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Einführende Beispiele
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1. Einführende Beispiele
1.1. Beispiel
Das klassische Beispiel aus der Nachrichtenverkehrstheorie, das den Anstoß zur Entwicklung der
Warteschlangen- und allgemeinen Bedienungstheorie gab, ist das Modell einer Telefonvermittlungszentrale. Die
ersten entscheidenden Entwicklungen dazu wurden von ERLANG um 1910 vorgelegt. (Ein Überblick über
ERLANGs Werk ist zu finden in BROCKMEYER/ HALSTROM/ JENSEN [48], eine kurze Skizze der
Entwicklung bis zu den neueren Problemen im Anhang von COHEN/ BOXMA [85].)
In der Telefonvermittlungszentrale haben wir einen Ankunftsstrom von Anrufen, die auf freie Leitungen (Kanäle)
gelegt werden, und die nach Beendigung des Gespräches die Leitungen wieder freigeben, so daß ein weiterer
Anruf auf diese Leitungen gelegt werden kann. Aus der Sicht sowohl des Betreibers der Zentrale als auch der
anrufenden Kunden sind die Anrufszeitpunkte und die Gesprächsdauern zufallsbeeinflußt.
Für eine Modellierung der Telefonvermittlungszentrale benötigen wir also die folgenden Daten:
Das gemeinsame Verteilungsgesetz für den Ankunftsstrom der Anrufe und die Gesprächsdauern, sowie Angaben
über die Organisation der Zentrale und die Behandlung der Anrufe.
Der Ankunftsstrom wird allgemein als stochastischer Punktprozeß T = (Tt: t  IR+) beschrieben (in vielen Fällen
als Erneuerungs- oder sogar Poisson-Prozeß), die Gesprächsdauern als Folge  = (1, 2, ...) von ZV. Um
interessierende Charakteristika des Systems zu beschreiben, werden die Verteilungen (Bildmaße) gewisser
Funktionale des Paares (T, ) berechnet. Die Struktur dieser Funktionale hängt ab
a) von der Organisation der Vermittlungszentrale, und
b) von den zu beschreibenden Zielgrößen.
Beispielhaft seien dazu einige Details angegeben:
zu a)
 Anzahl der vermittelbaren Leitungen,
 Regeln für die Abgabe von Leitungen an Kunden (in Reihenfolge der Ankunft, „first-come-first-served“:
FCFS;
beschleunigte
Weitergabe
der
aktuellsten
Nachrichten,
„last-come-first-served“:
LCFS;
Prioritätsregeln bei verschiedenen Kundentypen, ...),
 Regeln für die Auswahl der nächsten zu vergebenden Leitung (zyklisch, rein zufällig, kleinste freie
Leitungsnummer),
 Regeln für die Behandlung von Anrufen, die bei ihrer Ankunft alle Leitungen belegt vorfinden (endlicher
oder unbegrenzter Warteraum, Wiederholungsanrufe, Verlustsysteme, ...),
 Umschaltzeiten;
zu b)
 Anzahl der Anrufe im System („Warteschlangenlänge“), d.h. Summe aus belegten Leitungen und im
Warteraum anwesenden Anrufern,
 Anzahl der freien Leitungen,
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Angewandte Stochastische Prozesse und Netzwerke von Warteschlangen
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 Wartezeit,
 Verlustwahrscheinlichkeit,
 Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Augenblicken, in denen das System leer wird (Zykluszeit),
 Wahrscheinlichkeit, warten zu müssen,
 Durchsatz,
 Zeit, die ein Anrufer benötigt: von der Ankunft im System (eventuell im Warteraum) bis zur Beendigung des
Gesprächs („Durchlaufzeit“, „Antwortzeit“).
Obwohl die beschreibenden Modelle für solche Telefonvermittlungszentralen inzwischen „klassisch“ sind, es
eine nahezu unübersichtliche Menge von Literatur dazu gibt (Übersichten: GROSS/ HARRIS [85], COHEN [82],
GNEDENKO/ KÖNIG I, II [83], SCHASSBERGER [73], KLEINROCK I [75], GNEDENKO/ KOWALENKO
[74]), und die Anwendung der Modelle auf reale Probleme routinemäßig - und meist durchaus erfolgreich durchgeführt wird, gibt es selbst in einfachsten Fällen noch ungelöste mathematische (HANSCHKE [87],
GREENBERG/ WOLFF [87]) und Modellierungsprobleme (HERZOG/ PATEROK/ VOGEL [87]). Aktuelle
Probleme und Modelle sowie neue theoretische Resultate finden sich in TAKAGI [90], COOPER [90], Takagi
[91].
Warteschlangenmodelle,
die
insbesondere
im
Hinblick
auf
die
Berücksichtigung
der
Übertragungsprotokolle in Hochgeschwindigkeitsnetzen konstruiert wurden, und die im Gegensatz zu den hier
im folgenden meist zeitstetigen Beschreibungen eine diskrete Zeitskala benutzen, finden sich in TAKAGI [93],
BRUNEEL/ KIM [93], WOODWARD [94], DADUNA [01].
1.2. Beispiel:
Vom Beginn an war im breiten Spektrum des Operations Research („Unternehmensforschung“) die
Bedienungstheorie eines der Hauptarbeitsgebiete, in dem sowohl die aus der Nachrichtenverkehrstheorie
bekannten Modelle adaptiert als auch neue Modellklassen herausgearbeitet wurden (seit etwa 1945).
Ein schon aus der Nachrichtenverkehrstheorie bekanntes Modell zur Beschreibung von Systemen, bei denen der
Ankunftsstrom von wenigen („endlich vielen“) Quellen erzeugt wird (siehe unter „ENGSET-Formel“, z.B.:
COOPER [81], S. 108-110), kann direkt zur Beschreibung des folgenden Reparatursystems verwendet werden:
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Für die Reparatur von M unregelmäßig ausfallenden Maschinen stehen s Reparatureinheiten (Werkbänke,
Arbeiter) zur Verfügung. Die Reparaturzeit für eine ausgefallene Maschine kann in der Regel nicht im Voraus
angegeben werden. Üblich ist deshalb eine stochastische Modellierung des Reparatursystems und des
Maschinenverhaltens. Für eine Modellierung des Gesamtsystems benötigt man somit die folgenden Daten:
Das gemeinsame Verteilungsgesetz für die M Folgen von (sukzessiven) Funktionszeiten der Maschinen
und die s Folgen von (sukzessiven) Reparaturzeiten an den Reparatureinheiten, sowie Angaben über die
Organisation der Reparaturstation und die Behandlung der Maschinen.
Entsprechend den in 1.1. B. angegebenen Daten sind hier mögliche Angaben:
a) zur Organisation der Reparaturstation:
 Reparaturreihenfolge (z.B.: FCFS),
 Zuordnung von Maschinen zu Reparatureinheiten, eventuell Aufspaltung zu einer Teilgruppenzuordnung,
 Berücksichtigung und Modellierung von Transportzeiten und –wegen im System;
b) zu den möglichen Zielgrößen:
 Anzahl der arbeitenden Maschinen,
 Anzahl der Maschinen in Reparatur,
 Anzahl der ausgefallenen Maschinen, die auf Reparatur warten,
 Zeit zwischen Ausfall einer Maschine und der Wiederaufnahme der Arbeit durch diese Maschine,
 Durchsatz durch die Reparaturstation,
 Wahrscheinlichkeit, auf Reparatur warten zu müssen.
1.3. Beispiel:
Von Anfang an war in der Nachrichtenverkehrstheorie ein Problem offensichtlich: Nicht nur einzelne, isolierte
Telefonvermittlungszentralen waren zu modellieren, sondern zusammengeschaltete Netze derartiger Zentralen, in
denen eintreffenden Anrufen durchgeschaltete Leitungen zur Verfügung zu stellen waren. Für derartige Aufgaben
wurden in der Regel nur grobe Approximationsverfahren entwickelt, da selbst unter den üblichen
vereinfachenden Modellannahmen keine geschlossenen Formeln für Leistungsmaße in derartigen Netzen zur
Verfügung standen.
Ein wesentlicher Durchbruch war deshalb zu verzeichnen, als es in den fünfziger Jahren gelang, für einfache
Netze von Bedienungssystemen geschlossen darstellbare Leistungscharakteristiken zu finden: Mehrstufige
Produktions- und Reparaturprozesse („Jobshop-like queueing systems“) waren damit einfach zu beschreiben.
Für stochastische Netzwerke allgemeiner Topologie mit zufallsbeeinflußten Verzweigungen der Werkstücke
zwischen Knoten einfacher Struktur, die später als „JACKSON-Netze“ bezeichnet wurden, fand 1957 JACKSON
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[57] das entscheidende Ergebnis: die Gleichgewichtsverteilung für den Vektorprozeß, der die simultane
Entwicklung der Schlangenlängen an den einzelnen Knoten des Systems beschreibt.
Während in den fünfziger und sechziger Jahren die Methoden der Bedienungstheorie und der unterliegenden
stochastischen Prozesse vor allem als Antwort auf Anforderungen der Wirtschaftswissenschaften und des
Operations Research fortentwickelt wurden, kamen etwa seit 1970 die wesentlichen Anstöße zur Fortentwicklung
der Theorie aus der Informatik und erneut aus der Kommunikationstheorie und der Modellierung von
Rechensystemen und Rechnernetzen.
Der Aufbau von Rechnernetzen und rechnergestützten Informationssystemen (LAN - „local area network“ und
WAN - „wide area network“) brachte eine weitgehende Verallgemeinerung der Arbeit von JACKSON [57],
deren Resultate z.B. in KELLY [79], KLEINROCK [75], [76], LAVENBERG [83], BASKETT/ CHANDY/
MUNTZ/ PALACIOS [75] und WALRAND [88] zu finden sind. Neuere Entwicklungen finden sich dazu in
VAN DIJK [93], SERFOZO [99] und CHAO/ MIYAZAWA/ PINEDO [99], Netzwerkmodelle in diskreter Zeit
werden in BRUNEEL/ KIM [93], WOODWARD [94] und DADUNA [01] untersucht.
Gleichzeitig zur Popularisierung der Erkenntnis, daß Netzwerkmodelle essentiell sind für die Modellierung und
Leistungsanalyse von kommunizierenden Rechensystemen, stellte es sich heraus, daß die neuartige interne
Rechnerorganisation auch neue Modelle für einzelne Bedienungssysteme erforderte. Dies führte zur Konstruktion
einer Klasse vielseitig verwendbarer Modelle der Bedienungstheorie, siehe z.B.: KELLY [79]. Eine Übersicht
über Probleme und neuere Methoden findet sich in TAKAGI [90], weitere sehr variable Modellklassen werden
in einem allgemeineren Zusammenhang beschrieben in CHAO/ MIYAZAWA/ PINEDO [99]).
1.4. Beispiel:
Ein modernes Modell zur Leistungsanalyse von Rechensystemen, die im „Time-Sharing“-Betrieb arbeiten, das in
den Jahren seit 1970 typischerweise bei derartigen Untersuchungen verwendet wurde, läßt sich wie folgt
beschreiben:
Ein Ankunftsstrom von Rechenaufträgen („jobs“) trifft im System ein, die Aufträge stellen unterschiedliche
Forderungen nach Rechenzeit. Läßt man, was zuerst tatsächlich an Großrechnern gemacht wurde, die Aufträge
nach FCFS abarbeiten, so blockiert ein Großauftrag (Gehaltsabrechnung für eine Firma am Monatsende)
möglicherweise für Stunden die Maschine, ohne daß die laufenden Kleinaufträge überhaupt zur Bearbeitung
kommen. Die Lösung des Problems geschah über die Einführung des Time-Sharing-Betriebs:
Die Aufträge werden in eine Schlange eingereiht, und jeder Auftrag erhält zyklisch für ein kurzes Zeitquantum
(„Zeitscheibe“) den Rechner zugeteilt. Ist ein Auftrag nach eventuell mehreren Unterbrechungen fertig bedient,
so verläßt er das System und die verbleibenden Aufträge erhalten dementsprechend häufiger eine Zeitscheibe
Rechenkapazität zugeteilt.
Näherungsweise können wir damit sagen, daß die jeweils anwesenden Aufträge sich die Rechnerkapazität teilen
und vom „Processor Sharing“ (PS) sprechen: Sind also m Aufträge im System, so erhält jeder Auftrag 1/m-tel
der Rechenkapazität zugeordnet, m.a.W.: Ist ein einziger Auftrag im System, so erhält er wie unter FCFS die
volle Rechenleistung, seine Rechenzeitforderung wird mit Geschwindigkeit „1“ abgearbeitet; sind m Aufträge im
System so wird die Rechenzeitforderung aller Aufträge gleichzeitig mit der Geschwindigkeit „1/m“ abgebaut.
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Neben dieser Festlegung der Bedienungsdisziplin benötigen wir, wie auch in den vorigen Beispielen, noch das
Verteilungsgesetz für Ankunftsstrom und Rechenzeitforderungen, um eine geeignete Modellierung der Systeme
durchzuführen Im Detail ergeben sich noch weitere Variationsmöglichkeiten, wie z.B.
a) bei der Organisation des Rechners und deren Beschreibung:
 Unterscheidung
unterschiedlicher
Auftragstypen
(„lang“
oder
„kurz“)
mit
typenspezifischen
Bedienungszeitverteilungen
 ungleichmäßige Verteilung der Rechenkapazität
auf die anwesenden Aufträge um Prioritäten zu
berücksichtigen,
b) bei den mögliche Zielgrößen:
 Anzahl der Aufträge im System („wartende“ Aufträge gibt es nicht)
 Durchsatz allgemein und für Aufträge eines bestimmten Typs,
 Überlastbedingungen,
 bedingte Antwortzeit eines Auftrags, gegeben seine tatsächliche Forderung an Rechenzeit.
Frühe Arbeiten über diese Modellklasse sind KLEINROCK [64], [67] (dort findet man auch weitere
Überlegungen zur Modellbildung), ADIRI/ AVI-ITZHAK [69]; weitere relevante Arbeiten sind YASHKOV
[83], OTT [84], SCHASSBERGER [84] (dort wird auch das realimplementierte Konzept der Zeitscheiben
wieder untersucht), und als Übersichtsarbeit YASHKOV [87].
Die Entwicklung der Bedienungsdisziplin „PS“ ist ein lehrreiches Beispiel für die Entwicklung von
Modellierungstechniken mit dem Ziel, ein praktikables Gleichgewicht aus hinreichender Realitätsnähe und
hinreichender Einfachheit des Modells zu gewährleisten. Dieser durchaus nicht immer lösbare Konflikt wurde in
diesem Beispiel elegant bereinigt.
1.5. Beispiel:
Eine Straßenkreuzung in T-Form („T-Kreuzung“) ohne Lichtsignalregelung, bei der eine Straße auf eine
bevorrechtigte Einbahnstraße trifft ist, das einfachste Straßensystem zur Vereinigung von Verkehrsströmen.
Der kritische Kreuzungs(Einmündungs-) bereich
wird
dabei
als
Bedienungsstation
gesehen, die jeweils ein
Automobil
abfertigen
kann.
Die um Bedienung nachfragenden Kunden (Automobile) treffen in zwei Kundenströmen ein, die unterschiedliche
Priorität haben. Kunden des bevorrechtigten (Einbahnstraßen-)Stroms werden vor denen aus der Zufahrt bedient.
Letztere werden also nur bedient, wenn keine Kunden höherer Priorität anwesend („zu sehen“) sind. Eine
begonnene Einfahrt eines Fahrzeugs aus der Zufahrt wird dabei jedoch nicht gestoppt (abgebrochen), wenn sich
ein bevorrechtigtes Fahrzeug einfindet („nähert“). Diese Verfahren wird als „Nichtunterbrechende Priorität“
bezeichnet.
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Wesentlich bei diesem Beispiel ist ausserdem, daß die Kunden der beiden unterschiedlichen Prioritätsklassen
unterschiedliche „Bedienungszeiten“, d.h. Fahrzeiten zum Durchfahren des kritischen Kreuzungsbereichs haben.
Eine Übersicht über die Modellierung derartiger Verkehrssysteme ist in BRILON [88] zu finden. Es stellt sich
übrigens auch hier heraus, daß noch große Problemklassen nur sehr unvollkommen modelliert werden können.
Dementsprechend grobe Approximationen werden deshalb zur Berechnung von Kreuzungsparametern verwendet
bei der Straßenplanung.
Die derzeit in der Praxis verwendete Methode
zur Berechnung von Kreisverkehren besteht
darin, den Kreis als Folge von T-Kreuzungen
anzusehen und jede dieser T-Kreuzungen
separat zu berechnen unter Zuhilfenahme der
Grobdaten des vorherigen Einfahrpunktes.
Dies Verfahren entspricht in etwa den in der Nachrichtenverkehrstheorie verwendeten Methoden zur Planung von
Telefonnetzen, wie sie bis in die 60-er Jahre des vorigen Jahrhunderts verwendet wurden. In manchen Situationen
ist dieses als Dekomposition/Aggregation bezeichnete Verfahren auch heute noch der einzige praktische Zugang
zur numerischen Auswertung komplexer Netzwerke.
Der Versuch, einen Kreisverkehr als Netzwerk von Warteschlangen in einem Modell zu untersuchen ist
konsequent in RAABE [91] gemacht worden.
Es ist offensichtlich, daß hier noch großer Modellierungsbedarf besteht, auch die Notwendigkeit, eventuell neue,
problemadäquate Methoden zu erarbeiten. Und ebenso offensichtlich ist auch hier die Abhängigkeit sinnvoller
„mathematischer“ Modelle von einem von außen vorgegebenem Technologiestand. Die derzeit üblicherweise
durchgeführte Erwartungswertrechnung wird sich z.B. sicher dann nicht mehr durchhalten lassen, wenn die
Fahrzeuge
bei
der
Bedienung
auf
der
T-Kreuzung
extrem
variable
Bedienungszeiten
(großer
Variationskoeffizient der Bedienungszeiten) haben. Das verstärkte Auftreten von Pferdefuhrwerken auf unseren
Straßen im Verlauf der (n+1)-ten Ölkrise wird sicherlich
die Verwendung verfeinerter Methoden bei der
Verkehrsplanung erfordern.
Die Vorstellung der Beispiele zeigt, daß den Problemen stets eine Warte- und Bedienungsstruktur unterliegt. Für
diese hat sich eine generelle Sprachregelung eingebürgert, die kurz wie folgt angegeben werden kann:
1.6. Definition:
Kunden bilden einen Ankunftsstrom an einem Bediener (Schalter, Kanal). Dieser bearbeitet die Kunden gemäß
einer vorgegebenen (Bedienungs-) Disziplin. Die fertig bedienten Kunden, welche den Bediener verlassen, bilden
den Abgangsstrom; eventuell abgewiesene Kunden bilden den Verlustprozeß (Überlaufprozeß). Der strukturierte
Bediener (Schalter/Kanal) mit eventuell verhandenem Warteraum wird auch als (Bedienungs-)Knoten bezeichnet
In einer derartig allgemeinen Formulierung sind dann die von uns untersuchten Modelle weithin anwendbar,
wenn zufallsbeeinflußte Systeme zu untersuchen sind. Typische Modellierungsfelder findet man bei:
 Reparaturwerkstätten mit mehreren Stationen und unterschiedlichen Reparaturaufträgen,
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Angewandte Stochastische Prozesse und Netzwerke von Warteschlangen
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 Patienten, die in mehreren Stationen einer Klinik zu untersuchen sind,
 Fahrkartenschaltern,
 Satellitenübertragung von Nachrichtenpaketen,
 Verkehrsmodellierung auf einer Straße oder für Eisenbahnnetze,
 Eisenbahnverschiebebahnhöfen,
 Be- und Entladestationen allgemeiner Art, wie z.B. Hafenkais,
 Flexiblen Manufaktursystemen,
 Rechnernetzen,
 Luftverkehrssteuerung,
 Eisenbahnverkehrsmodellierung.
Dabei zeigen schon diese wenigen Beispiele, daß in der Regel nicht isolierte Bedienungsknoten zu untersuchen
sind, sondern durch gewisse Kommunikations- und Organisationsstrukturen verknüpfte Knoten, die zu einem
Netzwerk von Bedienern zusammengeschlossen sind. Diese werden dann allgemein als stochastische Netzwerke
bezeichnet.
Die üblichen Bedienungssysteme und stochastischen Netzwerke sind bei voller Allgemeinheit der
Verteilungsannahmen fast ausnahmslos nicht analytisch zu behandeln.
Selbst unter weitgehenden
Einschränkungen bei der Wahl der zulässigen Verteilungsgesetze stellt es sich heraus, daß analytisch herleitbare
Resultate häufig nur in Form von Transformierten zu erhalten sind.
Bedeutung hat darum in diesem Kontext stets eine problemgerechte Beschränkung der Allgemeinheit und damit
die Suche nach geeigneten approximativen Modellen. Derartige Modellapproximationen liefern dann häufig noch
gut verwertbare und oft erstaunlich einfache Resultate.
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Geburts- und Todesprozesse, exponentielle Bedienungssysteme
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2. Geburts- und Todesprozesse, exponentielle Bedienungssysteme
Wir führen anhand des klassischen exponentiellen Bedienungssystems und seiner nicht-exponentiellen
Verallgemeinerungen den in der Warteschlangentheorie üblichen Bezeichnungswirrwarr ein. Dabei wird das
Wort oder der Wortteil „Bedienung-s“ in der Regel durch „Bed“ abgekürzt, die „Zwischenankunftszeit“ durch
„ZwAZeit“ oder „ZwAZ“.
2.1. Definition: M/ M/ s/ N - FCFS-Verlustsystem
Gegeben seien auf einem W-Raum (, A, P) Folgen  = (1, 2, ...) von unabhängigen exp()-verteilten ZV und
 = (1, 2, ...) von unabhängigen exp()-verteilten ZV, jeweils mit Werten in ([0, ), [0, )IB); 0 < ,  < .
 und  seien unabhängig.
1 ist die Zeit bis zur Ankunft des ersten Kunden nach dem Start des Systems zur Zeit 0.
n, n  2, ist die Zeit zwischen der Ankunft des (n-1)-ten und n-ten Kunden.,
n, n  1, ist die Bedienungszeitforderung des n-ten Kunden.
Es stehen s BedSchalter zur Verfügung, 1  s  , und N Warteplätze, 0  N  .
Ein ankommender Kunde, der bei seiner Ankunft r Schalter frei findet, 1  r  s, wird rein zufällig zum
sofortigen BedBeginn an einen der freien Schalter geschickt, d.h., unter den r freien Schaltern wird unabhängig
von der bisherigen Entwicklung des Systems gemäß Gleichverteilung derjenige ausgewählt, zu dem der
Neuankömmling geschickt wird. Findet ein ankommender Kunde keinen freien Schalter, aber freie Warteplätze
vor, so reiht er sich in eine nach FIRST-COME-FIRST-SERVED (FCFS) organisierte Warteschlange ein. (Die
Bedienungsdisziplin FCFS, bei der die Kunden der Reihenfolge ihrer Ankunft gemäß einem Bedienungskanal
zugeordnet werden und freiwerdende Warteplätze durch Nachrücken der Kunden aufgefüllt werden, wird auch
als FIRST-IN-FIRST-OUT (FIFO) bezeichnet. Zu beachten ist, daß das FIFO-Prinzip nur für die Warteschlange,
nicht für das Gesamtsystem anschaulich richtig das Verhalten bezeichnet.)
Findet ein Kunde bei seiner Ankunft alle Schalter und alle Warteplätze belegt (für s, N < ), so wird er
abgewiesen und geht verloren.
Werden zu einem Zeitpunkt durch Beendigung der laufenden Bedienung r Schalter frei, 1  r  s, und warten
Kunden im Warteraum, so wählt der Kunde an der Spitze der Warteschlange mit Wahrscheinlichkeit r -1 einen der
freien Schalter (unabhängig von der sonstigen bisherigen Entwicklung des Systems) an dem seine Bedienung
augenblicklich beginnt, die restlichen Wartenden rücken auf; warten weitere Kunden und ist r > 1, so wählt der
jetzt an der Spitze der Schlange stehende mit Wahrscheinlichkeit (r-1)-1 einen der noch freien Schalter
(unabhängig von der sonstigen Systementwicklung), an dem sofort seine Bedienung beginnt, etc.
Wir nehmen dabei an, daß die Auswahl von Bedienungskanälen die Zuordnung der Kunden zu den Kanälen, das
Aufrücken weiterer Kunden ohne Zeitverlust („augenblicklich“) durchgeführt wird.
(Falls diese Modellannahme nicht gerechtfertigt ist, müssen detaillierte Modelle erstellt werden. Bei vielen
praktischen Problemen ist die Annahme von „Transferzeiten der Länge 0“ gerechtfertigt, eventuell über den
Einbau der Transferzeiten in die Bedienzeit.)
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Geburts- und Todesprozesse, exponentielle Bedienungssysteme
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Als Folge der Ankunftszeiten bezeichnen wir die Zufallsfolge A = (An : n  1), definiert über
An = 1 + 2 + ... + n , n  1.
2.2. Anmerkung:
a) Der Ankunftsstrom ist ein Poisson--Prozeß und auch die Folge der Bedienzeitforderungen wird von einem
Poisson-Prozeß erzeugt. Falls s + N <  ist, so treten mit positiver Wahrscheinlichkeit Verluste auf. Dann ist der
effektiv am System eintreffende Strom von Kunden kein Poisson-Prozeß. Das Gleiche gilt für den Verlustprozeß.
(Siehe z.B. BRANFORD [86], VAN DOORN [87].)
b) Die Zuordnungsentscheidungen, an welchen Schalter ein Kunde geschickt wird, sind beschreibbar als Folge
von ZV auf (, A, P)
e = (e1, e2, ...) mit Werten in {1, 2, ..., s, *}, wobei „*“ ein fiktiver Zustand ist, der eine fiktive Entscheidung
repräsentiert, falls ein ankommender Kunde warten muß bzw. überläuft, oder falls kein Kunde auf Bedienung
wartet. Entscheidungspunkte sind die Sprungzeiten des Systems.
Dann sind die Folgen (, , e) gemeinsam auf (, A, P) definiert, aber nicht mehr unabhängig. Allerdings hängt
die Verteilung von en von (, ) nur über die Anzahl der freien Kanäle im Entscheidungsaugenblick ab.
Wir verzichten darauf, die Verteilung von (, , e) explizit zu konstruieren. Die Prinzipien einer derartigen
Konstruktion findet man in FREEDMAN [83], Kapital 6.
c) Unsere Festlegung in 2.1., das System zur Zeit 0 im leeren Zustand zu starten, ist bei vielen praktischen
Problemen eine natürliche Annahme. Häufig wird eine Startverteilung vorgegeben, die z.B. angibt, mit welcher
Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Anzahl von Kunden schon vorhanden ist, und an welchen Schaltern diese
Kunden bedient werden.
Die ZV auf (, A, P), die den Startzustand beschreibt, wird als unabhängig von (, ) angenommen, und e hängt
wieder nur über die freien Schalter vom Startzustand ab.
d) Häufig spricht man unter den oben gemachten Annahmen und Bezeichnungen von einer zur Zeit t  0
laufenden Zwischenankunftszeit (ZwAZ) . Gemeint ist dann diejenige ZV m =: , für die gilt:
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m 1
m
k 1
k 1
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  k  t    k , m  IN 
Die entsprechende Zahl m ist für alle    P-fs eindeutig bestimmt. Eine entsprechende Bedeutung hat z.B.:
„die zur Zeit t  0 laufende Bedienungszeit am Kanal r“, etc. Die mit einer solchen Sprechweise manchmal
verbundenen Probleme werden im „Wartezeit-Paradoxon“ oder „Inspektionsparadoxon“ zusammenfassend
beschrieben. Eine Diskussion findet sich in FELLER [71], S. 11 – 14, 187.
e) Bei vielen Problembeschreibungen ist es günstig, die Folge der (einzeln) ankommenden Kunden C1, C2, ... zu
benennen (z.B. bei der expliziten Verfolgung des Systemablaufs).
Aus der Annahme exp-verteilter ZwAZ folgt, daß gilt:
P({Cn und Cn+1 treffen gleichzeitig ein}) = P({An = An+1}) = P({n+1 = 0}) = 0, n  1.
Dennoch kann bekanntlich i.a. gleichzeitige Ankunft von Cn und Cn+1 nicht ausgeschlossen werden.
Wir behandeln dann Cn und Cn+1 nacheinander gemäß den oben aufgestellten Regeln „im selben Augenblick“.
f) Die Notation A/ B/ s/ N bezieht sich auf
A - Ankunftsstrom / ZwAZ-VF
B - Bedienungszeit-VF,
wobei für die ZwAZ-VF, bzw. BedZ-VF bedeutet:
M - „Markovsch“, d.h.: „gedächtnislos“, also exp-verteilt,
G - „general“, beliebige, aber feste Verteilung,
D - „deterministisch“.
Weitere Bezeichnungen sind üblich, in der Regel selbsterklärend.
Im allgemeinen wird angenommen, daß die Folgen der Bedienungszeiten und ZwAZeiten unabhängige
Erneuerungsprozesse bilden. Diese Annahme wird auch durch
GI/ GI / s/ N oder M/ GI/ s/ N oder GI/ M/ s/ N
ausgedrückt, mit
GI - „general independent“.
Dabei ist es aber ratsam, in Originalarbeiten genau auf die vorliegenden Voraussetzungen zu achten, da es noch
keinen wirklichen Standard in den Bezeichnungen gibt. Insbesondere ist diese abkürzende und bis zu einem
gewissen Grad auch intuitive Notation in der Regel nicht mehr geeignet, wenn z.B. Korrelationen zwischen  und
 zu berücksichtigen sind.
In dieser Vorlesung wird, sofern nicht Anderes gesagt wird, stets angenommen daß  und  unabhängige
Erneuerungsprozesse sind. Angaben über die Zuordnungsentscheidungen werden häufig nicht gemacht; dann ist
aus dem Kontext aber stets zu ersehen, daß es auf eine explizite Angabe nicht ankommt.
g) Der Zusatz „Verlustsystem“ ist überflüssig (und sinnlos), falls s + N =  gilt, da dann stets Platz zur
Aufnahme von Kunden ist.
Für den Fall s =  wird N = 0 gesetzt, und man hat unbegrenzte Bedienungskapazität („infinite server“). Die
Zuordnung von Kunden zu Schaltern muß dann nach einer anderen Regel, als oben angegeben, geschehen - meist
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kann man annehmen, daß dies „irgendwie“ geschieht: Es gibt aber auch wichtige andere Fälle, siehe z.B.
NEWELL [84]. Eine Angabe N =  wird oft unterdrückt, ebenso „FCFS“; M/M/1 ist also in der Regel als
M/M/1/ - FCFS zu interpretieren.
h) Auch ohne besondere Erwähnung nehmen wir stets einen geeigneten W-Raum (, A, P) als gegeben an, auf
dem sämtliche ZV zur Beschreibung eines zu untersuchenden Systems definiert sind. (, A, P) sei als vollständig
angenommen.
Ob ein konkretes System, z.B. eine Reparaturstation oder eine Vermittlungszentrale für Nachrichtenpakete, die
bei der Definition des M/ M/ s/ N - FCFS unterstellten Voraussetzungen erfüllt, ist bei der Modellbildung, also
der ersten Untersuchungsphase zu klären. Kann dies gesichert werden, z.B. durch Anwendung von Schätz- und
Testverfahren, oder setzt man dies mangels anderer Informationen voraus, so haben wir ein mathematisch relativ
einfaches Objekt zu untersuchen, wie die folgende Überlegung zeigt.
2.3. Anmerkung:
a) Mit den Bezeichnungen aus 2.1. sei ein M/ M/ s/ N - FCFS System über seine beschreibenden Daten (, , e)
gegeben. Es sei X = (Xt: t  0) der Schlangenlängenprozeß (SchlL-Prozeß) des Systems, der für t  0 mit Xt
jeweils die Summe aus den Anzahlen der wartenden Kunden und der Kunden in Bedienung aufzeichnet. Über die
zeitliche Entwicklung von X wird dann meist wie folgt argumentiert; Für t  0 gilt:
) Xt = 0  die restliche ZwAZeit ist exp()-verteilt, und mit Wahrscheinlichkeit 1 geht das System bei seinem
nächsten Sprung in einen Zustand mit SchlL 1 über;
) Xt = k, k  {1, ..., s}, k <   die restliche laufende ZwAZeit ist exp()-verteilt und jeder der k Kunden, die
gerade bedient werden, hat eine nach exp()-verteilte RestBedZeit. Diese RestBedZeiten und RestZwAZ sind
unabhängig. Also ist die Zeit bis zum nächsten Sprung des Systems exp( + k)-verteilt. Mit Wahrscheinlichkeit
 / ( + k) wird der nächste Sprung im System durch eine Ankunft verursacht - das System geht in einen
Zustand mit SchlL k+1 über. Sprungentscheidung und Verweilzeit sind dabei unabhängig.
Mit Wahrscheinlichkeit k / ( + k) wird der nächste Sprung im System durch ein Bedienungsende verursacht das System geht in einen Zustand mit SchlL k-1 über.
) Xt = k, k > s  genau s unabhängige exp()-verteilte RestBedZeiten und eine davon unabhängige exp()verteilte ZwAZeit laufen. Die weitere Argumentation ist dieselbe wie in ).
b) Die in a) durchgeführten Überlegungen zeigen, daß zur Beschreibung der stochastischen Entwicklung von X
nach einem festen vorgegebenen Zeitpunkt nur die Kenntnis der SchlL zur Zeit t benötigt wird, zusammen mit
den Folgerungen aus den Modellannahmen. X ist damit ein Markov-Prozeß, der außerdem zeitlich homogene
Übergangswahrscheinlichkeiten (ÜW) hat.
Ein exakter Beweis dieser Tatsache ist aufwendig (siehe FREEDMAN [83], wo die hier noch anzugebenden ÜW
schon als gegeben vorausgesetzt werden), im Prinzip läuft dies darauf hinaus, die Verteilung von X als Bildmaß
der Verteilung von (, , e) anzugeben.
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Geburts- und Todesprozesse, exponentielle Bedienungssysteme
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c) Wir werden anders vorgehen und einen mehr pragmatischen Standpunkt einnehmen, der zu einer klaren
Trennung zwischen Modellierungsphase (hier: Entscheidung für ein Markovsches Modell) und der axiomatischen
Untersuchung der gewählten Modellklasse unterscheidet.
Ausgehend von der Überzeugung, daß der SchlLProzeß X in dem von uns untersuchendem System ein MarkovProzeß ist, wissen wir, daß im wesentlichen die infinitesimalen Charakteristiken, die in der Q-Matrix
zusammengefaßt sind, für die stochastische Entwicklung von X entscheidend sind. Die entsprechenden
Regularitätsbedingungen sind dann wieder auf der Modellierungsseite zu sichern.
d) Zur Erinnerung sei die einschlägige Definition hier angegeben:
Ein Markovscher Prozess X = (Xt: t  0) mit diskretem Zustandsraum E heisst regulär, wenn gilt:

Die Q-Matrix ist konservativ, d.h., ihre Zeilensummen sind 0.

Die Zustände sind alle stabil, d.h., q(i,i)  für alle i E.

Die Folge der Sprungzeiten des Prozesses divergiert fast sicher.
Wir werden im folgenden die infinitesimalen Größen für X angeben und stellen uns dabei auf den Standpunkt,
Modellüberlegungen hätten ergeben, daß die in 2.1. zusammengestellten Annahmen gesichert sind.
2.4. Lemma:
Im M/ M/ s/ N - FCFS System beschreibe der Markov-Prozeß X = (Xt: t  0) den SchlL-Prozeß, d.h. die
Gesamtanzahl der im System anwesenden Kunden - wartend oder in Bedienung.
Mit p(h; k, m) sei für h  0, k, m  IN die ÜW für X bezeichnet, in einem Zeitraum der Länge h  0 von einem
Zustand k in den Zustand m zu gelangen.
Dann gilt für k, m  IN unter den Annahmen aus 2.1.:
i)
p(0; k, m) = km
ii)
für h
> 0,
, k, m  IN,
h0
p(h; k, k+1) = h + o(h)
, k < s+N,
1 k  s
kh  o(h)
p(h; k, k-1) = 
 sh  o(h) s  k  s  N
p(h; k, k) =
k 0
 1  h  o ( h )
1  h  kh  o(h)
1 k  s


1  h  sh  o(h) s  k  s  N
 1  sh  o(h)
k  s N  
p(h; k, m) =
o(h)
sonst
Beweis:
Gegeben Xt = k  IN erhält man die bedingten Wahrscheinlichkeiten wie folgt:
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i) folgt aus der Stetigkeit der exp-Verteilungen,
ii) ) für 0  k < N+s findet ein Übergang
k zur Zeit t

k + 1 zur Zeit t + h
mit einer Wahrscheinlichkeit statt, die addiert wird aus den Wahrscheinlichkeiten der disjunkten Ereignisse
 „in [t, t+h] endet die laufende ZwAZeit und keine BedZeit wird beendet“,
 „in [t, t+h] endet mindestens eine BedZeit und mindestens zwei aufeinander folgende ZwAZeiten enden“.
Aus der Unabhängigkeit von  und  folgt, daß das erste Ereignis die Wahrscheinlichkeit
(1 - e-h) e- min(s, k) h = (h + o(h)) (1 -  min(k, s)h + o(h)) = h + o(h)
hat, während die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses kleiner ist als
(1 - e-h)2 + o(h) = (h + o(h))2 = o(h);
) für k = s+N <  findet ein Übergang oder Verweilen
k zur Zeit t

k zur Zeit t + h
mit einer Wahrscheinlichkeit statt, die addiert wird aus den Wahrscheinlichkeiten der disjunkten Ereignisse
 „in [t, t+h] endet keine BedZeit und beliebig viele oder keine ZwAZeit enden“,
 „in [t, t+h] endet mindestens eine BedZeit und es endet mindestens eine ZwAZeit nach diesem BedEnde“.
Das erste Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit
e-sh = 1 - sh + o(h),
während die Wahrscheinlichkeit des zweiten kleiner ist als
(1 - e-sh) (1 - e-h) + o(h) = (sh + o(h)) (h + o(h)) = o(h);
) entsprechend folgen die übrigen Ausdrücke.
2.5. Korollar:
a) Die Ü-Matrix von X ist standard, d.h. es gilt
lim p(h; k , m)   km
h 0
,
m, k  IN.
b) X besitzt nur stabile Zustände, die nicht absorbierend sind, und die Q-Matrix von X ist gegeben als
Q = (q(i, j): i, j  IN)
mit
q(k, k+1) = 
k<s+N
q(k, k-1) =  min(k, s) 1  k  s + N

k 0


q(k, k) =     min( k , s) 1  k  s  N

 s
k  s N  

q(k, m) = 0
sonst
c) Q ist konservativ
d) Wird im Falle s+N <  der Zustandsraum von X auf {0, 1, ..., s + N} eingeschränkt, so ist X stets irreduzibel.
e) X ist regulär, für s <  uniformisierbar, und es gilt:
p(t) = etQ
, t  0.
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Beweis:
Q ist nach Definition die rechtsstetige Ableitung der Ü-Matrixfunktion
p(t) = (p(t; k, m): k, m  IN) , t  0,
im Nullpunkt (CHUNG[67], Kap. II. 3). Instabile Zustände sind durch q(i, i) = - charakterisiert und
absorbierende durch q(i, i) = 0. Weiter ist eine Q-Matrix konservativ, wenn die Zeilensummen Null sind. Die
Irreduzibilität folgt direkt aus der Struktur von Q.
Aus der Beschränktheit von Q folgt die Uniformisierbarkeit von X und die exp-Darstellung von p().
2.6. Anmerkung:
(a) Die Unterscheidung zwischen endlichem und unendlichem Zustandsraum für die SchlL-Prozesse in
unterschiedlichen M/ M/ s/ N-Systemen macht bei generellen Aussagen oft Fallunterscheidungen notwendig, die
aber stets trivial sind. Ist z.B. s + N < , so setzt man häufig den Zustandsraum {0, 1, ..., s + N} fort zu IN,
verliert dabei aber die Irreduzibilität von X, da dann
q(s+N, s+N+r) = 0
, r  1,
ist. Inhaltliche Schwierigkeiten ergeben sich aber auch bei laxer Bezeichnung nicht.
b) Die genaue Trennung zwischen Modellierung eines realen Systems und mathematischer Untersuchung des
verwendeten Modells kann nach den Überlegungen in 2.1. bis 2.5. jetzt wie folgt getroffen werden:
Gegeben sei ein regulärer Markovscher Prozeß
X = (Xt: t  0) auf einem geeigneten W-Raum (, A, P)
mit Zustandsraum IN und Q-Matrix wie in 2.5. K.:
Q = (q(i, j): i, j  IN).
Diesen Prozeß verwenden wir aufgrund unserer Modellüberlegungen als Modell für den SchlL-Prozeß in
Wartesystemen vom M/ M/ s/ N - FCFS-Typ.
Statt den SchlL-Prozeß im M/ M/ s/ N - FCFS System direkt im Detail zu untersuchen, wollen wir eine
Oberklasse stochastischer Prozesse zu X einführen, in derem Kontext X behandelt werden kann. Dies macht die
Verallgemeinerung der Aussagen auf andere Bedienungsdisziplinen und andere Bedienungskapazitäten einfach.
2.7. Definition:
a) Ein Markov-Prozeß Y = (Yt: t  [0, )) auf (, A, P) mit Zustandsraum IN heißt Geburts- und Todesprozeß
(GuT-Prozeß), falls die Q-Matrix von Y die folgende Gestalt hat:
Q = (q(i, j): i, j  IN) mit
q(i, i+1) = i  0
, i = 0, 1, 2, ...
q(i, i-1) = i  0
, i = 1, 2, 3, ...
q(0, 0) = -0  0
q(i, i) = -i -i
q(i, j) = 0
, i = 1, 2, 3, ...
, sonst.
Die i heißen Geburtsintensitäten (-raten), die i Sterbe- oder Todesintensitäten (-raten).
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b) Ist i = 0, i = 1, 2, ..., so heißt Y Geburtsprozeß, gilt i = 0, i = 0, 1, ..., so heißt Y Todesprozeß.
c) Sofern nicht anderes gesagt wird, sei für GuT-Prozesse und Geburtsprozesse als Startverteilung P(Xo = k) =
=ok , k  IN, angenommen.
2.8. Lemma:
Mit den Bezeichnungen aus 2.7. sei Y ein GuT-Prozeß. Dann besitzt Y eine Version mit rechtsstetigen Pfaden,
welche linke Limiten besitzen. Insbesondere ist Y ein stark Markovscher-Prozeß.
Beweis:
i, i <   i  IN ist äquivalent zur Existenz einer Version von Y mit den gewünschten Pfadeigenschaften. Dies
impliziert die starke Markov Eigenschaft.
2.9. Anmerkung:
In der allgemeinen Fassung nach 2.7. ist ein GuT-Prozeß nicht notwendig irreduzibel oder regulär. Falls ein GuTProzeß Y in endlicher Zeit explodiert, kann seine Beschreibung nicht über die Q-Matrix allein gegeben werden.
In diesem Fall muß außerdem, um die Existenz der linken Pfadlimiten zu sichern, der Zustandsraum IN
kompaktifiziert werden zu IN := IN   (SP-7.26.). Wir nehmen dann an, daß  ein absorbierender Zustand ist
und erhalten so die zur Q-Matrix Q gehörige minimale (FELLERsche) Konstruktion einer Lösung der
Kolmogorovschen Gleichungen (siehe ASMUSSEN [86], S. 30, 31, CHUNG [67], § II. 17.).
2.10 Lemma:
Sei Y = (Yt: t  [0, )) regulärer GuT-Prozeß mit Zustandsraum IN. Dann ist Y irreduzibel auf IN irreduzibel
genau dann, wenn gilt:
i > 0, i = 0, 1, ... , und i > 0, i = 1, 2, ...
Eine entsprechende Aussage gilt für Zustandsräume E  IN, die zusammenhängend sind.
Beweis:
Aus der Regularität folgt, daß Y nicht explodiert, also  nicht als absorbierend auftritt. Damit ist Y genau dann
irreduzibel, wenn die eingebettete Sprungkette (Zn: n  IN) von Y es ist.
Die ÜW von Z sind gegeben als:
p(i, i+1) = i/ (i+i ), i  1,
p(0, 1) = 1
p(i, i-1) = i/(i + i ), i  1.
Die Behauptung folgt also aus der Eigenschaft von Y und Z, daß jeweils Sprunghöhen nur den Betrag 1 haben.
2.11. Festlegung:
Für GuT-Prozesse nehmen wir stets das Vorliegen einer Version mit rechtsstetigen Pfaden, welche linke Limiten
besitzen, an. Ebenso wird, wenn benötigt, die Erweiterung des Zustandsraumes auf IN vorausgesetzt, und  als
absorbierender Zustand angenommen.
Wenn nicht anderes gesagt ist, nehmen wir weiter an, daß die vorliegenden GuT-Prozesse irreduzibel sind und,
wenn nötig, auf einer Teilmenge von IN definiert sind. Wir verwenden stets die Bezeichnungen aus Definition
2.7.
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2.12. Satz:
Y = (Yt: t  [0, )) sei ein irreduzibler GuT-Prozeß mit endlichem Zustandsraum E = {0, 1, ..., K}.
Dann ist Y positiv rekurrent und es gilt für
 ( k ):  lim P(Yt  k ), k  E
t 
1
 k 1  i   K j 1  i 
 ( k ):   
 , k  E.
 
 i 0  i 1   j  0 i 0  i 1 
Beweis:
Irreduzibilität und Endlichkeit des Zustandsraumes implizieren, daß die Grenzwahrscheinlichkeiten () eindeutig
definiert sind. Damit ist das Gleichungssystem xQ
= 0 zu lösen und zu einem W-Maß zu normieren.
Aus 2.10. folgt, daß die angegebenen (k) definiert sind und nicht verschwinden. Die Aussage des Satzes folgt
durch Einsetzen in die Gleichung.
2.13. Lemma:
Sei Q = (q(i, j); i, j  IN) eine Q-Matrix mit q(i, j) wie in 2.7., i, j  IN, sowie i > 0, i  0, i > 0, i  1.
Dann besitzt das Gleichungssystem
xQ = 0 bis auf Multiplikation mit einem konstanten Faktor genau eine
Lösung, die gegeben ist durch
 j 1  
x j  c    i  , j  IN
 i 0  i 1 
Beweis durch Einsetzen.
2.14. Satz:
Sei Y = (Yt: t  [0, )) ein GuT-Prozeß mit Zustandsraum IN und i > 0, i = 0, 1, ... , i > 0, i = 1, 2, ....
Y ist genau dann regulär, wenn gilt:
 n1  i 
n 


i 0 
n0 
i 1 

1
 k 1  i 
 
k 0
i 1 
n
  i0 
.
Beweis:
Anwendung des Regularitätskriteriums von REUTER (SP - 7.85.):
Y regulär  QxT = xT hat als einzige nichtnegative beschränkte Lösung x = (0, 0, 0, ...).
In expliziter Schreibweise erhalten wir QxT = xT als
-0x0 + 0x1 = x0
ixi-1 - ixi - ixi + ixi+1 = xi , i  1.
Ist x0 vorgegeben, so sind auch alle xi, i  1, eindeutig bestimmt. Wir setzen: x0 = 1, erhalten x1 = 1 + 1/0 > 1,
und daraus durch Induktion, daß gilt:
0 < x0 < x1 < x2 < ... .
Ist nämlich für i  1: xi > xi-1 , so folgt:
xi+1 = xi (1 + 1/i) + (xi - xi-1) i/i > xi.
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Bringt man die Gleichungen (für i  1) auf die Form
xi+1 - xi = xi 1/i + (xi - xi-1) i/i , i  1,
so erhält man durch sukzessives Einsetzen:
xi 1  xi  xi
1
i
 xi 1
Setzen wir jetzt: i
=
i 1
 
1
 
 1
 
 
 xi  2 i i 1
... x1 i i 1 ... 2
 ( x1  x0 ) i i 1 ... 2 1
 i  i 1
 i  i 1  i  2
 i  i 1  2 1
 i  i 1  2 1
1
i

i 1
 
1
 
 1  i  i 1
 
 i i 1
... i i 1 ... 2

... 2 1 .
 i  i 1  i  i 1  i  2
 i  i 1
 2  1  i  i 1
 2 1
so folgt aus der Isotonie und Positivität der Folge (xi: i  IN) die Abschätzung:
(x1 - x0) i < xi+1 - xi < xi i , i  1.
Durch Summation erhält man aus der unteren Schranke:
i 1
x1 + (x1 - x0)

k
< xi , i  2,
k 1
während die obere Schranke, umgeschrieben zu:
xi+1 < xi(1+i), i  1, durch Einsetzen
i 1
xi    1   k  x1 , i  2, ergibt. Insgesamt also:
 k 1

 i 1 
 i 1

x1  ( x1  x 0 )   k   xi  x1   1   k  , i  2.
 k 1

 k 1 
Nun ist aber ein Konvergenzkriterium für unendliche Produkte gerade (MESCHKOWSKI [82], S. 133):

 1   k  mit i > 0, i  1, konvergiert genau dann, wenn, die Reihe
k 1


k
konvergiert.
k 1

Die Folge (xi: i  IN) ist also genau dann beschränkt, (und Y nicht regulär) wenn

k
konvergiert.
k 1
Das Regularitätskriterium kann noch etwas vereinfacht werden, denn

 1
  
i 1

i

i 1
 
 
 1  
  
1

 i i 1
... i i 1 ... 2    i i 1 ... 2 1 
 i  i 1  i  i 1  i  2
 i  i 1
 2  1   i  i 1
 2 1 
divergiert genau dann, wenn

1
 
i 1

i

i 1
 
 
  1
1

 i i 1
... i i 1 ... 2 1

 i  i 1  i  i 1  i 2
 i  i 1  2  1  0 
divergiert,
und dies ergibt gerade die Behauptung. 
2.14a. Anmerkung:
Die im Satz 2.14. angegebene Bedingung hat eine anschauliche Bedeutung analog zur Regularitätsbedingung für
Geburtsprozesse, welche lautete:
Ein Geburtsprozeß Y = (Yt: t  0) ist nicht explosiv (d.h. konvergiert P-fs. nicht in endlicher Zeit) genau dann,
wenn für die Geburtsraten n, n  IN, gilt:
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
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l
  n 1  lim   n 1  
l 
n0
l 1
und es ist

n 0
1
n
n0
die mittlere Zeit für den Übergang von 0 nach l, l  1.
Die Analogie ergibt sich jetzt dadurch, daß im allgemeinen GuT-Prozeß gilt:
 n 1  
E 0l     n  i 
i 0 
n0 
i 1 
l 1
1
 k 1  i 
 
.

