¨Ubungen zur K-Theorie für Operatoralgebren SoSe 2017 Siegfried

Übungen zur K-Theorie für Operatoralgebren SoSe 2017
Siegfried Echterhoff und Dominic Enders
Blatt 7
Aufabe 1. Eine UHF-Algebra ist ein induktiver Limes einer induktiven Folge der Form
(1)
ϕ3
ϕ2
ϕ1
ϕ4
Mm1 (C) → Mm2 (C) → Mm3 (C) → Mm4 (C) → · · ·
in der alle ∗-Homomorphismen ϕk : Mmk (C) → Mmk+1 (C) unital sind.
(a) Zeigen Sie, dass die zugehörige induktive Folge von K-Gruppen isomorph ist zu einer Folge
der Form
n
n
n
n
Z →1 Z →2 Z →3 Z →4 · · · ,
(2)
wobei (nk )k∈N eine Folge von positiven natürlichen Zahlen ist und im k-ten Schritt der Homomorphismus von Z nach Z durch Multiplikation mit nk gegeben ist.
(b) Zeigen Sie, dass umgekehrt zu jeder induktiven Folge von Gruppen wie in (2) eine induktive
Folge von Matrixalgebren wie in (1) existiert, so dass (2) die zugehörige induktive Folge von
K-Gruppen ist.
(c) Jede UHF-Algebra lässt sich als induktiver Limes einer Folge wie in (1) realisieren, in der
Mm1 (C) = C (also m1 = 1) gilt.
Aufgabe 2. (a) Sei (nk )k∈N eine Folge von positiven natürlichen Zahlen. Zeigen Sie, dass der
induktive Limes (H, H + ) := limk (Z, N0 , nk ) der geordneten induktiven Folge aus Formel (2) von
Aufgabe 1 gegeben ist durch
Y
k
(3)
H = { ∈ Q : k ∈ Z, ∃I ⊆ N endlich, mit l =
nki } undH + = H ∩ Q+ .
l
i∈I
(b) Zeigen Sie: Ist (Mmk (C), ϕk ) eine induktive Folge von Matrixalgebren wie in (1) mit m1 = 1
und ist (nk )k∈N die zugehörige Folge von positiven natürlichen Zahlen wie in (2), so gilt für
A = limk (Mmk (C), ϕk ):
(K0 (A), K0 (A)+ , [1A ]0 ) ∼
= (H, H + , 1)
mit (H, H + ) wie in (a).
Aufgabe 3. (a) Sei (rj )j∈N eine Folge mit rj ∈ {0, 1, 2, . . . , ∞} (rj kann also auch den Wert ∞
annehmen). Zeigen Sie:
(4)
∞
Y
k
s
pj j mit sj ∈ {0, 1, . . . , rj } und sj = 0 für fast alle j ∈ N}.
L = { : k ∈ Z, l =
l
j=1
ist eine additive Untergruppe von Q mit 1 ∈ L.
(b) Sei nun (nk )k∈N eine Folge von positiven natürlichen Zahlen und sei (rj )j∈N definiert durch
Q
rj := supk {max{s ∈ N0 : psj ki=1 ni }}. Dann stimmt die Untergruppe H von Q aus (3) mit der
Untergruppe L von Q aus (4) überein.
Aufgabe 4 Zeigen Sie: Es gibt eine Eins-zu-Eins Beziehung zwischen den Isomorphieklassen
von UHF-Algebren und den additiven Untergruppen H von Q mit 1 ∈ H.
Für welche Folgen {Mmk (C), ϕk }k gilt für die zugehörige UHF-Algebra A = limk {Ak , ϕk },
dass
(K0 (A), K0 (A)+ , [1A ]) ∼
= (Q, Q+ , 1)?
Hinweis: Sei H ⊆ Q eine additive Untergruppe mit 1 ∈ H. Ist dann pj die j-te Primzahl, so
betrachte rj = sup{r : p1r ∈ H}.
j
Abgabe: Montag, den 19.06.2017 in der Vorlesung.
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