Termvergleiche - SINUS

Anhang 31: Termvergleiche
nach Notizen von Frau StD Gisela Müller in Rheine
Initialsituation:
Anne, Bernd und Carl unterhalten sich lebhaft über eine Aufgabe aus dem morgendlichen Unterricht.
Bernd sagt gerade: Aber das ist doch richtig gewesen. Die Differenz zweier
Zahlen ungleich Null ist immer kleiner als ihr Produkt. Das gilt doch sogar für
die Summe.
Carl erwidert: Aber in der Mathematik muß man doch immer genau sagen, welche Zahlen man meint, und du sprichst doch wohl nur von positiven Zahlen,
denn z.B. ist −3 − 3 > −3 · 3.
Bernd: O.k., also bei positiven Zahlen.
Anne ist immer noch nicht einverstanden: Für die Summe gilt aber 2 + 2 = 2 · 2,
1
1
und für die Differenz weiß ich auch ein Gegenbeispiel: 1 − = 1 · .
2
2
Carl greift Annes Anregung auf: Ich glaube, daß es viele Brüche zwischen 0 und
1 gibt, für die ihre Differenz gleich ihrem Produkt ist, denn in diesem Bereich ist
ein Produkt immer kleiner als ein Faktor.
Bernd: Das klingt logisch. Findest du denn Beispiele?
1 1 1 1
Anne hat offenbar schon überlegt: − = ⋅ .
2 3 2 3
Bernd ist verblüfft: Das sieht ja so aus, als ob die Gleichheit für alle Stammbrüche gilt.
Carl: Und du meinst, daß du diesmal Recht hast?
Die Lehrerin, die sich herangepirscht hat, nennt weitere Beispiele:
3 3 3 3 4 4 4 4
− = ⋅ ,
− = ⋅ .
4 7 4 7 5 9 5 9
Fast gleichzeitig rufen Anne und Bernd: Ich weiß jetzt, wie man die Beispiele
findet.
Carl fragt nachdenklich: Gibt es noch andere Zahlen, ich meine mit anderem
Bildungsgesetz, deren Differenz gleich ihrem Produkt ist? Laßt uns die Gleichheit doch einmal genauer untersuchen.
a) Welche der aufgetauchten Vermutungen lassen sich nachweisen, welche
nicht? Wie sieht die genauere Untersuchung aus?
b) Suche nach weiteren Problemen, die denen im obigen Gespräch verwandt
sind. Kannst du sie mit den Methoden aus a) lösen?
Lösung (bezogen auf a)):
1. Vermutung: Die Differenz zweier Stammbrüche ist gleich ihrem Produkt.
133
1 1 1 1
− ≠ ⋅ sieht.
3 6 3 6
Korrektur (s. die beiden Beispiele): Die Differenz aufeinanderfolgender Stammbrüche ist gleich ihrem Produkt.
1
1
1
1 1
In der Tat: −
=
= ⋅
.
n n + 1 n ⋅ (n + 1) n n + 1
m
m
m m
2. Vermutung: −
= ⋅
.
n n+m n n+m
m2
Sie trifft zu, weil beide Seiten gleich
sind.
n ⋅ (n + m)
Die korrigierte 1. Vermutung zeigt den Sonderfall m = 1.
Sie ist falsch, wie man an
Ganz allgemein muß man die Lösungspaare (x;y) mit x – y = x·y suchen. Dies
x
führt zu y =
. Zu jedem x ≠ −1 (durchaus auch zu negativen Werten, s. o.a.
x +1
Gespräch) gibt es also genau einen Lösungspartner y. Beide früheren Aussagen
1
m
werden damit umgriffen (x =
bzw. x =
). Für x = −1 erhält man die unern
n
füllbare Gleichung −1 − y = −y .
Mögliche Variationen (bezogen auf b)):
a) Für welche Zahlenpaare ist die Summe gleich ihrem Produkt?
x
. Zu jedem x ≠ 1 gibt es also genau einen
x −1
Lösungspartner y. Im Falle x = 1 hat man die unerfüllbare Gleichung 1 + y
n +1
1
1
= y . Zwei Sonderfälle: x =
und y = n + 1 sowie x = und y =
.
n
n
1− n
Und eine Besonderheit: Mit (x;y) ist auch (y;x) ein Lösungspaar.)
(Aus x + y = x · y folgt y =
b) Für welche Zahlenpaare ist deren Differenz gleich ihrer Summe?
(Aus x − y = x + y folgt y = 0 bei beliebigem x. Lösungspaare sind demnach
solche mit zweitem Partner 0.)
c) Für welche Zahlenpaare ist die Differenz der Partner gleich ihrem Quotienten?
x ± x ⋅ (x − 4)
. D.h.: Für
2
x·(x−4) > 0 (also für x > 4 oder x < 0) gibt es zu jedem x zwei Partner y, für
x·(x−4) = 0 genau einen Partner (allerdings scheidet x = 0 aus, da dazu das
unerlaubte y = 0 gehören würde), für x·(x−4) < 0 (also für 0 < x < 4) keinen
Partner.)
(x − y = x : y führt über y2 − xy + x = 0 zu y1,2 =
134
d) Für welche Zahlenpaare ist die Summe der Partner gleich ihrem Quotienten?
− x ± x ⋅ (x + 4)
. Dem2
nach gibt es für x·(x+4) > 0 (also für x < −4 oder x > 0) zu jedem x zwei
Partner y, für x·(x+4) = 0 (also i.w. für x = −4) genau einen Partner, ansonsten keinen.)
