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Research Collection
Doctoral Thesis
Ueber einen Rangbegriff in der Theorie der Ringe
speziell der regulären Ringe
Author(s):
Wyler, Oswald
Publication Date:
1951
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000187219
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ETH Library
ÜBER EINEN RANGBEGRIFF IN DER THEORIE
DER RINGE, SPEZIELL DER REGULÄREN RINGE
VON DER
EIDGENÖSSISCHEN
TECHNISCHEN
HOCHSCHULE IN
ZÜRICH
ZUR ERLANGUNG
DER
WÜRDE
EINES DOKTORS DER
MATHEMATIK
GENEHMIGTE
PROMOTIONSARBEIT
VORGELEGT VON
OSWALD WYLER
VON AARAU
REFERENT:
HERR PROF. DR. H. HOPF
KORREFERENT:
HERR PROF. DR. B. BERNAYS
P. NOORDHOFF N.V. VERLAG, GRONINGEN
-
1951
V
Rangbegriff in der Theorie
Ringe, speziell der regulären Ringe
Ueber einen
der
Einleitung
Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Verallgemeinerung des
Rangbegriffes von Ringen quadratischer Matrizen auf beliebige
assoziative Ringe. Der Rang eines Ringelements wird so definiert
daß wesentliche Eigenschaften des Ranges einer Matrix teils
allgemein, teils für reguläre Ringe gültig bleiben.
Im Ring der n-reihigen quadratischen Matrizen über einem
1
Schiefkörper ) wird jedes Links- oder Rechtsideal von einem
Element erzeugt, ist also ein Hauptideal. Zwei Matrizen a und
b des Ringes erzeugen dann und nur dann dasselbe Linksideal,
wenn die Zeilen von a denselben Vektorraum aufspannen wie die
Zeilen von b. Dasselbe gilt für Rechtsideale und Kolonnen. Zwei
Matrizen, die dasselbe Links- oder Rechtsideal erzeugen, haben
also denselben
Matrizen
denselben
Rang. Haben umgekehrt die
Rang, so gibt es stets eine Matrix
c, welche
Rechtsideal wie
In der letzten
Ring
erklärt
a
und b
a
dasselbe
und dasselbe Linksideal wie b
Aussage
kommen
nur
sind; sie kann daher für
erzeugt 2).
Begriffe vor, die in jedem
einen beliebigen Ring als
Ranggleichheit zweier Elemente verwendet werden.
allerdings vorteilhafter, eine gleichwertige Definition zu
verwenden, aus der sofort hervorgeht, daß die Ranggleichheit
eine Aequivalenzbeziehung ist.
Im ersten, vorbereitenden Abschnitt stellen wir einige wohl¬
bekannte Sätze über Idempotente und reguläre Ringe zusammen,
Definition der
Es ist
die wir
später brauchen
werden.
Ringelementes definiert. Es werden
Kriterien dafür gegeben, wann zwei Ringelemente, speziell zwei
Idempotente, denselben Rang haben.
In
§
2 wird der
Rang
eines
bedeutet immer eine natürliche
x)
n
2)
Ist b
=
paq,
wo
p und q
reguläre
Zahl.
Matrizen sind,
so
gilt
dies für
c
=
q
=
p~xb.
Wyler.
Oswald
4
In
3 wird die Addition
§
Rang
orthogonale Idempotente 3),
Re +
Die Addition
von
Rängen
Rängen eingeführt. Bezeichnen
Ringelementes x, und sind e und /
von
des
wir mit Rx den
so
Rf
ist
=
R(e + /).
braucht nicht stets ausführbar
sein,
zu
ist aber, soweit definiert, assoziativ und kommutativ.