k  0  i  0  i 1 
n
Zum Beweis:
Sei kl, 0  k, l < , k  l, eine ZV, die verteilt ist, wie die Übergangszeit von k nach l. Dann gilt E01
= o-1,
und über Ersteintrittsargumente erhalten wir für k  1:
E k ,k 1 
k
k  k

k
1

k  k k  k
 1

 E k 1,k  E k ,k 1 

 k   k

also:
E k ,k 1 
(*)
1
k
1  
k
 E k 1,k  , k 1.
Per Induktion erhalten wir die Behauptung.
k 1
Einfacher geht es wie folgt: Multiplikation von (*) mit
i

i 0
ergibt
i 1
 k 1  i 
 k 2    k 1  
   k 1 E k 1,k   i     i 
 i 0  i 1 
 i 0  i 1   i 0  i 1 
 k E k ,k 1  
und Summation ergibt dann die Behauptung. 
2.15. Festlegung:
Zusätzlich zu den in 2.11. getroffenen Festlegungen nehmen wir im folgenden an, daß die von uns untersuchten
GuT-Prozesse regulär sind. 
2.16. Satz:
Sei Y = (Yt: t  [0, )) ein irreduzibler regulärer GuT-Prozeß mit Zustandsraum IN.
Es sei
 k 1  
S1     i  ,
k  0  i  0  i 1 
 k  
S2     i 
k 1  i 1  i 


1
.
Dann ist Y
positiv rekurrent
 S1 <  ,
null-rekurrent
 S1 = 
transient
 S2 < .
und
S2 = ,
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Ist Y positiv rekurrent, so sind die Grenzwahrscheinlichkeiten
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 n  lim P(Yt  n) , n  IN,
t 
1
 n 1     j 1  i 
gegeben als  n    i    
 , n  IN.
 i  0  i 1   j  0 i 0  i 1 
 = ((n): n  IN) ist unter positiver Rekurrenz die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung.
Beweis:
a) Ein irreduzibler regulärer Prozeß ist genau dann positiv rekurrent, wenn die Gleichung
xQ = 0 eine W-
Lösung besitzt. Nach 2.13. ist dies äquivalent zu S1 <  (und man kann zeigen, daß S2 =  folgt, dies geht z.B.
über den Beweis, der unter (c) angedeutet wird). Die Grenzverteilung ist aber auch eindeutig bestimmtes
Wahrscheinlichkeitsmaß des irreduziblen Prozesses.
b) Aus a) folgt auch: S1 =   {Y transient oder Y null-rekurrent}
(c) Noch zu zeigen ist die Äquivalenz von S2 <  und Transienz von Y. Y ist aber genau dann transient, wenn die
eingebettete Sprungkette von Y es ist. Also können Argumente über zeitdiskrete Markov-Ketten eingesetzt
werden (ASMUSSEN [87], S. 56). 
2.17. Korollar:
Es sei Y ein GuT-Prozeß wie in 2.16. mit der Eigenschaft:
Es gibt K0  IN und  > 0, so daß
k
 1 
 k 1
 k  K0 ist.
Dann ist Y positiv rekurrent. 
2.18. Anmerkung:
a) Die ÜW von Y haben aufgrund der zeitlichen Homogenität die folgende Darstellung:
P(Yt h  mYt  k )  p(h; k , m) ,
und es gilt für h
t  0, h  0, m, k  IN,
 0:
p(h; i , i  1)   i h  o(h) , i  0,
p(h; i , i  1)   i h  o(h) , i  1,
p(h;0,0)  1   0 h  o(h) ,
p(h; i , i )  1  (  i   i )h  o(h) , i  1.
b) Die Bedingung in 2.17. besitzt in den meisten Beispielen eine anschauliche Bedeutung. In
Bedienungssystemen hat man z.B. die Interpretation:
Das Verhältnis von Bedienungsintensität und Ankunftsintensität (n+1:n) ist bei hinreichend hoher SchlL
mindestens um eine positive Konstante größer als 1. Dadurch kann der Bediener lang aufgelaufene Kundenzahlen
schließlich stets wieder abbauen.
c) Durch geeignete Wahl der k, k kann gezeigt werden, daß k/ k < 1, k  0, nicht hinreichend ist für positive
Rekurrenz von Y. Es gilt allerdings: k/ k  1  k > 1  Y rekurrent. Dann ist nämlich S2 = , und dies ist das
Kriterium aus Proposition 2.1 in ASMUSSEN [87, S. 56.]
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20
Jedoch ist k < k,  k  1, nicht hinreichend für positive Rekurrenz von Y.
Erstaunlich bleibt noch: k  k+1 ist nicht hinreichend für Rekurrenz. Ein Gegenbeispiel:
 k   k ,  k   k 1 ,   1, k  1,  0  1.
Dann gilt:
 k  
k  0, und somit S1 = , und S2 =    i 
k 1  i 1  i 
k
1
 k 1

Das letzte Beispiel kann verschärft werden:
k
und für k  1:
k  
i 1
i
 k
 i 1
Dann gilt:
 k i
S2   

k 1  i 1  i

1


k 1
1
k
 .
Setze 0 = 1,
für ein  > 1,
 k 1   k   .
k < k+1
 k  0, und

   k  i  0
1
   

 0  k   ,
 k 1  i 1 i 1   k
k 1 




1
sodaß Y transient ist.
d) Eine Interpretation der Bedingung k/ k  1, k  1 für Rekurrenz erhalten wir analog zur Irrfahrt:
In jedem Zustand ist die Drift nach links mindestens so groß wie nach rechts („Drift“ wird dabei durch
Übergangsintensitäten charakterisiert).
Die unter b) besprochene Interpretation dagegen vergleicht Ein- und Ausgangsintensitäten in festen Zuständen.
2.19. Korollar:
Die folgenden GuT-Prozesse treten als SchlL-Prozesse in speziellen M/M/s/N - FCFS -Systemen auf; das
asymptotische und stationäre Verhalten ist jeweils angegeben. Für spätere Anwendungen und Modelle sei
vermerkt, daß die Bedienungsdisziplin FCFS hier keine wesentliche Rolle spielt. Dies liegt daran, daß die
Verteilungen , welche das stochatische Verhalten bestimmen, gedächtnislos sind.
pos. rekurrent
null rekurrent
transient
 / < 1
 / = 1
 / > 1
M/ M/ 1/ 
i = , i = 0, 1, ...
i = , i = 1, 2, ...
k

   
 ( k )   1     , k = 0, 1, ...
 

_______________________________________________________________________________________________________________
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21
pos. rekurrent
null rekurrent
transient
 / < s
 / = s
 / > s
M/ M/ s/ 
i = , i = 0, 1, ...
i = min(i, s), i = 1, 2, ...
   k
 
  
 (k )  
k
  
  

1
 C 1 ,
k!
1  1
 
s!  s 
k  0,1,..., s
i
mit
k s
 C 1 ,
ks
s
 
 
 s 
s
  1   1
C   
 
   s! 

i 0    i !
1  
s 

M/ M/ 
i = , i = 0, 1, ...
i = i, i = 1, 2, ...
immer


immer




k
   1  /
 (k )   
e
, k = 0, 1, ...
  k!
M/ M/ 1/ N

i  
 0
i  0,1,..., N
i  N 1
i = , i = 1, 2, ...






1
k


   

  
N 2 
,
 ( k )    



1  


  





1
  N  2


M/ M/ s/ 0  i  

k = 0, 1, ..., N+1
i  0,1,..., s  1
0
sonst
i = i, i = 1, 2, ..., s
immer
1
k
i
   1  s    1
     , k  0,1,..., s
 (k )   
   k !  i  0    i !
Beweis:
Für das M/ M/ s/  System, welchem die wesentlichen Probleme in diesem Zusammenhang eigen sind, gilt:
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k
 k 1    s
          
S1    
  
   
 i  0  (i  1)   s   k 0  s  
k  0  i  0  (i  1) 
s 1
 k 1  
S2    

k 1  i  0  (i  1) 
s 1
1
 s
 
 

 i 0  (i  1) 
1
und
     k 
   .
 k  0  s  



Entscheidend für Rekurrenz und Transienz ist also das Verhalten der beiden geometrischen Reihen.
2.20. Anmerkung:
Die Modelle M/ M/ s/  und M/ M/ s/ 0 unter FCFS wurden schon von ERLANG [17] auf stationäres und
asymptotisches Verhalten hin untersucht, um Vorhersagen über die Auslastung bzw. Überlastung von
Telefonzentralen machen zu können. ERLANG gab im Fall des unbegrenzten Warteraums auch schon die
Relation s > / an, die als wesentliche Systemcharakteristik überhaupt eine Stabilisierung des Systems zuläßt.
Anders interpretiert, ist diese Relation eine Minimalbedingung an die Anzahl der zur Verfügung zu stellenden
Leitungen, damit das Vermittlungssystem den angebotenen Verkehr überhaupt abarbeiten kann.
Ein von der Kundenseite her bedeutsames Leistungsmaß für die Benutzerfreundlichkeit des Systems ist der Wert
1
1
i
s

   s 1 
 
    s    1    1   / s  
E 2 ,s      ( k )   
 
 1       

 ,
s    i  0    i !    s!  1   / s  
   k s
   s! 
 

der die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der ein hypothetischer Kunde warten müßte, der den Prozeß bei seiner
Ankunft im Gleichgewicht findet.
Ein entsprechendes Maß im M/ M/ s/ 0 Verlustsystem ist
1
    s 1   s    i 1 
 
     ,
E1,s     ( s)    
  i 0    i !

s
!
 





welches die Wahrscheinlichkeit angibt, daß ein hypothetischer Kunde abgewiesen wird, falls er das System bei
seiner Ankunft im Gleichgewicht vorfindet. (Beide Größen
E1,s() und E2,s() wurden von ERLANG [17]
angegeben.)
2.21. Anmerkung:
a) Der Wert / wird in den Bedienungssystemen vom Typ M/ M/ s/ N als „Verkehrsintensität“ bezeichnet und
ist wie folgt interpretierbar:
Der Ankunftsstrom ist ein Poisson--Prozeß. Die Ankunftsintensität  gibt gerade die erwartete Anzahl von
Ankünften pro Zeiteinheit an. Jede dieser Ankünfte bringt eine mittlere BedZeitforderung von -1 mit sich - als
„Arbeit“ für das System. Pro Zeiteinheit wird also am System eine mittlere Bedienungszeitforderung der Größe

1

präsentiert. (Bezeichnet als „Angebot“ in der Nachrichtentechnik bzw. (Nachrichten-)Verkehrstheorie.)
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Andererseits stellen die s Schalter in einer Zeiteinheit maximal s Zeiteinheiten BedKapazität bereit. Die
Bedingung /  s ist damit natürlicher Kandidat für Stabilitätsforderungen falls N = ist.
b) Interessant ist, daß für / = s, d.h. wenn im Mittel gleich viel BedZeit gefordert wird, wie geleistet werden
kann, keine stationäre Verteilung des M/ M/ s/  SchlL-Prozesses existiert. Zwar kehrt der SchlL-Prozeß mit
Wahrscheinlichkeit 1 in endlicher Zeit in den Zustand 0 zurück, aber die erwartete Rückkehrzeit nach 0 ist
unendlich groß. - Eine anschauliche Begründung liefern die starken Fluktuationen des Ankunftsprozesses, wie ein
Vergleich mit dem System D/ D/ 1/  unter / = 1 zeigt: Hier liegt positive Rekurrenz vor.
c) Falls / < s ist, wird die Größe /(s) als Auslastung (utilization factor) im M/ M/ s/  System bezeichnet.
Diese kann als durchschnittlicher Anteil der arbeitenden Schalter interpretiert werden. (Diese Interpretation kann
über die LITTLE’sche Formel formalisiert werden, siehe Kapitel 9 für Details.)
d) Eine andere Interpretation der Stabilitätsbedingung /(s) < 1 erhält man aus der Darstellung 1/(s) < 1/, die
besagt, daß im Bedarfsfall die mittlere Zeit bis zum nächsten Bedienungsende unter die mittlere Zeit bis zur
nächsten Ankunft gedrückt werden kann.
e) Obwohl unter /(s) < 1 das M/ M/ s/  BedSystem sich langfristig stabilisiert, und obwohl mehr
Arbeitsleistung zur Verfügung steht, als im Durchschnitt nachgefragt wird, ist mit einer derartigen
Planungsentscheidung noch keine vernünftige Systemdimension zu gewährleisten.
Für /(s)  1 zeigt die Erfahrung, daß die Fluktuationen im SchlL-Prozeß so groß sind, daß es praktisch nicht
möglich ist, z.B. eine Telefonzentrale mit einer Auslastung von 0,9 zu betreiben. Dies wäre aus Sicht der
Betreiber zwar anscheinend günstig - aus Kundensicht aber wegen der hohen Wahrscheinlichkeit, lange warten
zu müssen, unvertretbar. Das Ausbleiben der Kunden würde dann auch dem Betreiber Verluste bringen - wir
haben hier ein erstes Optimierungsproblem für Warteschlangenkonfigurationen vorliegen.
2.22. Definition
Gegeben sei ein BedSystem vom Typ M/ M/ 1/  wie in 2.1. Wir ändern die BedDisziplin, um eine variable
Klasse von speziellen Modellen zur Verfügung zu haben.
a) LCFS - non preemptive:
Ein neu ankommender Kunde wird an die Spitze der wartenden Kunden gestellt, so daß bei jedem BedEnde der
zuletzt angekommene Kunde als nächster bedient wird.
b) LCFS - preemptive-resume:
Findet ein ankommender Kunde den Schalter besetzt, so wird die laufende Bedienung zugunsten des
Neuankömmlings unterbrochen. Der aus der Bedienung verdrängte Kunde wird an die Spitze der wartenden
Kunden gestellt. Wird er wieder zur Bedienung zugelassen, so wird diese genau dort wieder aufgenommen, wo
sie unterbrochen wurde: Es wird nur noch die RestBedZeitforderung abgearbeitet. Mehrfache Unterbrechung ist
möglich.
c) LCFS - preemptive-restart:
Wie unter b) wird zugunsten eines Neuankömmlings eine laufende Bedienung unterbrochen und der verdrängte
Kunde an die Spitze der Warteschlange gesetzt. Bei erneuter Zulassung zur Bedienung wird diese noch einmal
von vorn begonnen. Der wesentliche Unterschied zu den bisher behandelten Bedienungsdisziplinen liegt hier in
der Erzeugung von Arbeit durch das System und die Systemadministration: Es wird nicht nur die jeweils
eingebrachte BedZeit abgearbeitet, sondern auch noch die durch Rücksetzung bei BedUnterbrechung entstehende
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Wiederholungsarbeit. LCFS - preemptive-restart ist damit ein Beispiel für eine nicht „arbeitserhaltende“
Bedienungsdisziplin.
d) SIRO (Service-in-random-order)
Beim Ablauf einer Bedienungszeit wird unter den wartenden Kunden nach einer Gleichverteilung in einer
unabhängig vom sonstigen Systemablauf stattfindenden Entscheidung der nächste zu bedienende Kunde
ausgewählt.
SIRO ist eine arbeitserhaltende BedDisziplin.
2.23. Anmerkung:
a) Entsprechend sind auch für M/ M/ s/  mögliche LCFS - Strategien zu definieren.
b) Bei den unterbrechenden BedDisziplinen nehmen wir als Idealisierung an, daß keine Umschaltzeiten zur
Reorganisation des Systems benötigt werden. Eine mögliche Einführung derartiger Umschaltzeiten würde z.B.
auch LCFS - preemptive-resume zu einer nicht arbeitserhaltenden BedDisziplin machen.
c) Entgegen erstem Anschein sind LCFS-BedDisziplinen durchaus von praktischem Interesse. Z.B. müssen in
Prozeßrechnern häufig die letzten erhaltenen Daten als erste abgearbeitet werden, um Störungsmeldungen mit
absoluter Priorität behandeln zu können.
Ein weiteres häufig auftretendes Beispiel ist jede durch einen „Stack“ organisierte Warteschlange. Ein Stack ist
besonders einfach zu verwalten, da man programmiertechnisch nur einen „Zeiger“ benötigt, der gleichzeitig das
Schlangenende anzeigt und den nächsten zu bedienenden Kunden.
d) Die BedDisziplin SIRO ist eher von Modellierungsinteresse, derart, daß Unkenntnis über die interne
Organisation einer Bedienungsstation durch SIRO repräsentiert werden kann. Unter theoretischen Aspekten stellt
sie einen Extremfall dar: den mit der größten Variabilität der Kanalzuordnung an die Kunden.
2.24. Korollar:
Der SchlL-Prozeß X = (Xt: t  0) im M/ M/ 1/  - LCFS -System unter preemptive-resume, non-preemptive und
preemptive-restart ist ein GuT-Prozeß mit Parametern i = , i = 0, 1, und i = , i = 1, 2, ... .
X ist irreduzibel und die Grenzverteilung existiert genau dann, wenn / < 1 ist.
Beweis:
Die Gedächtnislosigkeit der Bedienungszeitverteilung begründet die Markoveigenschaft von X unter allen drei

BedDisziplinen, da die Restbedienungszeit nicht notiert werden muß.
Es ist jetzt offensichtlich, daß weitere BedDisziplinen ad libitum erklärt werden können, ohne daß bei der
Beschreibung des SchlL-Prozesses der Rahmen der GuT-Prozesse verlassen werden muß.
Ebenso können die Ankunftsströme manipuliert werden nach dem Schema:
Je länger die Schlange, je kleiner die Wahrscheinlichkeit einer Ankunft.
Auch die BedIntensitäten können zustandsabhängig gewählt werden, z.B. nach dem Schema:
Je länger die Schlange, je größer die Wahrscheinlichkeit eines baldigen Bedienungsendes.
Obwohl die Voraussetzung exp-verteilter BedZ und ZwAZeiten häufig nicht gewährleistet ist, wird dennoch oft
als erste Approximation mit exponentiellen Modellen, wie wir sie in diesem Kapitel vorstellten, gearbeitet. Aus
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25
diesem Grunde und zum besseren Verständnis des Modellierungsvorgangs seien einige Beispiele angegeben.
Das erste Beispiel zeigt, wie durch geschickte Verwendung bekannter Techniken auch nicht-standard Modelle
noch einfach behandelt werden können.
2.25. Beispiel:
Die Verwaltung identischer Betriebsmittel (Geräte) eines Rechners, wie z.B. mehrere Drucker, Ein-/
Ausgabegeräte, untergeordnete Parallelrechner, geschieht häufig durch einen „Stack“ (Stapel) in der folgenden
Weise:
Jeder Drucker bekommt eine Gerätenummer 1, ..., s zugeordnet. Im Speicher des Rechners ist eine Sequenz von
Speicherplätzen (der Stack) der Länge s+1 für die Druckerverwaltung reserviert.
Beim Start des Systems sind alle Drucker unbenutzt, ihre Gerätenummern in den Speicherplätzen des Stack
notiert; wir nehmen an, in aufsteigender Reihenfolge. Der „oberste“ Platz des Stack ist durch einen Zeiger
markiert.
Wird das System zur Zeit t = 0 in Betrieb gesetzt, und ruft ein Programm einen Drucker auf, so wird aus dem
Speicherplatz, der durch den Zeiger markiert ist, die Gerätenummer (beim ersten Aufruf also „1“) zur Verfügung
gestellt, und der Zeiger auf den „nächstunteren“ Speicherplatz gerichtet. Bei einer weiteren Anfrage wird
entsprechend verfahren, etc. - und dies geschieht so lange, bis alle Drucker in Betrieb sind, der Zeiger auf eine
„unterste“ Marke (hier „*“) zeigt. Dann eintreffende Anforderungen werden in der Reihenfolge ihrer Ankunft in
eine Warteschlange eingereiht.
Ist andererseits ein Druckauftrag ausgeführt, gibt das entsprechende Programm den Drucker - unter Benennung
seiner Gerätenummer - wieder an das System zurück: die Gerätenummer wird in den Speicherplatz „genau über“
dem Zeiger geschrieben und der Zeiger auf diesen neu beschriebenen Speicherplatz gerichtet.
Wir nehmen an, daß die sukzessiven Anforderungen von Druckerkapazität in einem Poissonstrom der Intensität
> 0 eintreffen. (Bei hohem Multiprogrammierungsgrad im System ist dies eine begründete Annahme.)
Alle Benutzungsdauern seien exp()-verteilt. Die Folge von Benutzungsdauern und ZwAZeiten sei unabhängig.
Um die zufallsbeeinflusste zeitliche Entwicklung des Systems zu untersuchen, beschreiben wir eine Modellierung
mit Markovschen Prozessen.
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I) Um Fragen nach der Existenz von Gleichgewichtsverteilungen zu beantworten, reicht es hier aus, den SchlLProzeß X = (Xt: t  [0, )) zu untersuchen.
Ein Vergleich mit dem üblichen M/ M/ s/  - FCFS zeigt, daß X die gleiche stochastische Entwicklung zeigt, wie
der SchlL-Prozeß in diesem klassischen System. Dabei spielt es keine Rolle, wie die Kanalzuteilung
(Bedienerzuteilung) geschieht, und welche Kanäle dann jeweils am Arbeiten sind.
Damit ist aber auch für den hier unterstellten SchlL-Prozeß X die Ergodizitätsbedingung <s, und wir können
Angaben machen über z.B. Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten großer SchlL.
II) Ist man an detaillierten Angaben interessiert, wie z.B., mit welcher Wahrscheinlichkeit die Drucker d1, ..., dk
gerade in Betrieb sind, und (eventuell) n Kunden warten, so müssen wir den Zustandsraum erweitern, um
genügend Informationen mitzuführen. Diese sollen es uns erlauben, aus der Zustandsangabe die stochastische
Entwicklung des Systems in der Zukunft zu bestimmen - in Bezug auf diesen Zustandsraum (Markovisierung).
Es ist z.B. nicht ausreichend, im Detail mitzuführen, welche Drucker gerade ausgegeben sind. In diesem Fall
hätte man keine Angabe darüber, welcher Drucker als nächstes ausgegeben wird.
Für unsere Zwecke ausreichend ist es, den Stackinhalt und die Anzahl der wartenden Druckaufträge zu notieren.
Dies führt zur Konstruktion eines Markov Prozesses
Y = (V, W) = (Yt: t  [0, )) = ((Vt, Wt): t  [0, ))
mit Zustandsraum
E = {((v1, ..., vr), n): vi  {1, ..., s}, vi  vj für i  j; n  0, r > 0  n = 0}
Dabei ist die Folge (v1, ..., vr) ohne Wiederholung aus {1, ..., s} der Stackinhalt, v1 der unterste, vr der oberste
Eintrag, und für r  1 ist der Zeiger auf vr gerichtet.
Die Angabe n in der W-Komponente von Y gibt die Anzahl der tatsächlich wartenden Druckaufträge an, d.h. mit
der Bezeichnung aus I) gilt:
Wt  ( X t  s)  , t  0.
Anders ausgedrückt: Die Gesamtzahl der Aufträge im System ist n + (s - r).
Y ist irreduzibel und damit ergodisch für <s: Die Rückkehrzeitverteilung zum Zustand (e, 0) ist nämlich
gerade die Rückkehrzeitverteilung zum Zustand s im klassischen M/ M/ s/  - FCFS -System.
Wir wollen die stationäre Verteilung von Y (unter der Bedingung <s) berechnen. Das entsprechende lineare
Gleichungssystem xQ
= 0 hat die Form:
x((v1, ..., vs), 0) = x((v1, ..., vs-1), 0)
x((v1, ..., vr), 0)( + (s - r))=
 x((v ,..., v , v),0)  x((v ,..., v
1
v{1,..., s}{v1 ,..., vr }
x(e, 0)( + s) = x(e, 1) s +
r
1
r 1
),0)
1  r  s  1,
 x((v ),0)
v {1,..., s}
x(e, n)( + s) = x(e, n+1) s + x(e, n-1) ,
n  1.
Einen Ansatz zur Lösung dieses Systems erhält man durch folgende Überlegung, die unter I) begründet wurde:
Bezeichnen wir mit  die eindeutig bestimmte W-Lösung des Systems, so muß gelten
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n s
i)
 
 (e, n)  P( X t  n  s)  C   
 
ii)
 
Für r  s:   (( v1 ,..., v r ),0)   
 
( v1 ,...,vr )
1
27
n
1  1
  , n  0,
s!  s 
sr
1
C 1  P( X t  s  r ),
( s  r )!
wobei die Summation über alle geordneten Folgen ohne Wiederholung aus {1, ..., s} der Länge r zu machen ist.
iii) Die BedDisziplin ist langfristig gerecht in folgendem Sinne:
Sind zum ersten Mal alle Drucker belegt, so hat jedes der Geräte die gleiche Wahrscheinlichkeit, als erstes
wieder frei zu werden, jedes der Geräte hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, als zweites wieder frei zu werden,
etc. . Der Grund ist die Gedächtnislosigkeit der BedZeit-VF.
Die Entwicklung des Systems geschieht also danach ohne Präferenzen für gewisse Drucker - anders als beim
Start des Systems.
iv) Wir sollten also erwarten, daß gilt:
 
lim P(Yt  ((v1 ,..., vr ),0)   
t 
 
sr
1
 s 
1
C 1     r ! , 1  r  s.
( s  r )!
 r  
Insgesamt erhält man für beliebige ((v1, ..., vr), n)  E:
 
 ((v1 ,..., vr ), n)   
 
sr n

1
1
 Co ,
n
s
mit C0
= Cs!,
wobei C die Normierungskonstante im M/ M/ s/  - FCFS ist. Durch Einsetzen überprüft man das Ergebnis. 
Trotz seiner Simplizität ist das nächste Beispiel ein viel verwendetes Modell. Seine hauptsächliche Propagierung
erfolgte im Zusammenhang mit zentralisierten Rechensystemen. Geeignete Uminterpretation führt zu
Anwendungen in Kommunikationsnetzen und flexiblen Manufaktursystemen.
2.26. Beispiel:
„Central-Server-System“
Das System besteht aus einer zentralen Recheneinheit, zu der K Benutzer über ihre (persönlichen) Terminals
Zugriff haben.
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Die Benutzer durchlaufen eine Folge von abwechselnden Denkzeiten (dann werden sie als an den Terminals
anwesend notiert) und Rechenzeiten (dann werden sie als anwesend an der CPU notiert). Um den Modellaufwand
gering zu halten, nehmen wir an, daß alle Benutzer exp()-verteilte Denkzeiten und exp() -verteilte
Rechenzeiten haben. Die BedDisziplin an der CPU sei FCFS mit einem Warteraum der Länge K-1.
Die Benutzer werden alle als identisch angesehen, und wir suchen globale Leistungskriterien für die CPU.
Deshalb benötigen wir keine detaillierten Aufzeichnungen der einzelnen Benutzerzyklen und können sogar
annehmen, daß ein Benutzer nach Beendigung einer Rechenzeit zu irgendeinem der freien Terminals verzweigt.
Ebenso ist es für das Verhalten der CPU bedeutungslos, welcher der Benutzer als nächstes Rechenzeit fordert.
Nimmt man an, daß die Rechen- und Denkzeiten eine unabhängige Familie bilden, so ist der SchlL-Prozeß an der
CPU als Markovsch anzunehmen.
Wir bezeichnen diesen SchlL-Prozeß mit X = (Xt: t  [0, )) und bestimmen ÜW und Q-Matrix.
Für 1  k  K-1 und h  0 berechnen wir als Beispiel
p(h; k , k  1)  P( X t  h  k  1 X t  k )  e  h  (1  e  ( K  k ) h )  o(h)   ( K  k )h  o(h).
Kein Bed.
Ende
Eine Denkzeit
endet
Mind. 2
Ereignisse
Die anderen ÜW erhält man analog, ablesbar aus der Q-Matrix, die dann gegeben ist als
Q = (q(i, j): i, j  {0, 1, ..., K}) mit
i\ j
0
0
 K
1

2
0
3
0
.
.
.
K2
0
0
0
0
K 1
0
0
0
0
K
0
0
0
0
1
2
3
4
K2
K 1
K
0
0
0
0
0
0
0
0
0
K
0
0
0 ...
 (    ( K  1))
 ( K  1)
0
0 ...

