Aufgabensammlung der Arbeitsgruppe Mathematik des
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-1- Aufgabensammlung der Arbeitsgruppe Mathematik des Netzwerkes im Regierungsbezirk Düsseldorf, NRW im BLK-Programm SINUS „Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts“ -2- Aufgabensammlung der Arbeitsgruppe Mathematik des Netzwerkes Bezirksregierung Düsseldorf Was zeigt uns TIMSS? Große Anteile der Schülerinnen und Schüler haben Schwierigkeiten mit anspruchsvolleren Aufgaben und Problemstellungen. An Aufgaben, die zugleich Basiswissen, Problemlösen und Kenntnisse aus verschiedenen Jahrgängen und Fächern verlangen, scheiterten die Schülerinnen und Schüler. Solche Aufgaben sind für sie ungewohnt, da sie kaum im Unterricht vorkommen. Wir wollen diese Lücke schließen. Eine Gruppe von Lehrerinnen und Lehrern aus dem Regierungsbezirk Düsseldorf haben sich im Rahmen des BLK-Programms SINUS zusammengefunden. Sie kommen von folgenden Schulen: B.M.V.-Schule, Essen Franz-Meyers-Gymnasium, Mönchengladbach Gesamtschule Meiderich, Duisburg Michael-Ende-Gymnasium, Tönisvorst Willy-Brandt-Gesamtschule, Mülheim Wir haben Aufgaben entwickelt, die Wissen aus verschiedenen Lernbereichen miteinander vernetzen, einen realistischeren Kontext, einen höheren Wirklichkeitsbezug haben, Schüler zum Bilden von Modellen anregen, verschiedene Lösungswege zulassen, die Beurteilung von Ergebnissen verlangen, Zugang und Lösung auf verschiedenen Anspruchsniveaus ermöglichen, mathematisches Basiswissen verlangen, offen sind und Anlässe zum entdeckenden und problemlösenden Denken geben. Unsere Aufgaben sind zur Sicherung von Basiswissen gedacht. Sie sind als wiederholende Aufgaben konzipiert worden, können aber auch zur Einführung des Stoffes eingesetzt werden. -3Hinweise zur Benutzung: Die Aufgaben sind nummeriert. Dabei gibt die Zahl vor dem Punkt die Klassenstufe an, in der diese Aufgabe zur Wiederholung verwendet werden kann. Die Zahl nach dem Punkt dient zur fortlaufenden Nummerierung. So bedeutet zum Beispiel „9.11“: zur Lösung der Aufgabe wird der Unterrichtsstoff bis einschließlich Klasse 8 benötigt. Es kann allerdings bedingt durch unterschiedliche Curricula zu Abweichungen kommen. Weiterhin kann aus einer Übersicht ersehen werden, welche thematischen Schwerpunkte in den einzelnen Aufgaben angesprochen werden. Zu jeder Aufgabe liegt ebenfalls ein Lösungshinweis vor. Die Aufgaben liegen sowohl in gedruckter Form als auch als CD-ROM (WORD-Dateien) vor. Ansprechpartner: Dr. Norbert Esper [email protected] -4- X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Terme und Gleichungen X X X Pythagoras / Trigonometrie X X Größenumrechnung Landwirt Peters Bremsweg Hochsprung X X Gleichungssysteme 10.1 10.2 10.3. X Funktionen, exponentiell Tropfsteine Telefontarife Gasthaus Geschenk Fährschiffe Schiffskarambolagen Kanalüberquerung Schulweg Stromtarife Kerze Baufirma Schwimmbecken Füllen eines Beckens Füllen einer Vase Füllgraph Texte zu Termen Renovieren Maisfeld ICE Flächeninhalt eines Grundstücks Gemüsebeet X Funktionen, quadratisch 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 9.18 9.19 9.20 9.21 X X X Funktionen, linear Gärtnerei Copy-Shop Geburtstagsgeschenk Sprungweiten Wechselkurse Saft Fahrradtour Roller-Scates Taxifahrt Kupfer und Zink Werkstück Garten Frostschutzmittel Computerladen Herzvolumen Wasservorräte Küchenkauf Atemluft Flächenberechnung 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 Körperberechnung Titel Prozentrechnung Aufgabe X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X -510.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 Jeanshosen Schaltungen Rosenbeet Freier Fall Vergrößern Fresh-Drinks Verpackung von Kandis Kugelstoßen 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11 11.12 11.13 11.14 11.15 11.16 11.17 Wachstum von Algen Füllen einer Vase Immer weniger Deutsche Abkühlen von Tee Radioaktiver Zerfall Erlenmeyerkolben Sandhaufen Kieswerk Weingläser Salmonellen Gasflasche Blumenkübel Konservendosen Schokolade Firmenlogo Fernbedienung Zimmer X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X -6- Aufgabe 8.1 Gärtnerei In einer Gärtnerei werden kleine, quaderförmige Schalen bepflanzt. Sie haben folgende Abmessungen: Höhe 7,5cm, Breite 9cm, Länge 17cm. 1. Wie viel cm³ Blumenerde ist für eine Schale erforderlich, wenn sie bis auf 1cm unterm Rand gefüllt werden soll? 2. Ein 50 l Sack Blumenerde kostet 6,40 Euro, wie hoch sind die Kosten für das Füllen des Blumenkastens? 3. Wie viel Prozent weniger Blumenerde werden benötigt, wenn man die Grundfläche gemäß der Skizze verkleinert? 12,5 cm 9 cm 5 cm 17 cm 4. 5. 6. 7. In der Gärtnerei wird eine bepflanzte Schale für 6,60 Euro zum Verkauf angeboten. Die Kosten lagen bei 0,08 Euro für die Blumenerde, 1,40 Euro für die Pflanzen und 0,95 Euro für die Schale. Vergleiche den Verkaufspreis mit der Summe der Kosten! Ein großes Restaurant kauft zur Dekoration der Tische 35 dieser Pflanzschalen und erhält einen Rabatt von 5%. Wie hoch ist der Rechnungsbetrag? Wie viele Schalen aus 1. und 2. passen maximal auf eine Transportpalette von 36cm x 61cm Größe? Skizziere die optimale Anordnung! Wie verändern sich die Kosten für Blumenerde und Pflanzen, wenn alle Maße einschließlich Rand verdoppelt werden? -7- Lösungshinweise 8.1 Gärtnerei 1. Blumenerde pro quaderförmige Schale: V 17cm 9cm 6,5cm 994,5cm3 2. Preis für die Blumenerde = 3. 5. Verkleinerung der Grundfläche von 153 cm2 um 2 2cm 2,25cm 9cm 2 9 0,058823... 5,9% 9 cm2 von 153 cm2 = 153 Es wird 5,9% weniger Blumenerde benötigt, wenn man die Grundfläche gemäß der Skizze verkleinert. Kosten für Blumenerde, Pflanzen und Schale = 2,43 Euro 660 2,7160... 271,6% Verkaufspreis = 6,60 Euro 243 417 171,6% Differenz = 4,17 Euro 243 Rechnungsbetrag des Restaurants: 35 0,95 6,60 Euro = 219,45 Euro 6. Es passen maximal 14 Schalen beider Formen auf die Transportpalette. 4. 6,40 0,9945 Euro 0,13 Euro 50 36 cm 61 cm 7. Werden alle Maße einschließlich Rand verdoppelt, so vervierfachen sich die Kosten für die Pflanzen und verachtfachen sich die Kosten für die Blumenerde. Die Kosten für die Blumenerde sind 8-mal so groß, für die Pflanzen viermal. -8- Aufgabe 8.2 Werbung im Copy-Shop Sie können bei uns Farbkopien erstellen: erste Seite 1 € jede weitere Seite 0,75 € Bei der Firma Quick-Copy gibt es folgendes Angebot: 2. 3. 4. 5. 6 7. Berechne den Preis für das Kopieren von a) 4 Seiten b) 9 Seiten. Die Kopiervorlage umfasst n Seiten. Stelle den Term für den zugehörigen Preis auf! Vereinfache diesen Term so weit wie möglich! Zeichne den Graphen der Zuordnung Anzahl der Seiten x Preis y (in €) in ein Koordinatensystem. Begründe, warum es sich bei dieser Zuordnung nicht um eine proportionale Zuordnung handelt! Wie viele Seiten kann man kopieren, wenn man nicht mehr als 13 € ausgeben will? Herr Kleine möchte einen bebilderten Text kopieren, der 24 Seiten umfasst. Da ihm der Preis zu hoch ist, verkleinert er seinen Text so, dass er jeweils 2 Seiten zu einer Seite zusammenfassen kann. Spart er dadurch 50 %? Das Angebot der Konkurrenzfirma Avanti-Copy kann man der folgenden Graphik entnehmen: Preis in € 1. 40 30 20 10 10 a) b) c) d) 20 30 40 50 60 70 80 Stückzahl Wie viel € kosten 10, 25, 40, 60 Kopien? Formuliere das Angebot in Worten (Erstelle ein Plakat)! Fatima muss 6 Kopien machen. Gibt es für sie Möglichkeiten Geld zu sparen? Bei welchen Stückzahlen kann man weitere Kopien erstellen, ohne mehr zu bezahlen? -9- Lösungshinweise 8.2 Werbung im Copy-Shop a) 3,25 € b) 7 € 1 (n 1) 0,75 0,25 0,75n Preis in € 1. 2. 3. 40 30 20 10 10 4. 5. 6. 7. 20 30 40 50 Stückzahl 2 Kopien kosten 1,75 € ; 4 Kopien kosten 3,25 € : die Zuordnung ist nicht proportional, weil der doppelten Menge nicht der doppelte Preis zugeordnet wird. 0,25 + 0,75n 13 n 17 24 Seiten kosten 18,25 € ; 12 Seiten kosten 9,25 € ; Herr Kleine spart 49,3 % a) 10 Kopien 8 € 25 Kopien 20 € 40 Kopien 32 € 60 Kopien 30 € b) bis zu 9 Kopien 2 € pro Stück 10 bis 49 Kopien 0,80 € pro Stück ab 50 Kopien 0,50 € pro Stück c) Fatima sollte 10 Kopien machen, denn 6 Kopien kosten 12 € und 10 Kopien nur 8 € d) Beispiele : statt 7 Kopien sollte man 10 Kopien machen statt 32 Kopien sollte man 50 Kopien machen - 10 - Aufgabe 8.3 Das Geburtstagsgeschenk: Ein Karton mit Popkorn Heike möchte ihrer Schwester zum Geburtstag einen selbstgebastelten Geschenkkarton schenken, der mit Popkorn gefüllt wird. Ein Schreibwarengeschäft bietet farbiges Tonpapier in der Größe DIN A2 an. Ein DIN A2-Blatt hat die Form eines 420 mm breiten und 594 mm langen Rechtecks. 1. Berechne den Flächeninhalt eines solchen DIN A2-Blattes in cm2! Heike kauft einen solchen Bogen Tonpapier. Daraus möchte sie einen Quader mit den angegebenen Maßen basteln. 2. Heike zeichnet zur Vorbereitung zwei Netze des Quaders (ohne Klebekanten) im Maßstab 1 : 5. Begründe, warum diese Netze nicht geeignet sind! 3. Zeichne ein geeignetes Netz des Quaders (ohne Klebekanten) im Maßstab 1 : 5 ! 4. Berechne den Flächeninhalt des Abfalls (Verschnitts) (in cm2), der übrig bleibt, wenn du aus Deinem Netz den Quader baust. Wieviel Prozent sind dies? Kannst du durch ein anderes Netz den Abfall (in cm2 ) verändern? 5. Wie viel Gramm wiegt der Quader, wenn das Tonpapier die Qualität 240 g pro m2 hat? 6. Heike kauft im Supermarkt einen 5-Liter-Eimer Popkorn. Sie möchte den Quader vollständig füllen und ihrer Schwester schenken. Den Rest behält sie. Wer hat mehr Popkorn? 7. Welche Abmessungen könnte ein Quader haben, damit beide die gleiche Menge Popkorn bekommen? - 11 - Lösungshinweise 8.3 Geburtstagsgeschenk 1. Flächeninhalt des DIN A2 – Blattes : 420mm 594mm 2494,8cm 2 2. Bei Netz 1 würde die Grundfläche 20 cm x 15 cm sein. Bei Netz 2 würden zwei Seitenflächen übereinander geklebt und die Schachtel wäre offen. 3. 10 cm 20 cm 15 cm 10 cm 15 cm 10 cm 20 cm 4. O = 2 (20cm 10cm 20cm 15cm 10cm 15cm) 1300cm 2 ; Abfall = 1194,8 cm2 1194,8 0,47891... 47,9% 2494,8 5. 1300 cm2 = 0,13 m2 ; Gewicht des Quaders = 0,13 240g 31,2g 6. V = 20cm 10cm 15cm = 3000cm3 Heike bekommt nur 2 Liter Popkorn. 7. 2,5 l = 2500 cm3 = 10cm 10cm 25cm 5cm 20cm 25cm 10cm 12,5cm 20cm - 12 - Aufgabe 8.4 Sprungweiten 1. Berechne die Verhältnisse in der letzten Spalte der Tabelle: Tierart Tiger Floh Heuschrecke Känguru Springfrosch Fuchs Löwe Hirsch Waldmaus 2. 3. 4. 5. 6. 7. Sprungweite (SW) 5m 0,6 m 2m 13,5 m 2m 2,8 m 5m 0,7 m Körperlänge (KL) 3m 3 mm 6,5 cm 1,2 m 6 cm 1,2 m 1,90 m 2,40 m 1/8 der SW Verhältnis Sprungweite : Körperlänge 4,5 Um einen Überblick zu gewinnen, ist es günstiger das Verhältnis in Abhängigkeit von der Körpergröße graphisch darzustellen. Trage auf der waagerechten Achse die Körpergröße und auf der senkrechten Achse das Verhältnis ein. Was kannst du ablesen? Welches Tier würdest du als den besten Springer bezeichnen und warum? Wie weit könnte ein Mensch von 1,80 m Körpergröße mit dem Sprungvermögen einer Heuschrecke springen? Gulliver ist auf die Größe einer Heuschrecke geschrumpft, hat sein Sprungvermögen aber beibehalten. Wie weit kann er springen? Wie weit kann ein Hirsch springen? Wie groß ist die Waldmaus? - 13 - Lösungshinweise 8.4 Sprungweiten 1. Tierart Verhältnis Sprungweite : Körperlänge 5 : 3 = 1,67 ~ 1,5 600 : 3 = 200 200 : 6,5 ~ 31 13,5 : 1,2 ~ 11 200 : 6 ~ 33 2,8 : 1,2 ~ 2,5 5 : 1,9 ~ 2,5 4,5 8 Tiger Floh Heuschrecke Känguru Springfrosch Fuchs Löwe Hirsch Waldmaus 2. Sprungvermögen Verhältnis Sprungweite : Körperlänge 250 200 200 150 100 33 31 8 50 0 0 11 2,5 1 2,5 4,5 2 1,5 3 4 Körperlänge in m 3. 