In § 4 betrachten wir zunächst Systeme, in denen eine nicht
assoziative
ausführbare,
stets
ist.
definiert
Operation
Solche
untersucht worden. Wir benützen
[1] 4) allgemein
Begriffe und Resultate der ersten drei Ab¬
schnitte jener Arbeit. Analog zum Begriff der Summation in [1]
führen wir den Begriff der „starken Summation" einer Folge von
Elementen eines solchen „additiven Systems" ein. Einige grund¬
sind in
Systeme
hier wesentlich die
legende Eigenschaften
der starken Summation werden bewiesen.
zeigen, daß es eine „freie" Erweite¬
Ringes zu einem System mit
Ränge
Systems
Addition gibt. Für
assoziativer
unbeschränkt ausführbarer,
reguläre Ringe ist das erweiterte System kommutativ, und es
gilt das Analogon des folgenden geometrischen Satzes: Sind a
und ï> Unterräume eines Vektorraumes über einem Schiefkörper,
so ist die Summe der Ränge von et und von b gleich der Summe
der Ränge des Durchschnittes und der Summe (Vereinigungs¬
Wir können
nun
insbesondere
raum)
In
§
eines
der
rung des
von
a
und
6.
von
5 werden die Resultate der ersten beiden Abschnitte zum
Kaplansky verwendet, daß jeder halb¬
einfache Ring mit Minimalbedingung für Links-Hauptideale die
direkte Summe einfacher Ringe ist5). Dieser Satz verallgemeinert
Beweise des Satzes
von
I.
die eine Hälfte des bekannten Satzes
von
Artin-Wedderburn über
Rangbegriff gestattet auch
einfachen Ring mit
Minimalbedingung für Linksideale isomorphen Matrizenringes.
Die meisten Sätze dieser Arbeit gelten für beliebige Ringe,
die Struktur halbeinfacher
dürften aber
vor
Alle betrachteten
3)
e
heißt
4)
ein
wenn
Zahlen in
allem für
Ringe
Idempotent,
ef
=
fe
eckigen
=
[3],
einem
reguläre Ringe
von
sein.
Interesse
wenn
e2
=
gelten
e.
aus¬
mutatis mutandis auch
Zwei
Idempotente
e
/
heißen
am
Schluß
und
o.
Klammern verweisen auf die
der Arbeit.
6)
zu
sind assoziativ. Alle für Linksideale
Sätze und Beweise
gesprochenen
orthogonal,
Ringe.
Konstruktion des
eine einfache
Der
Theorem 8.1, p. 74.
Literaturangaben
Über einen Rangbegriff in der Theorie der Ringe.
für Rechtsideale. Unter einem
Hauptideal
5
verstehen wir ein ein¬
seitiges Ideal, das von einem Element erzeugt wird.
Einige Beispiele mögen die Bedeutung des eingeführten Rang¬
begriffes
und
Addition der
der
einem
in
Ränge
Ring
veran¬
schaulichen.
Beispiel ].
für
Ein halbeinfacher
Linksideale
ist
Ring dt
direkte
die
mit
Summe
Minimalbedingung
Matrizenringen
von
Sfti,
ffl„ über Schiefkörpern. Ist a
+ an, a{ in
ax +
ist
Ra
1,
W{ (i
+ Raw una Rai ist
n), so
Rax +
der Rang von a( sowohl in dt als auch in UDΫ. Die Ränge in
Wi können wir als natürliche Zahlen auffassen, wobei der
(erweiterten) Addition der Ränge die Addition der zugeord¬
neten natürlichen Zahlen entspricht. In dieser Weise wird
jeder Rang in dt durch ein n-tupel natürlicher Zahlen charak¬
terisiert, und die Ränge werden nach der Formel
.
.
=
.,
=
.
(klt
.
.
.
=
.,
.,
kn) + (llf
.
.
ln)
.,
.
=
a
9? die
.
.
•
•
-,
K + l„)
dt können wir einen
von
einführen
6). Entspricht dann der Rang
a von
Zahlen-n-tupel (k1}
k„), so hat
erzeugte Linksideal (a)l im Verband der Linksideale
Dimension kx +
+ kn.
Elementes
von
.
•
(k± -Hi,
addiert. Im Verband der Linksideale
Dimensionsbegriff
•
dt dem
.
.,
das
von
.
.
.
Beispiel. 2.
.
des
Sei dt der
Ring derjenigen Matrizen mit ^ Zeilen
(K eine beliebige Kardinalzahl) und Elementen in
Schief körper Ä, für die jede Zeile höchstens endlich viele
und Kolonnen
einem
von
Null verschiedene Elemente
plikation
sind in dt in der
enthält. Addition und Multi¬
gewohnten
einer Matrix in dt können
wir
Weise definierbar. Die Zeilen
als Vektoren eines X-dimensionalen
Linksvektorraumes SS über S auffassen,
Einheitsmatrix in dt eine Basis
Matrizen in dt dann und
ihren Zeilen
aufgespannten
haben. Wir erhalten
zwischen den
nicht
größer
nur
Rängen
Zeilen
der
dann denselben
Unterräume
von
Rang,
wenn
die
von
SS dieselbe Dimension
eine umkehrbar
mit Einselement.