 (    ( K  2))
 ( K  2)
0 ...
0

 (    ( K  3)) . .
.
.
.
.
.
.  (   2 )
2
0
.

(    ) 
0


X ist also ein GuT-Prozeß mit endlichem Zustandsraum und konstanter Sterberate. Die Gleichgewichtsverteilung
ist damit gegeben als:
 
 (k )   
 
k
1
 K    j

 K ( K  1)( K  2)...( K  k  1)      K ( K  1)( K  2)...( K  j  1) ,
 j  0   

k  {0, 1, ..., K}
wobei
 ai  1 ist.

Bezeichnet man die Auslastung der CPU, d.h. den Anteil der Zeit, in dem die CPU arbeitet, mit CPU, so gilt:
1
CPU
j
 K    j
1   K   
1 
= 1 - (0) =   
    
 .
 j 1    ( K  j )!  j  0    ( K  j )! 
Aus dem Ergodensatz folgt nämlich
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1
1
dt  (1   (0)).
T [ 0,T ) ( X t 0)
Ebenfalls ein typisches Grundmodell für die später zu behandelnden stochastischen Netzwerke wie das „CentralServer-System“ ist das nächste System, das auch als „2-stufiges geschlossenes Tandemsystem“ bezeichnet wird.
Auch hier ist noch eine Modellierung über endliche GuT-Prozesse möglich.
2.27. Beispiel: Multiprogrammiertes Rechensystem mit virtuellem Speicher und Paging
Das System besteht aus einer zentralen Recheneinheit (CPU) mit Hauptspeicher und einem Ein-Ausgabe-Block
(I/ O) mit Zugriff auf den Hintergrundspeicher.
Der Hauptspeicher der CPU ist in Bereiche gleicher Größe aufgeteilt, die den Programmen zur Verfügung
gestellt werden.
Die Programme werden so zerlegt, daß jeder der Programmteile, genannt „Seiten“ (pages), in genau einen der
Hauptspeicherbereiche eingeschrieben werden kann. Jedem Programm wird eine feste Anzahl von
Hauptspeicherbereichen durch das Betriebssystem zugewiesen, in der Regel weniger, als zur Speicherung des
Programms benötigt werden.
In die zugewiesenen Speicherblöcke werden für das Programm durch die I/ O - Einheit Programmseiten
eingeschrieben, derart, daß das Programm bei seinem ersten Aufruf gestartet werden kann. Die nicht in den
Hauptspeicher geschriebenen Seiten existieren nur als Kopien im Hintergrundspeicher, wo sich auch Kopien der
im Hauptspeicher residenten Seiten befinden.
Die zur Bearbeitung an der CPU bereiten Programme werden in einer nach FCFS organisierten Schlange (Liste)
verwaltet.
Ist ein Programm P1 in der CPU in Arbeit und wird zur weiteren Bearbeitung eine Seite benötigt, die nicht im
Hauptspeicher zu finden ist („page fault“), so wird P 1 aus der Bearbeitung durch die CPU genommen, in eine
nach FCFS organisierte Schlange an der I/ O - Einheit eingereiht und wartet dort, bis die fehlende Seite durch die
I/ O in einen der zugewiesenen Speicherblöcke (über eine dort befindliche andere Seite) geschrieben wird.
Danach wird P1 wieder in die Warteschlange an der CPU eingereiht.
Derweilen hat die CPU schon andere Programme P2, P3, ... bearbeitet, jeweils solange bis im Programm eine
Referenz auftrat auf eine Seite, die sich nicht im Hauptspeicher befand, ... .
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Ist P1 endgültig fertig bearbeitet, so wird es aus dem System entlassen, und ein neues Programm P1* wird sofort
nachgeladen, d.h. zum Einschreiben seiner ersten Seiten in den Hauptspeicher in die Schlange an der I/ O
eingereiht. Wir nehmen an, daß immer genügend weitere Programme auf Bearbeitung warten.
Die Anzahl K der im Rechensystem anwesenden Programme ist dann konstant. (K  2 heißt „Grad der
Multiprogrammierung“.)
Insgesamt besteht die Bearbeitung eines Programms also aus einer Folge von abwechselnden CPU- und I/ OAktivitäten unterschiedlicher Länge, und nach jedem Abgang findet ein Nachladen statt.
Aus Sicht der CPU ändert sich also nichts durch ein Nachladen eines neuen Programms, und zur Beschreibung
von CPU-Charakteristiken kann man sich K feste Programme im System denken, die eine unbegrenzte Zahl von
CPU- und I/ O- Aktivitäten fordern.
Zur Konstruktion eines einfachen Modells nehmen wir an, daß die Variabilität bei den Zeitdauern bis zum „pagefault“ in der Bearbeitung eines Programms und die unterschiedlichen Suchzeiten nach gewünschten neuen Seiten
in der I/ O durch zufällige Zeiten modelliert werden.
Unter Annahme exp-verteilter Zeiten und geeigneten Unabhängigkeitsforderungen ist der SchlL-Prozeß an der
CPU Markovsch zu beschreiben. Genauer:
Wir nehmen an, daß die zeitlichen Längen der CPU- bzw. I/ O- Aktivitäten exp()- bzw. exp()-verteilt sind für
die K fest im System residenten Programme. Die Familie aller dieser Zeiten sei unabhängig.
Bestimmen wir als Zustände des Systems die Anzahl von Aufträgen an der CPU, ergibt sich als geeigneter
Zustandsraum
E = {0, 1, ..., K},
auf dem der Markovsche SchlL-Prozeß X = (Xt: t  [0, )) an der CPU definiert ist. Die X bestimmende QMatrix
Q = (q(i, j): i, j  E) ist gegeben als:
q (i , j )
0
0

1

2
0
1
2
K2
3

0
0 ...
(   )

0 0 ...

 (    )  0 ...
.
.
.
.
K 1
0
0
K
0
0
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
K 1
K
...
...
.
.
.
0
0
.
.
.
0
.
  (   2 )

0

(   ) 
0
0


X ist also regulär, irreduzibel und ein GuT-Prozeß, dessen Gleichgewichtsverteilung  = ((i): i  E) aus xQ
=
0 berechnet wird zu
   k 1  (  /  )

 ( k )     1  ( /  ) K 1
 ( K  1) 1


, k = 0,
1, ..., K.

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X ist gerade der SchlL-Prozeß eines M/ M/ 1/ K-1 - FCFS Systems mit Poisson--Eingangsstrom und exp()verteilter BedZeit. Der inhaltliche Grund dafür ist die Gedächtnislosigkeit der ZwAZ im M/ M/ 1/ K-1 - System,
bzw. der I/ O - Bearbeitungszeit im obigen Rechensystem.
Bezeichnet man als Auslastung der CPU (bzw. der I/ O) die Wahrscheinlichkeit
(bzw. die Wahrscheinlichkeit
CPU, daß die CPU arbeitet,
I/O, daß die I/ O arbeitet,) [jeweils unter Gleichgewichtsbedingungen !], so erhält
man aus der Gleichgewichtsanalyse für den SchlL-Prozeß an der CPU erste Leistungsdaten für das System.
Man erhält:
 CPU
 I /O
  1  ( /  ) K
  
K 1
 1   (0)   1  ( /  )
 K
 K  1
 1  ( /  ) K

K 1
 1   ( K )   1  ( /  )
 K
 K  1




Für einen hohen Multiprogrammierungsgrad, d.h. für K   gilt:


 1  [  CPU 



 1  [  CPU  1


 1  [  CPU  1

und
 I / O  1]


und
 I /O  ]
und
 I / O  1]
Da die Rechenintensität  der CPU meist vorgegeben ist, kann man hieraus schon ablesen, daß zur Ausnutzung
der (teuren) Rechenkapazität die Arbeitsintensität der I/ O mindestens so groß sein sollte, wie die der CPU.
Praktisch hat sich das in den letzten Jahren dahingehend ausgewirkt, daß um die zentralen Recheneinheiten
herum ein immer größer werdender „I/ O - Park“ entstand: Die mechanische Bewegung von Teilen der I/ O Einheiten, wie z.B. Schreib-/ Lesekopf, ließ eine Leistungssteigerung vergleichbar derjenigen in den
Recheneinheiten nicht zu.
Die Leistungsbeurteilung und -vorhersage derartiger I/ O - Parks ist ein ausgesprochen schwieriges Problem. Ihre
Modellierung geschieht in der Regel über Netzwerke von Warteschlangen und anschließende Aggregation zu
einfacheren Bedienungssystemen.
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Zeitumkehrung Markovscher Prozesse
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3. Zeitumkehrung Markovscher Prozesse
3.1. Beispiel:
Tandem-System
Wir untersuchen ein 2-stufiges Bediensystem, dessen erste Stufe
 aus einem M/ M/ 1/  - FCFS System
besteht, von dem wir annehmen, daß sein SchlL-Prozeß X1 = (X1(t): t  [0, )) im Gleichgewicht ist. Die aus 
abgehenden Kunden gehen direkt und ohne Zeitverlust zum Knoten 2, den wir als / M/ 1/  - FCFS System
beschreiben, wobei wir mit dem Punkt andeuten, daß wir (noch) keine Kenntnisse über den Abgangsstrom haben,
der aus  kommend dort eintrifft..
Bezeichnen wir den SchlL-Prozeß am Knoten 2 mit X2 = (X2(t): t  [0, )), so ist durch den Vektorprozeß
X = (X1, X2) = (X1(t), X2(t): t  [0, ))
eine Markovsche Systembeschreibung gegeben.
Statt diesen Prozeß direkt über die zugehörige Q-Matrix auf die Form der stationären Verteilung zu untersuchen,
gehen wir den Weg über die Untersuchung des Abgangsprozesses aus .
Es stellt sich heraus, daß ein eleganter Zugang zur Untersuchung des Abgangsprozesses über die Zeitumkehrung
Markovscher Prozesse führt. Die dabei gefundene Klasse reversibler Markov Prozesse ist ein Prototyp für
Prozesse, die mit vernünftigem Aufwand analytisch untersucht werden können, derart, daß die Ergebnisse auch
praktisch leicht verwertbar sind.
Das dabei auftretende Konzept der lokalen Balance in stochastischen Prozessen ist beispielhaft für analoge, leicht
abgeschwächte Konzepte in komplexen Prozessen, die man noch analytisch auch für die Praxis verwertbar in den
Griff bekommt.
3.2. Festlegung:
Wir nehmen an, daß die im folgenden untersuchten Prozesse regulär sind, und daß die vorliegenden Versionen,
sofern nicht anderes gesagt ist, rechtsstetige Pfade mit linken Limiten haben.
3.3. Definition:
Sei X = (Xt: t  T) ein stochastischer Prozeß mit Parameterraum (Zeit) T = IR oder T = [0, ).
X heißt stationär, falls für alle n  1 und s, t1, ..., tn  T mit
P
( X t1 ,..., X tn )
P
t i  s  T , i  1,..., n , gilt:
( X t1 s ,..., X tn s ) .
3.4. Korollar:
Zu jedem stationären Prozeß X = (Xt: t  [0, )) mit polnischem Zustandsraum gibt es einen stationären Prozeß
~
~
X  ( X t : t  IR ) , derart, daß die Verteilungen von ( X t : t  0)
und
~
( X t : t  0) dieselben sind.
Beweis: Für m  0, n  0, m + n  1 und verschiedene t’1, ..., t’m  (-, 0), t1, ..., tn  [0, )
mit t’1 = min{ t’1, ..., t’m} setzen wir:
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P
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~
~
~
~
( X t 1 ,..., X t m , X t 1 ,..., X tn )
: P
( X 0 , X t  2  t 1 ,..., X t m t 1 , X t 1 t 1 ,..., X tn  t 1 ),
und haben damit eine konsistente Familie von W-Maßen definiert, die auf der Indexmenge [0, ) mit den endlich
dimensionalen Randverteilungen von X übereinstimmen. Der Fortsetzungssatz von KOLMOGOROV garantiert
~
die Existenz von X und die behauptete Verteilungsidentität, da die hier untersuchten Prozesse mit diskretem
Zustandsraum den Voraussetzungen des KOLMOGOROVschen Satzes genügen.
3.5. Definition:
Ein stochastischer Prozeß X = (Xt: t  IR) heißt (zeitlich) reversibel, falls für n  1, s, t1, ..., tn  IR gilt:
P
( X t 1 ,..., X tn )
P
( X st 1 ,..., X stn )
.
3.6. Korollar:
Ein reversibler stochastischer Prozeß ist stationär.
Beweis:
Falls X = (Xt: t  IR) reversibel ist, gilt nach Definition für t1, ..., tn, s  IR:
(Xt1+s, ..., Xtn+s)  (Xs-(t1+s), ..., Xs-(tn+s))
und
(X-t1, ..., X-tn)  (Xt1, ..., Xtn).
3.7. Definition:
Zu einem stochastischen Prozeß X = (Xt: t  IR) definieren wir für s  IR den stochastischen Prozeß
s
X ( s X (t ): t IR)
Den Prozeß
durch
s
X (t ):  X (s  t ) , t  IR , als eine zeitliche Umkehrung des Prozesses.
X  0 X  ( X ( t ): t  IR)
bezeichnen wir kurz als „den“ zeitumgekehrten Prozeß zu X.
3.8. Anmerkung:
a) Ist X reversibel, so gilt für die zugehörigen zeitumgekehrten Prozesse mit n  1, t1, ..., tn, s  IR:
( s X (t1 ),..., s X (t n ))  ( X ( s  t1 ),..., X ( s  t n )) ~ ( X (t1 ),..., X (t n )) ~ ( X (t1 ),..., X (t n ))
X und X unterscheiden sich also in ihrem stochastischen Verhalten nicht. „Speaking intuitively, if we take a film
of such a process and then run the film backwards the resulting process will be statistically indistinguishable from
the original process.“ (KELLY [79], S. 5)
b) Auch wenn sich das stochastische Verhalten des Prozesses bei Zeitumkehr nicht ändert, können dennoch
qualitative Veränderungen auftreten: z.B. erhält man die Zeitumkehrung eines rechtsstetigen (nicht stetigen)
Prozesses als linksstetigen (nicht stetigen) Prozeß.
Durch Übergang zu einer rechtsstetigen Version von X bei einem Markovschen Sprungprozeß X verändert man
aber das stochastische Verhalten von
X
nicht. Häufig wird im Zusammenhang mit Markovschen
Sprungprozessen in rechtsstetiger Version die Zeitumkehrung gleich als
X t  lim X s  X ( (t  )),
s t
t  IR
definiert.
3.9. Satz:
Sei X = (Xt: t  IR) ein (homogener) Markov Prozeß mit diskretem Zustandsraum E und Q-Matrix Q.
X sei irreduzibel, regulär und besitze rechtsstetige Pfade mit linken Limiten (cadlag). Dann gilt:
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a) Die Prozesse
r
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X  ( X (r  t ) : t  IR), sind für alle r  R Markovsch, aber nicht notwendig homogen.
b) Ist X außerdem stationär, so ist auch jeder Prozeß
Die Q-Matrix von
r
r
r  IR , homogener Markov Prozeß und stationär.
X,
X ist gegeben durch
Q  (q (i , j ): i , j  E )
mit
q ( j, k ) 
(1)
 ( k )q ( k , j )
,
 ( j)
wobei  = ((i): i  E) die stationäre Verteilung von X und auch von
r
X,
j, k  E ,
r  IR , ist.
c) Ein stationärer homogener Markov Prozeß X ist reversibel genau dann, wenn es ein W-Maß (p(k): k  E) gibt,
welches die Bedingung
p(k)q(k, j) = p(j)q(j,k),
(2)
j, k  E,
erfüllt.
P ist dann gleich der stationären Verteilung  von X und X .
Beweis:
a) Daß die Zeitumkehrungen Markovscher Prozesse wieder Markovsch sind, folgt aus der Formulierung der
Für alle t0  IR sind (Xt: t  t0) und (Xt: t t0) bedingt unabhängig, gegeben Xt0.
Markoveigenschaft als:
Es gilt weiterhin für h > 0 und t  IR:
p (t , t  h; i , j ):  P ( X t  h  j X t  i ) 

P ( X t  h  j , X t  i ) P ( X ( (t  h))  j , X ( t )  i )


P( X t  i )
P ( X ( t )  i )
P( X th  j )  P( X t  i X th  j )
P( X t  i )
 p(h; j , i )
P( th  j )
,
P( X t  i )
i, j  E.
Ist also X nicht stationär, so hängen die ÜW von X explizit von t ab.
b) Ist X dagegen stationär so gilt:
p (t , t  h; i , j )  p (h; i , j )  p(h; j , i )
P( X t  j )
, und mit
P( X t  i )
(k) = P(Xt = k), t  IR, k  E, folgt durch rechtsseitige Differentiation in 0 von p (; i , j )
Darstellung von
die angegebene
q (i , j ) .
c) i) Ein W-Maß p auf E, das (2) erfüllt, ist stationäre Verteilung von X , denn man erhält für festes k  E durch
Summation über j  k:
p(k )
 q (k , j )   p( j )q ( j , k ),
j E , j  k
k  E.
j E , j  k
Da Q konservativ ist, ist dies pQ = 0. Aus der Irreduzibilität folgt, daß X höchstens eine stationäre Verteilung
hat. Da X regulär ist, muß p aber stationäres W-Maß von X sein. Da die eindimensionalen Randverteilungen
eines stationären Prozesses unter Zeitumkehrung invariant sind, ist p auch stationäre Verteilung von X .
ii) X sei reversibel,  die nach 3.6. und Irreduzibilitätsannahme eindeutig existierende stationäre Verteilung von
X. Es gilt für Zustände k  j, t  IR, h > 0:
P ( X t  j , X t  h  k )  P ( X ( 2 t  h ) t  j , X ( 2 t  h ) t  h  k )  P ( X t  h  j , X t  k ).
Also folgt:
 ( j )[ P ( X t  h  k X t  j )  0]  1 / h   (k )[ P ( X t  h  j X t  k )  0]  1 / h ,
jk
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und für h  0 folgt (2). - Entsprechend argumentiert man für k = j  E.
iii) Sei X ein stationärer Markov Prozeß mit stationärem W-Maß , welches (2) erfüllt. Dann gilt nach b) für die
Q-Matrix von X :
q ( j, k ) 
X
 ( k )q ( k , j )  ( j )q ( j , k )

 q ( j , k ),
 ( j)
 ( j)
j, k  E ,
erfüllt also insbesondere sämtliche Regularitätsanforderungen, die auch X erfüllt. Unter diesen
Anforderungen ist aber ein Prozeß durch seine Q-Matrix eindeutig bestimmt bis auf die Wahl geeigneter
Versionen und die Anfangsverteilung. (Die Kolmogorovschen Vorwärts- und Rückwärtsgleichungen besitzen
dann nämlich genau eine Lösung, die auch schon eine stochastische Ü-Matrixfunktion ist, siehe CHUNG [67], §
II, 18.)
3.10. Anmerkung:
Schreibt man für eine Q-Matrix das System xQ = 0 explizit als
(1)
x ( j )( q ( j , j ))   x (k )q (k , j ),
j E ,
oder als
k j
(1’)
 x( j )q ( j , k )   x(k )q (k , j ),
k j
(Q ist konservativ !)
k j
so bezeichnet man dieses Gleichungssystem als „globale Balancegleichungen“ und unterscheidet davon die in
3.9. c) eingeführten „lokalen Balancegleichungen“
(2)
j, k  E.
x(j)q(j, k) = x(k)q(k, j),
Man sagt auch, daß ein stationärer Prozeß sich im „globalen Gleichgewicht“ befindet und meint damit, daß mit
(x(j): j  E) als stationäre Verteilung (1) bzw. (1’) erfüllt ist. Der Prozeß befindet sich sogar im „lokalen
Gleichgewicht“, wenn zusätzlich (2) erfüllt ist.
Statt von „lokalem Gleichgewicht“ spricht man auch vom „detaillierten Gleichgewicht“, die Terminologie ist
nicht eindeutig. Insbesondere werden manchmal auch nicht-reversible Prozesse als „lokal balanciert“ bezeichnet,
wenn sie Gleichungen ähnlich denen in (2) genügen.
Eine bessere Bezeichnung für derartige Fälle ist vermutlich „partielle Balance“, wie sie z.B. von WHITTLE [86],
[85] oder SCHASSBERGER [86] eingeführt und untersucht werden. Danach bedeutet die Gleichung
(3)
 x( j )q ( j , k )   x(k )q(k , j ),
j A
k  A,
A  E,
j A
daß „partielle Balance in A“ herrscht (WHITTLE [85]). Für A = E erhält man (1), für A = {kj} erhält man (2).
Eine Interpretation der Gleichungen (1), (2), (3) gelingt wie folgt:
Befindet sich der Prozeß X im Gleichgewicht , so ist
(k)p(h; k, j) = (k)(q(k, j)h + o(h)),
(h  0),
die Wahrscheinlichkeit, daß der Prozeß im Zeitintervall [t, t + h] von k nach j springt. Die Größe
(k)q(k, j)
wird als Wahrscheinlichkeitsfluß von k nach j bezeichnet, so daß die Gleichungen (1), (2), (3) Aussagen über den
Ausgleich von W-Flüssen darstellen; diese lauten dann:
(1) „der W-Fluß aus j heraus (LS von (1))“ ist gleich „dem W-Fluß nach j hinein (RS von (1))“;
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(2) „der W-Fluß von j nach k (LS von (2))“ ist gleich „dem W-Fluß von k nach j (RS von (2))“;
(3) „der W-Fluß von A nach {k} (LS von (3))“ ist gleich „dem W-Fluß von {k} nach A (RS von (3))“.
Die Argumentation mit W-Flüssen hilft in der Regel Gleichgewichtsgleichungen aus der Intuition
niederzuschreiben, ohne erst „xQ = 0“ formal hinzuschreiben.
Wie mit
einer generischen Argumentation über modellspezifische partielle Balance-Eigenschaften
Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten
bestimmt
werden
können,
wird
am
Beispiel
verallgemeinerter
Migrationsprozesse mit zustandsabhängigen Wanderungsbewegungen von BOUCHERIE/ VAN DIJK [91]
gezeigt. Ähnliche Modelle und ähnliche Verfahren finden sich bei CHAO/ MIYAZAWA/ PINEDO [99].
Einen weiteren Spezialfall liefert der folgende Satz, der ohne Reversibilitätsforderungen gilt:
3.11. Satz:
X sei ein stationärer Markov Prozeß mit Q-Matrix Q und stationärer Verteilung  auf dem Zustandsraum E. Ein
Schnitt des Zustandsraumes definiert eine Zerlegung von E in disjunkte Teilmengen A und E - A.
Der W-Fluß über jeden Schnitt befindet sich im Gleichgewicht, d.h.:

 ( j )q ( j , k ) 
j A k E  A
   ( j )q( j , k ).

