Beispiele aus dem täglichen Leben

III. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
und unabhängige Ereignisse
 Beispiel (Zweimaliges Würfeln):

 A : mindestens eine 6
P(A) =
11
36
 Bekannte Vorinformation:
B : Augensumme ist höchstens 7
 | B |  21  P( A | B) 
2
21
 Definition:
P( A | B ) 
P( A  B )
P( B )
heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B,
falls P(B) > 0.
 Situation ():
 Angenommen, Sie erkennen am Klang der Schritte, dass
die Person, die gleich um die Ecke kommt, eine Frau ist.
 Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine
Autofahrerin handelt, also
P( A | W ) 
P( A  W ) 0,1

 0,25
P(W )
0,4
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 97 -
 Definition:
Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig,
falls
P( A  B)  P( A)  P( B) .
 Situation ():
 Frage:
 Bekannt:
Sind Geschlecht und Beförderungsmittel
unabhängig?
P( A )  0,55
 P(W )  P( A )  0,4  0,55  0,22
P(W )  0,4
und P(W  A )  0,3
 Antwort: Nein.
 Bemerkung:
Gründe für die Bedeutsamkeit der stochastischen
Unabhängigkeit:
 Der Nachweis, dass zwei Ereignisse abhängig sind, führt
oft zur Suche nach dem kausalen Zusammenhang.
 Ermöglicht die Überprüfung, ob eine modellmäßige
Annahme der Unabhängigkeit mit konkret vorliegenden
Beobachtungen verträglich ist.
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 98 -
 Satz:
P( A  B )  P( A | B )  P( B )
[  P( B | A)  P( A) ]
 Beispiel:
 Situation: In einer Schachtel befinden sich 6 Akkus,
davon sind zwei leer. Jetzt werden zwei
Akkus für den Walkman gebraucht.
 Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden
entnommenen Akkus voll sind.
A : Der erste Akku ist voll.
B : Der zweite Akku ist voll.
 Gesucht: P ( A  B )
P( A) 
4
6
P( B | A) 
3
5
 P( A  B)  P( B | A)  P( A) 
3 4
  0,4
5 6
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 99 -
 Beispiel:
 Situation: Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden
nacheinander 3 Karten gezogen.
 Gesucht:
Gesucht:
Wahrscheinlichkeit, im dritten Zug eine 7 zu
ziehen.
Ai : Im i-ten Zug wird eine 7 gezogen
P( A3 )
P( A1 ) 
4
32
P( A1 ) 
28
32
P( A2 | A1 ) 
3
31
P( A2 | A1 ) 
4
31
P( A2 | A1 ) 
28
31
P( A2 | A1 ) 
27
31
„Günstige“ Kombinationen
usw.
Wahrscheinlichkeiten
A1 A2 A3
4 3 2
24
 

32 31 30 29.760
A1 A2 A3
4 28 3
336
 

32 31 30 29.760
A1 A2 A3
28 4 3
336
 

32 31 30 29.760
A1 A2 A3
28 27 4
3024
 

32 31 30 29.760
disjunkte Ereignisse 

3720
 0,125
29.760
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 100 -
Alternative Lösung über „Wahrscheinlichkeitsbaum“
28
32
4
32
1. Zug
eine 7
1. Zug
keine 7
3
31
2. Zug
eine 7
2
30
3. Zug
eine 7
28
31
4
31
2. Zug
keine 7
2. Zug
eine 7
27
31
2. Zug
keine 7
28
30
3
30
27
30
3
30
27
30
4
30
26
30
3. Zug
keine 7
3. Zug
eine 7
3. Zug
keine 7
3. Zug
eine 7
3. Zug
keine 7
3. Zug
eine 7
3. Zug
keine 7
Die jeweiligen „Wege“ zum Ziel „3. Zug eine 7“ sind disjunkt.
Deshalb ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit durch Addition der
Einzelwahrscheinlichkeiten:
P(3. Zug eine 7) =

4 3 2
4 28 3 28 4 3 28 27 4
     
  
 
 0,125
32 31 30 32 31 30 32 31 30 32 31 30
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 101 -
IV. Lotto (Auszüge der Kombinatorik)
 Situation:
 Beim Lotto werden aus 49 durchnummerierten Kugeln
(zufällig) 6 Kugeln nacheinander durch Ziehen ohne
Zurücklegen ausgewählt. Dabei spielt die Reihenfolge der
gezogenen Zahlen keine Rolle.
(Hier: Ohne Zusatzzahl)
 Von Interesse:
A : 6 Richtige
 Jede Kombination der 6 gezogenen Zahlen ist gleich
wahrscheinlich → Laplace-Experiment
 P( A) 
 Offensichtlich:
 Gesucht:
| A|
||
|A| = 1
|Ω|
|Ω| : Anzahl aller Möglichkeiten, aus 49 Kugeln 6
Kugeln ohne Zurücklegen zu ziehen.
 Satz:
Sei k ≤ n, dann gibt es
n
n!
  
k!(n  k )!  k 
Möglichkeiten, k-elementige Teilmengen aus einer
n-elementigen Menge zu bilden.
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 102 -
 Beim Lotto:
 49 
49!


|

|


 6  6! 43!  13.983.816

 
 Damit ist die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige
P( A) 
1
 0,0000000715
13.983.816
(also ca. 1:14 Millionen)
 Noch ein Lotto-Beispiel:
 B : 4 Richtige beim Lotto
(ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl)
 Gesucht:
P( B) 
|B|
||
 6   43 
| B |        13.545
 4  2 
 6   43 
    
| B |  4  2 
13.545
 P( B ) 


 0,00096862
49
||
13.983.816
 
 
6
9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
- 103 -