonie des natürlichen Logarithmus ln aus,
die Ungleichung ist äquivalent zu
n
n
i=1
i=1
1X
1X ln ai ≤ ln
ai .
n
n
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Rationale und
reelle Zahlen
Folgen
Unendliche
Reihen
Funktionen und
Stetigkeit
Komplexe
Analysis
Integration
Differenzierbarkeit
Die Prinzipien
der Analysis
Ungleichung des geometrischen und des arithmetischen Mittels
n
n
Y
1/n
1X
ai ,
ai
≤
n
ai > 0,
i=1
i=1
Dafür gibt es eine Vielzahl von Beweisen. Am elegantesten
nutzt man die Monotonie des natürlichen Logarithmus ln aus,
die Ungleichung ist äquivalent zu
n
n
i=1
i=1
1X
1X ln ai ≤ ln
ai .
n
n
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Dies ist richtig, weil der Logarithmus konkav ist.
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