4. 5. 6. 7. Die Tiere mit geringerer Körperlänge haben das bessere Sprungvermögen Der beste Springer ist der Floh. 1,80 m · 31 = 55,80 m Die Sprungweite ändert sich nicht, er kann genau so weit wie als Riese springen. 2,40 m · 4,5 = 10,80 m 0,7 m · 0,125 = 0,0875 m = 8,75 cm ~ 8 bis 9 cm - 14 - Aufgabe 8.5 Wechselkurse Nach ihrem Abitur möchte Anne in den wohlverdienten Urlaub nach Frankreich und Italien. Da sie weiß, dass seit dem 1. Januar 1999 der Euro (€) auch in diesen Ländern gilt, hat sie sich folgende Tabelle besorgt: 1 Euro (€) = DEM 1,95583 = FRF 6,55957 = ITL 1936,27 = Euro (€) 1 DEM 0,51113 10 FRF 1,52449 1000 ITL 0,51645 DEM: Deutsche Mark; FRF: Französische Franc; ITL: Italienische Lira 1. Aus der Tabelle kann sie die Wechselkurse von DM in Franc und Lira nicht direkt entnehmen. Nach kurzer Rechnung erhält sie folgende Kurse: 1 DEM = FRF 3,353854 = ITL 989,99 Bestätige dies durch eigene Rechnung. 2. Vor Antritt ihrer Reise möchte Anne Geld bei ihrer Sparkasse umtauschen. Sie tauscht jeweils 300 DM in Franc und in Lira. Die Sparkasse erhebt jeweils eine Gebühr von 3% vom getauschten DM Betrag - dem so genannten DEM-Gegenwert. Die Mindestgebühr beträgt 2,50 DEM. Wie viel Franc und wie viel Lira bekommt Anne bei ihrem Umtausch? 3. Bei einem Einkaufsbummel in Cannes entdeckt sie eine Bluse, die 149 FRF kosten soll. Wie viel ist dies in DEM? 4. Da ihr die ewige Rechnerei zu umständlich geworden ist, möchte sie sich für Italien eine kleine Tabelle anlegen, mit der sie Lira in DM umrechnen kann. ITL 5000 10 000 15 000 20000 30000 40000 DEM a) b) c) d) Fülle diese Tabelle aus. Welcher Art von Zuordnung liegt dieser Tabelle zugrunde? Stelle diese Zuordnung graphisch dar. Leite eine Faustformel zur Umrechnung von Lira in DM her. 50000 - 15 - 5. Da das Geld natürlich nicht reicht, zieht Anne mit ihrer EC–Karte Geld am Automaten in Italien. a) Zu Hause angekommen entdeckt sie auf ihren Auszügen, dass unabhängig vom gezogenen Betrag jedes Mal eine Gebühr von 2,56€ erhoben wird. Sie hatte zweimal Geld am Automaten gezogen und dabei insgesamt 600 000 ITL erhalten. Wie viel DM sind insgesamt von ihrem Konto abgebucht worden? b) Wäre es günstiger gewesen, wenn sie 600 000 ITL vorher in Deutschland umgetauscht hätte? - 16 - Lösungshinweise 8.5 Wechselkurse 1. 1DM=0,51113€ =3,35279FRF = 9869,69 ITL 2. Ansatz 100% entsprechen 300DM, Auszahlungsbetrag ist 97% von 300DM also 291DM. Damit ergibt sich: 291 989,99ITL = 288087,09 ITL und 2913,353854FRF = 975,97FRF 3. 149FRF = 44,44DM 4. a) 1000ITL = 0,51645€ 1,01DM ITL 5000 10 000 15 000 20000 30000 40000 50000 DEM 5,05 10,10 15,15 20,20 30,30 40,40 50,50 b) proportionale Zuordnung c) KOS mit einer Geraden, möglicher Maßstab: x-Achse 5Tausend ITL pro cm, yAchse: 5 DM pro cm d) Betrag in ITL / 1000 entspricht Betrag in DM 5. a) 1) 600.000ITL = 606,25DM 2) Gebühr 2 mal 2,56€ = 10,01DM also Gesamtkosten: b) 616,26 DM nach Aufgabenteil 2) bei Tausch in Deutschland: 1) 600.000ITL = 606,05DM 2) Gebühr (3%) = 18,18DM also Gesamtkosten: 624,23DM Damit ist die EC-Karte günstiger. - 17 - Aufgabe 8.6 Saft Gabi möchte für eine Klassenfeier Orangensaft kaufen. Ein Händler bietet diesen in drei Verpackungsgrößen an: 1/3 1 Getränkekartons für 0,44 € 0,75 1 Glasflaschen für 0,89 € 2,5 1 Jumbopacks für 2,75 € 1. Wie viel kostet jeweils ein Liter Orangensaft? 2. Um wie viel Prozent ist die gleiche Menge Orangensaft aus den Getränkekartons teurer als der Saft aus den Glasflaschen? 3. Gabi soll 12 1 Saft kaufen! Wie viel muss sie mindestens bezahlen? (Natürlich darf Gabi auch mehr Saft kaufen, wenn sie dadurch Geld sparen kann!) 4. Wie viel muss Gabi mindestens bezahlen, wenn sie genau 12 l Saft mitbringen soll? 5. 100 ml Orangensaft enthalten 40 mg Vitamin C. Das sind 66% des Tagesbedarfs eines Schülers. Wie viele Schüler könnten ihren Tagesbedarf an Vitamin C mit 12 l Saft decken? 6. Die Grundfläche der Jumbopacks ist 10 cm breit und 12,5 cm lang. Bestimme die Höhe der Behälter! 7. Der Hersteller der Jumbopacks plant, 5 l-Behälter auf den Markt zu bringen. Dazu möchte er die Breite der Packs verdoppeln. Wie viel Prozent Verpackungsmaterial spart er im Vergleich zu zwei 2,5 l-Behältern? Hinweis: Die Klebekanten müssen bei diesem Aufgabenteil nicht berücksichtigt werden. - 18 - Lösungshinweise 8.6 Saft 1. Literpreis = Einzelpreis / Volumen also: Getränkekarton 1,32 € Glasflaschen 1,18666.. € Jumbopacks 1,1 € 2. 1,32 / 1,18666.. 100 % - 100 % 11,2 % 3./4. 5 Jumbopacks (günstigster Literpreis) kosten 13,75 € und ergeben 12,5 l 4 Jumbopacks und 3 Glasflaschen (anstelle des 5. Jumbopacks) kosten 2,67 € und ergeben 12,25 € ersetzt man eine Glasflasche durch zwei Getränkekartons so ergeben 4 Jumbopacks, 2 Glasflaschen und 2 Getränkekartons 12,16 l und kosten zusammen 13,66 € Es ist weiterhin zu überprüfen, ob man mit einer Verteilung auf genau 12 l auf einen günstigeren Preis kommt! (entspricht Aufgabe 4) Es ist sinnvoll erst einmal eine möglichst große Anzahl von 2,5 l Packs einzukalkulieren. Bei 4 Jumbopacks werden noch 6 Getränkekartons benötigt. Diese kosten zusammen 12,64 €. Versucht man mit den Glasflaschen und den Jumbopacks die genaue Literzahl zu erzielen, so benötigt man 3 Jumbopacks und 6 Flaschen. Diese kosten zusammen 13,59 €. Da sich Getränkekartons und Glasflaschen nur zu 2,5 l kombinieren lassen, müsste es sich bei dem letzten Betrag um den günstigsten Preis handeln! 5. 150 ml entsprechen dem Tagesbedarf eines Schülers. Es können also 12 l / 0,15 l = 80 Schüler ihren Tagesbedarf decken. 6. h = V / G = 2500 cm³ / 125 cm² = 20 cm 7. Oberfläche eines 2,5 l Packs: 1150 cm² Oberfläche eines 5 l Packs: 1800 cm² 1800 cm² sind von 2300 cm² 78,26 %. Er spart also 21,74 %. - 19 - Aufgabe 8.7 Fahrradtour Die vier Freunde Klaus, Uwe, Karsten und Kalle planen eine Fahrradtour. Dabei wollen sie in den ersten 5 Tagen die folgende Strecke zurückgelegt haben: Tage 1.Tag 2. Tag 3.Tag 4. Tag 5. Tag 1. 2. 3. 4. 5. zurückgelegte Strecke 73 km 146 km 219km 292km 365 km Trage die Zuordnung zwischen den Tagen und der zurückgelegten Strecke in ein Koordinatensystem ein. Handelt es sich bei der Zuordnung um eine Funktion? Gib gegebenenfalls die zugehörige Funktionsgleichung an. Welche Strecke haben sie insgesamt zurückgelegt, wenn der Tagesschnitt in den nächsten 2 Tagen beibehalten wird? Beantworte die Frage durch die Zeichnung und durch eine Rechnung Bei der Planung stellt sich das Problem, dass die Brüder Klaus und Uwe erst einen Tag später losfahren können, als die anderen, da sie den 80 Geburtstag ihrer Oma nicht versäumen wollen. Aus diesem Grund nehmen sie sich vor, so lange 100 km pro Tag zu fahren, bis sie ihre Freunde einholen. Wann ist das der Fall? Löse das Problem zeichnerisch und durch eine Rechnung. Wie viele Kilometer müssten Klaus und Uwe pro Tag zurücklegen, wenn sie ihre Freunde bereits im Verlauf des dritten Tages einholen wollten? - 20 - Lösungshinweise 8.7 Fahrradtour 1. Entfernung in km 500 400 300 200 100 1 2 3 4 5 6 2. 3. 4. 5. Zeit in Tagen Jedem Tag ist eine Strecke zugeordnet, also handelt es sich um eine Funktion, allerdings machen die Zwischenwerte auf dem gestrichelten Graphen keinen Sinn, da nicht ununterbrochen gleichmäßig während eines Tages gefahren wird. Funktionsgleichung s1(t) = 73 t. s1(6) = 438; s1(7) = 511. Die graphische Lösung ist bei Teil a) bereits eingetragen. s2(t) = 100 (t – 1) = 100 t – 100 Bedingung für des Einholen: s2(t) = s1(t), also t ≈ 3,7. Somit wird die erste Gruppe im Verlauf des 4. Tages eingeholt. Die erste Gruppe hat am Ende des dritten Tages 219 km zurückgelegt. Diese Strecke muss auch die erste Gruppe mindestens am Ende des Tages zurückgelegt haben. Funktionsgleichung s3(t) = a (t – 1). Bedingung s3(3) = 219. Damit ergibt sich a = 109,5. Pro Tag muss die Gruppe mindestens 108,5 km zurücklegen. - 21 - Aufgabe 8.8 Roller-Scates Ein Sportgeschäft bietet Roller - Skates zum Preis von 144 € an. Innerhalb eines Monats verkauft der Händler 995 Stück. Laut eines Marktforschungsberichts würde das Sportgeschäft nur 815 Stück verkaufen können, wenn die Roller - Skates 189 € kosten würden. Ferner vermutet der Bericht einen linearen Zusammenhang zwischen der Zahl der verkauften Skates und dem Stückpreis 1. Ermittle den Term der Nachfragefunktion, die jedem Stückpreis die Zahl der verkauften Skates (den Absatz) zuordnet. 2. Wie groß ist der zu erwartende Absatz bei einem Stückpreis von 100 € bzw. 200 €? 3. Bei welchem Stückpreis bleibt das Sportgeschäft auf seiner Ware sitzen? 4. Zeichne den Graphen der Nachfragefunktion und löse Aufgabenteil 1 und 3 zeichnerisch. 5. Der Einkaufspreis pro Roller-Skate beträgt 100 €. Bestimme eine Gleichung der Funktion, die der Zahl der verkauften Skates den Gewinn pro Stück zuordnet, und eine Gleichung der Funktion, die der Zahl der verkauften Skates den Gesamtgewinn zuordnet. 6. Zeichne den Graphen der Gesamtgewinnfunktion. Lies aus dem Graphen ab, bei welcher Stückzahl der Gesamtgewinn maximal ist. Wie groß muss dann der Verkaufspreis sein? - 22 - Lösungshinweise 8.8 Roller-Scates 1. Auf dem Graphen liegen die Punkte (144/995) und (189/815). Der Term hat die Form z ( p) m p n . Für die Steigung m ergibt sich m 180 4 . 45 Der Achsenabschnitt ergibt sich aus 995 4 144 n n 1571 . Also z ( p) 4 p 1571 . 2. z(100) 1171; z(200) 771 3. Wenn nichts verkauft wird, ist z ( p) 0 0 4 p 1571 p 1571 392 ,75 4 4. 5. Zunächst ist der Stückzahl der Preis zuzuordnen. Dazu muss die Gleichung aus a) nach z 1571 . Von diesem Preis sind 100 Euro als Kosten zu 4 4 p aufgelöst werden: p( z ) z 1171 . Der Gesamtgewinn ergibt sich durch Multiplikation mit 4 4 z 2 1171 der Stückzahl: g ( z ) z. 4 4 subtrahieren: s( z ) 6. Der Gesamtgewinn ist bei etwa 590 Stück maximal. Dann muss der Preis p(590 ) 245 ,25 Euro betragen. - 23 - Aufgabe 8.9 Taxifahrt 1. Die Taxitarife in Essen (Stand Februar 2002) gibt die folgende Tabelle wieder: Gefahrene Strecke Bis 10 Kilometer Ab dem 11. Kilometer Tagsüber von 6h bis 22h (Normaltarif) 1,33 € pro Kilometer 1,25 € pro Kilometer Nachts von 22h bis 6h (Nachttarif) x € pro Kilometer 1,35 € pro Kilometer Vor Antritt der Fahrt wird immer eine Grundgebühr von 2,-- € angesetzt, mit dieser Grundgebühr werden die Kosten der Anfahrt vom Taxistand zum Kunden berechnet. I. II. III. IV. V. VI. VII. Wie teuer ist vormittags eine Fahrt von 7,6 Kilometer Länge? Der Zähler im Taxi springt in 0,1 € - Schritten, zum ersten Mal direkt beim Losfahren von 2 € auf 2,10 €. Wie muss also der Fahrpreis in a) gerundet werden? Wie teuer ist um 13.30 h eine Fahrt von 13,8 km Länge? Eine Fahrt im Normaltarif unter 10 km Länge kostete laut Zähler 13,70 €. Welche Strecke wurde gefahren? Warum ist das Ergebnis nicht eindeutig? Eine Fahrt von genau 5 Kilometern kostet zwischen 22 Uhr und 6 Uhr exakt 9,20 €, weil nachts ein höherer Kilometerpreis als tagsüber verlangt wird. Wie hoch ist dieser? Gib die Kosten K einer Fahrt im Normaltarif bis 10 Kilometer Länge allgemein als Funktion der gefahrenen Strecke von x km an. Wie ändert sich der Funktionsterm für den Normaltarif, wenn mehr als 10 Kilometer gefahren werden? 