j E  A k A
Dieser Satz kann manchmal benutzt werden, um Reversibilität nachzuweisen, ohne die Gleichgewichtsverteilung
 zu kennen. Ein allgemeines Reversibilitätskriterium stammt von KOLMOGOROV:
3.12. Satz:
Sei X ein Markov Prozeß wie in 3.9. . Dann ist X reversibel genau dann, wenn für alle n  2, j1, j2, ..., jn  E gilt:
(1)
q(j1, j2)q(j2, j3)...q(jn-1, jn)q(jn, j1) = q(j1, jn)q(jn, jn-1)...q(j3, j2)q(j2, j1).
(2)
X ist stationär.
Beweis:
i) Sei X reversibel mit stationärer Verteilung , und sei j1, j2, ..., jn  E. Aus der Irreduzibilität folgt (j1) > 0,
und wir erhalten durch sukzessive Anwendung von 3.9. c)
(j1) q(j1, j2) q(j2, j3) ... q(jn-1, jn) q(jn, j1) = (j2) q(j2, j1) q(j2, j3) ... q(jn-1, jn) q(jn, j1) = ... =
q(j2, j1) q(j3, j2) ... (jn) q(jn, jn-1) q(jn, j1) = q(j2, j1) q(j3, j2) ... q(jn, jn-1) (j1) q(j1, jn).
ii) Sei für beliebige Pfade die Bedingung (1) erfüllt.
Wir wählen einen beliebigen, aber festen Referenzzustand j0  E. Da X irreduzibel ist, gibt es zu jedem Zustand
j  E eine endliche Folge j1, j2, ..., jn  E, so daß gilt:
q(j, jn) > 0 und q(jl+1, jl) > 0, l = 0, 1, ..., n-1.
Wir definieren:
(3)
~ ( j )
~ ( j ): 
q ( j 0 , j1 )q ( j1 , j 2 )... q ( j n1 , j n )q ( j n , j )
.
q ( j , j n )q ( j n , j n1 )... q ( j 2 , j1 )q ( j1 , j 0 )
ist von der Wahl des Weges jn, ..., j1 unabhängig: Ist nämlich i1, ..., im  E eine weitere Folge mit (i0 = j0)
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q(j, im) > 0 und q(il+1, il) > 0, l = 0, 1, ..., m-1,
so ist j0, j1, ..., jn, j, im, ..., i1, j0 ein Zyklus, für den nach (1) gilt
[q(j0, j1) ... q(jn, j)] [q(j, im) ... q(i1, j0)] = [q(j0, i1) ... q(im, j)] [q(j, jn) ... q(j1, j0)] .
~ ( j ) , j  E) die lokalen Balancegleichungen 3.10. (2) erfüllt:
Wir zeigen, daß ( 
(4)
~ ( j )q ( j , k )  ~ (k )q (k , j ),
j , k E.
Ist q(j, k) = q(k, j) = 0, so ist nichts zu zeigen. Sei also q(k, j) > 0 und mit einer geeigneten Folge j1, ..., jn
~ ( j ) wie in (3) gegeben. Dann ist aber nach Definition
q( j 0 , j1 )... q ( j n , j )q ( j , k )
eindeutig definiert. Das ist aber gerade
q( k , j )q ( j , j n )... q ( j1 , j 0 )
~ ( k )q ( k , j )  ~ ( j )q ( j , k ),
j, k  E.
~ ( k ): 
Mit den lokalen Balancegleichungen löst
~
auch die globalen Balancegleichungen.
Aus der Irreduzibilität folgt, daß es für jedes j  E mindestens eine Sequenz gibt, welche die LS von (4) und
damit wegen (1) auch die RS von (4) positiv macht. Damit ist
~
eine strikt positive Lösung der lokalen
Balancegleichung. Da nach (2) Stationarität vorliegt, kann X nicht null-rekurrent sein, so daß
~
normierbar sein
muß. Die Bedingungen aus 3.9. c) sind also erfüllt.
3.13. Anmerkung:
~ () aus dem Beweis von 3.12., die in anderer Reihenfolge als
a) Die Größen 
n
~ ( j )  
l0
q ( j l , j l 1 )
q ( j l 1 , j l )
mit jn+1 := j in 3.12. (3) geschrieben werden können, werden als Potentialkoeffizienten bezeichnet, in Analogie
zu entsprechenden wegunabhängigen Integralen in der Physik (ausführlicher: KEILSON [79], S. 35, 36).
Definiert man Reversibilität über die Wegunabhängigkeit der Potentialkoeffizienten, so erhält man einen
schwächeren Begriff, der auch auf transiente und null-rekurrente Prozesse anwendbar ist, sowie auf nichtstationäre Prozesse.
b) Auch für Markov Ketten in diskreter Zeit läßt sich eine entsprechende Definition von Reversibilität behandeln
mit
entsprechenden
Resultaten.
(KELLY
[79],
KEILSON
[79],
SUOMELA
[79]).
Bei
den
Reversibilitätskriterien sind jeweils die Elemente der Q-Matrix durch die Elemente der 1-SchrittÜbergangsmatrizen zu ersetzen.
3.14. Satz:
Ein stationärer GuT-Prozeß ist reversibel.
Beweis: Das Kriterium aus 3.9. c) ist erfüllt, was über Satz 3.11. zu beweisen ist.
Reversible Prozesse sind auch nach Transformationen oft noch gut zu handhaben; Aussagen darüber folgen.
3.15. Satz:
Xi = (Xi(t): t  IR), i = 1, ..., n, seien reversible Markov Prozesse, die voneinander unabhängig sind.
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38
Dann ist auch der Vektorprozeß
X = (Xi: i = 1, ..., n) = ((Xi(t): i = 1, ..., n): t  IR)
ein reversibler Markov Prozeß.
Beweis: Die Markoveigenschaft ist offensichtlich, und in kleinen Zeiträumen der Länge h finden Ereignisse, die
mehr als eine Zustandsänderung in X betreffen, mit Wahrscheinlichkeit o(h) statt.
Werden die Q-Matrizen von Xi mit Qi bezeichnet, i = 1, ..., n, diejenige von X mit Q, so gilt dann also:
q((i1, ..., il-1, il, il+1, ..., in), (i1, ..., il-1, jl, il+1, ..., in)) = ql(il, jl),
il  jl ,
und die Diagonalelemente von Q folgen aus der Konservativität.
Die stationäre Verteilung von X ist aber das Produkt der stationären Verteilungen der Xi, so daß die Gültigkeit

der lokalen Balancegleichungen sofort nachgeprüft werden kann.
3.16. Satz:
Sei X ein reversibler Markov Prozeß mit Zustandsraum E, Gleichgewichtsverteilung  und Q-Matrix Q.
~
a) Sei A  E, c > 0, und die Q-Matrix Q definiert als:
q~ (i , j )  c  q (i , j ) ,
q~ (i , j )  q (i , j )
q~(i , i ) 
falls i  A, j  E - A,
sonst, für i  j, i, j  E,
 q~(i, j)
i  E,
j  i , j E
Dann ist durch
~
Q
und
~
ein eindeutig bestimmter reversibler Markov Prozeß definiert, dessen
Gleichgewichtsverteilung gegeben ist als:
  ( j )  B 1
~
 ( j)  
1
c   ( j )  B
wobei
B   ( j)  c
j A
b) Sei A  E und
, j A
, j E  A
  ( j ) , die Normierungskonstante ist.
j E  A
~
Q  (q~ (i , j ): i , j  A) definiert durch
q~ (i , j )  q (i , j )
i, j  A, i  j,
q(i , i )  
 q(i, j)
i  A,
j A, j i
~
~
~
Ist dann der von Q definierte Markov Prozeß X auf A irreduzibel, so ist im stationären Fall X sogar reversibel
und besitzt die Gleichgewichtsverteilung
~ ( j ) 
 ( j)
,
  (i )
j  A.
i A

Beweis: Über die lokalen Balancegleichungen, die jeweils erfüllt sind.
Die Konstruktion in (1) für die Q-Matrix der Zeitumkehrung eines Markov Prozesses X in Satz 3.9. (b) gibt
einen Zusammenhang an zwischen
den infinitesimalen Generatoren (Q-Matrizen) regulärer Markovscher
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39
__
X . Dieser Zusammenhang lässt sich zu einem Kriterium, bzw. einer
Prozesse und ihrer Zeitumkehrung
Rechenvorschrift ausdeuten, die in vielen Fällen die Berechnung stationärer Verteilungen sehr erleichtert, bzw.
erst möglich macht. Wesentlich für die erfolgreiche Anwendung des folgenden Satzes ist eine Kenntnis oder
Vorstellung davon, wie das System konkret (physikalisch) strukturiert ist, welches die Zeitumkehrung beschreibt.
__
Dann hat man einen Anhalt für die Gestalt von
Q und kann die Vermutung mit dem angegebenen Kriterium
testen.
3.17.Satz:
Sei X ein (regulärer) stationärer Markov Prozess mit Q-Matrix Q  (q(i, j ) : i, j  E ) . Gibt es eine Matrix
Q'  (q ' (i, j ) : i, j  E ) , derart, daß gilt:
q' (i, j )  0, i, j  E , i  j , und q' (i, i )  0, i  E ,
und

q' ( j , k )  q ' ( j , j ), j  E ,
k e  j
und Q und Q' verbunden sind durch :
q(i, i )  q' (i, i ), i  E ,
(1)
eine Zähldichte
  ( (k ) : k  E )
(ein W-Maß), für die gilt:
 ( j )q( j , k )   (k )q' (k , j ),
(2)
__
so ist
Q'  Q die Q-Matrix der Zeitumkehrungen
von allen
r
und
r
k , j  E,
X , r  R, von X und  ist die stationäre Verteilung
X , r  R, und von X .
Beweis:
Summation von (2) über j liefert für alle
( )

jE  k
Damit erfüllt
k E
 ( j )q( j , k )   (k ) jE  k q' (k , j )   (k )q' (k , k )   (k )q(k , k ) .

die Gleichung
 Q  0
und ist stationäre Verteilung des Prozesses
X . Aus Satz 3.9. c)
__
folgern wir, daß Q ' die Q-Matrix von
daß

die
stationäre
X ist. Summation von (2) über k für alle j  E liefert analog zu (),
Verteilung
der
r
X , r  R,
ist.

Ein entsprechender Satz gilt auch für zeitdiskrete homogene Markov Ketten. Hier ersetzt die Ein-SchrittÜbergangsmatrix im Kriterium die Q-Matrix.
3.18. Satz:
Gegeben sei eine stationäre
  ( ( j ) : j  E )
homogene Markov Kette X  ( X (t ) : t  )
mit stationärer
Verteilung
und Übergangsmatrix p  ( p (i, j ) : i, j  E ).
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Gibt es eine stochastische Matrix
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p'  ( p' (i, j ) : i, j  E ) und eine Zähldichte  '  ( ' (k ) : k  E ) , für
die gilt:
 ' ( j ) p( j , k )   ' (k ) p' (k , j ), k , j  E ,
(1)
so ist
 '
und
 die
__
__
stationäre Verteilung auch der Zeitumkehrung
X von X , und p'  p ist die
Übergangsmatrix der Zeitumkehrung.
Wir kehren zum Einführungsbeispiel zurück.
3.19. Anmerkung:
Ist Y = (Yt: t  [0, )) ein Poisson--Zählprozeß, so ist Y als Markov Prozeß nicht stationär.
Als Erneuerungsprozeß betrachtet ist Y jedoch stationär, denn die Zeit bis zur ersten Erneuerung nach Start des
Systems hat die zur Lebensdauer VF gehörige Restlebensdauer VF, eine Konsequenz der Gedächtnislosigkeit der
Lebensdauer VF im Poisson-Prozeß.
Als Poisson--Prozeß auf IR bezeichnet man deshalb eine zufällige Folge von Punkten (Cn: n  Z), deren
Differenzen (Cn - Cn-1: n  Z) eine Folge von u.i.v. ZV sind, mit C0 - C1  exp().
Eine Interpretation als kumulativer Prozeß ist dann immer noch über (endliche) Intervalle möglich.
3.20. Definition:
Sei X = (Xt: t  IR) ein (regulärer) GuT-Prozeß.
Mit (An: n  Z) bezeichnen wir die Folge der Zeitpunkte, für die gilt X(An-) < X(An+), und mit (Dn: n  Z)
bezeichnen wir die Folge der Zeitpunkte mit X(Dn-) < X(Dn+). Üblich ist dabei die
Festlegung
A0  0  A1 , D0  0  D1 .
A = (An: n  Z) ist die Folge der Geburtszeiten (Aufsprungzeiten),
D = (Dn: n  Z) die Folge der Todeszeiten (Absprungzeiten).
3.21. Lemma:
Sei X = (Xt: t  [0, )) ein (nicht notwendig stationärer) GuT-Prozeß. Die Folge (An: n  Z) der Aufsprungzeiten
ist genau dann ein Poisson--Prozeß, wenn gilt: i = , i = 0, 1, ... .
(Eine entsprechende Aussage gilt für GuT-Prozesse mit Zeitskala IR.)
Beweis:
a) Ist die Folge der Aufsprünge ein Poisson--Prozeß, so ist X regulär: Da bei Start mit X0 = 0 die Anzahl der
Aufsprünge stets größer gleich der Anzahl der Absprünge ist, können sich Sprünge von X mit Wahrscheinlichkeit
1 nicht in endlicher Zeit häufen.
Die stochastische Entwicklung von X ist also eindeutig durch die Q-Matrix festgelegt, und diese ist dieselbe wie
bei einem M/ M/ 1/  - FCFS -System mit zustandsabhängigen Bedienungsraten und Poissonschem
Eingangsstrom.
b) Ist i = , i = 0, 1, ... , so haben wir für X wieder die Q-Matrix eines M/ M/ 1/  - FCFS -Systems mit
zustandsabhängigen BedRaten und Poissonschem Eingangsstrom. Mit dem gleichen Argument für ankommende
und abgehende Kunden, wie unter a) für Sprünge, folgt die Regularität für beide Prozesse und damit die Identität

bzgl. des stochastischen Verhaltens für beide Aufsprungprozesse.
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41
Die Aussage 3.21. über die Aufsprungzeiten eines GuT-Systems ist auch intuitiv einleuchtend, wenn man sie so
formuliert, daß stets die Zeit bis zum nächsten Aufsprung exp()-verteilt ist - unabhängig vom aktuellen Zustand.
Eine ähnlich intuitive Aussage über das Verhalten des Abgangsstroms erscheint schwer, denn im M/ M/ 1/  System ist die Zeit bis zum nächsten Abgang (Parameter seien  bzw. ):
 exp()-verteilt, falls mindestens ein Kunde anwesend ist,
 verteilt wie die Summe aus einer exp()-verteilten und einer exp()-verteilten ZV, die unabhängig sind, falls
kein Kunde anwesend ist.
Selbst unter Stationaritätsannahmen ist dies Argument noch gültig: Wenn eine Folge von kurz hintereinander
stattfindenden Ankünften auftrat, ist die Wahrscheinlichkeit, längere Zeit exp()-verteilte ZwAbgangszeiten zu
haben, sehr groß.
Das folgende Resultat von REICH [57] ist deshalb überraschend, ein anderer Beweis für den Fall des SchlLProzesses im M/ M/ s/  - System stammt von BURKE [56].
3.22. Satz:
Sei X = (Xt: t  IR) ein stationärer GuT-Prozeß mit konstanten Geburtsraten  und beliebigen Todesraten
i., i  1. Dann gilt:
a) Der Abgangsstrom ist ein Poisson-Prozeß der Intensität .
b) Zu beliebigem (festen) t0  IR ist der Todesprozeß bis t0 unabhängig vom Zustand des Prozesses zur Zeit t0.
Beweis:
a) X ist reversibel, also haben X und X ( X (  t ): t  IR ) die gleiche Verteilung. Insbesondere müssen die
Aufsprungprozesse in X und X das gleiche stochastische Verhalten zeigen: nach 3.21. handelt es sich um
Poisson--Prozesse. Für jede Realisierung ( X t ( ): t  IR ) sind aber die Geburtszeiten von
__
X gerade die
Todeszeiten des entsprechenden Pfades von X, so daß auch der Todesprozeß von X Poisson- ist.
b) Der Todesprozeß von X bis t0 und Xt0 haben wegen der Reversibilität die gleiche gemeinsame Verteilung wie
der Todesprozeß von X bis t0 und X t 0 .
Es gilt aber:
Die gemeinsame Verteilung von X t 0 und dem Todesprozeß bis t0 von X ist gerade die gemeinsame Verteilung
von X(-t0) und dem Geburtsprozeß von X nach (-t0). Die letzten beiden Ereignisse sind aber unabhängig.
3.23. Anmerkung:
a) Die Aussage 3.22. b) wird auch als „Output-Theorem“ bezeichnet, falls X ein SchlL-Prozeß ist. BURKE [72]
gibt einen Überblick und diskutiert das Ergebnis, sowie die gegen seine Gültigkeit vorgebrachten Einwände im
Zusammenhang mit Bedienungssystemen.
Ein Einwand, den er zitiert: Die Kenntnis des Systemzustandes zur Zeit t0 hat keinen Einfluß auf Vorhersagen
über den Ankunftsstrom nach t0, aber durchaus Einfluß auf die Vorhersage des Abgangsstromes nach t0. Also hat
der Abgangsstrom einen weniger zufälligen Charakter, ist also weniger Poissonsch.
Das Gegenargument von BURKE [72]: Es werden nicht die richtigen Objekte verglichen. Zu vergleichen sind:
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42
{Zustand zur Zeit t0 und Ankunftsstrom vor t0} mit {Zustand zur Zeit t0 und Abgangsstrom nach t0}
oder
{Zustand zur Zeit t0 und Ankunftsstrom nach t0} mit {Zustand zur Zeit t0 und Abgangsstrom vor t0}.
b) Man stelle sich ein M/ M/ s/  - System als „Black-Box“ vor, in die ein Eingangsstrom Kunden einspeist,
welche bedient werden und dann als Abgangsstrom wieder beobachtet werden können. Angenommen sei, daß
sich das System im Gleichgewicht befindet, und daß nur der Abgangsstrom beobachtbar ist.
Aus diesen Daten können nur (unter der Modellannahme M/ M/ s/ ) Informationen über die Ankunftsrate
gewonnen werden. Auf die BedIntensität oder die Anzahl der BedSchalter kann man nicht schließen,
ebensowenig auf die vorliegende BedDisziplin.
3.24. Korollar: (Fortsetzung von Beispiel 3.1.)
Der gemeinsame SchlL-Prozeß X = (X1(t), X2(t): t  IR) im exponentiellen Tandem aus einem Knoten mit exp()verteilten und einem Knoten mit exp()-verteilten BedZeiten bei Poisson--Eingangsstrom ist ergodisch, falls
/ < 1 und / < 1 ist.
Außerdem sind für jeden Zeitpunkt t0, sofern X im Gleichgewicht ist, X1(t0) und X2(t0) unabhängig. Die
Gleichgewichtsverteilung ist gegeben als:
k1

         2
 (k 1 , k 2 )  P ( X 1 (t 0 )  k 1 , X 2 (t 0 )  k 2 )   1      1     ,
      

k
k 1 , k 2  IN .
Beweis:
Knoten 1 ist ein M/ M/ 1/  - System und hat im Gleichgewicht die Randverteilung
k1

   
 ( k 1 )  P( X 1 (t 0 )  k 1 )   1     ,
 

Der Ankunftsstrom an
k 1  IN .
2 ist nach 3.21. a) ein Poisson--Prozeß, dessen Verlauf bis t0 nach 3.21. b) unabhängig
ist von X1(t0). X2(t0) wird aber vollständig bestimmt vom Ankunftsstrom bis t0, verhält sich also bis dahin wie ein
M/ M/ 1/  - System im Gleichgewicht.

3.25. Anmerkung:
a) Das Korollar 3.24 behauptet nicht, daß die Bedienungssysteme 1 und
2 im Gleichgewicht in irgendeinem
globalen Sinne unabhängig voneinander sind. Schon bei diesem relativ einfachen System gibt es überraschende
Eigenschaften: Im Gleichgewicht sind für einen Kunden die Verweilzeiten, d.h. die Summe aus Warte- und
Bedienzeit, an den beiden Knoten stochastisch unabhängig. (REICH [57]); die Wartezeiten (ohne die
Bedienzeiten) eines Kunden an den beiden Knoten sind dagegen stochastisch abhängig (BURKE [64]).
b) Durch Induktion läßt sich K. 3.24. auf ein m-stufiges Tandemsystem ausdehnen, sogar auf etwas allgemeinere
Netztopologien: BURKE [72], REICH [63]. Satz 3.21. macht auch Aussagen über M/ M/ s/  - Systeme, so daß
auch für diese 3.24. und per Induktion Verallgemeinerungen bewiesen werden können (BURKE [68]). Für ein
zweistufiges M/ M/ s/  - Tandem läßt sich auch die Unabhängigkeit der sukzessiven Verweilzeiten eines
Kunden an den Knoten zeigen; für mehr als zwei Stufen wird das Ergebnis falsch (BURKE [69]). Einen
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Überblick über diese Probleme findet man in BURKE [72] und mit neueren Resultaten in SCHASSBERGER
[85] und TAKAGI [90].
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Approximation von Verteilungsfunktionen
44
4. Approximation von Verteilungsfunktionen
Bei den bisher untersuchten exponentiellen BedSystemen stammten die verwendeten Techniken im wesentlichen
aus der Theorie Markovscher Prozesse und Markovscher Ketten mit diskretem Zustandsraum. Diese
weitentwickelten Techniken, die insbesondere auch numerische Verfahren liefern, sind der Grund, daß in der
Anwendung oft der Versuch gemacht wird, eine Markovsche Beschreibung der zu untersuchenden Systeme zu
finden, welche nur einen diskreten Zustandsraum benötigt. Dies ist nicht immer möglich, wie das folgende
Beispiel zeigt.
4.1. Beispiel:
M/ D/ 1/  - FCFS - System: Kunden kommen an einem BedSchalter (einzeln) in einem Poisson--Prozeß an
und fordern eine deterministische BedZeit der Länge -1. Das System besitzt einen unbeschränkten Warteraum,
der nach FCFS organisiert ist.
Sei X = (Xt: t  [0, )) der zugehörige Schlangenlängenprozeß. X ist kein Markov Prozeß, da die Abhängigkeit
der Zeit bis zum nächsten Sprung von X von der RestBedZeit nicht berücksichtigt wird.
Eine Markovsche Beschreibung Z = (Zt: t  [0, )) erhält man mit einem Zustandsraum
Ereignis--Algebra
E = IN  [0, -1] und
IN  IB[0, --1] auf folgende Weise:
Zt = (Xt, Rt) = (n, r) , n  1

zur Zeit t  0 ist die SchlL n und der Kunde, der bedient wird,
benötigt noch r Zeiteinheiten Bedienung.
Zt = (Xt, Rt) = (0, 0)

zur Zeit t  0 ist das System leer.
Z bezeichnen wir als „erweiterten SchlL-Prozeß“.
Da die Struktur des M/ D/ 1/  - FCFS - Systems noch relativ einfach ist, kann man hier noch direkt
weiterrechnen, allerdings schon mit erheblichen Mühen.
Eine einfache Approximation des Prozesses Z durch einen Markovschen Prozeß mit diskretem Zustandsraum
E = (IN+  {1, 2, ..., M})  {(0, 0)} erhält man, indem die deterministische BedZeitverteilung ersetzt wird durch
eine M, M-Verteilung. Die BedZeit eines Kunden ist dann verteilt wie eine Summe von M u.i.v. ZV, die jeweils
exp(M)-verteilt sind.
Die Beschreibung der Systementwicklung geschieht jetzt, indem bei Beginn einer Bedienung der Zähler R() in
der zweiten Komponente auf M gesetzt wird, und dann der Ablauf von M unabhängigen exp(M)-verteilten
Phasen verfolgt wird. Beim Ablauf einer jeden Phase wird der Phasenzähler um „1“ herabgesetzt, und wenn die
letzte Phase (also beim Zählerstand „1“) beendet ist, verläßt der Kunde den Schalter - und für den eventuell
vorhandenen weiteren Kunden beginnt derselbe Vorgang.
Da ,m-Verteilungen mit m  IN+ auch als m-stufige ERLANG-Verteilung mit Phasenparameter  (abgekürzt:
m
E  ) bezeichnet werden, bezeichnet man das approximierende System als M/ E/ 1/  - FCFS.
Die Approximationseigenschaft erhält man intuitiv aus der folgenden Überlegung:
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Ist
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Y  M, M, so gilt: EY   1 , VarY 
M
1

und für M   konvergiert die Folge der
2
( M )
M 2 ,
Varianzen gegen 0. Als Spezialfall des Satzes 4.3. erhält man sogar (mit
L
M , M    1
,
 x als 1-Punktverteiliung in x):
für M  .
Es bliebe noch die Konvergenz der entsprechenden Prozesse zu zeigen; doch darauf werden wir verzichten und
nehmen sie als gegeben im Sinne der schwachen Konvergenz.
Die entsprechenden Probleme treten natürlich auch bei allgemeineren Bedienungszeitverteilungen auf. Die
Handlungsmöglichkeiten sind im Prinzip die gleichen, wie in B. 4.1.:
Eine erste Markovisierung der Systembeschreibung erreicht man über die Methode der Hilfsvariablen, die einen
erweiterten SchlL-Prozeß ergibt, wobei die Hilfsvariable mindestens die restliche BedZeit oder die bisherige
BedZeit („Altersvariable“) angibt. Diese zuerst von COX [55a] verwendete Methode führt zu Zustandsräumen
mit stetiger Komponente und zu sogenannten „stückweise linearen“ Prozessen.
Eine ausführliche Bearbeitung von Modellen der Bedienungstheorie in diesem Rahmen findet man bei
GNEDENKO/ KOWALENKO [71]. Für ein M/ G/ 1/  - FCFS -System erhält man dabei als typischen Pfad des
erweiterten SchlL-Prozesses:
Die dabei auftretenden Probleme, die in der Regel die Lösung von Integro-Differentialgleichungen erfordern,
wollen wir umgehen, indem wir die allgemeinen Verteilungsfunktionen approximieren und beim Grenzübergang
die Stetigkeit der Systemfunktionale auf dem Datenraum der Verteilungsfunktionen annehmen.
Es gibt inzwischen eine Reihe mehr oder weniger genau arbeitender Approximationsverfahren, um
Verteilungsfunktionen bis zu einer vorgegebenen Ordnung anzunähern, durch sogenannte Phasenverteilungen,
d.h. Verteilungen, die durch Faltung und diskrete Mischung aus exp-Verteilungen konstruiert werden. Dadurch
wird ihr Einsatz bei diskreten Markovschen Zustandsbeschreibungen kontinuierlicher Systeme ermöglicht.
Eine einfachste 2-Parameter Approximation wird durch das Verfahren im B. 4.1. angedeutet:
Approximiere eine Verteilung durch eine ,m-Verteilung derart, daß Erwartungswert und Varianz möglichst
genau übereinstimmen,   0, m  IN+ . Dabei wird schnell bei konkreter Anwendung ein Problem klar:
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,m-Verteilungen haben stets einen Variationskoeffizienten kleiner gleich 1.
Der Variationskoeffizient einer ZV (oder deren Verteilung) ist der Quotient aus Standardabweichung und
Erwartungswert und wird mit C X  VarX / EX bezeichnet. (Häufig arbeitet man auch mit C X .)
2
In vielen Fällen geben EX und CX einen besseren Eindruck vom ungefähren Verhalten einer Verteilung, da die
Schwankungen um den Mittelwert in ihrer Größenordnung dem Mittelwert gemäß gewichtet werden.
Eine generelle Approximation von Verteilungen durch ,m-Verteilungen kann nun diese Klassifikation nicht
berücksichtigen. Man verwendet darum für Verteilungen mit großer Variabilität, d.h. mit C > 1, eine andere
Klasse von approximierenden Verteilungen.
4.2. Satz:
a) Die ZV X mit Werten in [0, ) habe Erwartungswert EX = -1 und Variationskoeffizient CX = C  1.
Dann bestimmt das folgende Schema eine 2-stufige hyperexponentielle Verteilungsfunktion
H(x) = 1 - 1e-1x - 2e-2x,
x  0, i  0, 1 + 2 = 1, i  0, i = 1,2 ,
derart, daß gilt (ALLEN [78], S. 246):
Ist Y eine nichtnegative ZV mit Y  H, so ist
1


2
2
1   C  1 
I:  1  1   2
 ,
2   C  1 


II: 1 = 21,
b) Die ZV X
EY = EX = -1,
CY = CX = C, falls gesetzt wird:
 2  1  1,
2 = 22
mit Werten in [0, ) habe den Erwartungswert EX = -1 und den Variationskoeffizienten
CX = C  1, sowie Varianz VarX = ². Dann bestimmt das folgende Schema eine ERLANG-Verteilungsfunktion
G(x) = ,m(x),   0, m  IN+, derart, daß gilt:
Ist Y eine nichtnegative ZV mit Y  G, so ist EY = EX = -1, VarY  VarX, CY  1, falls gesetzt wird:
1 2
~  ( ) , so setze m:=  m
~  , die kleinste ganze Zahl größer gleich m
~,
I: Ist m
2

II:  = m.

