Probeklausur zur ELEMENTAREN STOCHASTIK

Prof. G. Kersting
SS 2008
Probeklausur zur ELEMENTAREN STOCHASTIK
Aufgabe 1. In einer Urne liegen 4 rote und 3 schwarze Murmeln, die alle
der Reihe nach gezogen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
dabei erst alle roten und dann die schwarzen gezogen werden?
Aufgabe 2. Bei n-fach unabhängiger Wiederholung eines Bernoulliexperiments, etwa dem Drehen eines Glücksrades mit Erfolgswahrscheinlichkeit p,
betrachten wir die Anzahl X der Misserfolge. Ist X geometrisch verteilt oder
binomialverteilt.
Aufgabe 3. X1 , X2 , X3 seien unabhängig und identisch verteilt mit Werten
in den reellen Zahlen. Setze Y1 = X2 + X3 , Y2 = X1 + X3 , Y3 = X1 +
X2 ? Sind Y1 , Y2 , Y3 unabhängig? Sind Y1 , Y2 , Y3 identisch verteilt? Was ist
Var[Y1 ], Cov[Y1 , Y2 ] (in Abhängigkeit von σ 2 = Var[X1 ])?
Aufgabe 4. In einer Gruppe von n Personen seien je zwei Personen mit
Wahrscheinlichkeit p befreundet, dies von Paar zu Paar unabhängig. Sei X
die Anzahl aller befreundeten Paare. Dann gilt offenbar (Sie brauchen diese
Formel nicht zu begründen)
X
(*)
X=
IAij ,
1≤i<j≤n
wobei Aij das Ereignis ist, dass die Personen i und j befreundet sind.
i) Die Wahrscheinlichkeit von Aij ist nach Annahme p. Was ist der Erwartungswert von X?
Sei weiter Y die Anzahl derjenigen Personen, die überhaupt keine Freunde
haben.
ii) Geben Sie eine zu (*) analoge Formel für Y an. Folgern Sie E[Y ] =
n(1 − p)n−1 .
Aufgabe 5. n Kugeln werden der Reihe nach unabhängig voneinander auf
3 Urnen verteilt, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Xi sei die Anzahl der
Kugeln in der i-ten Urne, i = 1, . . . , 3.
(i) Wie sind X1 und X1 + X2 verteilt? Was sind die Varianzen?
(ii) Wie heißt die Formel, die Var[X1 + X2 ] ,Var[X1 ], Var[X2 ] und
Cov[X1 , X2 ] verbindet? Gewinnen Sie daraus eine explizite Formel für
Cov[X1 , X2 ].
Aufgabe 6. Sei X exponentiell verteilt. Vergleichen Sie den Wert von
P(X ≥ a), a > 0, mit der Abschätzung, die die Markov-Ungleichung ergibt.
Aufgabe 7. Wir würfeln solange, bis die erste Sechs fällt. Wir wollen zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass dann auch schon alle anderen Ziffern
von Eins bis Fünf geworfen wurden, gleich 1/6 ist.
i) Dazu betrachten wir eine Markovkette mit den Zuständen a,I,II,III,IV,V,
b (a=Start, I= mindestens eine andere Zahl vor der Sechs, II= mindestens 2 andere Zahlen vor der Sechs, . . . , b= Sechs fällt). Beschreiben Sie
in einem Bild die möglichen Übergänge zwischen den Zuständen samt
Übergangswahrscheinlichkeiten.
ii) Für die Wahrscheinlichkeit w(x), ausgehend vom Zustand x den Zustand
V vor dem Zustand b zu erreichen, gilt w(b) = 0, w(V ) = 1, w(IV ) =
1/2, w(III) = 1/3, w(II) = 1/4, w(I) = 1/5, w(a) = 1/6. Begründung?
Aufgabe 8. Wir betrachten eine Markovkette auf den nichtnegativen ganzen Zahlen {0, 1, . . .} mit den Übergangswahrscheinlichkeiten P (a, a+1) = p,
P (a, 0) = q und 0 sonst (p + q = 1). Zeigen Sie, daß durch π(a) := pa q eine
Gleichgewichtsverteilung gegeben ist.