2. In jedem Fahrpreis ist der Erlös des Taxiunternehmers und die Umsatzsteuer enthalten. Die Umsatzsteuer muss der Taxiunternehmer an das Finanzamt abführen. Bei Fahrten bis 50 km beträgt die Umsatzsteuer 7 % des Erlöses, bei Fahrten über 50 km 16 % des Erlöses. a) Berechne den Erlös des Taxiunternehmers nach Abführen der Steuern bei einer Fahrt von 50 Kilometern Länge im Normaltarif. b) Ab welcher Fahrtstrecke im Normaltarif und über 50 Kilometern hat der Taxiunternehmer einen größeren Erlös als bei einer Fahrt von 50 Kilometern. 3. Der Zähler im Taxi springt in 10 Cent-Schritten. a) Wie vielen gefahrenen Metern entspricht das im Normaltarif bis 10km? b) Beschreibe in Worten die Funktion, mit der der Zähler arbeitet. - 24 - Lösungshinweise 8.9 Taxifahrt 1. a) b) c) d) e) f) g) 2. K = 2 € + 7,6 · 1,33 € = 12,108 € Der Fahrpreis muss immer aufgerundet werden auf volle 10 Cent. K = 2 € + 10 · 1,33 € + 3,8 · 1,25 € = 20,05 € ~ 20,10 € . Die Fahrt kostet 20,10 €. W = (13,70 € - 2 €) : 1,33 € ~ 8,797 ; W = (13,60 € - 2€) : 1,33€ ~ 8,722 Die Fahrstrecke beträgt höchstens 8,797 km und mindestens 8,722 km. Das Ergebnis ist nicht eindeutig, weil der Zähler in 10-Cent-Sprüngen zählt. 9,20 € = 2 € + 5 · x € ↔ x € = 1,44 € K(x) = 1,33x + 2,0 (es handelt sich um eine Treppenfunktion, da auf volle 10Cent gerundet wird) K(x) = 2 + 13,3 + (x-10)·1,25 ↔ K(x) = 1,25x + 2,8 (Treppenfunktion) a) K(50) = 2,8 + 50·1,25 = 65,3 ~ 65,30 Der Fahrpreis beträgt 65,30 €. 65,30 € ist der Prozentwert, der Prozentsatz beträgt 107%. Also: Erlös G = 65,30 € : 1,07 ~ 61,03 € 2,8€ 1,25€ x b) 61,03€ x 54,39584 1,16 Ab einer Fahrstrecke von ungefähr 54,40 km ist der Erlös größer als bei einer Fahrt von 50 km. 3. a) 1,33 € → 1 km, also 0,1 € → 1 km : 13,3 ~ 0,0752 km Alle 75,2 m springt der Zähler um 10 Cent weiter. b) Die Maßzahl der Fahrstrecke in km wird durch 0,0752 geteilt, das Ergebnis immer aufgerundet und mit 0,10 multipliziert. Abschließend wird noch die Maßzahl 2 der Grundgebühr addiert. Das Endergebnis ist der Fahrpreis in Euro. - 25 - Aufgabe 8.10 Kupfer und Zink Kupfer hat eine Dichte von 8,96 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. g cm3 und Zink eine von 7,14 g . cm3 Wie viel wiegt eine 10 cm breite und 5 m lange Kupferstange mit quadratischem Querschnitt? Eine Zinkstange hat die gleichen Abmessungen wie die Kupferstange. Um wie viel Prozent ist sie leichter? Die Kupferstange soll zu einer soll zu einer 10 cm breiten und 0,1 mm dicken Folie ausgewalzt werden. Wie lang wird diese Folie? Stelle den Zusammenhang zwischen Dicke und Länge der Folie graphisch dar. Eine 3 m² große Kupferplatte hat die Masse von 540 kg. Wie dick ist diese Platte? Wie dick ist eine Zinkplatte gleicher Masse und mit gleicher Grundfläche? Messing ist eine Legierung von Kupfer und Zink im Verhältnis 2 : 3. Welche Dichte hat diese Legierung? In einer Kiste befinden sich Kupfer- und Zinkkugeln. Alle Kugeln haben ein Volumen von 2,5 cm³. Es sind dreimal so viel Kupferkugeln wie Zinkkugeln in der Kiste enthalten. Die Kugeln in der Kiste haben eine Masse von 1531 g. Wie viel Kugeln sind in der Kiste enthalten? - 26 - Lösungshinweise 8.10 Kupfer und Zink 1. 2. 3. V = 50000 cm³ m = 448 kg Es sind mehrere Lösungsansätze denkbar. Eine einfache Lösung ist durch das Verwenden der Dichte möglich! 20,2 %; Mehrere Lösungen sind denkbar. Eine einfache wäre das Verwenden der umgekehrten Proportionalität. Da die Folie nur ein Hunderstel der Dicke der Stange haben soll, muss sie 100 mal so lang sein. l = 500 m 4. 250 Länge in m 200 150 100 50 1 0, 25 1, 75 2, 5 3, 25 4 4, 75 5, 5 7 6, 25 7, 75 8, 5 9, 25 10 0 Dicke in cm 5. 6. 7. V 60268 cm³ d 2 cm Analog zur Aufgabe 2 sind hier wiederum mehrere Lösungswege denkbar. d 2,5 cm Möglicher Ansatz: 5 cm³ der Legierung haben eine Masse von 28,96 g + 37,14 g = 39,34 g. 7,868 cmg3 8. 3 Kupfer- und 1 Zinkkugel haben eine Masse von 85,05 g. Es befinden sich also 418 = 72 Kugeln im Behälter. - 27 - Aufgabe 8.11 Werkstück Gegeben sei folgendes Werkstück aus Aluminium: 5 cm 3 cm 7 cm 3 cm (Zeichnungen nicht maßstabsgetreu) 5 cm 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Berechne sein Volumen! – Nimm die Maße aus der Zeichnung. Wie groß ist die Masse des Werkstücks, wenn 1 dm³ Aluminium 2,70 kg wiegt? Das gesamte Werkstück soll mit Emaillefarbe überzogen werden. Man benötigt 15 g Emaillefarbe pro 1 dm² Fläche. Wieviel Gramm Farbe werden benötigt? Die Firma Metallguss stellt die obigen Werkstücke her zu einem Preis von 225 € je 50 Stück. Bei der Abnahme von mindestens 500 Werkstücken wird ein Rabatt von 15 % gewährt. Was muss man bezahlen, wenn man 700 Werkstücke bestellt? Ab dem wievielten Werkstück ist es billiger gleich 500 Stück zu kaufen? Die tschechische Firma „Robometal“ versucht die Werkstücke für ihre eigenen Zwecke herzustellen. Für die Herstellung der Gussformen entstehen Kosten in Höhe von 380 000 CZK. Aufgrund der geringeren Nebenkosten kann die tschechische Firma das Werkstück dann zu 8 000 CZK je 200 Stück herstellen. Ab welcher Stückzahl ist es für das Unternehmen rentabel die Werkstücke selbst zu produzieren? Das tschechische Werk hat aber nur einen eigenen Bedarf von 2 000 der Werkstücke. Die Firma erfährt über Internetrecherchen, dass ein Unternehmen in Wales ebenfalls diese Werkstücke benötigt. Das Unternehmen gibt an, dass es eventuell an einer Lieferung von 3 000 Stück interessiert wäre, wenn „der Preis stimmt“. Innerhalb welcher Preisspanne müsste der tschechische Betrieb ein Angebot unterbreiten, damit es zu einem Vertragsabschluss kommen kann? - 28 - Anhang: Umrechnungstabelle: 1 € entspricht Australien Deutschland Großbritannien Norwegen Polen Schweiz Slowakei Tschechische Republik 1,6198 AUD 1,95583 DM 0,6060 GBP 8,0809 NOK 3,8473 PLZ 1,5040 CHF 43,1590 SKK 34,7090 CZK - 29 - Lösungshinweise 8.11 Werkstück: 1. Berechne sein Volumen! – Nimm die Maße aus der Zeichnung. Quader: VQ = l·b·h = 5 cm · 5 cm · 7 cm = 175 cm³ Prisma: VP = G·h = ½·g·hD·h = ½ · 3 cm · 3 cm · 7cm = 31,5 cm³ Gesamt: V = VQ – VP = 175 cm³ – 31,5 cm³ = 143,5 cm³ 2. Wie groß ist die Masse des Werkstücks, wenn 1 dm³ Aluminium 2,70 kg wiegen? Umrechnung: 1 cm³ = 0,001 dm³ 143,5 cm³ = 0,1435 dm³ Masse : m = ·V = 2,70 kg/dm³·0,1435 dm³ = 0,387 kg 3. Da das Werkstück mit Emaillefarbe überzogen werden soll, muss als nächstes seine gesamte Oberfläche berechnet werden! Oberfläche Quader: OQ = 2·(l·b + l·h + b·h) = = 2 · (5 cm · 5cm + 5 cm · 7 cm + 5 cm · 7cm) = = 190 cm² Mantelfläche Prisma: MP = 2·s·h + g·h = = 2 · 3,354 cm · 7 cm + 3 cm · 7 cm = = 67,956 cm² Deckflächen Prisma: DP = 2·½·g·hD = = 2 · ½ · 3 cm · 3 cm = = 9 cm ² Oberfläche Gesamt: O = OQ + MP – DP = = 190 cm² + 67,956 cm² – 9cm² = = 248,956 cm² Umrechnung: 1 cm² = 0,01 dm² 248,956 cm² = 2,48956 dm² 2,490 dm²·15 g/dm² = 37,35 g 4. 700 : 50 = 14 Kosten: 225,-- € · 14 · 0,85 = 2677,50 € 5. 500 · 0,85 = 425 D.h. bei einem Rabatt von 15 % kosten 500 Stück mit Rabatt genauso viel wie 425 Stück ohne Rabatt. Also ist es ab dem 426 Stück billiger gleich 500 Stück zu kaufen. 6. 380000 CZK = 10948,17 € 8000 CZK = 230,49 € x : Anzahl der Gebinde zu 200 Werkstücken 10948,17 € + x · 230,49 € = x · 4 · 225,-- € 10948,17 € = x · (4 · 225,-- € – 230,49 €) 16,353 =x 16,353 · 200 = 3271 Werkstücke, ab hier rentabel 7. Preis Firma Metallguss:3000 : 50 · 225,-- € = 13500,-- € Kosten der Firma Robometal : 3/5 · (10948,17 € + 5000 : 200 · 230,49 €) = 10023,25 € Das Angebot muss also über dem Selbstkostenpreis von 10023,23 € und unter dem Konkurrenzangebot 13500,-- € liegen. - 30 - Aufgabe 8.12 Garten Familie Schneider plant die Neuanlage ihres Gartenbereichs. Die unten stehende Zeichnung1 verdeutlicht, wie sie sich das Ergebnis gedacht hat. Bei der Planung wurden folgende Punkte aufgestellt, die einzeln zu berücksichtigen sind: Bau der Wasserbecken Anlage des Kiesweges Bau der Terrasse Bepflanzung der Grünflächen. Für jeden einzelnen Punkt wurde nun eine eigene Kalkulation aufgestellt, wobei die reine Arbeit nicht mitgerechnet werden soll, denn diese will Familie Schneider ja selber erledigen. 1. Bau der Wasserbecken Um die Wasserbecken anzulegen, müssen für die Berechnung der entstehenden Kosten folgende Punkte berücksichtigt werden: Die Zeichnung zu dieser Aufgabe wurde dem Band „Zahlen und Größen, Mathematik Gesamtschule, Klasse 8“, Cornelsen Verlag entnommen. 1 - 31 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Um welche geometrische Form handelt es sich bei den Grundflächen der Wasserbecken? Wie groß ist die Grundfläche der beiden Wasserbecken zusammen? Die Becken sollen 1,30 m tief ausgeschachtet werden. Wie viel m³ Erde müssen ausgehoben werden? Wie schwer ist der Aushub, wenn 1 m³ Erde 1800 kg wiegt? Wie viele LKW-Ladungen (Nutzlast pro LKW 7,5 t) sind das ? Die Fahrt eines LKW`s kostet inklusive Miete und Deponiegebühren 40 €. Wie teuer ist die Abfuhr des Aushubs? Für den eigentlichen Bau der Wasserbecken werden u.a. Beton, Mauersteine, Fliesen, Sand, Kies und Zement benötigt. Dabei muss man für 1m3 der Wasserbecken mit Kosten von 28 € rechnen. Wie teuer ist der Bau der beiden Wasserbecken? Berücksichtigt man die Wandstärke der Wasserbecken, so haben die beiden Becken zusammen die Fläche von 25 m2. In den Becken sind insgesamt 27500 l Wasser. Das Wasser steht in beiden Becken gleich hoch. Berechne die Wassertiefe! Was kostet die Wasserfüllung, wenn man von einem Preis von 2,60 € pro 1 m³ Wasser ausgeht? Familie Schneider hat für den Bau der Wasserbecken 1600 € eingeplant. Kommt sie damit hin? 2. Anlage des Kiesweges Um den Kiesweg anzulegen, müssen für die Berechnung der entstehenden Kosten folgende Punkte berücksichtigt werden: a) Der Kiesweg hat eine Fläche von 9,5 m². Begründe dies! b) Für den Weg wird die Erde 12 cm tief abgetragen. Wie viel Aushub ist dies? c) Die Kiesmenge muss 11 % größer sein als der Aushub. Wie viel Kies benötigt man? d) 1 m³ Kies kostet 17,90 €. Familie Schneider bekommt einen Barzahlerrabatt von 2,5 % eingeräumt. Wie hoch ist die Rechnung des Baustoffhändlers? 