AL Kombinatorik

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Aufgaben Kombinatorik
1.0.
1.1.
(Lösungen)
Ein Spielautomat enthält drei Walzen. Auf jeder dieser Walzen befinden sich fünf
verschiedene Bilder: z.B. Apfel, Birne, Banane, … Die Walzen werden unabhängig
voneinander gedreht und stoppen automatisch.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Anzeige gibt es?
Lösung
1. Walze: 5 Mögl.
2. Walze: 5 Mögl.
3. Walze: 5 Mögl.
 insgesamt 53 = 125 Möglichkeiten
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.0. Schlösser sind häufig durch Zahlencodes gesichert.
2.1.0. Wie viele dreistellige Geheimzahlen sind möglich, wenn der Zahlenvorrat (für jeden
Einstellring)
2.1.1. alle Ziffern von 0 bis 9
2.1.2. nur die Ziffern von 1 bis 6 umfasst?
2.2.0. Ein wichtiger Koffer ist doppelt gesichert.
Er besitzt zwei unabhängige Schlösser mit jeweils dreistelliger Geheimzahl.
Wie viele Möglichkeiten muß ein Dieb maximal probieren, wenn er den Koffer ohne
Beschädigung öffnen will und für jeder Einstellring die Zahlen
2.2.1. 0, ... , 9
2.2.2. 1, ... , 6
möglich sind?
2.3.0. Tresore sind häufig durch komplizierte Zahlencodes gesichert.
2.3.1. Wie viele dreistellige Geheimzahlen sind möglich, wenn der Zahlenvorrat (für jedes
Stellrad) 16 verschiedene Einstellungen erlaubt?
Lösung
2.1.0. Es gibt
2.1.1. 10 verschiedene Ziffern pro Ring.
2.1.2. 6 verschiedene Ziffern pro Ring.
Nach dem Zählprinzip gibt es also 101010 = 1000 bzw. 666 = 216 mögliche Dreiertupel.
2.2.1. Für jedes einzelne Schloss gibt es 10³. Möglichkeiten.
Für zwei solche Schlösser verdoppelt sich die Anzahl der Möglichkeiten: 2000
2.2.2. Es gibt 6³ = 216 Möglichkeiten für ein Schloss, also 432 Möglichkeiten insgesamt
(Beachte: nicht z.B. 106, da drei richtig eingestellte Ziffern am ersten Schloss dieses schon
aufspringen lassen. Man sucht also kein Sechsertupel!)
2.3.1.Es gibt 16 verschiedene Einstellungen pro Stellrad.
Nach dem Zählprinzip gibt es also 161616 = 4096 mögliche Dreiertupel
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.0. Ein Kartenspiel enthält 32 verschiedenen Karten
3.1. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 beliebige Karten zu „kombinieren“ (d.h. in einer
Reihe zu legen)?
3.2. Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es für alle 32 verschiedenen Karten?
3.3. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den 32 Karten 4 auszuwählen und diese dann in
einer Reihe anzuordnen ?
3.4. Ein Spieler erhält 8 Karten. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es für die 8
Karten eines Spieler?
Lösung
3.1. 4.3.2.1 = 4! = 24 Möglichkeiten.
3.2. 32! = verschiedene Möglichkeiten
3.3. 32313029 Möglichkeiten
32
3.4.   = 10 518 300
8 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.0. Bei den Weltmeisterschaften im Bierfassrollen haben sich acht Sportler für den Endlauf
qualifiziert.
Von Interesse sind nur die drei ersten Plätze (Preisgelder, Werbeverträge mit
Brauereien...), und auch hier ist der erste Platz weit bedeutender als der Zweite, der
Zweite wiederum bedeutender als der dritte Platz.
4.1. Wie viele verschiedene Besetzungen der Siegertreppe sind möglich?
4.2. Der bayerische Starter ist aufgrund seines reinheitlichen Hopfen-Malz-Dopings der
Topfavorit, der mit 100%iger Sicherheit auf einer Siegertreppe erscheint. Wie viele
Möglichkeiten gibt es dann?
4.3. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 25 Startern die 5 Besten auf die ersten Plätze
anzuordnen?
Lösung
4.1. Für den ersten Platz gibt es 8 Möglichkeiten, für den Zweiten 7 und für den Dritten 6.
Damit ergeben sich insgesamt 876 = 336 Möglichkeiten.
4.2. „Bayer 1. Platz ...“ + „Bayer 2. Platz ...“ + „Bayer 3. Platz ...“, also
176
+
716
+
761
=
763 = 126
Möglichkeiten
4.3. Analog: 2524232221 = 6375600 Möglichkeiten. (Kürzer:
25!
)
20!
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------5.0. Lottospiel „6 aus 49“! Berücksichtigen Sie, dass es beim „Fünfer“ eine Rolle spielt, ob
die sechste Zahl die Zusatzzahl ist oder nicht.
5.1. Auf wie viele Arten kann man einen Vierer erzielen?
5.2. Auf wie viele Arten kann man einen Dreier erzielen?
5.3. Auf wie viele Arten kann man einen Fünfer erzielen?
5.4. Auf wie viele Arten kann man einen Fünfer mit Zusatzzahl erzielen?
Lösung
5.1. Man muss 4 aus 6 Zahlen richtig haben und zugleich zwei aus den verbleibenden 43 (!)