Das allgemeine Approximationsresultat folgt.
4.3. Satz:
Die VF F() sei auf [0, ) konzentriert. Für u  IN+ sei

  k
 k  1 
Fu (s)  F (0)   F    F 
 u ,k (s) ,
 u
 u 
k 1 

s  0.
Dann gilt für alle Stetigkeitspunkte x  [0, ) von F:
L
lim Fu (x )  F (x ), mit anderen Worten: Fu  F ,
u
bzw.: ist
L
Xu  Fu, u  IN , und X  F, so ist X u  X .
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47
Beweis:
i) Sei Gu die VF auf [0, ) der (diskreten) Poisson-Verteilung auf dem Gitter {k/u: k = 0, 1, ...} mit Parameter ux,
d.h. es gilt insbesondere:
(ux ) k
k 
k 
Gu    Gu    e  ux
,
u 
u 
k!
k  IN, x > 0, u  IN+.
Die VF Gu hat den Erwartungswert x und die Varianz x/u. Sei G die VF der in x konzentrierten Verteilung. Wir
zeigen, daß die durch Gu definierten Verteilungen schwach gegen die 1-Punktverteilung in x konvergieren für u
 :
Seien Xu  Gu, u  IN+, X  G, auf einem gemeinsamen W-Raum definiert. Dann gilt:
P X u  X     P X u  x     P X u  EX u     Var
Xu

2

x
u 2
u
 0.

Die Xu konvergieren also nach Wahrscheinlichkeit gegen X, was die Verteilungskonvergenz impliziert
(BILLINGSLEY [68], S. 31) und außerdem für h: [0, )  IR
 hdG
u
[ 0, )

 hdG,
falls h G-fs. stetig ist, d.h., wenn h in x stetig ist.
[ 0, )
ii) Sei jetzt F in x stetig. Dann gilt nach i)

F (s)Gu (ds) 
[ 0 , )
 F (s)G(ds)  F (x),
für u  .
Nun ist aber
[ 0 , )
k

 k  ux (ux)
F
(
s
)
G
(
ds
)

F
e




u

 u
k!
k 0
[ 0,  )
( mit
 1
F    0)
 u
i

  k
 k  1    ux (ux )     k 
 k  1 
  F    F 
e
   F    F 
  
 u ,k (x ).
 u
 u   i  k
 u 
i !  k 0   u
k 0 


4.4. Korollar:
Die Klasse der endlichen Mischungen von ERLANG-Verteilungen mit gleichem Phasenparameter ist dicht in der
Klasse aller W-Maße auf [0, ).

Die Anwendung des Satzes 4.3. als Approximationsgrundlage wird ausführlich von SCHASSBERGER [73]
beschrieben und verwendet. Die Klasse der in 4.4. ausgesonderten Verteilungen zeichnet sich durch ihre extrem
einfache Struktur aus, was sich insbesondere bei der Modellbildung in einfachen beschreibenden Prozessen
niederschlägt, und zum anderen bei der theoretischen Analyse der Modelle vereinfachende Auswirkungen hat.
Geht man, wie in 4.4., von der Klasse aller endlichen Mischungen von ERLANG-Verteilungen mit gleichem
Phasenparameter aus, so ist auch jede Oberklasse von Verteilungen wieder dicht in den W-Maßen auf [0, ). Der
Übergang zu solchen Oberklassen empfiehlt sich unter Umständen, da dann eine einfachere Anpassung an
vorgegebene Verteilungen möglich ist. Es sind z.B. Hyperexponentialverteilungen nicht miterfaßt, aber es bietet
sich stets an, diese mitzuverwenden, bzw. allgemeiner unterschiedliche Phasenparameter zuzulassen.
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Approximation von Verteilungsfunktionen
48
Dies geschieht z.B. in der Klasse aller COX-Verteilungen, wie sie z.B. in ASMUSSEN [87] definiert sind
(S. 74). In der ursprünglich von COX [55b] angegebenen Form waren noch negative und komplexe
Wahrscheinlichkeiten zugelassen.
Eine weitere Oberklasse sind die Phasenverteilungen von NEUTS, die als Absorptionszeitverteilungen
zeitstetiger Markov Prozesse mit endlichem Zustandsraum und absorbierendem Zustand definiert sind. Diese
Verteilungen sind durch die Angabe der Startverteilung und der Q-Matrix des Prozesses definiert (NEUTS [81]).
Sie bilden eine sehr variable Klasse von Approximationsverteilungen.
Eine Skizze dieser Verteilungsklassen und ihrer Beziehungen findet sich bei ASMUSSEN [87].
Anpassungs- und Schätzprobleme für den praktischen Einsatz dieser Verteilungen findet man bei NEUTS [81]
für die Absorptionszeitverteilungen, bei BUX/ HERZOG [77] für Mischungen von ERLANG-Verteilungen und
COX-Verteilungen, sowie bei SCHMICKLER [87].
Wir werden im folgenden stets als approximierende Verteilungen endliche Mischungen von ERLANGVerteilungen benutzen und treffen dafür, sofern nicht anderes ausdrücklich gesagt wird, die Festlegung 4.5. .
4.5. Festlegung:
Der Eintrag „G“ (für „general“) in der Bezeichnung für ein Bedienungssystem bedeutet, daß die entsprechenden
Zeiten verteilt sind gemäß einer VF der Form:
M
B(t )   r (i ) ,i (t ),
t  0,
  0,
M  IN  ,
i 1
r (i )  0,
r( M )  0
M
 r (i )  1.
i 1
(t )  t
(s)
e
 
e  s ds,
k!
(i  1)!
k 0
[ 0,t ]
i 1
Dabei ist
 ,i (t )  (exp( )) i * (t )  1  
k
i 1
t  0.
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Systeme mit nicht-exponentieller Bedienungszeitverteilung unter FCFS
49
5. Systeme mit nicht-exponentieller Bedienungszeitverteilung unter FCFS
5.1. Definition: M/ G/ s/ N - FCFS - Verlustsystem
Gegeben seien auf einem W-Raum (, A, P) unabhängige Folgen  = (1, 2, ...) von unabhängigen exp()verteilten ZV und  = (1, 2, ...) von unabhängigen ZV, die eine VF B() haben, wobei
M
B(t )   r (i ) ,i (t ),
t  0,
  0,
M  IN  ,
i 1
r (i )  0,
r (M )  0 ,
M
 r (i)  1
gilt.
i 1
 sei die Folge der ZwAZeiten,  die Folge der BedZeiten in einem System, das im übrigen wie dasjenige in 2.1.
organisiert ist. Die Fälle
s   oder N   sind zugelassen und erzeugen dann keine Verlustströme.
5.2. Definition:
Gegeben sei ein M/ G/ 1/  - FCFS - System wie in 5.1. . Als erweiterten SchlLProzeß dieses Systems
bezeichnen wir einen Markovschen Prozeß Z = (X, R) = ((Xt, Rt): t  [0, )) auf (, A, P) mit Werten in
(IN+{1, ..., M})  {(0, 0}) =: E und der Q-Matrix Q = (q(i, j): i, j  E) gegeben durch
q(0, 0; 1, m) =  r(m)
1  m  M,
q(1, 1; 0, 0) = 
q(j, 1; j-1, m) =  r(m)
j > 1, 1  m  M,
q(j, m; j, m-1) = 
j  1, 1 < m  M,
q(j, m; j+1, m) = 
j  1, 1  m  M,
q(0, 0; 0, 0) = -
q(j, m; j, m) = -( + )
j  1, 1  m  M,
q(j, m; k, n) = 0
sonst.
5.3. Korollar und Festlegung:
Der erweiterte SchlLProzeß eines M/ G/ 1/  - Systems ist regulär, irreduzibel, es existiert eine Version mit
rechtsstetigen Pfaden, welche linke Limiten besitzen. Diese cadlag Version liege im folgenden, wenn nicht
anderes gesagt wird, vor.
Beweis: Die Q-Matrix von Z ist beschränkt, damit sind die Aussagen alle bewiesen.

5.4. Anmerkung:
Entsprechend Anmerkung 2.3. c), 2.6. b) können wir die analytische Untersuchung des M/ G/ 1 - Systems
ausgehend von Z nach 5.2. durchführen. Daß Q in der gewählten Form tatsächlich sinnvoll ist, macht man sich
analog zu den Überlegungen in 2.4. und 2.5. klar. Ein Beispiel:
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Systeme mit nicht-exponentieller Bedienungszeitverteilung unter FCFS
50
i) Die Gedächtnislosigkeit der ZwAZ Verteilungen und der Phasenverteilungen führt auf die Markoveigenschaft
bei dem gewählten Zustandsraum. Da alle Verteilungen und die Systemorganisation nicht vom aktuellen
Zeitpunkt abhängen, ergibt sich die Homogenität der Übergangswahrscheinlichkeit p(h; , ), h  0.
ii) Für h > 0, h  0, erhält man für j > 1, 1  m  M:
p(h; j, 1; j-1, m) =  r(n)h + o(h)
aus der folgenden Überlegung:
Gegeben Zt = (j, 1); dann findet ein Übergang
(j, 1) zur Zeit t  (j-1, m) zur Zeit t + h
mit einer (bedingten) Wahrscheinlichkeit statt, die addiert wird aus den Wahrscheinlichkeiten der disjunkten
Ereignisse:
 „in [t, t + h] endet die laufende letzte BedPhase eines Kunden, dieser verläßt das System, und die BedZeit
des nächsten Kunden wird, als aus m Phasen bestehend, bestimmt und endet nicht im betrachteten Zeitraum,
und es endet keine ZwAZeit“
 „in [t, t + h] endet die laufende letzte BedPhase eines Kunden, dieser verläßt das System, und mindestens
eine ZwAZeit endet, und es enden noch genauso viele BedZeiten wie ZwAZeiten, und der zur Zeit t + h
bediente Kunde benötigt noch m Phasen.“
Das erste Ereignis hat die bedingte Wahrscheinlichkeit (1 - e-h) r(n) e-h, während die Wahrscheinlichkeit des
zweiten von der Größenordnung o(h) ist; insgesamt also: p(h; j, 1; j-1, m) = h r(n) + o(h).
5.5. Anmerkung:
a) M/ G/ s/  - FCFS - Systeme sind entsprechend zu modellieren und über ihren erweiterten SchlL-Prozeß zu
analysieren. Dies ist dann ein Markov Prozeß Z = ((Xt, R1(t), ..., Rs(t)): t  [0, )) auf IN  {0, 1, ..., M}s =: E,
der in dieser Form keinen irreduziblen Zustandsraum hat. Die Komponenten Ri(), i = 1, ..., s zeigen durch Ri(t)
= 0 an, daß zur Zeit t am Schalter i kein Kunde bedient wird, während Ri(t) = m > 0 besagt, daß zur Zeit t am
Schalter i ein Kunde bedient wird, der einschließlich der laufenden noch m Phasen BedZeit fordert.
b) Die Behandlung allgemeiner M/ G/ s/  - FCFS ist ausgesprochen schwierig. Zwar sind die erweiterten SchlLProzesse stets uniformisierbar, da die Q-Matrizen beschränkt sind, so daß über Exponentialausdrücke von
Matrizen die Ü-Matrixfunktion gegeben ist. Dennoch ist damit nur beschränkte Kenntnis gewonnen, da eine
explizite Auswertung in geschlossenen Formeln nicht möglich scheint:
Für das M/ G/ 2/  - FCFS - System ist die stationäre Verteilung unbekannt. Spezialfälle werden von COHEN
[79], HOKSTAD [80] behandelt, einen algorithmischen Zugang findet man in SCHASSBERGER [84].
BERTSIMAS [90] behandelt mit funktionentheoretischen Mitteln G/ G/ s/  - Systeme, wobei G Verteilungen
mit rationalen LST einer bestimmten Form darstellt.
5.6. Korollar:
Sei Z = ((Xt, Rt): t  [0, )) der SchlL-Prozeß im M/ G/ 1/  - System wie in 5.2., und gelte Z0 = (0, 0) mit
Wahrscheinlichkeit 1, d.h. das System werde leer gestartet.
Bezeichnen wir unter dieser Annahme die absoluten Wahrscheinlichkeiten des Prozesses mit
pt(j, m) = P(Zt = (j, m)/ Z0 = (0, 0)), t  0, (j, m)  E,
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51
so erfüllen diese das Differentialgleichungssystem
(1’)
p’t (0, 0) = - pt (0, 0) +  pt (1, 1)
(1’’)
p’t (1, m) = -( + ) pt (1, m) +  r(m) pt (0, 0) +
+  r(m) pt (2, 1) + (1 - mM)  pt (1, m + 1),
(1’’’)
1  m  M,
p’t (j, m) = -( + ) pt (j, m) +  pt (j - 1, m) +  r(m) pt (j + 1, 1) +
+ (1 - mM)  pt (j, m + 1),
j > 1, 1  m  M.
Beweis: Wir skizzieren einen direkten Beweis für die letzte Gleichung:
Es ist pt (j, m) = p (t; 0, 0; j, m) = P(Zt = (j, m)Z0 = (0, 0)), und die CHAPMAN-KOLMOGOROV-Gleichungen
für die ÜW eines Markov Prozesses ergeben:
p t  h ( j , m) 
 p (k , n) p(h; k , n; j, m), ( j, m)  E
( k , n )E
t
Wir erhalten nach 5.4. A., falls j > 1 ist und 1  m  M:
pt (j, m) [1 - h - h + o(h)] + o(h) +
pt+h (j, m) =
+ pt (j - 1, m) [h + o(h)] +
+ pt (j + 1, 1) [h r(m) + o(h)] +
+ pt (j, m + 1) (1 - mM) [h + o(h)],
h > 0, h  0.
Nun sind für stabile Markov Prozesse mit diskretem Zustandsraum und Standard-Ü-Matrix die Grössen
pt+h (j, m) als Funktion von t gleichmäßig stetig und differenzierbar (in 0 jeweils von rechts). Zusammenfassen
der Wahrscheinlichkeiten für (j, m), Division durch h und Grenzübergang h  0 ergeben die Behauptung.

5.7. Anmerkung:
a) Das Diffgl.-System (1), als System für die ÜW p(t; 0, 0; ) betrachtet, ist ein Teil der KOLMOGOROVschen
Vorwärtsgleichung
(V)
p’(t) = p(t) Q , t  0,
p(0) = (i,j : i, j  E).
Da Q beschränkt ist, hat (V) genau eine Lösung bei gegebenen Anfangsbedingungen.
b) Die Laplace-Transformierten
e
 st
pt ( j , m)dt lassen sich, wenn auch über komplizierte Ausdrücke,
[ 0 , )
explizit berechnen (siehe SCHASSBERGER [73]).
5.8. Satz:
M
Sei
 1 :   i   1  r (i ), der Erwartungswert der BedZeit im M/ G/ 1/  - FCFS - System nach 5.2. .
i 1
Dann ist der erweiterte SchlL-Prozeß (Zt: t  [0, ))
transient

/ >1
null-rekurrent

/ =1
positiv-rekurrent

/ <1
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52
Beweis: Ein direkter Beweis findet sich in COHEN [82], S. 246. Allerdings kann der dabei benötigte Aufwand
umgangen werden durch die folgende Überlegung:
Es genügt, die jeweilige Eigenschaft für einen Zustand zu zeigen. Dafür bietet sich (0, 0) an, sodaß Rekurrenz
genau dann vorliegt, wenn die Rückkehrzeitverteilung nach (0,0) auf [0, ) konzentriert ist. Nun ist diese
Verteilung aber unabhängig von der Bedienungsdisziplin, solange diese arbeitserhaltend ist. Finden wir also eine
andere (arbeitserhaltende) BedDisziplin, für die das entsprechende Problem einfacher zu behandeln ist, können
wir auf jenes Ergebnis zurückgreifen. Die BedDisziplin LCFS liefert ein einfaches Ergebnis für positive
Rekurrenz mit der Existenz einer W-Lösung von x Q = 0 (siehe unten Satz 8.6 c) mit der Spezialisierung auf
Beispiel
8.5
c)).

5.9. Satz:
Gegeben sei ein M/ G/ 1/  - FCFS - System nach 5.2.; sei -1 die mittlere ZwAZeit, -1 die mittlere BedZeit.
a) Ist  /   1, so existieren die Limiten
lim pt ( j , m)  lim P (Z t  ( j , m))  0,
t 
( j , m)  E .
t 
b) Ist  /  < 1, so existieren die Limiten
 ( j , m):  lim pt ( j , m)  lim P( Z t  ( j , m))  0,
t 
und
   ( j , m):( j , m)  E 
ist ein W-Maß.
Die erzeugende Funktion

M
j 1
m 1
P (z, x )   (0,0)   z j  x m ( j , m),
von

( j , m)  E ,
t 
x  1,
z  1,
ist:
M




 (1  z)
z
P (z, x )   1   1 

f
(

(
1

z
))

r (m)x m   ,



    (1  z)   (1  1 / x ) f ( (1  z))  z 

m1
x  1,
z  1.
Die Grenzverteilung des SchlL-Prozesses X = (Xt: t  0) ist gegeben durch die erzeugende Funktion:
P (z ):  P (z ,1)  f   (1  z )
Dabei ist
f (s) 
e
 st
1   /  (1  z)
f   (1  z )  z
z  1,
(POLLACZEK-CHINTCHIN-Formel).
B (dt ) die Laplace-Stieltjes-Transformierte (LST) der BedZeit-Verteilung.
[ 0 , )
Beweis: a) ist eine Aussage über irreduzible und (nach 5.8.) transiente oder null-rekurrente Markov Prozesse.
b) Nach 5.8. ist unter  /  < 1 der Markov Prozeß Z ergodisch, so daß die Limiten () auch die eindeutig
bestimmte stationäre Verteilung angeben. Damit erhält man  aus der globalen Balancegleichung x Q = 0 als
eindeutig bestimmte W-Lösung. Explizit ist diese Gleichung:
(1’)
 (0, 0) =  (1, 1)
(1’’)
( + ) (1, m) =  r(m) (0, 0) +  r(m) (2, 1) + (1 - mM)  (1, m + 1),
1  m  M,
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(1’’’)
53
( + ) (j, m) =  (j - 1, m) +  r(m) (j + 1, 1) + (1 - mM)  (j, m + 1),
j > 1, 1  m  M.
Multiplikation von (1’’), (1’’’) mit xm und Summation über m = 1, ..., M ergibt:
(2’’)
M
M


M
m
m
m
, )x  ,
   (1, m)x         (0,0)  r (m)x   (2,1)  r (m)x   (11
 m 1

x
x
m 1
m 1
(2’’’)
M
  M

M
m
m

(
j
,
m
)
x






(
j

1
,
m
)
x



(
j

11
,
)

r (m) x m   ( j ,1)x 






 m 1


x   m 1
x
m 1
j > 1.
Multiplikation von (2 ), (2 ) mit zj und Summation über j  IN+ ergibt:
’’
’’’
  j M m


 M


  z  x  ( j , m)      z    (0,0) z  r (m) x m  
 m 1

x
 j 1 m 1


 
  M

  
  z j  ( j ,1)    r (m)x m     z j  ( j ,1)   ,
  j 1
 j2
 z  m 1




M
 



P (z, x )     z   (0,0)(z  1)   r (m)x m        z 
 m1
 
x
x




(3)

  M


 z j  ( j ,1)   r (m)x m    ,

j 1
 z  m1

Für
und mit (1’) folgt:
x

   (1  z)
x  1,
z  1.
verschwindet die LS von (3), so daß für alle z  1 auch die RS von (3) an dieser Stelle
verschwinden muß. Weiter gilt:
m



r (m)
  f   (1  z) ,

    (1  z) 
m 1
M
z [0,1],
so daß wir aus (3)
(4)


 

f   (1  z )   
 z

 (0,0)  (1  z ) f   (1  z )    z j  ( j ,1) 
 j 1
erhalten. Erneutes Einsetzen in (3) ergibt:
(5)

M
 
1 
1 



P (z, x ) (1  z)    1      (0,0) (1  z)  r (m)x m    (1  z)    1    


 m1
 
x 
x 





(
1

z
)
f

(
1

z
)
  M




m
+   r (m)x     

 z  m 1
  f  (1  z )   




z
Da P(,) erzeugende Funktion eines W-Maßes ist, erhalten wir für x = 1 in (5):
_______________________________________________________________________________________________________________
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P (z,1)   (0,0)

1 

1
1   (0,0) 
54
1
 f   (1  z)
z
1
z
f   (1  z)
,
und damit für z  1:
1
 1
lim 1   f  (1  z )   ( )  2 f  (1  z ) 
z 1
z
z

lim 
z 1
1
z
f  (1  z )   ( ) 
1
z
2
f  (1  z ) 
  (0,0)
1
.
1  f (0)
Also haben wir (0, 0) = 1 -  / , und erneutes Einsetzen in (5) ergibt die Behauptung.