3. Bau der Terrasse Um die Terrasse anzulegen, müssen für die Berechnung der entstehenden Kosten folgende Punkte berücksichtigt werden: a) Wie viel m² Terrasse müssen angelegt werden? b) Für die Terrasse wird die Erde 10 cm tief abgetragen. Wie viel Aushub ist dies? c) Die Steine sollen in einem 7 cm tiefen Sandbett verlegt werden. Wie viel m³ Sand wird benötigt? d) 1 m2 Terrassensteine kostet 7,50 € und 1 m3 Sand 14,50 €. Berechne die Kosten für Steine und Sand! 4. Bepflanzung der Grünflächen Für die Bepflanzung der Grünflächen ist zu berücksichtigen: a) Wie viel m2 Grünfläche muss bepflanzt werden? - 32 b) c) Auf der gesamten Fläche soll Rasen eingesät werden. Grassamen kosten pro 1m2 0,16 €. Berechne die Kosten für die Raseneinsaat insgesamt. Für die Bepflanzung kauft die Familie Schneider drei Koniferen zu je 9 €, zwei Forsythien zu je 5 €, einen Apfelbaum zu einem Stückpreis von 16 €, vier Rosenstöcke zu je 3 €, zwei Packungen Tulpenzwiebeln zu je 2,20 €, drei Packungen Krokuszwiebeln zu einem Packungspreis von 2,50 € und zwei Packungen Narzissenzwiebeln zu je 2,20 €. Wie teuer sind die Pflanzen insgesamt? - 33 - Lösungshinweise 8.12 Garten 1. a) b) b) Die beiden Grundflächen haben jeweils die Form eines Trapezes. Es ist die Fläche eines Rechtecks (die „zusammengeschobenen“ Trapeze) zu bestimmen: 6m 5,5m = 33m2 33m2 1,30m = 42,90m3 42,90m31800kg = 77220kg 77,22t : 7,5t = 11 (LKW-Ladungen) 11 40€ = 440€ 42,9m2 28€ = 1201,2€ Umrechnung: 25m2 = 2500dm2 ; Rechnung: Höhe Flächen = 27500dm3 Also: Höhe 2500dm2 = 27500dm3 1,1m = Wasserhöhe Umrechnung: 1m3 = 1000 l , also 27,5m3 = 27500 l; Rechnung: 27,5m3 2,60€ = 71,50€ 440€ + 1201,2€ + 71,50€ = 1712,70€; Antwort: nein Die Fläche des Kiesweges wird in drei Teilflächen zerlegt und die Größenangaben werden aus der Zeichnung abgelesen. Erste Teilfläche, links von den Becken: 2,5m 1m = 2,5m2 Zweite Teilfläche, Fläche zwischen den Wasserbecken: Fläche der beiden Becken mit dem dazwischenliegendem Weg minus der Fläche der beiden Becken (berechnet in 1b). Lösung: 5,5m2 Dritte Teilfläche, rechts von den Becken: 1,5m 1m = 1,5m2; Summe der Teilflächen: 9,5m2 9,5m2 12cm = 9,5m2 0,12m = 1,14m3 Aushub 1,14m3 1,11 = 1,2654m3 Kies 1,2654m3 17,90€ = 22,65€ ; 22,65€ 0,975 = 22,08€ Die Terrassenfläche wird in zwei Teilflächen zerlegt: Erste Teilfläche (links): 2,5m 3m = 7,5m; Zweite Teilfläche (rechts): 7,5m 3m = 22,5m2 Terrassenfläche insgesamt: 30m2 30m2 10cm = 30m2 0,1m = 3m3 Aushub 30m2 7cm = 30m2 0,07m = 2,1m3 Sand 30m2 7,50€ = 225€ für die Terrassensteine 2,1m3 14,50€ = 30,45€ für den Sand; Gesamtkosten für Steine und Sand: 255,45€ Die Grünfläche berechnet sich aus der Differenz der Gartenfläche und der Fläche der Becken, des Weges und der Terrasse. 9,5m 11m = 104,5m2 Gartenfläche insgesamt. 104,5m2 - 33m2 (Wasserbecken, 1b)) – 9,5m2 (Kiesweg, 2a)) – 30m2 (Terrasse, 3a)) = 32m2 32m2 0,16€ = 5,12€ Kosten für die Raseneinsaat c) 3 9€ + 2 5€ + 1 16€ + 4 3€ + 2 2,2€ + 3 2,50€ + 2 2,2€ = 81,30€ c) d) e) d) e) f) g) 2. h) a) 3 b) c) d) a) b) c) d) 4 a) - 34 - Aufgabe 8.13 Frostschutzmittel Frostschutzmittel hat eine Dichte von 1,11 g/ml. 1. Wie viel wiegt die Füllung einer 3-Liter-Flasche Frostschutzmittel? 2. In den Kühler eines Autos werden 3 Liter Wasser und 1 Liter Frostschutzmittel geschüttet. Welche Dichte hat die Mischung? 3. Die Kühlflüssigkeit in einem Auto hat eine Dichte von 1,04 g/ml. Welcher Anteil an Frostschutzmittel ist in der Flüssigkeit enthalten? 4. Auf der Flasche ist folgende Tabelle enthalten: Konzentration des Frostschutzmitt els 35% 40% 45% Schutz bis zur Temperatur von -20 °C -25 °C -30 °C Bis zu welcher Temperatur ist der Kühler geschützt? - 35 - Lösungshinweise 8.13 Frostschutzmittel g 3330 g 03,33 kg ml 1. m 3000 ml 1,11 2. Gesamtmasse der Mischung 4,11 kg; Volumen 4 l; Dichte 3. Das Gesamtvolumen sei v, das Volumen des Frostschutzmittels f. Das Volumen des Wassers ist dann m – f. Für die Dichte gilt somit: f 1,11 4. 4,11kg kg g 1,0275 1,0275 4l l ml g g ( m f ) 1 ml ml 1,04 g 0,11 f m 1,04 0,11 f 0,04 m f 0,3636 m . m ml m Der Anteil an Frostschutzmittel beträgt rund 36%. Aus der Tabelle ist zu sehen, dass eine Erhöhung der Konzentration um 1% einen zusätzlichen Schutz um 1°C ergibt. Somit ist der Kühler bis zu einer Temperatur von – 21°C geschützt. - 36 - Aufgabe 8.14 Computerladen 1. Der Inhaber des Computerladens „Die Computermaus“ zahlt im Monat 850 € Miete für seinen Laden. Für Heizung und Strom werden ihm jährlich 1260 € berechnet. Sein Verkäufer kostet ihn monatlich 1570 €. Wie hoch sind die monatlichen Fixkosten? 2. Für eine Lieferung von 25 P IV Computern muss er 13875 € an den Großhändler bezahlen. Damit er seine Kosten zurückerhält, rechnet er jedem Computer 4 % seiner monatlichen Fixkosten hinzu. So erhält er den Selbstkostenpreis. Danach kalkuliert er zum Selbstkostenpreis noch 25 % Gewinn hinzu. Seine Kunden müssen außerdem noch 16 % MwSt. mitbezahlen. a) Wie viel Euro (€) muss ein Kunde für einen Computer P IV bezahlen? b) Der Laden bietet ein anderes Computermodell für 761,25 € an. Welchen Einkaufspreis hat der Inhaber des Computerladens „Die Computermaus“ an den Großhändler bezahlt, wenn seine Kalkulation entsprechend war? 3. Schräg gegenüber von dem Computerladen eröffnet das Geschäft „Multi Media Corner“, das gleiche Computermodell (wie in 2b)) für 730,80 € anbietet. Um wie viel Prozent ist der Computer billiger als in dem Geschäft „Die Computermaus“? 4. Auch der Inhaber des Computerladens „Multi Media Corner“ möchte natürlich Geld verdienen. Überlege dir Gründe, warum der Computer in diesem Geschäft billiger angeboten werden kann als in dem ersten Geschäft. - 37 - Lösungshinweise 8.14 Computerladen 1. 850€ + 1260€ : 12 + 1570€ = 2525€ monatliche Fixkosten. 2. a) b) 13875€ : 25 = 555€ (Preis für 1 Computer vom Großhändler) 4% von 2525€ (mtl. Fixkosten) = 101€ 555€ + 101€ = 656€ (Selbstkostenpreis) 25% von 656€ + 656€ = 820€ (Netto-Preis) 16% von 820€ + 820€ = 951,20€ (Brutto-Preis) 761,25€ : 1,16 = 656,25€; 656,25€ : 1,25 = 525€; 525 – 101€ = 424€ 3. 730,80 0,94 . Also: der Computer ist um 4% günstiger. 761,25 4. Mögliche Gründe es ist kein Verkäufer eingestellt bzw. der Verkäufer erhält einen geringeren Lohn der Einkaufspreis beim Großhändler ist geringer, da z.B. der Inhaber des Geschäftes Multi-Media-Corner eine größere Stückzahl an Computern beim Großhändler einkauft und er deshalb einen größeren Mengenrabatt erhält die Miete des Ladens ist geringer der Gewinn wird geringer angesetzt (< 25%) ... - 38 - Aufgabe 8.15 Herzvolumen Das menschliche Herz hat im allgemeinen ein Schlagvolumen von 70 cm3, bei ruhigen Beschäftigungen schlägt es in der Minute 70 mal (Ruhepuls), bei großer Anstrengung 200 mal (Belastungspuls) . 1. Wie viel Liter Blut hat dein Herz in einer Stunde gepumpt, wenn du dich 20 Minuten ausgeruht und danach 40 Minuten intensiv Sport getrieben hast. Schreibe die Rechnung auch als einen Term! 2. Wie viel Liter Blut befördert ein normales Herz in 70 Jahren. Gehe dabei von durchschnittlich 80 Schlägen pro Minute aus. Vergleiche die Blutmenge mit einer Größe aus dem Alltag, z.B. mit Tanklastzügen, die 40000 l fassen und 10 m lang sind! 3. a) b) c) 4. Erläutere den folgenden Term: y 70 70 x 200 60 x 70 , wobei y die in einer Stunde gepumpte Blutmenge ist! Vereinfache den Term! Zeichne den Graphen in einem sinnvollen Definitionsbereich! Stelle einen Term für die Anzahl der Herzschläge pro Stunde auf! - 39 - Lösungshinweise 8.15 Herzvolumen 1. V = 70 · 20 · 70 cm3 + 200 · 40 · 70 cm3 = 658000 cm3 = 658 l 2. V = 70 cm3 · 80 · 60 · 24 · 365 · 70 = 2,060352 · 1011 cm3 = 206035200 l Anzahl der Tanklastzüge: 206035200 : 40000 = 5150,88 ~ 5151 Es wären 5151 Tanklastzüge mit einem Fassungsvermögen von 40000 l nötig. Sie würden einen Konvoi von 51,51 km Länge bilden. 3. a) Die in einer Stunde gepumpte Blutmenge addiert sich aus der Blutmenge bei Ruhepuls und der bei Belastungspuls. x ist die Ruhezeit mit einem Puls von 70 Schlägen pro Minute, 60 – x ist die Zeit mit 200 Herzschlägen pro Minute, also die Zeit mit Belastungspuls. Zusätzlich muss jeweils noch das Schlagvolumen von 70 (cm3) multipliziert werden. b) Vh(x) = 4900x + (12000 – 200x) · 70 Vh(x) = – 9100x + 840000 c) Sinnvoller Definitionsbereich: 0 ≤ x ≤ 60 4. f : y = 70x + 200·(60 – x) = – 130x + 12000 - 40 - Aufgabe 8.16 Wasservorräte Auf der Erde gibt es 38 028 000 km3 Wasser, welches nicht Meerwasser ist. Das sind etwa 2,8 % der gesamten Wasservorräte der Erde. Es teilt sich auf in 13 000 km3 Wasser in der Atmosphäre (Niederschläge, Wolken), 27 820 000 km3 Polar-, Meer- und Gletschereis, 233 000 km3 Oberflächenwasser (Bäche, Flüsse, Seen) und 8 595 000 km3 Grundwasser. Zur Trinkwassergewinnung sind nur das Oberflächenwasser und das Grundwasser nutzbar. 1. Wie groß ist die Gesamtwassermenge der Erde? 2. Ein Schwimmbecken ist 50 m lang, 4 m tief und 12 m breit. a) Wie viel Liter passen in dieses Schwimmbecken? b) Wie viele Schwimmbecken könnte man mit dem Wasser der Atmosphäre füllen? 3. Wie groß ist der für Trinkwassergewinnung nutzbare Anteil am Süßwasservorrat? 4. Entwirf ein Diagramm, das möglichst anschaulich die Wasservorräte der Erde zeigt! - 41 - Lösungshinweise 8.16 Wasservorräte 1. 2. 3. 4. 2,8% → 38028000 km3 ; 100% → 1358142857 km3 Volumen des Schwimmbeckens: 2400 m3 = 0,0000024 km3 13000 : 0,0000024 = 5416666667 , d.h. ca. 5,42 Milliarden Schwimmbecken können gefüllt werden. Die Trinkwassermenge beträgt 8828000 km3 Wasser. Der Anteil des Trinkwassers am gesamten Süßwasservorkommen ist ca. 23,2%. Kreisdiagramm - 42 - Aufgabe 8.17 Küchenkauf 1. Familie Maier möchte eine neue Küche kaufen, die im Januar geliefert werden soll. Der Preis beträgt insgesamt 7850 €. Für die Finanzierung hat sie mehrere Möglichkeiten. a) Das Küchenstudio bietet eine Hausfinanzierung über eine Laufzeit von drei Jahren an. Dabei beträgt der jährliche Zins 7,5 % des vollen Kaufpreises der Küche, hinzu kommt eine einmalige Bearbeitungsgebühr von 1,5 %. Wie hoch sind die Gesamtkosten? Welche monatliche Rate ergibt sich für Familie Maier? b) Die Bank bietet einen Sparvertrag über drei Jahre an. Familie Maier zahlt monatlich 200 € ein, die Bank verzinst am Ende des Jahres den angesparten Betrag mit 4,25 %. Welche Summe erhält Familie Maier am Ende der drei Jahre? Rechne hier mit Zinseszins und fülle die Tabelle aus. Kontostand am Einzahlungen Zinsen Kontostand am Jahresbeginn Ende des Jahres 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 2. Bei der Möglichkeit (b) kann die Familie Maier die Küche erst in drei Jahren kaufen. Wie teuer ist die Küche dann, wenn die Teuerungsrate 2,3 % pro Jahr beträgt, man bei Barzahlung aber 8 % Rabatt erhält. 3. Während die Familie überlegt und rechnet, welche Möglichkeit der Finanzierung (a) oder (b) sie machen möchte, kommt die Tochter mit folgender Anzeige: Sofortkredit für Arbeitnehmer, Rentner und Beamte 5000€ Laufzeit 12 Monate mtl. Zinsen nur 100€ Keine Antragsgebühren! Einfach anrufen!! Tel: 123456 - 43 „Wenn wir jetzt nur noch alle unsere Ersparnisse nehmen, können wir die Küche doch sofort kaufen.“ Herr Maier rechnet und sagt: „Bei dem Prozentsatz mache ich nicht mit, das ist doch Wucher!!!“ Begründe seine Aussage. - 44 - Lösungshinweise 8.17 Küchenkauf 1. a) 1,5% von 7850€ = 117,75€ 7850 0,075 3 + 117,75 + 7850 = 9734€ Gesamtkosten 9734€ : 36 = 270,3 8 € 270,39€ monatliche Belastung b) Kontostand am Einzahlungen € Jahresbeginn 1. Jahr 0 2400 Zinsen € 102 Kontostand am Endes des Jahres 2502 2. Jahr 2502 2400 208,34 5110,34 3. Jahr 5110,34 2400 319,19 7829,53 2. 7850€ 1,0233 = 8404,20€ Preis der Küche nach drei Jahren. 8404,20€ 0,92 = 7731,86€ Preis der Küche abzüglich des Rabattes. 3. 12 100€ = 1200€ Zinsen im Jahr 1200 0,24 => 24% Zinsen Berechnung des Zinssatzes: 5000 24% Zinsen ist ein sehr hoher Zinssatz! - 45 - Aufgabe 8.18 Atemluft Um den Sauerstoffgehalt der Luft zu messen, erhitzt man in einer geschlossenen Apparatur Luft und Eisenwolle im Überschuss, das bedeutet, dass man mehr Eisenwolle verwendet, als mit Sauerstoff reagieren kann. Dabei reagiert der gesamte Sauerstoff mit dem Eisen zu Eisenoxid („Rost“) und die Menge der eingeschlossenen Luft verringert sich von 140 ml auf 111 ml. 1. Wie hoch ist der Sauerstoffgehalt der eingeschlossenen Luft gewesen? In der Ausatemluft des Menschen liegt der Sauerstoffgehalt ungefähr bei 15 %. 