Zahlen, also  64    43
2
  

5.2. Man muss 3 aus den 6 Zahlen richtig haben und zugleich 3 aus den verbleibenden 43
Zahlen, also
 6    43 
 3  3 
   
5.3. Man muss 5 aus 6 Zahlen richtig haben und zugleich eine aus den nicht gezogenen 42
 6
Zahlen (weder die 6 richtigen noch die Zusatzzahl), also:  5   42
 
6 1
5.4.     
 5  1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------6.1.0. Aus den folgenden 4 Ziffern sollen jeweils vierstellige Zahlen gebildet werden.
Berechnen Sie jeweils systematisch, wie viele solcher Zahlen es gibt:
6.1.1. 1,1,2,3
6.1.2. 1,3,3,3
6.1.3. 1,2,2,3
6.1.4. 1,1,1,2
6.2.0.Aus den folgenden 5 Ziffern sollen jeweils fünfstellige Zahlen gebildet werden.
Berechnen Sie jeweils systematisch, wie viele solcher Zahlen es gibt:
6.2.1. 1,1,2,2,3
6.2.2. 1,1,3,3,3
6.2.3. 1,2,2,2,3
6.2.4. 1,1,1,2,2
6.3.0. Aus den folgenden 9 Ziffern sollen jeweils neunstellige Zahlen gebildet werden.
Berechnen Sie jeweils systematisch, wie viele solcher Zahlen es gibt:
6.3.1. 1,1,1,1,2,2,3,4,4
6.3.2. 1,1,3,3,3,5,6,7,8
6.3.3. 1,2,2,2,3,4,4,4,5
6.3.4. 1,1,1,2,2,3,3,3,3
Lösung
6.1.1. Zuerst tun wir so, als ob alle Ziffern verschieden wären; dann gäbe es 4! Möglichkeiten;
von diesen fallen jeweils 2 zusammen, da man die Einsen nicht unterscheiden kann; es
4!
gibt also Möglichkeiten.
2
6.1.2. Wie 1.1; hier fallen jedoch jeweils 3! Möglichkeiten zusammen, da man die Dreien
4!
nicht unterscheiden kann, deshalb gibt es =4 Möglichkeiten.
3!
6.1.3. Wie 6.1.1;
6.1.4. wie 6.1.2
6.2.1. Zuerst tun wir so, als ob alle Ziffern verschieden wären; dann gäbe es 5! Möglichkeiten;
von diesen fallen jeweils 2 zusammen, da man die Einsen nicht unterscheiden kann,
5!
dann gäbe es Möglichkeiten und es fallen nochmals jeweils 2 zusammen, weil man
2
5!
die Zweien nicht unterscheiden kann, also:
22
5!
2!3!
9!
6.3.1
,
4!2!2!
6.2.2
6.2.3
6.3.2
5!
3!
9!
2!3!
6.2.4
5!
2!3!
6.3.3
9!
3!3!
6.3.4
9!
3!2!4!
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------7.0. Unter einem „Wort“ wollen wir hier lediglich eine Anordnung von Buchstaben verstehen.
7.1. Wie viele Wörter kann man aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?
7.2. Wie viele Wörter kann man aus den Buchstaben MEERENGE bilden?
7.3. Wie viele Wörter kann man aus den Buchstaben MEERENGE bilden, die mit E
beginnen?
Lösung
7.1.
11!
4!4!2!
7.2.
8!
4!
7.3.
7!
3!
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.1. Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen kann man aus den Ziffern 1, 3, 5, 7, 9 bilden,
wenn jede Ziffer beliebig oft vorkommen kann?
8.2. Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen kann man aus den Ziffern 1, 3, 5, 7, 9 bilden,
wenn jede Ziffern nur ein mal vorkommen darf?
8.3. Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen, die durch 5 teilbar sind, kann man aus den
Ziffern 1, 3, 5, 7, 9 bilden, wenn jede Ziffern nur ein mal vorkommen darf?
Lösung
3
8.1. 5
5!
8.2. 2!
8.3. 4.3=12
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------9.0. Bei einer Prüfungsarbeit sind 5 Aufgaben zu lösen, 2 Aufgaben aus der Stochastik und 3
aus der Analysis. Aus der Stochastik sind 4 Aufgaben, aus der Analysis 6 Aufgaben zur
Wahl gestellt.
9.1. Wie viele Zusammenstellungen sind für die Prüfungsarbeit möglich?
Lösung
 4  6
9.1.      = 620 = 120
 2  3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------10.0. Bei einem Tennisturnier soll „jeder gegen jeden“ spielen.
10.1. Wie viele Spiele gibt es, wenn sich 8 Spieler(innen) angemeldet haben?
10.2. Wie viele Spieler(innen) dürfen gemeldet sein, wenn es maximal 12 Spiele geben soll?
10.3. Stellen Sie eine allgemeine Berechnungformel für die Anzahl der Spiele bei m
Spieler(innen) auf
Lösung
 8
10.1.   = 28
 2
 6
 5
10.2.   = 15;   = 10
 2
 2
10.3.
 m
m( m  1)
  =
2
2 
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