Im
Rechtsideal <& aller
Ringe
dt des
Matrizen,
Beispiels
Vgl. [2], Kap. V.
2 betrachten wir das
die höchstens endlich viele
Null verschiedene Elemente haben.
6)
die
eindeutige Zuordnung
denjenigen Kardinalzahlen, welche
Der Summe zweier Ränge in dt entspricht
zugeordneten Kardinalzahlen, dt ist ein
so
als K sind.
Beispiel 3.
wobei
SS bilden. Dann haben zwei
in dt und
dabei die Summe der
regulärer Ring
von
von
Ebenso wie oben erhalten
6
Wyler.
Oswald
wir eine
eindeutige Zuordnung
Ränge in © zu natürlichen
Ränge die Addition der
zugeordneten Zahlen entspricht. © ist ein einfacher Ring mit
Minimalbedingung für Links- und Rechts-Hauptideale. Ist 1K
transfinit, so ist © ein regulärer Ring ohne Einselement.
Beispiel 4.
Im Ring der geraden ganzen Zahlen besteht jeder
vom Nullrang 0 verschiedene Rang aus zwei Elementen
+ 2n,
der
Zahlen, wobei wieder der Addition der
n
1, 2,
=
Außer der trivialen Summe
..
.
.
Ränge
Summe zweier
der
als
Rang
Nullrang
Halbgruppe mit
erzeugen die
Ränge
nicht-Abelsche freie
0
+
0
0
=
ist keine
definiert. Im erweiterten
vom
System
Ränge eine
verschiedenen
abzählbar-unendlichvielen
Erzeugenden.
1.
Das
Idempotente und reguläre Ringe.
einem Element
von
von
$R bezeichnen wir mit
mit
(a)r.
aus
Ist
ein
e
Idempotent
allen Elementen
potent in
et,
Ist
dann und
ist
so
x
Hauptideal,
x
—
n
.
.,
e
=
cti
Definition 1.
wenn
heißt
es
=
x
ist.
in
y
e
Ein Element y von a ist
0 ist. Ist a
(a)j, a in 9d,
ct.
=
=
ae)l ein Hauptideal.
Ringes 9î, so sind die
gleichwertig:
(a
—
e
ist die direkte Summe
von n
fol¬
Links¬
an.
Idempotente
etej
x
=
über
.
xe
besteht
so
ein Element eines
e
genden
Aussagen
a) e ist idempotent, und (e)l
gibt
Ringes di,
Ringes 9? und e ein Idem¬
Summe von (e)l und des Links¬
wenn
beiden
idealen av
xe,
ist auch b
so
Ist
eines
SR, für die
von
die direkte
a
dann in b,
nur
Satz 1.3.
Es
weggelassen
ganz
ein Linksideal eines
a
ideals £> aller Elemente
b)
a
von
skizziert.
Satz. 1.2.
ein
(a);,
Linksideal
erzeugte Rechtsideal
sind, werden die Beweise entweder
nur
Satz 1.1.
(e)j
Ringes 9? erzeugte
das
Da alle Sätze dieses vorbereitenden Abschnittes wohl¬
bekannt
oder
eines
a
=
0 für
=
ev
.
.
e1 +
i =£
{ex)t,
Ein Element
in 9î ein Element y
.
.
j
.
.
en in
.,
.
+ e„;
(i, j
.,
c
9î, für die gilt:
an
=
=
eines
1,
.
.
.,
n);
(«„),.
Ringes
9? heißt
regulär,
Ring
daß eye
c ist. Ein
seiner Elemente regulär ist.
gibt,
so
=
regulär, wenn jedes
Ringe mit Einselement ist dies die Definition der Regulariin [4]. Auch die Sätze 1.4 und 1.5. werden in [4] für Ringe
Für
tät
mit Einselement bewiesen. Die Beweise dieser Sätze sind daher