2. 3. 4. Wie viel Prozent des eingeatmeten Sauerstoffes ist dann in der Lunge von den roten Blutkörperchen aufgenommen worden? Ein 70 kg schwerer, gesunder Mann atmet 500 ml Luft pro Atemzug ein, in der Minute atmet er im Schnitt 16 mal. Wie viel Liter Sauerstoff nehmen die roten Blutkörperchen dieses Mannes in einer Stunde auf? Beim längeren Fahrradfahren müssen im Durchschnitt 2,4 l Sauerstoff pro Minute aufgenommen werden. Wie viel Liter Luft müssen dafür eingeatmet werden? - 46 - Lösungshinweise 8.18 Atemluft 1. 29 ml : 140 ml ~ 0,207 = 20,7% Also: Der Sauerstoffgehalt der Luft betrug 20,7%. 2. 5,7 : 20,7 ~ 27,5% . Also: 27,5% des Sauerstoffes werden von den roten Blutkörperchen aufgenommen. 16 · 60 · 500 ml = 480 l 20,7% von 480 l sind 99,36 l 27,5% von 99,36 l sind 27,324 l Also: Pro Stunde werden ca. 27 l Sauerstoff aufgenommen. 3. 5,7% der eingeatmeten Luft wird in Form von Sauerstoff aufgenommen, dies folgt aus 1. und 2. 5,7% → 2,4 l 100% → ~ 42,11 l Also: Es müssen ca 42 l Luft pro Minute eingeatmet werden. - 47 - Aufgabe 9.1 Lineares Wachstum von Tropfsteinen 1. Ein hängender Tropfstein in einer Höhle ist 1,062 m lang. Er wächst jährlich um durchschnittlich 3 mm. a) Wie lang ist der Tropfstein vermutlich in 10, 20, 50, ... x Jahren ? Wie lang war er vor 10, 20, 50, ... x Jahren ? b) Zeichne den Graphen ! c) In wie vielen Jahren wird der Tropfstein voraussichtlich 1,5 m lang sein ? 2. Bei einem vom Boden aus wachsenden Tropfstein hat man vor 4 Jahren eine Höhe von 0,73 m gemessen, nun ist er 0,79 m hoch. Man nimmt lineares Wachstum an. d) Wie hoch ist der Tropfstein nach 3, 5, 7, ..., x Jahren ? e) Wie verändert sich die Höhe des Tropfsteins, wenn man ausgehend von einer Beobachtung im Jahre x noch 2, 3, 4, ..., d Jahre wartet ? f) Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich die Höhe des Tropfsteins ? - 48 - Lösungshinweise 9.1 Lineares Wachstum von Tropfsteinen 1. a) Zeit x Länge y c) 2. a) Zeit x Länge y b) y = 1,062 + 0,003 x -x 1,062 + 0,003 · (-x) - 50 0,912 - 20 1,002 - 10 1,032 0 1,062 10 1,092 20 1,122 50 1,212 x 1,062 + 0,003 · x 1,5 = 1,062 + 0,003 · x <=> 0,438 = 0,003 · x <=> 146 = x In 146 Jahren wird der Tropfstein voraussichtlich 1,5 m lang sein. Der Tropfstein wächst 6 cm in 4 Jahren, d.h. 1,5 cm = 0,015 m in einem Jahr. y = 0,79 + 0,015 · x 0 3 5 7 x 0,79 m 0,835 m 0,865 m 0,895 m 0,79 + 0,015 · x Im Jahr x hat der Tropfstein eine Höhe von y = 0,015 · x + 0,79 . Nach 2 Jahren ist er um 2 · 0,015 m gewachsen. Nach 3 Jahren ist er um 3 · 0,015 m gewachsen. Nach 4 Jahren ist er um 4 · 0,015 m gewachsen. Nach d Jahren ist er um d · 0,015 m gewachsen. Man sieht dies auch an der Funktionsgleichung: y = 0,79 + (x + d) · 0,015 = 0,79 + x · 0,015 + d · 0,015 . In gleichen Zeitabständen (2, 3, 4, d) wächst der Tropfstein um den gleichen additiven Betrag (Wachstumsrate). c) 0,79 · 2 = 0,79 + x · 0,015 <=> 0,79 = 0,015 · x <=> 52,67 = x Nach etwa 53 Jahren hat sich die Höhe des Tropfsteins verdoppelt. - 49 - Aufgabe 9.2 Telefontarife 1. Die Telefongesellschaft TELAG verlangt für Privatkunden eine monatliche Gebühr von 12 € und einen Preis von 0,15 € für eine Einheit. a) Wie hoch sind monatliche Telefonrechnungen für 125 und 250 Einheiten ? b) Wie lautet die Funktionsgleichung für den monatlichen Gesamtpreis? c) Zeichne den Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem. Achte dabei auf eine sinnvolle Skalierung der Koordinatenachsen. d) Frau Knauser möchte jeden Monat höchstens 25,- € für ihre Telefonrechnung ausgeben. Für wie viele Einheiten darf sie maximal telefonieren? 2. Die Telefongesellschaft Novotel hat auch einen linearen Tarif. Bei ihr werden monatlich beispielsweise für 100 Einheiten 30 € und für 125 Einheiten 36,25 € verlangt. a) Wie lautet hier die Funktionsgleichung für den monatlichen Gesamtpreis? b) Wie hoch ist die Telefonrechnung bei 180 Einheiten? c) Zeichne den Funktionsgraphen in das Koordinatensystem von Aufgabe 1. d) Wie viele Einheiten kann man bei Novotel für 25 € vertelefonieren? 3. Bis zu welchem monatlichen Verbrauch sollte man bei Novotel telefonieren? a) Wie erhält man die Lösung zeichnerisch? b) Wie erhält man die Lösung rechnerisch? c) Die Firma TELAG möchte ihre monatliche Grundgebühr derart senken, dass Kunden bereits ab einem monatlichen Konsum von 50 Einheiten bei ihr günstiger telefonieren als bei Novotel. Wie lautet die Funktionsgleichung für den geänderten Tarif? - 50 - Lösungshinweise 9.2 Telefontarife 1. a) b) d) 2. a) 125 Einheiten : 12 + 125 · 0,15 = 30,75 Euro 250 Einheiten: 12 + 250 · 0,15 = 49,50 Euro monatlicher Gesamtpreis: y = x · 0,15 + 12 (mit y = monatlicher Gesamtpreis, x = Anzahl der Einheiten) Der Preis y = 25 ist vorgegeben. y = 25 = x · 0,15 + 12 <=> 13 = x · 0,15 <=> x = 86,67 . Frau Knauser kann für maximal 86 Einheiten telefonieren. P1(100 / 30) ; P2 (125 / 36,25) y=m·x+b m = (36,25 - 30) : (125 - 100) = 6,25 : 25 = 1 : 4 = 0,25 . P1 (100 / 30) einsetzen: 30 = 0,25 · 100 + b <=> b = 5 . b) d) 3. a) Funktionsgleichung: y = 0,25 · x + 5 . y = 0,25 · 180 + 5 = 45 + 5 = 50. Für 180 Einheiten muß man 50 Euro bezahlen. Der Preis y = 25 ist vorgegeben. y = 25 = x · 0,25 + 5 <=> 20 = 0,25 · x <=> x = 80 . Für 25 Euro erhält man bei Novotel 80 Einheiten. Man zeichnet beide Geradengleichungen in ein Koordinatensystem und liest den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden ab. b) y (TELAG) = y (Novotel) <=> 0,15 · x + 12 = 0,25 · x + 5 <=> 7 = 0,1 · x <=> 70 = x Bis zu einem monatlichen Verbrauch von 70 Einheiten sollte man bei Novotel telefonieren. c) Die neue, noch unbekannte Funktionsgleichung von TELAG lautet y = 0,15 · x + b. Für 50 Einheiten bezahlt man bei Novotel y = 0,25 · 50 + 5 = 17,50 Euro. Dies ist auch die Preisvorgabe für TELAG: 17,50 = 0,15 · 50 + b <=> 17,50 = 7,50 + b <=> b = 10 . Der geänderte Tarif für TELAG lautet: y = 0,15 · x + 10 . - 51 - Aufgabe 9.3 Das Gasthaus Das Gasthaus „ Zur Sonne“ bietet Doppel- und Einzelzimmer an 1. 2. 3. 4. Eine Übernachtung kostet im Doppelzimmer 66 €, im Einzelzimmer 50 €. Bei mindestens drei Übernachtungen reduziert sich der Preis um 15% im Doppelzimmer und 10% im Einzelzimmer. Eine Familie mit einem Kind bucht für 14 Tage ein Doppelund ein Einzelzimmer. Wie hoch ist die prozentuale Ersparnis gegenüber dem regulären Preis? Im Gasthaus können insgesamt 41 Personen übernachten. Stelle eine Funktionsgleichung für die mögliche Anzahl an Doppel- und Einzelzimmern auf und zeichne den Graphen. Nenne mögliche Lösungen. Für die 41 möglichen Übernachtungsgäste gibt es insgesamt 23 Zimmern. Ein Reisebüro möchte 9 Doppel- und 6 Einzelzimmer buchen. Ist dies möglich? Löse dies zunächst zeichnerisch und anschließend rechnerisch. Bei einer Sonderaktion bietet das Gasthaus zwei Reisegruppen zu gleichen Konditionen für zwei Übernachtungen folgende Preise an: 4 Doppelzimmer und 3 Einzelzimmer für 410 € 7 Doppelzimmer und 4 Einzelzimmer für 655 €. Wie teuer sind das Doppelzimmer und das Einzelzimmer pro Übernachtung bei dieser Aktion? - 52 - Lösungshinweise 9.3 Gasthaus 1. 66 € 0,15 = 9,90 € ; 50 € 0,10 = 5 € 2 9,90 € + 5 € = 24,80 € von 182 € = 13,63 % 2. x: Doppelzimmer/ y: Einzelzimmer ; 2x+y = 41 y = 41 – 2x , beachten, dass x und y natürliche Zahlen sind 3. LGS aus 2x+y = 41 (s.o.) und x + y = 23, dies liefert y = 5 und x = 18 . Buchung also nicht möglich. 4. Mit den Bezeichnungen von oben ergibt sich folgendes LGS 4x + 3y = 410 und 7x + 4y = 655, dies ergibt y = 110 und x = 85 - 53 - Aufgabe 9.4 Das Geschenk Ein Geschenk wird aufwendig verpackt. Das Geschenk kostet 99 € mehr als die Verpackung. Der Kunde zahlt genau 100 €. Wie teuer war das Geschenk, wie teuer das Verpacken? 1) 2) Welche Lösung werden die meisten wohl ohne nachzudenken vermuten? Zeige, dass dies nicht stimmt. Löse die Aufgabe rechnerisch. - 54 - Lösungshinweise 9.4 Geschenk 1. 2. Geschenk 99 €, Verpackung 1 €; falsch, da dann Geschenk 100 € (99 € teuerer), die Verpackung 1 € kosteten, beides also 101 €. x : Geschenk, y Verpackung ergibt folgendes LGS: x + y = 100 und x = 99 + y also x = 99,50 und y = 0,50 - 55 - Aufgabe 9.5 Fährschiffe Auf dem Meer verbinden Fährschiffe Hafenstädte. Zur Vereinfachung stellen wir uns folgende Situation vor: Die Schiffe fahren auf geradlinigen Routen. Die Längen- und Breitenkreise bilden ein Koordinatensystem. Die Koordinaten der Orte sind in km vom Ursprung gemessen. Das erste Schiff verbindet A=(100/100) mit B=(500/900), das zweite Schiff C=(200/500) mit D=(300/200). 1. 2. 3. 4. Stelle die Situation in einem passenden Koordinatensystem dar. Die Routen kreuzen sich. Bestimme den „Treffpunkt“ zeichnerisch und rechnerisch. Bestimme aus der Zeichnung, wie weit ist dieser „Treffpunkt von A aus und von C aus entfernt ist. In der Schifffahrt werden Entfernungen in Seemeilen (sm) und Geschwindigkeiten in Knoten (kn) gemessen. Dabei gilt: 1sm = 1, 852km und 1kn=1sm/h. Das erste Schiff startet um 800 Uhr in A und hat eine Geschwindigkeit von 11kn, das zweite Schiff startet am gleichen Tag um 1500Uhr in C mit einer Geschwindigkeit von 9kn. Besteht die Gefahr einer Kollision? - 56 - Lösungshinweise 9.5 Fährschiffe 1. 2. 3. 4. Möglicher Maßstab 100km = 1cm. Rechnerisch g(AB): y = 2x-100 g(CD): y= -3x+1100 S = (240/380) Rechnerisch über Pythagoras d(A,S) = 313,05km d(C,S)=126,49km. Für Schüler in der Jgst.8 nur zeichnerisch möglich. 1. Schiff: 313,05 : (11* 1,852) = 15,36; Fahrtzeit bis Treffpunkt 15h22min, Ankunft also ca. 2322Uhr 2. Schiff: 126,49 : (9*1,852) = 7,59; Fahrtzeit ca. 7h35min, Ankunft also ca. 2235Uhr. Unter den gegebenen Bedingungen also keine Kollision. - 57 - Aufgabe 9.6 Schiffskarambolagen Das Motorschiff Agathe startet mit Kurs 15 sm Ost und 15 sm Nord. Gleichzeitig fährt der Kutter Berta 5 sm nördlich mit dem Kurs von 15 sm Ost und 5 sm Nord los. 1. Zeichne die Bewegung der beiden Schiffe in ein Koordinatensystem ein. 2. Wo schneiden sich die Routen der beiden Schiffe? 3. Stelle die Geradengleichungen der beiden Routen auf und berechne den Schnittpunkt. 4. Warum muss es nicht zu einer Karambolage kommen? 5. Im dichten Nebel wäre es tatsächlich nach genau einer Stunde Fahrzeit zur Kollision gekommen. Agathe rutschte ganz knapp noch vor Bertas Bug vorbei. Welche Geschwindigkeit hatten die beiden Schiffe? - 58 - Lösungshinweise 9.6 Schiffskarambolagen 1. Die Lösung bezieht sich auf die Wahl von P(0/-5) als Startposition von Agathe und damit Q(0/0) als Startposition von Berta. Die rote Gerade durch (0/-5) beschreibt die Fahrt von Agathe, die andere die von Berta. 2. 3. 4. 5. Die Routen der Schiffe schneiden sich in S(7,5/2,5). 15 x5 Agathe: y= 15 5 x Berta: y = 15 Die Geschwindigkeit der Schiffe wird nicht berücksichtigt. Aus der Zeichnung kann man die gefahrenen Strecken ablesen: Agathe 10,6 sm und Berta 7,9 sm. - 59 - Aufgabe 9.7 Kanalüberquerung Die Stadt B liegt 50 km östlich und 20 km nördlich von A. Zwischen den Städten soll eine Eisenbahnlinie gebaut werden. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass die Bahntrasse exakt geradlinig verläuft. Zwischen den Städten verläuft ein Kanal, dessen Lage aus der Zeichnung entnommen werden kann. Auch hier soll angenommen werden, dass er exakt geradlinig verläuft. 1. 2. 3. ahn b n e Eis 40 km B 25 km A Kanal Berechne, an welcher Stelle eine Eisenbahnbrücke über den Kanal gebaut werden muss! Überprüfe Deine Rechnung an einer maßstäblichen Zeichnung. Wähle den Maßstab so, dass Du eine Heftseite gut ausnutzt! Ermittle die Entfernung von der Stadt A bis zur Kanalbrücke aus Deiner Zeichnung! - 60 - Lösungshinweise 9.7 Kanalüberquerung 1. Wähle ein Koordinatensystem, so dass A(0/0) und B(50/20). Dann lassen sich 2 Punkte auf dem Kanal ermitteln: C(0/40); D(50/-5). 2 5 Gleichung für die Eisenbahnlinie: e( x) x 9 x 40 . 10 2 9 13 400 x x 40 x 40 x 30 ,8 5 10 10 13 Gleichung für den Kanal: k ( x) Gesucht ist der Schnittpunkt: 2. Es ist e(30,8) 12,8 . Somit muss die Brücke 30,8 km östlich und 12,8 km nördlich von A gebaut werden. Maßstab: 1 cm entspricht 10 km: C B A 3. D Aus der Zeichnung kann die Entfernung abgelesen werden: Es sind rund 3,3 cm, also rund 33 km - 61 - Aufgabe 9.8 Schulweg Die Stadt A-Stadt und das 25 km entfernte Dorf B-Dorf sind mit einer geraden zweispurigen Straße verbunden. Morgens um 7.15 Uhr macht sich Dennis auf dem Fahrrad von B-Dorf aus auf, um in die Schule nach A-Stadt zu fahren, die er auch (fast) pünktlich um 8.00 Uhr erreicht. Melanie, die in A-Stadt wohnt, kann heute nicht zur Schule kommen, da sie zur Mathematik-Olympiade in B-Dorf fährt. Sie fährt mit ihrem (frisierten?) Roller um 7.30 Uhr in A-Stadt los und kommt um 8.00 Uhr bei der Mathematik-Olympiade an. 1. Stelle die Situation graphisch dar! (Anmerkung: x-Achse ist die Zeitachse – 1 cm entspricht 5 min; Beginn um 7.00 Uhr; y-Achse ist die Wegachse – 1 cm entspricht 5 km; A-Stadt liegt im Nullpunkt) 2. Lies aus dem Schaubild ab, um wie viel Uhr sich Melanie und Dennis treffen? 3. Wie weit liegt der Treffpunkt von B-Dorf entfernt? 4. Wo schneiden die beiden Graphen für Dennis und Melanie die Weg-Achse? Was bedeuten diese Schnittpunkte für Dennis und Melanie? 5. Berechne jeweils die Steigung der Geraden! 6. Berechne die Geradengleichungen für Dennis und für Melanie! 7. Berechne mit Hilfe der Geradengleichungen den Treffpunkt der beiden und überprüfe die Ergebnisse aus 2 und 3. 8. Welche Bedeutung hat die Steigung der Bewegungsgeraden? 9. Finde Situationen, aus denen Du ähnliche Aufgaben konstruieren kannst, löse sie und stelle sie dann deinen Mitschülern. - 62 - Lösungshinweise 9.8 Schulweg 1. 2. 3. 4. Treffen um 07.42 Uhr Treffpunkt 15 km von B-Dorf entfernt Dennis: die Wegachse wird bei 33 ⅓ geschnitten. Dies bedeutet, dass Dennis in 60 Minuten 33 ⅓ km zurücklegt. Melanie: die Wegachse wird bei -25 geschnitten. Dies bedeutet, dass Melanie in 30 Minuten 25 km zurücklegt. 5. mM 6. 7. 8. 25 0 5 0 25 5 ; mD 60 30 6 60 30 9 5 5 1 y M x 25; y D x 33 6 9 3 5 5 1 yM yD ; x 25 x 33 ; x 42 6 9 3 5 1 y D 42 33 10 9 3 Sie treffen sich um 7.42 Uhr 10 km von A, d.h. 15 km von B entfernt. Gleiche Werte wie unter 1.2 und 1.3. Geschwindigkeit in km pro Minute - 63 - Aufgabe 9.9 Stromtarife Seit einiger Zeit ist der Strommarkt in Bewegung. Um jeden einzelnen Kunden wird dabei geworben. Einige Angebote kommen Familie X ins Haus, die sie in Ruhe vergleichen möchte. Laut ihrer letzten Stromrechnung haben sie etwa 3800 kWh in einem Jahr verbraucht. Blue Strom Proton Direkt (Family) Bisheriger Anbieter 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 19,-- DM Grundpreis pro Monat und 19 Pfennige pro kWh 13,90 DM Grundpreis pro Monat und 21,9 Pfennige pro kWh Die Werte des bisherigen Stromanbieters kann man der anliegenden Stromrechnung entnehmen. Wie groß sind: Grundpreis, Preis pro kWh und Umsatzsteuer beim bisherigen Anbieter? Berechne die Preise des bisherigen Stromanbieters inkl. Umsatzsteuer. Stelle zu jedem Stromanbieter eine Funktionsgleichung auf bzgl. Verbrauch in Abhängigkeit vom Preis pro Jahr auf. Zeichne die Graphen der Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Berechne die Schnittpunkte der Funktionsgraphen und überprüfe dein Ergebnis an der graphischen Darstellung. Welcher der Stromanbieter ist für die Familie X unter den o.a. Bedingungen der günstigste. Der Stromanbieter Proton Direkt (Family) bietet zusätzlich noch einen Bonus an: jeder Haushalt der mindestens 2400 kWh pro Jahr verbraucht, erhält 200 kWh gratis. Wie ändert sich in diesem Fall der Graph? Gibt es Änderungen beim günstigsten Stromanbieter für unsere Familie X? - 64 - - 65 - Lösungshinweise 9.9 Stromtarife 1. 2. 3. Stadtwerke Duisburg Jahresgrundpreis 105,-- DM; Preis pro kWh (ab 01. 04. 1999) 24,3 Pf; Umsatzsteuer 16 % Jahresgrundpreis 105,-- DM + 16 % = 121,80 DM Preis pro kWh (ab 01. 04. 1999) 24,3 Pf + 16 % = 28,2 Pf Blue yB = 0,19 ∙ x + 12 ∙ 19 = 0,19 ∙ x + 228 Proton Direkt yPD = 0,219 ∙ x + 12 ∙ 13,9 = 0,219 ∙ x +166,8 Stadtwerke DU yST = 0,282 ∙ x + 121,8 4. 5. 6. 7. yB = yPD 0,19 ∙ x + 228 = 0,219 ∙ x +166,8 x = 2110,34 Schnittpunkt (2110,34/628,96) yB = yST 0,219 ∙ x +166,8 = 0,282 ∙ x + 121,8 x = 1154,35 Schnittpunkt (1154,35/447,33) yPD = yST 0,219 ∙ x +166,8 = 0,282 ∙ x + 121,8 x = 714,29 Schnittpunkt (714,29/323,23) Laut Graphik ist der Stromanbieter Blue für die Familie X der Günstigste. Der Graph macht einen „Sprung“, d.h. die Gerade wird bei x= 2400 parallel in Richtung x-Achse verschoben, so dass sie bei (2400/648,6) neu beginnt. Bei 200 kWh als Bonus muss die Familie nur 3600 kWh bezahlen. Dennoch bleibt Stromanbieter Blue am günstigsten. - 66 - Aufgabe 9.10 Kerze Eine brennende Kerze, die einmal 25 cm lang war, wird beobachtet. Zu Beginn der Beobachtung ist sie 12 cm lang. Nach 20 Minuten ist sie nur noch 10 cm lang. Nach einer weiteren Stunde beträgt ihre Länge nur noch 4 cm. 1. Wie lange brennt die Kerze noch? 2. Wie lange kann solch eine Kerze insgesamt brennen? 3. Wie groß müsste eine gleich dicke Kerze sein, die 5 h brennen kann? 4. Zu Beginn der Beobachtung wurde auch eine 15 cm lange, dünnere Kerze angezündet, die innerhalb einer Stunde um 11 cm niederbrennt. Wann haben beide Kerzen die gleiche Höhe? 5. Wann hätte diese Kerze angezündet werden müssen, damit beide Kerzen zum gleichen Zeitpunkt erlöschen? - 67 - Lösungshinweise 9.10 Kerze Es handelt sich um eine lineare Abnahme mit 6 cm/h. Es sind rechnerische und graphische Lösungen denkbar. 1. Da die Kerze nur noch 4 cm lang ist, kann sie noch 40 min brennen. 25 2. Da die Kerze insgesamt 25 cm lang ist, kann sie also 6 h , also 4 h 10 min brennen. 3. 4. 5. 5h 6 cmh 30cm rechnerischer Ansatz: 15 cm 11 cmh x 12cm 6 cmh nach 36 min Die Ausgangskerze benötigt für die 12 cm genau 2 h. Die dünne Kerze brennt ca. 1 h 22 min. Sie hätte also 38 min später angezündet werden müssen. - 68 - Aufgabe 9.11 Baufirma Eine Baufirma verfügt über zwei verschiedene Bagger. Der kleinere hebt pro Stunde 420 m3 der große 620 m3 aus. 1. Wie lange braucht der kleine Bagger um 2275 m3 Erde zu bewegen? 2. Wie viel Erde kann der große Bagger innerhalb von 160 min ausbaggern? 3. Eine Baugrube soll 30 m breit und 40 m lang sein. Es ist eine Tiefe von 350 cm geplant. Wie lange braucht der große Bagger für dieses Vorhaben? Es soll ein 17700 m3 große Baugrube ausgehoben werden. Zunächst wird nur der kleine Bagger verwendet. Nach 5 h wird auch der große Bagger benutzt. 4. Wann haben beide die gleichen Erdmassen bewegt? 5. Wie lange dauert das Vorhaben? - 69 - Lösungshinweise 9.11 Baufirma 1. 2. 3. 4. 5. t = 5 h 25 min V = 1653 1/3 cm³ V = 4200 m³ t 6 h 47 min Es sind mehrere Lösungswege denkbar (z.B. graphisch oder mit Hilfe eines Gleichungssystems). t = 10 h 30 min (nach Einsatz des großen Baggers) Insgesamt 20 h. - 70 - Aufgabe 9.12 Schwimmbecken Im Kellergeschoss eines neu erbauten Hotels befindet sich eine rechteckige Schwimmhalle, die 33 m lang und 18 m breit ist. Das ebenfalls rechteckige Schwimmbecken ist von allen Seitenwänden 4 m entfernt. Es handelt sich um ein sogenanntes Überlaufbecken, das bedeutet, dass es bis zum Rand mit Wasser gefüllt ist, überlaufendes Wasser wird durch eine rings um das Becken verlaufende Überlaufrinne aufgefangen. Das Schwimmbecken hat den abgebildeten Längsschnitt: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Überprüfe die folgende Angabe des Hotelmanagers: „Unser Schwimmbecken nimmt ungefähr 50 % der Grundfläche der Schwimmhalle ein.“ Wie viel m2 Fliesen waren für den Fußboden der Schwimmhalle und das Schwimmbecken erforderlich? (Die Fugen und die Überlaufrinne sollen dabei unberücksichtigt bleiben.) Zur Berechnung des Fassungsvermögens muss man das Schwimmbecken in berechenbare Quader zerlegen. Welche Zerlegungen sind möglich? Wie kann man den Restkörper in einen berechenbaren Quader umwandeln? (Tipp: Ergänze oder zerlege geschickt!) Berechne das Fassungsvermögen des Schwimmbeckens! In regelmäßigen Abständen muss das Becken gereinigt und das Wasser erneuert werden. Pro Stunde können 55 m3 aus dem Schwimmbecken gelassen werden. Die Zuordnung f: Zeit (in h) verbleibende Wassermenge (in m3) soll den Entleerungsvorgang beschreiben. Erstelle eine Wertetabelle und eine Gleichung für die Zuordnung. Zeichne dann den Graphen der Zuordnung. Lies aus dem Graphen ab, wie lange das Ablassen der 437,5 m3 Wasser aus dem Becken dauert. Nach der Reinigung wird das Becken wieder gefüllt. Zunächst fließen pro Stunde 40 m3 Wasser in das Becken. Nach 5 h wird die Wasserzufuhr auf 75 % der bisherigen Leistung gedrosselt, nach weiteren 5 h wird nur noch die Hälfte der anfänglichen Wassermenge pro Stunde zugeführt. Stelle die Zuordnung g: Zeit (in h) zugeflossene Wassermenge (in m3) graphisch dar und gib eine Vorschrift an. Die abgebildeten Graphen zeigen den Wasserstand w in Abhängigkeit von der Füllzeit t verschiedener Becken bei gleichbleibender Wasserzulaufrate. Welcher der drei Graphen passt am ehesten zum oben beschriebenen Schwimmbecken? Begründe! - 71 - Lösungshinweise 9.12 Schwimmbecken 1. A1 = 33 · 18 m2 = 594 m2 A2 = ( 33 – 8) · (18 – 8) m2 = 250 m2 Das Schwimmbecken nimmt nur 42,1% der Schwimmhallengrundfläche ein. 2. A = 33 · 18 + 2,5 · 10 + 1· 10 + 2 · 2,5 · 10 + 2 · 1 · 10 + 2 · 5 · 1,75 = 716, 5 (m2) 716,5 m2 Fliesen werden benötigt. 3. 1. Zerlegung: 2 Quader und ein Trapezprisma, wobei das Trapezprisma für die Volumenberechnung in einen volumengleichen Quader verwandelt werden kann. 2. Zerlegung: 3 Quader und ein Dreiecksprisma. Zur Berechnung verdoppelt man das Dreiecksprisma und erhält einen Quader. 4. Für die 1. Zerlegung ergibt sich: V = 2,5 · 10 · 10 + 10 · 10 · 1 + 5 · 10 · 1,75 = 437,5 (m3) 5. x stellt die Zeit in h dar, y die verbliebene Wassermenge in m3 437,5 55x 437,5 für 0 x 55 f: y= 437,5 0 für x 0 oder x 55 x 0 2 4 6 y 437,5 327,5 217,5 107,5 6. 8 0 10 0 x stellt die Zeit in h dar, y die zugelaufene Wassermenge in m3 40x für 0 x 5 g : y = 30x 50 für 5 x 10 20x 150 für 10 x 14,375 7. Der dritte Graph passt am besten. Der Wasserstand steigt bis zur Höhe des Nichtschwimmerbeckens immer langsamer an, weil der Boden zwischen Schwimmerund Nichtschwimmerbecker gleichmäßig ansteigt. Hat der Wasserstand das Nichtschwimmerbecken erreicht, so nimmt er linear zu. - 72 - - 73 - Aufgabe 9.13 Füllen eines Schwimmbeckens Wassermenge im Becken in cbm Ein 25 m langes, 5 m breites und 2,60 m tiefes Schwimmbecken wird über zwei Zuläufe, die getrennt geöffnet werden können, gefüllt. 