(x + y = x : y führt über y2 + xy − x = 0 zu y1,2 =
e) Für welche Zahlenpaare ist das Produkt der Partner gleich ihrem Quotienten?
(Aus x · y = x : y folgt y2x = x. x = 0 führt zu beliebigem y ≠ 0. x ≠ 0 erbringt y2 = 1, also y = ± 1.)
Hinweis: Bisher haben wir nur die zu vergleichenden Verknüpfungen variiert
bzw. kombiniert. Das ergibt insgesamt
4I
F
G
H2J
K= 6 Möglichkeiten. Als nächstes ver-
ändern wir das Gleichheitszeichen.
f) Für welche Zahlenpaare ist ihre Differenz kleiner als ihr Produkt? (Mit diesem Vergleich begann das Gespräch!)
(Aus x − y < x · y folgt für 1 + x > 0, daß y >
für 1 + x < 0, daß y <
x
(Beispiel: (−2;1)).
1+ x
135
x
(Beispiel: (3;2)) und
1+ x
Die Zeichnung zeigt die Hyperbel x − y = xy bzw. y = x/(1+x) (also die Lösungs“punkte“ des Ausgangsproblems) mitsamt ihrer lotrechten Asymptote
1+x = 0. Alle Punkt zwischen den Hyperbelästen (die nicht auf dieser
Asymptote liegen) sind Lösungspunkte der Ungleichung x − y < xy, alle
sonstigen Nichthyperbelpunkte genügen der Ungleichung x − y > xy .)
Hinweis: Entsprechend lassen sich alle Ungleichungen lösen, die zu den o.a.
Varianten führen.
g) Wir haben bisher zwischen Verknüpfungen verglichen. Wie ist das, wenn
wir innerhalb einer Verknüpfung vergleichen, nämlich dadurch, daß wir die
beteiligten Zahlen vertauschen?
(Nicht überall gilt ja das Kommutativgesetz, welches gerade aussagt, daß
man vertauschen darf, so daß jedes mögliche Paar Lösungspaar ist.
α) Für welche Paare (x;y) gilt x − y = y − x ?
Weiterrechnen führt zu x = y. Lösungspaare sind also alle (x;x).
β) Für welche Paare (x;y) gilt x : y = y : x ?
Ausgeschlossen sind zunächst x,y = 0. Ansonsten gilt x2 = y2, also x = y
und x = −y . Lösungspaare sind also alle (x;x) und (x;−x) mit x ≠ 0.
γ) Für welche Paare (x;y) gilt xy = yx ?
Selbstverständlich für alle erlaubten Paare (x;x); ebenso für (4;2) und
(2;4) und überhaupt mit (x;y) auch für (y;x). Aber gibt es noch andere
Paare mit x ≠ y ?
136
Der Funktionsplotter zeigt im einzig interessanten ersten Quadranten einerseits die erwartete Gerade y = x, andererseits aber auch eine dazu
symmetrische hyperbelförmige Kurve, der die Punkte (4;2) und (2;4) angehören. Auf dieser Kurve liegen offensichtlich alle weiteren Lösungspunkte. Wie kann man sie algebraisch erhalten?
x ln x
Aus xy = yx folgt durch Logarithmieren =
. Dieser Gleichung wird
y ln y
Ft + 1I und y = Ft + 1I mit t ∉ [−1;0] . Dies
(für x ≠ y) genügt durch x =
Ht K
Ht K
t
t
ist die Parameterdarstellung für alle nichttrivialen Lösungspaare bzw. für
die o.a. Kurve.
Beispiele: Für t = 1 ergibt sich (2;4), t = 2 führt zu (2,25: 3,375), t = −4 zu
(3,160; 2,370).
Der (scheinbare) Schnittpunkt von Kurve und Gerade ist (e;e); denn für t
→ ∞ gilt sowohl x → e als auch y → e .)
h) Analog zum Kommutativgesetz untersuchen wir nun, wann ausnahmsweise
Assoziativität gilt.
Wieder gilt sie für + und · durchgehend.
α) Für welche Tripel (x;y;z) gilt (x − y) − z = x − (y − z) ?
(Aus der Gleichung folgt sofort z = 0. Lösungstripel sind also alle (x;y;0).
β) Für welche Tripel (x;y;z) gilt (x : y) : z = (x : (y : z) ?
(Aus der Gleichung folgt z2 = 1. Lösungstripel sind alle (x;y;z) mit y ≠ 0
und z = 1.)
z
γ) Für welche Tripel (x;y;z) gilt ( x y ) z = x(y ) ?
z
(Zunächst kann man die Bedingung umschreiben: (*) x yz = x(y ) .
Fall 1: x = 0
Fall 1.1: yz = yz = 0
Fall 1.1.1: y = 0 ∧ z ≠ 0
Fall 1.1.2: z = 0 ∧ yz = 0 (unmöglich)
Fall 1.2: yz ≠ 0 ∧ yz ≠ 0
d.h. y ≠ 0 ∧ z ≠ 0
insgesamt: alle (0;y;z) mit z ≠ 0
Fall 2: x = 1
137
alle (1;y;z)
Fall 3: x sonst
Dann ist yz = yz .
Fall 3.1: y = 0 ∧ z ≠ 0
alle (x;0;z) mit x,z ≠ 0
Fall 3.2: y ≠ 0
Dann ist zunächst auch z ≠ 0.
−
z = yz 1
Triviale Lösung: z = 1, y beliebig, d.h.
(x;y;1) mit x,y ≠ 0 .
Weiterhin alle (x;
niertem
1
z z-1
1
z-1
z ;z)
.
138
mit x ≠ 0;1, z ≠ 1 und defi-
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