5.10. Satz:
Sei
X = (Xt,: t  [0, )) der SchlL-Prozeß eines stationären M/ G/ 1/  - FCFS - Systems. Mit den
Bezeichnungen aus 5.1. und 5.2. und der Bezeichnung :=  /  für die Verkehrsintensität gilt:
a) Die Gleichgewichtswahrscheinlichkeit, daß das System leer ist, hängt von ZwAZeitverteilung und
BedZeitverteilung nur über die ersten Momente ab und es gilt
P(Xt = 0) = 1 - .
b) Die stationäre mittlere SchlL hängt nur vom ersten Moment der ZwAZeit und den ersten beiden Momenten der
BedZeit ab. Ist (2) das zweite Moment und 2B die Varianz der BedZeit, so gilt:
2  ( 2 )

  
1
2
EX t  
   

 2B
 2 (1   /  )     2 (1   /  ) 2 (1   /  )
2
1
2

 2B ,
= 
2 (1   ) 2 (1   )
t  0.
2
Insbesondere ist EXt (affin) linear in 2B.
Beweis: a) War im Beweis von 5.9. gezeigt, während b) durch Differentiation der POLLACZEK-CHINTCHINFormel und Auswertung in (1-) zu erhalten ist. Das zweite Moment tritt auf bei der Anwendung der Regel von

DE L’HOSPITAL.
5.11. Anmerkung:
a) Satz 5.10. macht zwei Aussagen über „Invarianz-“ oder „Unempfindlichkeitseigenschaften“ von
Bedienungssystemen. Z.B. kann 5.10. a) wie folgt gedeutet werden.
Selbst bei Abweichungen von eventuell gemachten Verteilungsannahmen für ein M/ G/ 1/  - FCFS - System
ändert sich die stationäre Leerwahrscheinlichkeit nicht, solange ein Poisson-Eingangsstrom vorliegt, und die
ersten Momente von ZwAZ und BedZ invariant bleiben.
b) Der Term f((1-z)), z  1, hat eine anschauliche Interpretation:Während der nach B() verteilten BedZeit 
~
~
eines Kunden kommen N neue Kunden am System an. Die erzeugende Funktion V(z), z  1, von N ist:


n 0
n 0
~
V (z )   z n P ( N  n)   z n

~
n
 P N  n   sB (ds)   z
[ 0 , )
n 0
(s)  s
e B (ds) 
n!
[ 0 , )

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Systeme mit nicht-exponentieller Bedienungszeitverteilung unter FCFS

e
 s
[ 0 , )
55
(sz) n
B (ds)  f ( (1  z)).

n!
n 0

c) BedZeitverteilung und stationäre SchlL-Verteilung im M/ G/ 1/  - FCFS - System bestimmen einander
eindeutig. Aus der POLLACZEK-CHINTCHIN-Formel folgt nämlich:
f ( (1  z)) 
z  P (z )
,
P (z)  (1   /  )(1  z)
z  1.
Also ist die LST f() auf [0, ] festgelegt und damit insgesamt eindeutig bestimmt (FELLER [71], S. 430).
Die LST bestimmt aber eindeutig die Verteilung.
d) Die in 5.9. bestimmte Wahrscheinlichkeit  ist die eindeutig bestimmte stationäre Wahrscheinlichkeit des
erweiterten SchlL-Prozesses im M/ G/ 1/  - System, falls dieses ergodisch ist, d.h. unter / < 1.
Mit der Ausdrucksweise (- und Entsprechendes verwenden wir später bei anderen Systemen !):
„Gegeben ein M/ G/ 1/  - System im Gleichgewicht“ oder „Gegeben ein stationäres M/ G/ 1/  - System“
bezeichnen wir im folgenden ein System mit / < 1 und P(Z0 = (j, m)) = (j, m), (j, m)  E.
Befindet sich ein M/ G/ 1/  - System im Gleichgewicht, so gibt die Verteilung  an, mit welcher
Wahrscheinlichkeit ein äußerer Beobachter den erweiterten SchlL-Prozeß Z im Zustand (j, m)  E sieht.
Damit haben wir noch keine Angabe darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein ankommender Kunde diesen
Zustand (j, m) sieht, oder mit welcher Wahrscheinlichkeit ein abgehender Kunde den Zustand (m, j) hinterläßt.
Das Problem ist nicht trivial, da z.B. ein Ankömmling das System beeinflußt: Sofort nach einer Ankunft ist das
  ( x)  1.
System mit Wahrscheinlichkeit 1 nicht leer, im Gegensatz zu
x E  {( 0 , 0 )}
Zum Vergleich dazu: Die detaillierte Untersuchung des Systems G/ M/ 1/  im Kapitel 6. Für jenes System
werden wir eine Aussage, wie wir sie jetzt für das M/G/1/ ableiten, nicht mehr beweisen können.
Ist also (An: n  IN) die Folge der Ankunftszeiten (analog zu 3.16. D.) in unserem M/ G/ 1/  - System, so haben
wir formal (Zt: t  0) gemäß 5.2. D. zu vergleichen mit (ZAn: n  IN). Die dabei geschilderte Verschiebung des
Zustandsraumes für (ZAn: n  IN) zu {1, 2, ...}IR können wir ausgleichen, indem wir (ZAn(-): n  IN) betrachten,
bzw. Z als linksstetig mit rechten Limiten ansehen, d.h., zu einer anderen Version übergehen. Um dabei die
Ankunftsaugenblicke im Zählprozeß N = (Nt: t  0) für die Kundenankünfte „rechtzeitig“ zu entdecken, ist N
weiterhin als rechtsstetig mit linken Limiten zu verwenden. Von Hauptinteresse für uns sind:
P( Z t  B),
P( Z An(  )  B),
B IN  IB ,
B IN  IB  ,
t 0
und
n  0 bzw.
lim P( Z t  B) und lim P( Z An  B ) und die entsprechenden stationären Verteilungen; mit anderen
t 
n 
Worten: Wir untersuchen im folgenden Prozesse
(Ut = f(Zt): t  0) versus (UAn- = f(ZAn-): n  0) mit geeigneten Funktionen f : E  IR.
Es interessieren uns insbesondere das asymptotische und stationäre Verhalten. Es hat sich herausgestellt, daß es
für die wichtigsten praktischen Fragestellungen genügt, sich auf Erwartungswertrechnungen zu beschränken.
Wir bearbeiten das Problem in einem Rahmen, der auch auf allgemeinere Systeme anwendbar ist. Um von der
Annahme Poissonscher Ankünfte abzukommen, lassen wir Punktprozesse auf IR+ als Ankunftsprozesse zu.
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56
5.12. Definition:
Ein stochastischer Prozeß N = (Nt: t  [0, )) auf (, A, P) mit Werten in (IN, IN)) heißt Punktprozeß auf IR+,
wenn gilt:
Die Pfade von N sind nicht fallend in t und rechtsstetig mit linken Limiten (oder: linksstetig mit rechten Limiten).
Entsprechend werden Punktprozesse auf IR mit Werten in (ZZ, ZZ) definiert.
5.13. Beispiel:
Die Zählprozesse (insbesondere: der Poisson-Zählprozeß) der Erneuerungstheorie sind Punktprozesse im
angegebenen Sinn. Falls ein Punktprozeß nur Sprünge der Höhe 1 hat, kann der Prozeß pfadweise auf ähnliche
Art wie Erneuerungsprozesse äquivalent dargestellt werden über die Folge der „Zwischenankunftszeiten“
(Lebensdauern) oder die Folge der „Ankunftszeiten“ (Erneuerungszeiten). Eine weitere Möglichkeit, die auch für
Sprünge der Höhe > 1 besonders geeignet ist, besteht in der Darstellung als Zählmaß:
Analog zur Konstruktion eines W-Maßes (Maßes) auf (IR+, IB+) aus der Verteilungsfunktion (maßdefinierenden
Funktion) (siehe BEHNEN/ NEUHAUS [84], S. 139) definiert für jedes   
(Nt(): t  0) als
maßdefinierende Funktion ein Maß auf (IR+, IB+) mit Werten in IN. Es handelt sich also um ein „zufälliges Maß“
auf (IR+, IB+).
Eine anschauliche und ausführliche Einführung ist DALEY/ VERE-JONES [88]. Direkte Anwendungen für die
Theorie von Warteschlangen und ähnlichen Systemen finden sich in FRANKEN/ KÖNIG/ ARNDT/ SCHMIDT
[81]. Das Buch BACCELLI/ BREMAUD [94] ist inzwischen zu einem Standardwerk für die Behandlung von
Warteschlangensystemen
mit Punktprozessmethoden geworden.
Es eignet sich gut als Einführung in
Punktprozesstheorie, wenn erste Kenntnisse der Warteschlangentheorie und von deren Anwendung vorhanden
sind.
5.13. Satz:
Auf einem W-Raum (, A, P) seien ein Punktprozeß N = (Nt: t  0) mit cadlag-Pfaden, N(0)  0 und Sprüngen
der Höhe 1, sowie ein stochastischer Prozeß X = (Xt: t  0) mit Werten in einem polnischen Raum (E, S) (wobei
S die Borel--Algebra ist) mit caglad-Pfaden definiert. Gegeben sei   0.
Sei f: (E, S)  (IR, IB) beschränkt, derart, daß auch der stochastische Prozeß (Ut = f(Xt): t  0) caglad-Pfade hat.
Es gelte:
(i) Für N existiert ein t0  0 mit 0 < E(Nt) <  für alle t > t0, t  IR+.
(WLAA) Für N und U existiert ein u0 > 0 derart, daß für alle t  0 und alle u  [0, u0] Ut und N[t, t + u)
unkorreliert sind.
Ausserdem gelte wenigstens eine der folgenden zwei Bedingungen:
(ii) E[Ut] ist unabhängig von t, t  0.
(iii) Es gibt ein u1 > 0, so daß für alle t  0 und alle u  [0, u1]
E[N[t, t + u)] = u ist.
Die stochastischen Prozesse V = (Vt: t  0) und W = (Wt: t  0) seien definiert durch
t
1
Vt ( )   f ( X s ( ))ds ,
t0
1 N ( t )( )
Wt ( ) 
 f ( X Ak ( ) ( ))
N t ( ) k 1
,t
> 0,   .
und
V0() = W0()  0,
  ,
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wobei
57
A1() = inf (t  0: Nt() > 0), und An+1() = inf (t > An(): Nt() > NAn()),
  ,
n  1, ist.
Für V = (Vt: t  0) und W = (Wt: t  0) seien die zeitlichen Mittel definiert als
1 t

Vt :  E   f ( X s )ds , t  0 , V0  0
t 0

 N (t )

1
Wt  EN t   E   f ( X Ak ) , t  0 , W0  0.
 k 1

Vt  Wt
Dann gilt für alle t > 0:
also, falls Konvergenz auftritt, schliesslich
und es folgt
V
t
 


t
 V  Wt t
 W

V  W .
Beweis: (nach MELAMED/ WHITT [90])
N (t )
(i) Wir berechnen die in Wt auftretende ZV
 f (X
k 1
N (t )
(1)

k 1
Ak
) als stochastisches Integral pfadweise
N (t )
n 1
 kt 
 kt (k  1)t 
  U ( Ak )
f ( X Ak ) =  U (s) N (ds)  lim  U    N  ,

n
 n
n  k 1
n
k 0
0
t
Zur Berechnung des Integrals können wir (pfadweise)
t
N ( t , )
0
k 1
 U (s,  ) N (ds,  ) 
U (A
k ( )
,  ) ,   ,
als (Riemann-)Stieltjes-Integral der caglad-Funktion U(, ) bzgl. der isotonen cadlag-Funktion N(, )
berechnen (maßdefinierende Funktion). (HEWITT/ STROMBERG [65], S. 105ff. oder APOSTOL [57], Chap.
9)
Aus der Beschränktheit von f folgt die von U, und wir erhalten für alle n  1:
n 1

kt   kt (k  1)t 
,    sup U ( , s)  N (t ,  )  ,   .
n
 0 s t
 U  , n  N  n ,
k 0
Mittels majorisierter Konvergenz (die rechte Funktion ist integrierbar bzgl. P) erhalten wir deshalb aus (1)
(2)
n 1
 N (t )

  kt   kt (k  1)t 
E  U ( Ak )  lim  E U    N  ,

n 
 k 1
 n  k  0   n   n
Für hinreichend großes n folgt aus (WLAA), daß auf der RS von (2) Erwartungswert und Produkt vertauschbar
sind. Falls jetzt (ii) gilt, erhalten wir also aus (2):
n 1
  kt     kt ( k  1)t  
 N (t )

E   U ( Ak )  lim  E U     E  N  ,
 
n  
 k 1
 n k  0   n     n
n 1

  kt (k  1)t  
 EU (0)   lim  E  N  ,
   EU (0)  E N (t ).
n  
 n k  0   n
Damit folgt sofort
W (t )  EU (0) 
t
t
1
1
EU s ds  E  U s ds  V (t ) , t  0.

t0
t t
Falls andererseits (iii) gilt, erhalten wir für hinreichend großes n aus (2):
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n 1
  kt    kt (k  1)t 
 N (t )

E   U ( Ak )  lim  E U    E  N  ,
 
n
n 

 k 1
 n k 0   n  


  t n
n 1
  kt    t 
  lim  E U          EU (s)ds,
n
 n    n
k 0 
0
t
wobei das Integral wieder als Stieltjes-Integral zu interpretieren ist.
Wegen
 n 1  tk (k  1)t  
E N (t )  E  N  ,
  t folgt also auch hier W (t )  V (t ) , t  0 .
n  
k 0  n
1 t
f (X

t

Anmerkung: Schon bei der Definition von Vt  E 
0
s


)ds hatten wir implizit benutzt, daß

U ( , ): 0, t     IR (gemeinsam) meßbar ist bzgl. IB[0, 1] A und IB (siehe ELLIOTT [82]).
Wegen der Beschränktheit von U ist dann der Satz von FUBINI anwendbar und wir erhalten:
t

E
U
(
s
)
ds

E
 U (s)ds.
0  
0

t

5.14. Anmerkung:
(WLAA) heißt „WEAK LACK OF ANTICIPATION ASSUMPTION“ und ist eine Abschwächung der „LACK
OF ANTICIPATION ASSUMPTION“ (LAA), die von WOLFF [82] eingeführt wurde, um das hier behandelte
Problem in einem allgemeineren Kontext als M/ G/ 1/  - Systeme zu behandeln, wobei N als Poissonsch
vorausgesetzt wurde. Die Formulierung ist aber nicht nur für diese zusätzliche Annahme verwertbar - siehe unten.
Bei den meisten praktischen Beispielen wird (LAA) vorliegen, es gibt jedoch auch Fälle in denen nur (WLAA)
nachzuweisen ist.
Die Bedingung (ii) ist meist erfüllt durch die Forderung an U, stationär (oder nur stationär erster oder zweiter
Ordnung) zu sein. Entsprechend ist (iii) erfüllt, wenn N ein stationärer Punktprozeß ist.

Der Satz von WOLFF wird häufig verwendet und zitiert , ich gebe die Formulierung ohne ausführlichen Beweis.
5.14.a. Satz:
(Satz von WOLFF)
Auf einem W-Raum (, A, P) seien ein Poisson--Prozeß N = (Nt: t  [0, )) und ein stochastischer Prozeß X
= (Xt: t  [0, )) mit Werten in einem Meßraum (E, S) definiert.
Für B  S sei der stochastische Prozeß U = (Ut: t  [0, )) definiert durch
1

U t ( )  
0

falls
X t ( )  B
,   .
falls
X t ( )  B
U sei Borel-meßbar, (d.h. meßbar bzgl. IB[0, A) und besitze caglad-Pfade.
Wir betrachten die folgenden Funktionale von U:
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V = (Vt: t  [0, )) mit
Vt ( ) 
W = (Wt: t  [0, )) mit
Wt ( ) 
1
U s ( )ds,
t [ 0,t )
59
  ,
t  0,
1
U s ( ) N (ds,  ),
N t ( ) [ 0,t )
  ,
t  0.
Ist dann die folgende Eigenschaft erfüllt:
(LAA) Für alle t  0 sind die Prozesse (Nt+u - Nt: u  [0, )) und (Us: 0  s  t) stochastisch unabhängig,
so gilt:
Vt  V ,
P  fs.  Wt  V ,
t,
Beweis: (Skizze s. WOLFF [82] und[89])
P  fs.
Zu zeigen sind drei Schritte:
t
t
0
0
R (t ,  ):   U (s,  ) N (ds,  )    U (s,  )ds,
(i)
t,
t  0 ,   ,
ist ein Martingal bzgl. der Filtrierung ({Ns, Us: s  t}: t  0).
t

t

0

0





(ii) E  U (s) N (ds)  E  U (s)ds ,
(iii)

R (t ) / t t
 0
t  0,
P  fs.
Dann folgt direkt mit N(t) / t  
P-fs.:
t
R (t )

t
 U (s) N (ds)
0
N (t )
N (t ) 


  U (s)ds t
 0
t
t 0
t
P-fs.
Aussage (ii) hatten wir in 5.13. S. im Beweis auch erhalten, (i) folgt mit ähnlichen Methoden, während (iii) einen

Satz von FELLER [71], S. 243, benutzt.
5.15. Beispiel: Eine typische Anwendung des Satzes von WOLFF:
Sei X der SchlL-Prozeß im M/ G/ 1/  - FCFS - System nach 5.1., 5.2., N der Poisson-Eingangsstrom in das
System, B = {0}, f = 1B. Wir wählen eine Version von X mit linksstetigen Pfaden, welche rechtsstetige Limiten
besitzen. Dies hat zur Folge, daß in der Zustandsbeschreibung der SchlL ein ankommender Kunde in seinem
Ankunftsaugenblick noch nicht mitgezählt wird.
X und damit auch U sind meßbar, und U ist ebenfalls linksstetig mit rechten Limiten. Der Prozeß U zeigt durch
Ut = 1 an, daß zur Zeit (t-) das System leer war. Damit ist pfadweise
Vt
der Anteil der Zeit in [0, t), in dem das System leer war
Wt
der Anteil der in [0, t) eintreffenden Kunden, die bei ihrer Ankunft das System leer vorfanden.
Der Satz von WOLFF (5.14.a) besagt dann für dieses Beispiel, daß der Anteil der in [0, t) ankommenden
Kunden, die das System bei ihrer Ankunft leer vorfinden, und der Anteil der Zeit in [0, t), die das System leer ist,
gegen die gleiche Zahl konvergieren - und das für P-fast alle Realisierungen   .
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60
Aus dem Ergodensatz für Funktionen Markovscher Prozesse folgt, daß für ein ergodisches M/ G/ 1/  - System
die letzte Größe mit Wahrscheinlichkeit 1
Vt  (0, 0) für t  , P-fs., erfüllt (CINLAR [75], Kap. 8.5.,
CHUNG [67], Kap. II, 14).
Die Aussage, daß im ergodischen M/ G/ 1/  - System mit Wahrscheinlichkeit 1 Wt  (0, 0) für t  , P-fs.,
gilt, ist eine Aussage über denjenigen zeitdiskreten Prozeß, den man bei Beobachtung des Systems in
Ankunftsaugenblicken erhält. Auch diesen Prozeß kann man als Funktion einer zeitdiskreten Markov-Kette, der
eingebetteten Kette des erweiterten SchlL-Prozesses, erhalten, so daß auch hier ein Ergodensatz einschlägig ist.
Da sowohl der zeitstetige erweiterte SchlL-Prozeß irreduzibel ist, als auch dessen eingebettete Markov-Kette,
sind die Grenzverteilungen auch eindeutig bestimmte stationäre Verteilungen dieser Prozesse, und nach dem Satz
5.14.a. stimmen somit diese Verteilungen überein. Kurz zusammengefaßt:
Die Gleichgewichtsverteilung in Ankunftsaugenblicken im stationären M/ G/ 1/  - System, wobei der
Neuankömmling
nicht
mitgezählt
wird,
ist
die
Gleichgewichtsverteilung
des
Systems.

Eine ausführliche Diskussion der Markov-Kette, die wir erhalten, wenn wir in Ankunftsaugenblicken auf das
System sehen, findet sich in KELLY/ POLLETT [83]; ausführlicher, mit Beweisen in HEMKER [87].
In der Formulierung über Punktprozesse ermöglichen, sind es Aussagen über das Verhältnis zeitsteiger
stationärer Prozesse und zugeordneter Palm-Maße für eingebettete Punktfolgen, siehe BACCELLI/ BREMAUD
[94].
5.16. Anmerkung:
a) Gegenüber der Aussage des Satzes von WOLFF, die das P-fs. pfadweise Verhalten eines Prozesses in stetiger
Zeit asymptotisch vergleicht mit dem Verhalten eines eingebetteten Prozesses, ist die Aussage des Satzes 5.13.
schwächer, da sie nur über Erwartungswerte formuliert wird. Dafür erhalten wir nicht nur asymptotische
Resultate. Während WOLFF [82] seinen Satz im wesentlichen mit Martingalmethoden für die Untersuchung der
auch von uns eingeführten stochastischen Integrale beweist, ist der Beweis von 5.13. demgegenüber fast
elementar.
b) Unter den Bedingungen des WOLFFschen Satzes ist die Aussage Vt  Wt ,  t  0, analog der in 5.14.a. S.
beweisbar (WOLFF [82]). Im Kontext des M/ G/ 1/  - Systems kann die auch von uns hergeleitete Beziehung
t

N (t )

E   U ( Ak )    E  U (s)ds , t  0 ,
 k 1

0

interpretiert werden als:
In jedem endlichen Intervall ist die erwartete Anzahl der Ankünfte, die (z.B.) das System leer vorfinden im
Ankunftsaugenblick, gleich der erwarteten Zeit, die das System in diesem Intervall leer ist, multipliziert mit der
Ankunftsrate (= mittlere Anzahl von Ankünften pro Zeiteinheit). Dabei sind gemäß 5.13. nicht nur stationäre

Systeme zu betrachten.
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Aus dem Satz von WOLFF, angewandt auf M/ G/ 1/  - Systeme (und allgemeine Systeme) können wir die in
5.15. B. gemachte Beobachtung zu einer Aussage über die schwache Konvergenz von Prozessen in stetiger und
diskreter Zeit fortführen. Erinnert sei an:
Xn, n  IN, X seien diskrete ZV; dann konvergiert die Folge Xn schwach gegen X genau dann, wenn die Folge
der Zähldichten gegen die Z-Dichte von X konvergiert.
5.17. Korollar:
X = (Xt: t  0) sei der erweiterte SchlL-Prozeß eines ergodischen M/ G/ 1/  - Systems nach 5.1., 5.2., Ak, k  1,
sei die Folge der Ankunftszeiten. Wird für X eine linksstetige Version gewählt, so ist Y = (Yn:= X(An): n  1) eine
homogene Markov-Kette mit demselben Zustandsraum wie X und es gilt für die eindeutig bestimmten stationären
und Grenzverteilungen  von X und ~ von Y:
 = ~

WOLFF [82] nannte die von ihm bewiesene Eigenschaft, daß (asymptotisch und stationär) die Verteilung des
Prozesses X in den Ankunftsaugenblicken des Poisson-Stromes gleich der stationären Verteilung (in stetiger Zeit)
von X ist, „POISSON ARRIVALS SEE TIME AVERAGES“: PASTA.
Es gibt eine Reihe von Abschwächungen der Voraussetzungen (für eine Diskussion siehe MELAMED/ WHITT
[90]) - so nennen MELAMED/ WHITT die in 5.13. gezeigte Eigenschaft von X: „ARRIVALS SEE TIME
AVERAGES“: ASTA.
Ebenfalls in MELAMED/ WHITT [90] finden sich eine ausführliche Diskussion und weitere Literaturhinweise.
Unter anderem ist eine Umkehrung von 5.13. bzw. 5.14.a. intensiv untersucht worden und unter dem Namen
„ANTI-PASTA“ bekannt: Falls ASTA erfüllt ist, zeige man, daß der eingebettete Punktprozeß Poissonsch ist und welche Zusatzbedingungen werden dazu noch benötigt? (Die Antwort ist im wesentlichen: Ziemlich wenig! siehe z.B. WOLFF [90], GREEN/ MELAMED [90].)
Einen technisch anderen Zugang zu Verallgemeinerungen von PASTA zeigen KÖNIG/ SCHMIDT [89], die mit
Punktprozeßtheorie EPSTA - Eigenschaften ableiten, d.h.: „EMBEDDED POINTS SEE TIME AVERAGES“.
Es sei angemerkt, daß die Aussagen von S. 5.13. und S. 5.14.a. als erstes asymptotisch gültige Charakteristiken
der betrachteten Prozesse beschreiben. Interessant ist es, den beobachteten Prozeß X = (Xt: t  0) so zu starten,
daß einer der beiden betrachteten Prozesse im Gleichgewicht ist - der andere wird dann notwendigerweise
instationär gestartet:
Wird X so gestartet, daß die eingebettete Kette (X(Ak): k = 1, 2, ...) stationär ist, so ist (gemäß dem in 5.17. K.
Angemerkten) X(0) nach , der stationären Verteilung von X zu wählen mit einer Ankunft im Zeitpunkt 0. Also
P(X(0+) = k) = (k - 1), k  1, und X ist nicht stationär.
Wird X im Gleichgewicht gestartet, X(0)  , so ist (X(Ak): k = 1, 2, ...) nicht im Gleichgewicht. Im Augenblick
der ersten Ankunft, A1, sind mit positiver Wahrscheinlichkeit schon Kunden abgegangen, aber bis (A1-) noch
keine neuen Kunden nachgekommen.
Die Sprechweise: „Ein im Gleichgewicht im M/ G/ 1 ankommender Kunde sieht die schon anwesenden Kunden
im (zeitstetigen) Gleichgewicht - sich selbst nicht mitzählend!“ ist also entweder als Aussage zum Grenzverhalten
für t   anzusehen oder bezieht sich auf einen mit Zeitachse IR definierten Prozeß, der stationär ist.
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62
Häufig wird intuitiv im Zusammenhang mit dem M/ G/ 1/  (D. 5.2., aber jetzt gemäß S. 5.14.a. mit linksstetigen
Pfaden) argumentiert. Es existiert der Grenzwert (wobei N() den Ankunftsstrom beschreibt)
a t ( j , m):  lim P (Z t  ( j , m) N [t , t  h)  1)
h0
und wird interpretiert als die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß zur Zeit (t-) das System sich in Zustand (j, m) 
(IN+{1, ..., M}{0, 0} = E befindet, gegeben t ist ein Ankunftsaugenblick. Es gilt:
a t ( j , m)  lim
P ( N [t , t  h)  1 Z t  ( j , m))  P (Z t  ( j , m))
P ( N [t , t  h)  1)
h0
 lim
h0

P( N [t , t  h)  1)  P( Z t  ( j , m))
 P( Z t  ( j , m)).
P( N [t , t  h)  1)
5.18. Definition: „Anstehende Arbeit“ im M/ G/ s/ N - FCFS - System
Wir nehmen im Gegensatz zur Festlegung in 5.1., 5.2. an, daß für jeden Kunden die geforderte BedZeit sofort
nach seiner Ankunft im System ausgewürfelt wird durch Festlegung der von ihm geforderten Anzahl von
BedPhasen. Wegen der Unabhängigkeitsannahmen für die ZwAZeiten, BedZeiten und Schalterwahlen ändert dies
den (physikalischen) Ablauf des Systems nicht - nur die Zustandsbeschreibung wird aufwendiger.
a) Der Prozeß W = (Wt: t  [0, )) beschreibe die anstehende Arbeit zur Zeit t als
Wt ist
{die Summe der RestBedZeiten von Kunden, deren Bed zur Zeit t stattfindet} plus
{die Summe der BedZeit-Forderungen von Kunden, die zur Zeit t warten}
b) Der Prozeß Wa = (Wa,n: n  IN) beschreibe die anstehende Arbeit, die neu ankommende Kunden bei ihrer
Ankunft schon vorfinden als
Wa,0 = W0,
n1
Wa,n = W(1 + ... + n)- ,
c) W = (Wt: t  [0, )) wird auch als Prozeß de virtuell anstehenden Arbeit bezeichnet, welche ein Kunde
vorfände, der zur Zeit t ankäme. Im Gegensatz dazu ist dann Wa = (Wa,n: n  IN) der Prozeß der aktuell
anstehenden
Arbeit,
welche
ein
tatsächlich
ankommender
Kunde
vorfindet.

