Hausaufgaben zu Exponentialfunktionen - Johannes
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M12 Bedingte Wahrscheinlichkeit AIDS-Test Aufgabe 1: AIDS-Test Bei Infektionskrankheiten ist es wichtig, dass man schnell die Art der Krankheit erkennt, damit man sie bekämpfen kann. Hierzu führt man Schnelltests durch, die allerdings Mängel haben: Manchmal wird eine Krankheit nicht angezeigt, obwohl sie vorhanden ist. Die vorliegenden Testverfahren zum Nachweis einer HIV-Infektion haben mittlerweile eine hohe Sicherheit (so genannte Sensitivität). Bei 99,9 % der tatsächlich Infizierten erfolgt eine positive Testreaktion; nur bei 0,3 % der nicht infizierten Testpersonen wird irrtümlich eine Infektion angezeigt (so genannte Spezifität 99,7 %). Das Robert-Koch-Institut schätzt (Stand Ende 2005), dass etwa 49.000 Menschen in Deutschland HIV-infiziert sind. Laut dem Statistischen Bundesamt lebten Ende 2005 ungefähr 82.450.000 Personen in Deutschland. a) In Köln werden 1000000 Leute getestet. Wie viele Personen haben ein positives Testergebnis? Wie viele Personen von ihnen sind infiziert? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis positiv ist und tatsächlich eine HIV-Infektion vorliegt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei negativem Testergebnis dennoch eine Infektion vorliegt? d) Welche Konsequenzen sollte man aus den gewonnenen Erkenntnisse ziehen? Aufgabe 2: Erweiterung AIDS-Test a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person nach einem positiven ersten Testergebnis noch einmal positiv getestet wird, aber trotzdem gesund ist? b) In einigen Ländern im Süden Afrikas sind bis zu 40 % der Bevölkerung HIV-infiziert. Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten zu den Fragen 1a) und 1b) unter diesen Bedingungen? c) In Deutschland sind etwa 80 % der Infizierten Männer. 90 % der HIV-Infektionen werden sexuell übertragen und rund 70 % aller Infektionen sind auf ungeschützten Sex zwischen Männern zurückzuführen. Überlege Dir eine sinnvolle Aufgabe, die Du selber lösen kannst und stelle sie Deinem Nachbarn. Aufgabe 3: Brustkrebsuntersuchung Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 40-jährige, symptomfreie Frau Brustkrebs hat, beträgt 1 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Krankheit mit einer Mammografie erkannt wird, wenn sie vorliegt, beträgt 80 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mammografie fälschlicherweise auf Brustkrebs hinweist, obwohl die Krankheit gar nicht vorliegt, beträgt 10 %. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 40-jährige, symptomfreie Frau tatsächlich Brustkrebs hat, wenn sie einen positiven Mammografiebefund erhalten hat? Oder dieselbe Aufgabe noch einmal anders: Aufgabe 4: Brustkrebsuntersuchung 2 10 von 1000 40-jährigen, symptomfreien Frauen haben Brustkrebs. Bei 8 von den 10 Frauen, die tatsächlich Brustkrebs haben, wird die Krankheit mit einer Mammografie auch erkannt. Bei 99 von den 990 Frauen, die keinen Brustkrebs haben, weist die Mammografie fälschlicherweise dennoch auf das Vorliegen von Brustkrebs hin. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 40-jährige, symptomfreie Frau tatsächlich Brustkrebs hat, wenn sie einen positiven Mammografiebefund erhalten hat? 1 75876194 Christian Westphal 2006, Anke, Braun, Göde Klöppner 2008 Johannes-Kepler-Gymnasium Ibbenbüren M12 Bedingte Wahrscheinlichkeit AIDS-Test Aufgabe 5: Wie hängen Kariesfälle und Zahnputzgewohnheit zusammen? Im Rahmen einer Marketingstudie wurden Daten für das Gesundheitsamt in Musterstadt erhoben, die die Zahngesundheit von Schulkindern betraf. Es wurde in der Grundschule von Musterkaff zu Forschungszwecken an 200 Kindern eine Reihenuntersuchung zur Zahngesundheit durchgeführt. Es putzten sich 60% der Kinder regelmäßig die Zähne. Von diesen Kindern hatten 40 Karies. Bei den Zahnputzmuffeln hatten 60 Kinder Karies. Wir interessieren uns nun für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind Karies hat, wenn bekannt ist, dass es sich die Zähne putzt. In andere Worte gekleidet: Der Anteil der Kinder mit Karies an den Kindern, die sich regelmäßig die Zähne putzen. Aufgabe 6: Hast Du schon einmal Drogen genommen? Stellt Euch vor, Euer Lehrer würde mit Euch eine solche Befragung durchführen und bittet um ehrliche Antworten. Selbstverständlich könnt Ihr wohl zu Recht skeptisch sein, wer Euch denn wohl die Garantie gibt, dass die zugesicherte Anonymität wirklich gewährleistet wird. Hier ist ein Vorschlag: Wirf einen normalen Würfel. Wenn das Ergebnis 1, 2, 3 oder 4 ist, so beantworte die 1. Frage, andernfalls die 2. Frage. 1. Ich habe schon einmal Drogen genommen. [ ] Ja [ ] Nein 2. Ich habe noch nie Drogen genommen. [ ] Ja [ ] Nein Der Auswerter hat das Ergebnis des Würfelns nicht gesehen und kann deshalb auch nicht wissen, auf welche Frage geantwortet wurde. Dennoch kann man bei einer hinreichend großen Stichprobe zu recht verlässlichen statistischen Aussagen kommen. Angenommen, 280 von 500 Befragten kreuzen „Ja“ an. Dann haben wir einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit P(„Ja“) = 280/500 = 0,56. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit p gewinnen wir dann aus der Gleichung 2 1 0,56= ⋅ p ⋅ 1− p . 3 3 a) Berechne für das Beispiel wie viele Personen, mit Drogen in Kontakt gekommen sind. Mit welchen Unsicherheiten ist die Statistik noch behaftet? b) Berechne die Anzahl der Personen, die mit Drogen in Kontakt gekommen sind unter der Annahme, dass etwa die Hälfte von 1000 Befragten „Ja“ angekreuzt hat. Kann man dieser Statistik mehr trauen? c) Ein psychologisches Problem besteht noch darin, dass mehr Ergebnisse des Würfels zur 1. Frage führen. Was passiert, wenn man dies wie folgt abändert: (1) gerade Augenzahl --> Frage 1 (2) 1, 2, 3 oder 4 --> Frage 2 ungerade Augenzahl --> Frage 2 5 oder 6 --> Frage 1 2 75876194 Christian Westphal 2006, Anke, Braun, Göde Klöppner 2008 Johannes-Kepler-Gymnasium Ibbenbüren M12 Bedingte Wahrscheinlichkeit AIDS-Test Quellen: Elemente der Mathematik. Grundkurs 12/13. Schroedel, S.380f Wassner, C. et. al. (2000). Muss der Satz von Bayes so schwer verständlich sein? Max-Planck-Institut Berlin Mathematik. Neue Wege 9. Schroedel, S. 202 www.gib-aids-keine-chance.de/themen/fakten/index.php www.destatis.de/presse/deutsch/pm2006/p0320021.htm www.rki.de/cln_006/nn_226622/DE/Content/Infekt/EpidBull/Archiv/2006/ (alle gefunden am 28.03.2006) 3 75876194 Christian Westphal 2006, Anke, Braun, Göde Klöppner 2008 Johannes-Kepler-Gymnasium Ibbenbüren