300 275 245 200 150 125 100 50 1 1. 2. 3. 4. 5. 5 10 Zeit in h Beschreibe den Füllvorgang mit Hilfe des Graphen! Wie hoch steht zum Schluss das Wasser? Bestimme die unterschiedlichen Zulaufraten (Zulaufrate = Wassermenge pro Zeiteinheit)! Gib die Zulaufraten in m3/h und in l/min an! Erkläre, wie es zu den unterschiedlichen Zulaufraten kommt! Berechne, wie lange das Füllen des Schwimmbeckens bis zu einem Wasserstand von 2,20 m dauert, wenn pro Stunde 40 m3 Wasser ins Becken fließen! Zeichne den zugehörigen Graphen in das vorhandene Koordinatensystem ein! - 74 - Lösungshinweise 9.13 Füllen eines Schwimmbeckens 1. Diese Lösung ist formuliert in Anlehnung an das Vorgehen bei der Analyse von Diagrammen in den Naturwissenschaften und Erdkunde: Thema des Diagrammes: Der Graph zeigt den Füllvorgang für ein Schwimmbecken. Die zugelaufene Wassermenge in m3 wird in Abhängigkeit zur Zeit in Stunden dargestellt. Beschreibung: (Die Wörter Kurve, Graph o.ä. sollen nicht verwendet werden!) Drei Zeitabschnitte sind zu unterscheiden: 1. Von 0 – 5 h steigt die Wassermenge gleichmäßig (linear) von 0m3 auf 125 m3. 2. Von 5 – 8 h nimmt die Wasserzulaufrate zu, die Wassermenge steigt in diesem Zeitraum linear von 125 m3 auf 245 m3. 3. Von 8 – 10 h ist die Wasserzulaufrate geringer als in den Stunden davor, die Wassermenge nimmt linear um 30m3 zu und erreicht nach 10h die Marke von 275 m3. Deutung: siehe 4. 2. Wasserhöhe: 275m3 25m 5m h h 2,20m 3. Zulaufrate 1 = 25 m3/h = 416 23 l/min Zulaufrate 2 = 40 m3/h = 666 23 l/min 4. 5. Zulaufrate 3 = 15 m3/h = 250 l/min Nur Zulauf 1 ist in den ersten 5 Stunden geöffnet. Dann sind die Zuläufe 1 und 2 zusammen 3 Stunden lang geöffnet. Nur Zulauf 2 ist in den beiden letzten Stunden des Füllens geöffnet. 275 m3 : 40 m3/h = 6 78 h = 6 h 52 min 30 s - 75 - Aufgabe 9.14 Füllen einer Vase Der dargestellte Körper (eine Designerblumenvase) ist aus drei quaderförmigen Abschnitten zusammengesetzt. Er wird mit konstanter Wasserzulaufrate gefüllt, das heißt, dass beim Füllen immmer dieselbe Menge Wasser pro Zeiteinheit zuläuft. Die Zulaufrate wird in Milliliter pro Sekunde gemessen. Der untere Quader hat eine Grundfläche von 2 dm² und eine Höhe von 3 cm. Er wird innerhalb von 8 s gefüllt. a) Berechne die Höhenänderungsrate, das heißt: Um wie viele cm nimmt der Wasserstand im unteren Quader pro Sekunde zu? b) Berechne die Wasserzuflussrate. Nach weiteren 16 s ist der mittlere Quader gefüllt. Er hat eine Höhe von 4 cm. c) Berechne die Querschnittsfläche des mittleren Quaders. Während der Füllung des oberen Quaders liegt eine Höhenänderungsrate von 0,4 cm/s vor. Es dauert 10 s, bis dieser Teil der Vase gefüllt ist. d) Welche Gesamthöhe hat die Vase? e) Berechne die Querschnittsfläche des oberen Quaders. f) Zeichne den Graphen, der die Höhe des Wasserstandes in der Vase in Abhängigkeit von der Zeit angibt. - 76 - Lösungshinweise 9.14 Füllen einer Vase a) h 3 cm 8 s b) Volumen des unteren Quaders: 2dm 2 3cm 600 cm 3 Fülldauer 8 s, also Zuflussrate: z 600 cm 3 cm 3 75 8s s c) Volumen des mittleren Quaders: 75 Querschnittsfläche: cm 3 16 s 1200 cm 3 s 1200 cm 3 300 cm 2 4cm cm 10 s 4cm s 3cm 4cm 4cm 11cm d) Höhe des oberen Quaders: 0,4 Gesamthöhe: e) Volumen des oberen Quaders: 75 Querschnittsfläche: cm 3 10 s 750 cm 3 s 750 cm 3 187 ,5cm 2 4cm f) Höhe in cm 10 5 Zeit in s 10 20 30 - 77 - Aufgabe 9.15 Füllen einer Vase mit Füllgraph 1. Zeichne den Funktionsgraphen, der aus folgenden Stücken besteht: einer Strecke von (0/0) bis (10/4) 5 8 - einer daran anschließenden Strecke mit Steigung bis zum Punkt (18/h) - einer daran anschließenden Strecke bis zum Punkt (23/11) Durch den Graphen sei der Füllvorgang eines Gefäßes dargestellt. Die Werte der waagerechten Achse werden als Zeit in s, die der senkrechten Achse als Höhe in cm interpretiert. Die Füllung erfolgt mit der konstanten Zulaufrate von 10 cm³/s. Das Gefäß hat überall einen quadratischen Querschnitt. 2. 3. 4. 5. 6. Wie lange dauert es, bis das Gefäß 10 cm hoch gefüllt ist? Wie viel Wasser ist dann im Gefäß? Wie hoch ist der Wasserstand nach 12 s? Welche Form hat das Gefäß? Hier sind einige Gefäße zur Auswahl. Dargestellt ist jeweils ein Längsschnitt. Begründe Deine Entscheidung. Fertige eine maßstäbliche Zeichnung eines Längsschnittes durch das Gefäß an. Der Füllgraph soll eine Ursprungsgerade durch den Punkt (10/4) sein. Zu welchen Zeitpunkten muss die Zulaufrate verändert werden? Welche Werte muss sie haben? - 78 - Lösungshinweise 9.15 Füllen einer Vase mit Füllgraph 1. Der Endpunkt der zweiten Strecke ist zu bestimmen: h4 5 h9. 18 10 8 Höhe in cm 9 4 Zeit in s 2. 10 18 Nach 18 Sekunden steht das Wasser 9 cm hoch. Die Höhenänderungsrate auf dem 3. Abschnitt beträgt 11 9 cm 2 cm 23 18 s 5 s . Damit die Höhe um 1cm zunimmt, ist also eine Zeit von 2,5 s erforderlich. Somit steht das Wasser nach 20,5s die Höhe von 10 cm erreicht. Wegen der konstanten Zulaufrate beträgt die Wassermenge 10 3. Nach 10 Sekunden steht das Wasser 4 cm hoch. In 2 Sekunden steigt das Wasser wegen der Änderungsrate auf dem zweiten Abschnitt um 4. cm 3 20,5s 205 cm 3 . s 5 cm , also beträgt nach 12 Sekunden 4 die Wasserhöhe 5,25 cm. Da der Graph im zweiten Abschnitt steiler ist als in den anderen, muss das Gefäß in der Mitte schmaler sein als oben und unten. Damit kommen nur die Gefäße 3 oder 4 in Frage. Da der Graph stückweise linear ist, muss das Gefäß aus Teilen mit konstantem Querschnitt zusammengesetzt sein. Somit ist Gefäß 3 das richtige. - 79 - 5. Berechnet werden die Querschnittsflächen der einzelnen Quader. Unterer Quader: Volumen 10 s 10 Querschnittsfläche 100 cm 3 25 cm 2 ; Seitenlänge 5 cm; 4cm Mittlerer Quader: Volumen 8s 10 Querschnittsfläche 6. cm 3 80 cm 3 ; s 80 cm 3 16 cm 2 ; Seitenlänge 4 cm; 5cm Oberer Quader: Volumen 5s 10 Querschnittsfläche cm 3 100 cm 3 ; s cm 3 50 cm 3 ; s 50 cm 3 25cm 2 ; Seitenlänge 5 cm; 2cm Die Zulaufrate muss jedes Mal geändert werden, wenn sich der Querschnitt des Gefäßes verändert., also zum ersten Mal nach 10 s. Die Füllung soll mit der Höhenänderungsrate von 2 cm 5 s weitergehen, bis der Wasserstand von 9 cm erreicht ist., also der Wasserstand 25 s . In dieser Zeit muss das Volumen von 2 80 cm 3 2 cm 3 80cm 3 zufließen. Also beträgt die Zuflussrate . 6,4 25 s s 2 cm Zum Zeitpunkt 22,5 s muss wieder die Zulaufrate von eingestellt werden. 5 s um 5 cm zugenommen hat. Das dauert - 80 - Aufgabe 9.16 Texte zu Termen Bei der Aufgabenformulierung zur Zuordnungsvorschrift y = 1.5x+l hat jemand geschrieben: Die Mutter eines Kindes kauft für ihr Kind 50 Bonbon für 1.50 DM. Weil sie Stammkundin ist, bekommt sie ein Bonbon extra dazu. 1. Inwiefern ist die Formulierung fehlerhaft? 2. Welche der unteren Texte passen zu der vorgegebenen Zuordnungsvorschrift? Herr Mugmazz verkaufte gestern an Herrn Jabazz chinesischen Tee für 1.50 DM pro Liter. In einer chinesischen Kanne kostet der Tee l DM mehr. Wie viel hat Herr Jabazz für 10 Liter Tee in der Kanne bezahlt? In einer Disko kostet der Eintritt mit Flyer1.50 DM. Ohne Flyer kostet er 1 DM mehr. Wie viel muss eine Gruppe zahlen, wenn 7 Personen und davon 3 mit Flyer reinkommen wollen? Peter geht zur Eisdiele und liest das Schild. Eine Kugel Eis: 1.50 DM, eine Portion Sahne 1 DM. - Peter kauft 9 Kugeln Eis mit einer Portion Sahne. Der Lehrer bewertet eine Mathe-Arbeit. Für jede richtig gelöste Aufgabe gibt er 1.5 Punkte. Bei besonders sorgfältiger Arbeit gibt es noch einen Zusatzpunkt. In der World Wrestling Federation kostet 1 Tisch 1,50 $. Die Tische aus Edelholz kosten 1 $ mehr. Wie viel bezahlt Mick für 10 Edelholztische? Ein Kind will mit seinen Eltern in den Zoo gehen. Erwachsene zahlen 1,50 DM, Kinder zahlen 1 DM. In einem Toilettenhäuschen kostet der Eintritt 1,50 DM und wenn man nicht abspült muss man 1 Mark extra bezahlen. 3. Erfinde weitere Formulierungen: - 81 - Lösungshinweise zu Aufgabe 9.16 Texte zu Termen Bei der Aufgabenformulierung zur Zuordnungsvorschrift y = 1.5x+l hat jemand geschrieben: Die Mutter eines Kindes kauft für ihr Kind 50 Bonbon für 1.50 DM. Weil sie Stammkundin ist, bekommt sie ein Bonbon extra dazu. 1. Es kann der Preis für 50 Bonbons berechnet werden, es ergibt sich ein DM-Betrag. Die Addition von einem Bonbon dazu ergibt keinen Sinn. 2. Richtig sind die Formulierungen zu: Herr Mugmazz verkaufte gestern an Herrn Jabazz chinesischen Tee für 1.50 DM pro Liter. In einer chinesischen Kanne kostet der Tee l DM mehr. Wie viel hat Herr Jabazz für 10 Liter Tee in der Kanne bezahlt? Peter geht zur Eisdiele und liest das Schild. Eine Kugel Eis: 1.50 DM, eine Portion Sahne l DM. - Peter kauft 9 Kugeln Eis mit einer Portion Sahne. Der Lehrer bewertet eine Mathe-Arbeit. Für jede richtig gelöste Aufgabe gibt er 1.5 Punkte. Bei besonders sorgfältiger Arbeit gibt es noch einen Zusatzpunkt. Ein Kind will mit seinen Eltern in den Zoo gehen. Erwachsene zahlen 1,50 DM, Kinder zahlen 1 DM. Falsch sind, da die 1 auch mit der Anzahl multipliziert werden muss: In einer Disko kostet der Eintritt mit Flyer l .50 DM. Ohne Flyer kostet er l DM mehr. Wie viel muss eine Gruppe zahlen, wenn 7 Personen und davon 3 mit Flyer reinkommen wollen? Richtig wäre z.B. y=1,5a+2,5b In der World Wrestling Federation kostet 1 Tisch 1,50 $. Die Tische aus Edelholz kosten 1$ mehr. Wie viel bezahlt Mick für 10 Edelholztische? In einem Toilettenhäuschen kostet der Eintritt 1,50 DM und wenn man nicht abspült muss man 1 Mark extra bezahlen. 3. Erfinde weitere Formulierungen: - - - - "Frau Kaiser geht bei Mini-Mal einkaufen. Sie holt sich erst einen Einkaufswagen der l DM kostet, dann geht sie rein und kauft eine Tüte Chips für 1.50 DM." richtig Formulierung In einer Kebab-Bude werden Salate verkauft. Ein Salat kostet 1.50 DM. Pro gekauften Salat erhält der Kunde 1Bonuspunkt. Bei einer Ansammlung von 10 Punkten erhält der Kunde einen Salat umsonst. falsche Formulierung Ein Mobilfunkanbieter fordert für ein Stadtgespräch 1.50 DM pro Einheit. Da dies relativ hoch für Mobilfunk ist, bietet der Anbieter als preisliches Lockmittel einen einmaligen Anmeldepreis von nur 1. DM an. Grundgebühren und andere Pflichtkosten fallen weg. richtig Formulierung Ein Junge kauft für sich Sticker für sein Stickeralbum. Ein Sticker kostet 1,50DM. Da er oft da ist bekommt er einen Sticker geschenkt. falsche Formulierung - 82 - - - - - - - In einem Englisch- Lernprogamm bekommt man für jede richtige Antwort 1,50 Punkte. Hat man am Ende keinen einzigen Fehler gemacht, so bekommt man noch einen Extrapunkt. richtig Formulierung Max geht ins Schwimmbad „Wasser marsch!