5.19. Korollar:
a)
Ist zur Zeit t  0 der erweiterte SchlL-Prozeß eines M/ G/ s/ N - FCFS - Systems im Zustand (siehe A. 5.5.a.)
Z t  (n, k 1 , ..., k s )  E ,
so gilt: mit n  n 
s
 (1  
i 1
0ki
)
Wt ~ B n    ,k1   ,k2  ...  ,k s .
b) Die Grenzverteilungen von W und Wa existieren nur gemeinsam und stimmen überein.
Beweis: a) folgt aus den Unabhängigkeitsannahmen für das System, während b) eine direkte Folge des Satzes

von WOLFF und a) ist.
5.20. Korollar:
Für das M/ G/ 1/  - FCFS - System gilt:
a) Die Wartezeit eines Kunden ist gleich der anstehenden Arbeit in seinem Ankunftsaugenblick.
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Systeme mit nicht-exponentieller Bedienungszeitverteilung unter FCFS
63
b) Ist das System ergodisch und wird es so gestartet, daß die in Ankunftsaugenblicken eingebettete Kette
stationär ist, so ist auch die Folge der aktuellen Wartezeiten stationär und aktuelle Wartezeit hat dann die LST

s

 1   , s  0 .
s   (1  f ( s))   
w( s) 
c) Die stationäre (und asymptotische) Verweilzeitverteilung hat die LST
v( s ) 

s  f ( s)

 1   , s  0 .
s   (1  f ( s)) 

Beweis:
b) Warte- und Verweilzeiten sind Funktionen der in Ankunftsaugenblicken eingebetteten Kette, also stationär.
Für die Wartezeit W eines Kunden, der das System bei der Ankunft im Zustand Z sieht, gilt
w( s) 
e
 sx
( S .5.9 .)
dP(W  x ) 
[ 0, )


j 1
M
 e
 sx
 e dP(W  x Z  (0,0))   (0,0) 
[ 0, )
 sx
m 1 [ 0,  )

dP(W  x Z  ( j, m))   ( j , m)  (0,0)  
j 1

  (0,0)  
j 1
M
  ( j , m) f
m 1
  e sx B
M
( j 1)
m 1 [ 0 ,  )

  , m (dx) ( j , m) 
m
j 1
  
1
(s)  
 P (z, y )   (0,0)
   (0,0) 
f (s)
   s
z  f ( s ), y 

 s



s
 1  
.
  s   (1  f (s))

c) v() ergibt sich als LST der Faltung von Warte- und BedZeit.

5.21. Anmerkung:
a) Bezeichnet man, wie geschildert, als virtuelle Wartezeit zur Zeit t im M/ G/ 1/  - FCFS - System diejenige von einem äußeren Beobachter feststellbare - Zeit, die ein Kunde warten müßte, wenn er zur Zeit t ankäme und
als n-te aktuelle Wartezeit die Zeit, die der n-te Kunde warten muß, so folgt aus 5.19.b), daß aktuelle und
virtuelle Wartezeit die gleiche asymptotische Verteilung haben; denn aus der Systemstruktur ergibt sich, daß W =
(Wt: t  [0, )) der Prozeß der virtuellen, und Wa = (Wa,n: n  IN) der Prozeß der aktuellen Wartezeiten ist.
Außerdem folgt analog zu den Folgerungen aus dem Satz von WOLFF, daß aktuelle und virtuelle Wartezeit die
gleiche stationäre Verteilung haben.
b) Im Beweis von 5.20. b), c) haben wir bei der Berechnung der Verweilzeitverteilung im M/ G/ 1/  - FCFS System (über ihre LST) die bedingte Verweilzeitverteilung bestimmt, gegeben die SchlL und RestBedZeit im
Ankunftsaugenblick. Die Verteilung des erweiterten SchlL-Prozesses im Gleichgewicht haben wir dabei nicht
benutzen müssen - sie steht uns auch nicht geeignet explizit zur Verfügung.
Im Falle exp-verteilter BedZeiten stehen aber die Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten direkt zur Verfügung.
Entsprechend erhalten wir:
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Systeme mit nicht-exponentieller Bedienungszeitverteilung unter FCFS
w(s) 
e
 sx
[ 0 , )
j


   


 sx
dP (W  x X  j )  P ( X  j )     e dP (W  x X  j ) 1     

 

j0
j0 
[ 0, )



  

  
j 0    s 

(*)
64
j
j

 
s
   
1    

.
   
  s 

Insbesondere ist also die stationäre Verweilzeitverteilung im M/ M/ 1/  - FCFS exp( - )-verteilt. Von
unserem Standpunkt aus hat (*) also eine intuitive Interpretation, während 5.20. b) rein analytisch hergeleitet
wurde.
Erstaunlicherweise kann man auch für das allgemeine M/ G/ 1/  - FCFS - System die Wartezeitverteilung
analog zu (*) formal beschreiben. Dazu bemerken wir:
Im Poisson--Prozeß ist die stationäre Restlebensdauer exp()-verteilt (mit LST /(+s)): Die Darstellung (*) für
w(s) ist also ebenfalls eine Mischung von Faltungen von Restlebensdauerverteilungen eines stationären
Erneuerungsprozesses.
Betrachten wir einen allgemeinen stationären Erneuerungsprozeß mit Lebensdauerverteilungsfunktion B(t),
t  IR+, so ist dessen stationäre Restlebensdauer VF gegeben als

B( t )  
 (1  B( x))dx ,
t  0,
[ 0 ,t )
wobei -1 die mittlere Lebensdauer ist, mit LST

f ( s) 
1  f ( s)
, s  0.
s 1
Damit ergibt sich aus 5.20. b):


w ( s)   1  


j
j





1
   


 1  
   f ( s)   1     , s  0 ,


 


 
  1  f ( s)  
1  f ( s) j  0
1 

1

  s

1

W (t )  
J 0
j

      j
 1     B (t ) , t  0 .
 

Im M/ G/ 1/  - FCFS (mit exponentieller oder nicht-exponentieller BedZVerteilung) ist also die Wartezeit eine
geometrische Mischung von Faltungspotenzen der „stationären Restbedienungszeitverteilung“, wobei der
Mischungsparameter die Verkehrsintensität ist.
Verwunderlich scheint dieses Ergebnis unter der Bemerkung, daß die SchlL genau dann geometrische stationäre
Verteilung hat, wenn die BedZ VF exp() ist, und daß alle anwesenden Kunden außer dem in Bedienung

befindlichen eine effektiv nach B() und nicht nach B ( ) verteilte RestBedZeitforderung haben.
„Tempting as it is to try to give a physical explanation for the simplicity of this result and its relation to M/ M/ 1,
no satisfactory, intuitive explanation has been found to explain this dramatic form.“ (KLEINROCK [75], S. 201)
Einen ähnlichen Kommentar zu der „mysteriösen“ Darstellung von W() im nicht-exp Fall gibt COOPER [81],
S.219, und schließt: „This provides a dramatic counterexample to the folk theorem (often true) that simple results
have simple explanations.“
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Systeme mit nicht-exponentieller Bedienungszeitverteilung unter FCFS
65
Die überraschende Fortsetzung der Problembetrachtung mit einer eleganten und elementaren Erklärung des
Phänomens stammt von COOPER selbst und NIU (s. COOPER/ NIU [86]): Über einen Wechsel der
BedDisziplin ist das Resultat offensichtlich. (s. unten: symmetrische BedDisziplinen, insbesondere LCFSpreemptive-resume).

Seit 1986 ist es also doch ein einfaches, intuitiv einleuchtendes Resultat.
5.22. Satz:
Gegeben ein ergodisches M/ G/ 1/  - FCFS - System wie in 5.1., 5.2. Es sei D = (Dn: n  IN+) die Folge der
Abgangszeiten von Kunden aus dem System. Dann gilt für den SchlL-Prozeß X =(Xt: t  [0, ))
lim P ( X Dn   j )   ( j ) ,
j  0,1,...,
n
mit
 ( j) 
  ( j , m).
( j , n )E
mIN
Intuitiv gesprochen:
„Ist das System im Gleichgewicht, so ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß zur Zeit (t+) genau j Kunden im
System sind, gegeben t ist ein Abgangsaugenblick, gleich (j).“
Beweis: Sei n die Verweilzeit des n-ten Kunden im System, vn(s), s  0, die LST von n, n = 1, 2, ... . Da
Ergodizität vorausgesetzt ist, konvergieren die n in Verteilung gegen eine ZV  und die LST von  ist nach
5.20. c)

s  f ( s)

 1   , s  0 .
s   (1  f ( s)) 

v( s ) 
Da die BedDisziplin FCFS ist und genau ein BedKanal zur Verfügung steht, sind im Abgangsaugenblick Dn+
genau diejenigen Kunden im System, die während der Verweilzeit des n-ten Kunden eintrafen.
Die Verteilung der SchlL X Dn  ist also
P ( X Dn   j ) 
 P( N
t
 j  n  t )dP ( n  t ) ,
j  IN ,
[ 0 , )
wobei N =(N(t):t0) ein Poisson--Prozeß ist.
Die erzeugende Funktion von (P( X Dn  =j): j  IN) ist

z
j0
  t (t ) j 
 j )   z  P ( N t  j  n  t )dP ( n  t )   z  e
dP ( n  t ) 
j! 
j0
j0
[ 0 , )
[ 0 , ) 

j
P ( X Dn 

j
j

e
 t (1 z )
dP ( n  t )  v n ( (1  z)).
[ 0 , )
Aus der Verteilungskonvergenz
L
 n 
  folgt für jedes z  [0, 1]:
vn( (1 - z))  v( (1 - z)),
und v( (1 - z)) ist nach dem Stetigkeitssatz für erzeugende Funktionen gerade die erzeugende Funktion der
Grenzverteilung der Folge ( X Dn  : n  IN+) . Es gilt also:
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z
j IN
j
66

  (1  z) f ( (1  z))
(lim P ( X Dn   j ))  v ( (1  z))   1  
 P (z,1),
n
  f ( (1  z))  z

nach 5.12. ist also die asymptotische Verteilung in Abgangsaugenblicken gleich der (stationären und)
asymptotischen SchlL-Verteilung.
5.23. Korollar:
In einem ergodischen M/ G/ 1/  - FCFS - System seien
A = (A1, A2, ...) die Folge der Ankunftsaugenblicke,
D = (D1, D2, ...) die Folge der Abgangsaugenblicke,
X =(Xt: t  [0, )) der SchlL-Prozeß.
Dann haben die folgenden Prozesse die gleiche, jeweils eindeutig bestimmte stationäre und Grenzverteilung:
X =(Xt: t  [0, )),

XD = ( X Dn  : n  IN+) und XA = ( X An  : n  IN+).
Die Aussage in 5.23. gilt nicht für beliebige BedSysteme, wie insbesondere die Untersuchungen am G/ M/ 1/  FCFS zeigen. Eine Teilaussage jedoch gilt überraschend für weit allgemeinere Systeme.
5.24. Satz:
Sei X =(Xt: t  [0, )) ein stochastischer Prozeß mit Werten in IN, dessen Pfade P-fs. Treppenfunktionen sind
mit Sprunghöhe eins für Auf- und Absprünge. Es sei
A = (An: n  IN) die Folge der Aufsprungzeiten,
D = (Dn: n  IN) die Folge der Absprungzeiten.
Dann existieren die Grenzwerte
lim P ( X An   k )
n
und
lim P ( X Dn   k )
n
nur gemeinsam und sind gleich, sofern sie existieren.
Beweis: Wir benutzen die Bezeichnungen des M/ G/ 1/  - FCFS:
„Xt = i“  „i Kunden sind im System.“ - Es gelte X0 = i P-fs.:
i) Wir zeigen: X(Dn+i+)  k  X(An+k+1-)  k.
Sei X(Dn+i+) = j  k, d.h.: alle zur Zeit 0 anwesenden und weitere n Kunden sind bis Dn+i+ abgegangen, und vor
Dn+i sind genau n + j Ankünfte geschehen.
Beim nächsten Aufsprung nach Dn+i sind damit höchstens j Kunden (eventuell weniger) im System:
X(An+j+1-)  j.
Weitere k - j Ankünfte später hat man also höchstens j + ( k - j) Kunden im System:
X(An+j+1+(k-j)-)  X(An+k+1-)  k.
ii) Wir zeigen: X(An+k+1-)  k  X(Dn+i+)  k.
Sei X(An+k+1-) = j  k, d.h. vor (An+k+1-) gingen genau i + n + k - j Kunden ab. Also ist Di+n+k-j der letzte
Abgangsaugenblick vor An+k+1-, und es gilt:
X(Di+n+k-j+)  j, so daß (k - j) Abgangsaugenblicke vorher höchstens j + (k - j) Kunden anwesend waren:
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Systeme mit nicht-exponentieller Bedienungszeitverteilung unter FCFS
67
X(Dn+i+k-j-(k-j)+) = X(Dn+i+)  j + (k - j) = k.
iii) Wir haben also: P( X ( Dn  i  )  k )  P( X ( An  k 1 )  k ),
k , n, i  IN , also für kIN.:
lim P ( X (Dn  )  k )  lim P ( X (Dn i  )  k )  lim P ( X ( An k 1  )  k )  lim P ( X ( An  )  k ),
n
n
n
n
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Die Methode der eingebetteten Markov-Ketten und Systeme
mit nicht-exponentieller Zwischenankunftszeitverteilung
6.
68
Die Methode der eingebetteten Markov-Ketten und Systeme
mit nicht-exponentieller Zwischenankunftszeitverteilung
Grundsätzlich kann man G/ M/ s/  - FCFS - Systeme mit eben den Methoden bearbeiten, die im Kapitel 5
vorgestellt wurden. Dies wird z.B. in COHEN [82] und SCHASSBERGER [73] - in letzterem mittels
Phasenmethode - im Detail durchgeführt. Wir wollen dagegen die Untersuchung dieser Systeme zum Anlaß
nehmen, die Methode der „eingebetteten Kette“ einzuführen und anzuwenden. Die prinzipielle Idee dabei ist:
Suche eine (diskrete) Folge von Zeitpunkten, welche in der Regel von der Systementwicklung bestimmt werden,
in denen der zeitkontinuierliche Zustandsprozeß des Systems beobachtet und notiert wird.
Die Beobachtungszeitpunkte liegen dabei in der Regel nicht äquidistant, wie bei den Skeletten Markovscher
Prozesse (CHUNG [67], S. 132), sondern werden so ausgewählt, daß die zeitliche Entwicklung des Prozesses
von einem der ausgewählten Zeitpunkte zum nächsten einfach beschreibbar ist, im allgemeinen als Markov-Kette
in diskreter Zeit mit (möglichst) diskretem Zustandsraum. Ein typisches Vorgehen:
Hat man mit Hilfe von Zusatzvariablen eine Markovsche Beschreibung des zeitkontinuierlichen Systems
erhalten, so wähle man die „Einbettungspunkte“ so, daß man auf das Mitführen mindestens einer dieser
Zusatzvariablen verzichten kann. Dies ist z.B. dann möglich, wenn die Wahl der Einbettungspunkte impliziert,
daß jene Zusatzvariable in diesen Augenblicken stets denselben (ausgezeichneten) Wert annimmt.
Wir beschränken uns auf Systeme mit einem BedKanal und unbegrenztem Warteraum. Mehr-Kanal-Systeme mit
beschränktem Warteraum sind analog zu behandeln und führen zu Ergebnissen gleicher Struktur ( KLEINROCK
[75], I. Kap. 6.) Wir setzen in Kapitel 6 nicht voraus, daß A() Mischung von Erlang-Verteilungen ist.
6.1. Definition: G/ M/ 1/  - FCFS - System
Gegeben seien auf einem W-Raum (, A, P) unabhängige Folgen  = (1, 2, ...) von unabhängigen ZV, die eine
VF A() haben, mit A(0+) = 0 und Ei = -1 < , und  = (1, 2, ...) von unabhängigen exp()-verteilten ZV.
 und  sind die Folgen der ZwAZ und BedZ in einem BedSystem, das sonst wie das aus 2.1. organisiert ist.
Für t  0 sei
Xt
die SchlL zur Zeit t
Rt
die restliche ZwAZeit bis zur nächsten Ankunft nach t
Zt
= (Xt, Rt)
Für n  1 seien S n 
n

k
, die Erneuerungszeiten des von  bestimmten Erneuerungsprozesses, d.h. die
k 1
Ankunftsaugenblicke von Kunden im System.
6.2. Lemma:
a)Z = (Zt: t  [0, )) = ((Xt, Rt): t  [0, )) erlaubt eine Markovsche Beschreibung der Systementwicklung mit
Zustandsraum E = IN[0, ), S = IN  IB+. Z kann als cadlag-Version vorliegend angenommen werden.
b) Für den zeitdiskreten Prozeß
~ ~
Z  (Z n : n IN  )  (Z Sn  : n  IN  )
gilt:
_______________________________________________________________________________________________________________
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Die Methode der eingebetteten Markov-Ketten und Systeme
mit nicht-exponentieller Zwischenankunftszeitverteilung
69
~
Die zweite Komponente der Vektoren Z n ist (unabhängig von n) konstant, nämlich RSn- = 0, n  1.

Da keine Verwechslungen zu befürchten sind, verwenden wir der Kürze halber die
6.3. Definition:
Im G/ M/ 1/  - FCFS - System nach 6.1. sei X = (Xn: n  IN) mit Zustandsraum IN der SchlL-Prozeß der
eingebetteten Kette in Ankunftsaugenblicken, d.h.:
X n :  X Sn  , n  IN  .
6.4. Lemma:
X = (Xn: n  IN+) ist eine homogene Markov-Kette mit Übergangsmatrix P = (p(i, j): i, j  IN). Die ÜW sind

(t ) k  t
e
A(dt )
, k  0,1,..., i
 
 [ 0 , ) k !
p(i , i  1  k )  

(t ) h  t

e
A(dt )
,k  i  1

[ 0, ) h  i 1 h !
p(i, j)
=
0
, j > i + 1.
Beweis: a) Markov Eigenschaft und Homogenität erhält man aus der Überlegung:
Ist Yn die Anzahl der in [Sn, Sn+1) fertig bedienten Kunden, so gilt:
Xn+1 = Xn + 1 - Yn, n  1.
Da sämtliche BedZeiten exp()-verteilt und unabhängig von der sonstigen Systementwicklung sind, hängt Yn nur
ab von der Anzahl der Kunden im System zur Zeit (Sn-) und der Länge des Intervalls [Sn, Sn+1).
Diese Länge ist aber unabhängig von der Entwicklung des Systems bis Sn, insbesondere also von (X1, ..., Xn).
b) Zwischen zwei Ankunftsaugenblicken kann sich die SchlL höchstens um 1 erhöhen, so daß p(i, j) = 0
für j > i + 1 ist.
Ist jetzt Xn = i  IN, Sn+1 - Sn = n+1 = t  0, k  {0, 1, ..., i} so findet ein Übergang
i zur Zeit (Sn-)

i + 1 - k zur Zeit (Sn+1-)
statt mit der (bedingten Wahrscheinlichkeit
(t ) k  t
e
,
k!
denn die Wahrscheinlichkeit, daß k < i + 1 Kunden unter den angegebenen
Bedingungen fertig bedient werden, ist gerade die Wahrscheinlichkeit, daß in einem
Poisson--Prozeß genau k Kunden in [0, t) ankommen.
Andererseits findet unter den gleichen Bedingungen ein Übergang statt
i zur Zeit (Sn-)

0 zur Zeit (Sn+1-)
mit der (bedingten) Wahrscheinlichkeit, mit der ein Poisson--Prozeß in [0, t) mehr als i Ankünfte produziert.
Das Ergebnis folgt jetzt durch Ausintegration der Bedingung n+1 = t.

6.5. Anmerkung:
Die Matrix P der ÜW des eingebetteten SchlL-Prozesses X = (Xn: n  IN+) im G/ M/ 1/  - FCFS - System hat
die Gestalt
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mit nicht-exponentieller Zwischenankunftszeitverteilung
p(i , j )
0
1
2
3
.
0
b0
b1
b2
b3
.
1
a0
a1
a2
a3
.
2
0
a0
a1
a2
.
3
0
0
a0
a1
.
...
...
...
...
...
70
mit
( t ) h
A(dt ),

h!
[ 0 ,  ) h  i 1
i
 t ( t )
ai   e
A(dt ),
i!
[ 0, )

 e t
bi 
i  IN.
Diese Struktur der Matrix bestimmt schon im wesentlichen das asymptotische Verhalten von X. Ist nämlich X
positiv rekurrent, so muß die stationäre Verteilung geometrisch sein, unabhängig von den Werten der ai, bi,
i  IN, solange a0 > 0 und a0 + a1 < 1 ist.

Ausführliche Untersuchungen dazu findet man bei NEUTS [81], wo sogar gezeigt wird, daß analoge Aussagen
gelten, falls die ai, bi Blockmatrizen sind. Derartig blockstrukturierte Matrizen heißen dann „Matrizen vom G/ M/
1 - Typ“, die als Gleichgewichtsverteilung „Matrix-geometrische“ Vektoren liefern. Die Technik derartiger
Modelle ist in den letzten Jahren weit entwickelt worden. Entsprechende Resultate für M/ G/ 1 - Typ - Matrizen
finden sich in NEUTS [89].
6.6. Korollar:
a) X = (Xn: n  IN+) ist aperiodisch und irreduzibel

 < ,
null rekurrent

 = ,
transient

 > .
b) X ist positiv rekurrent
c) Ist A() keine Gitterverteilung und X positiv rekurrent, so ist die Grenzverteilung von X geometrisch:
lim P( X n  k )   (k )  (1   ) k , k  IN ,
n
wobei  die eindeutig bestimmte Lösung in (0, 1) der Gleichung
e
 
 t (1 )
A(dt ) ,   (0,1), ist.
[ 0 , )
Beweis: b) COHEN [82], S. 204ff.
b) Sei  < ; dann ist die Lösung der Gleichung x = x P zu suchen und zu normieren. Für k  1 gilt explizit:





(t ) i
x (k )   x (i ) p(i , k )   x (i  k  1)a i   x (i  k  1)  e  t
A(dt ) ,
i!
i0
i0
i0
 [ 0 , )

und der formale Ansatz
x (k )   k  0 führt auf

  
k
i0
Also muß
 
e
i  k 1
e
 t (t )
[ 0 )
t (1 )
A(dt )
i!
i
A(dt )  
k 1
e
 t
[ 0 , )
(t ) i
A(dt ).

i!
i0

gelöst werden.
[ 0, )
Nach einem Lemma von TAKACS (siehe COHEN [82], S. 653) hat unter den hier vorliegenden Bedingungen

diese Gleichung genau eine Lösung in (0,1).
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SS 2001
Hans Daduna
Die Methode der eingebetteten Markov-Ketten und Systeme
mit nicht-exponentieller Zwischenankunftszeitverteilung
71
6.7. Korollar:
Der in Ankunftsaugenblicken eingebettete SchlL-Prozeß X des G/ M/ 1/  - FCFS - Systems sei stationär. Dann
ist die aktuelle Verweilzeit eines Kunden im System exp((1 - ))-verteilt, wobei  die in 6.6. angegebene Lösung
der Gleichung
 
e
t (1 )
A(dt )

in (0, 1) ist.
[ 0, )
6.8. Satz:
Es sei X = (Xt: t  [0, )) der SchlL-Prozeß in kontinuierlicher Zeit im G/ M/ 1/  - FCFS - System. Es gelte
 < , d.h. der erweiterte SchlL-Prozeß ist ein ergodischer Markov Prozeß.
Dann gilt:
lim P ( X t  k ) 
t 

(1   ) k 1 , k  1 ,

lim P( X t  0)  1 
t 

.

Die Gleichgewichtsverteilung in Abgangsaugenblicken ist also (und damit nach 5.22. auch diejenige in
Ankunftsaugenblicken) von der stationären SchlL-Verteilung im stetigen System verschieden, falls i nicht
exp()-verteilt.

Beweis: COHEN [82], S. 220ff., SCHASSBERGER [73], S. 99ff.
Parallel zu der hier vorgestellten Untersuchung kann auch im M/ G/ 1/  - FCFS - System eine einfache
eingebettete Markov-Kette identifiziert werden: Durch Beobachtung des Systems zu den Zeiten, in denen eine
BedZeit gerade ausläuft, erhält man eine Markov-Kette auf IN, wenn der abgehende Kunde nicht mitgezählt wird,
und die (stets den Wert 0 anzeigende) Restlebensdauerkomponente gestrichen wird.
Bei der Untersuchung eines G/ G/ 1/  - FCFS - Systems kann man (auf zwei Arten) eine der benötigten
Hilfsvariablen einsparen und erhält so einen einfacheren eingebetteten Prozeß.
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Hans Daduna