“ in Mühlheim. Er könnte sich eine Karte für 4 h oder eine Karte für 2 h kaufen, da er nur begrenztes Geld mit hat. Die 2 h-Karte kostet 1,50 DM + 1 Bonuspunkt, der eine Mark wert ist, und die 4 h-Karte kostet 5,00 DM, allerdings hat sie keinen Bonuspunkt. Max kauft die 2 hKarte. Von dem Bonuspunkt will er sich eine Cola und Pommes Frites kaufen. falsche Formulierung Anna will mit ihren Freundinnen Sarah und Christina ins Kino gehen. Eine Einzelkarte kostet 1,50 DM und eine Karte für 3 Personen kostet 4,50 DM. Sie nehmen die Karte für 3 Personen und zusätzlich kaufen sie sich noch für eine Mark Chips und Taschentücher, da der Film „Tränen lügen nicht“ sehr traurig sein soll. richtig Formulierung Carsten geht ins Kino. Dort holt er sich für 1 DM Süß und für 1,50 kauft er sich eine Dose Sprite. richtig Formulierung Auf einem Spielzeugautomaten steht: Eine Wunderkugel kostet 1,50 DM und eine Spezialkugel kostet 1 DM. Lisa kauft sich 8 Wunderkugeln und 2 Spezialsuperkugel. falsche Formulierung Frau Reichhardt kauft in einem Supermarkt ein. Sie kauft 6 l Milch. Ein Liter kostet 1,50 DM. Weil sie aber ihren Einkaufkorb vergessen hat, muss sie noch 1 DM für eine Einkaufstasche bezahlen. richtig Formulierung Frau Heinrich kauft sich an einem Getränkestand ein Glas Wasser für 1,50 DM. Sie muss allerdings noch 1 DM Pfand bezahlen. richtig Formulierung Jenny kauft sich eine Portion Pommes für 1,50 DM. Für den Ketchup muss sie noch mal 1 DM bezahlen. richtig Formulierung Eine Mutter und zwei Kinder wollen mit der Seilbahn fahren. Für die Kinder kostet es je 1,50 DM. Für die Mutter kostet es 1 DM mehr als für ein Kind. falsche Formulierung Tina will zwei Tafeln Schokolade zu je 1,50 DM kaufen. Da sie teurer geworden sind, muss sie 1 DM mehr bezahlen. richtige Formulierung Fritz verkauft Autos. 5 blaue Porsche kosten 1,50 DM. Ein Porsche Cabrio kostet 1 DM. richtig Formulierung Zwei Lampen kosten je 1,50 DM. Eine Stehlampe kriegt man für eine Mark dazu. richtig Formulierung Peter kauft blaue Socken für 1,50 DM und rote für 1 DM mehr. Er kauft 3 Paar blaue und 1 Paar rote. falsche Formulierung Susie liest ein Schild: 50 einfarbige Luftballons für 1,50 DM und 20 buntfarbige für noch 1 DM dazu. richtig Formulierung Hans verkauft seine Kuscheltiere. Eines kostet 1,50 DM. Wer alle kauft bekommt eine kleine Dose dazu im Wert von 1 DM. falsche Formulierung Johann kauft sich in einem Schreibwarengeschäft 5 Bleistifte für je 1,50 DM und einen Radiergummi für 1 DM. richtig Formulierung Beí McDonalds bekommt man einen Hamburger für 1,50 DM Wenn man ein Menü kauft mit 2Hhamburgern braucht man nur 1 DM zu zahlen. falsche Formulierung - 83 - - - - - - In einem CD-Laden bekommt man 1 Maxi CD für 1,50 DM. Da der Laden bald schließt bekommt jeder noch, egal was er kauft, eine Maxi CD dazu. falsche Formulierung Die 28 Schüler der Klasse 8d wollen einen Klassenausflug zum Brandenburger Tor machen. Jeder von ihnen muss 1 DM für den Ausflug und 50 Pf für den Bus zahlen. Der Lehrer, der mitfährt muss nur 1 DM bezahlen, da er mit seinem eigenen Auto fährt. richtig Formulierung Die 4 Freunde Peter, Fritz, Herbert und Henning gehen zu einem Fußballspiel. Peter, Fritz und Herbert müssen jeweils 1,50 DM Eintritt bezahlen, aber Henning, dessen Onkel bei diesem Fußballspiel mitspielt, muss nur 1 DM bezahlen. falsche Formulierung Herr Schulz kauft beim Getränkemarkt einen Kasten Bier mit 6 Flaschen zu je 1,50 DM. Da es Pfandflaschen sind, muss er eine DM Pfandgebühr zusätzlich bezahlen. richtig Formulierung Wenn man eine Pizza telefonisch bestellt kostet sie 1,50 DM und die Lieferung 1 DM extra dazu. richtig Formulierung In einem Kino kostet der Eintritt 1,50 DM. Wenn man 1 DM dazu zahlt, bekommt man einen Logenplatz. falsche Formulierung Eine kleine Pizza kostet 1,50 DM. Bestellt man einen Salat dazu, muss man nur 1 DM zusätzlich zahlen. richtig Formulierung Ein Poster kostet 1,50 DM. Ein Poster mit besonderem Aufdruck kostet 1 DM mehr. falsche Formulierung Drei Hefte kosten 1,50 DM. Ein schwarzes Heft kostet 1 DM weniger. falsche Formulierung Igor verkaufte seinem Freund Pedro Murmeln für 1,50 DM pro Murmel. In einer Dose kostet es 1 DM mehr. Wie viel hat Pedro für 25 Murmeln in der Dose bezahlt. richtig Formulierung Chan-Li geht bei Extra einkaufen. Er kauft sich zwei Tafeln Schokolade für 1,50 DM pro Tafel. Bei der Kasse holt er sich noch eine Tüte für 1 DM. Wie viel bezahlt er? richtig Formulierung - 84 - Aufgabe 9.17 Renovieren Familie Werner will das Dachzimmer ihres Sohnes Peter renovieren. Die genauen Maße (in mm) können der unten stehenden Zeichnung entnommen werden. 1100 2200 2600 900 1200 1500 3200 4200 800 1. Auf dem Fußboden soll Teppichboden verlegt werden. Den Teppich, für den sich die Familie entschied, gibt es in den Breiten 4 m und 5 m zu den Preisen 37 € bzw. 48 € je laufenden Meter. a) Die Familie möchte den Boden so verlegen, dass keine Naht zu sehen ist. Wieviel muss sie für den Teppichboden bezahlen? b) Die Familie überlegt den Teppich zu zerschneiden und zwei rechteckige Flächen zu verlegen. Wieviel muss sie dann mindestens bezahlen? c) Der Vater der Familie beginnt nun zu überlegen, wie man den 5 m breiten Teppichboden so geschickt zerlegen kann, dass man weitere Kosten spart. Plötzlich meint Peter : “Vergiss es!“. Warum? 2. Alle Seitenwände sollen gestrichen werden. 2,5 l weiße Wandfarbe kosten 8 € und reichen für 15 m². Welche Kosten muss Familie Werner für die Farbe einplanen. 3. Peter möchte eine Wand mit dem blauen Emblem des MSV versehen. Zum Abtönen des exakten Farbtons benötigt er genau 0,4 l weiße Farbe. Wie kann er diese Menge abmessen, wenn ihm nur 0,7 l und 1 l Gefäße zur Verfügung stehen. 4. Die Dachschräge soll mit waagerechten Nut- und Federbrettern verkleidet werden. Dazu müssen zuerst als Untergrund einfache Latten längs der Schräge aufgebracht werden. Die Latten müssen am Anfang, am Ende und in einem Abstand von höchstens 80 cm angebracht werden. Wie viel Meter Untergrundlatten müssen mindestens erworben werden? - 85 - Lösungshinweise 9.17 Renovieren 1. 2. 3. 4. a) Man benötigt entweder 4,2 m des 4 m breiten Teppichbodens (P = 155,40 €) oder 3,2 m des 5 m breiten Teppichbodens (P = 153,60 €). Die zweite Variante ist also die preiswertere. b) Für den 4 m breiten Teppichboden bietet sich die Variante an, ein 3,4 m langes Stück zu kaufen, dieses so zu verlegen, dass ein 20 cm breiter Streifen übrig bleibt und diese Lücke mit dem Rest zu füllen. Die Kosten betragen 125,80 €. c) Man benötigt selbst bei einer „restfreien“ Verlegung 13,44 m² Teppichboden, also von der 5 m breiten Ware 2,688 m. Die Kosten = 129,03 € liegen über dem Preis der oberen Lösung. ATürwand = 10,92 m² -2,42 m² = 8,5 m² AFensterwand = 6,79 m² - 1,08 m² = 5,71 m² AWand gegenüber dem Fenster = 6,79 m² AWand gegenüber der Tür = 3,36 m² Gesamtfläche = 24,36 m² Es werden also 2 Farbeimer benötigt, sie kosten 16 €. Zweimal das 0,7 l Gefäß füllen und jeweils in das 1 l Gefäß umkippen. Der verbleibende Rest sind 0,4 l. Es werden 7 Latten benötigt. Die Länge der Schräge 2,48 m. (Gegebenenfalls durch Konstruktion zu ermitteln). l = 17,36 m - 86 - Aufgabe 9.18 Maisfeld 1. Bauer Dreikorn hat eine dreieckeige und eine daran anschließende trapezförmige Ackerfläche. Die dreieckige Ackerfläche des Bauern Dreikorn hat die Seitenlängen 59,9 m, 34,6 m und 69,2 m. Der Seitenweg mündet unter einem Winkel von 30° in die Hauptstraße ein. Berechne die Ackerfläche. 90° Hauptstraße 2. 3. 4. 5. 90° Das trapezförmige Grundstück ist 1421,4 m² groß. Die längste Seite misst dabei 57,7 m. Der örtliche Landkreis berechnet für die Reinigung und Pflege der anliegenden Gräben längs der Hauptstraße 5,6 € pro laufenden Meter. Berechne die Reinigungskosten, die Bauer Dreikorn bezahlen muss. Auf der Trapezfläche wird Futtermais angebaut. Der Reihenabstand beträgt 40 cm, der Pflanzabstand innerhalb der Reihe 10 cm. Wie viele Pflanzen stehen auf dem Feld? Bestimme die Lösung näherungsweise und begründe sie! Pro m² kann 30 kg Futtermais geerntet werden. Davon werden 30 % zur eigenen Nutzung verwendet. Den Rest verkauft Bauer Dreikorn für 120 € pro Tonne an den nahegelegenen Landhandel. Dazu fährt er 9 jeweils 20 km pro Strecke mit seinem Traktor 0 ° Hauptstraße 9 und Anhänger, der eine zulässige maximale 0 ° Zulast von 3 t hat. Pro Fahrt entstehen 25 € an Kosten. Berechne den Verdienst des Bauern ? Ein Energieversorger möchte an der Spitze des Grundstücks eine Windkraftanlage aufstellen. Dazu möchte er vom Bauern ein quadratisches 100 m² großes Grundstück direkt an der Hauptstraße pachten (siehe Skizze). Von der restlichen Fläche möchte der Bauer nur noch den Teil nutzen, den er mit der zweiten Flächen zu einem größeren Trapez erweitern kann. Der Stromversorger zahlt eine jährliche Pacht von 0,2 €/m², die EG eine jährliche Flächenstilllegungsprämie von 330 €/ha. Welche Einnahmen bezieht der Bauer dann aus den unbearbeiteten Flächen? - 87 - Lösungshinweise 9.18 Maisfeld 1. A = 1197,16 m² (rechtwinkliges Dreieck) 2. lTrapez = 30,8 m lGesamt = 30,8 m + 59,9 m = 90,7 m Kosten = 507,92 € 3. Es bieten sich verschiedene Lösungsvarianten an: z. B: Pflanzen/m² = 25, also gibt es im optimalen Falle 35535 Pflanzen. Es sind aber auch Varianten denkbar, die auf ein Verteilen der Reihen abzielen und zu abweichenden Ergebnissen führen. 4. mFuttermais = 42,642 t mverkauft = 29,85 t Verdienst = 3582 € - 250 € = 3332 € Der Schüler sollte erkennen, dass die Entfernungsangabe nicht benötigt wird. Es sind 10 Fahrten durchzuführen. 5. Kathetenlängen der gesamten ungenutzten Dreiecksfläche: a 27,31 m; b 15,77 m Diese Maße lassen sich für die Schüler der Klassenstufe gegebenenfalls mittels einer Konstruktion finden. Astillgelegt = 186,53 m² - 100 m² = 86,53 m² Einnahmen = 20 € + 2,86 € = 22,86 € - 88 - Aufgabe 9.19 ICE 5,3 b Eine Malerfirma soll am Gebäude einer Fabrik die Buchstaben I, C und E anbringen. Sie bietet die Buchstaben in verschiedenen Größen an, die durch die Angaben in der Zeichnung festgelegt sind. Die Buchstaben I, C und E sind symmetrisch und C und E sind dreimal so breit wie I. 3b 2,3 b b 1,2 b 1,2 b 1,2 b 1,3 b 1. Schreibe je einen Term auf für den Flächeninhalt und den Umfang der Buchstaben I, C und E. 2. Stelle einen Term auf für den Flächeninhalt und den Umfang des gesamten Schriftzuges! 3. Die Fabrik entscheidet sich für die Größe b = 40 cm an der rückwärtigen Seite und für b =60 cm an der Vorderfront. a) Welchen Flächeninhalt und welchen Umfang haben die Schriftzüge auf der Vorderfront und auf der Rückseite? b) Die Buchstaben werden doppelt gestrichen. Für 5 m2 Fläche reicht 1 Dose Farbe. Wie teuer ist die Farbe für den gesamten Anstrich, wenn 1 Dose Farbe 10,85 Euro kostet. c) Der Arbeitslohn wird nach dem Umfang der Buchstaben berechnet, weil die Buchstaben vor dem Anstrich abgeklebt werden müssen und der Anstrich an den Kanten zeitaufwendiger ist. Der Preis pro m Umfang beträgt 10,50 Euro. 4. Jemand überlegt: “Wenn die Buchstabengröße verdreifacht wird, verdreifachen sich auch die Kosten“. Stimmt das? - 89 - Lösungshinweise 9.19 ICE 1. Buchstabe I : A = 5,3b 1,2b 6,36b 2 U = 2 1,2b 2 5,3b 13b Buchstabe C : A = 5,3b 1,2b 2 2,4b b 11,16b 2 U = 2 3,6b 5,3b 2 2,4b 3,3b 20,6b Buchstabe E : A = 5,3b 1,2b 2 2,4b b 0,7b 1,3b 12,07b 2 U = 2 3,6b 5,3b 2b 0,7b 2 2,4b 2 1,3b 2 1,3b 25,2b 2. A = 29,59 b2 3. a) U = 58,8b Vorderfront (b=60cm) : A = 29,59 0,60 2 10,6524 (m2) U = 58,8 0,60 35,28 (m) Rückseite (b=40cm) : A = 29,59 0,40 2 4,7344 (m2) U = 58,8 0,40 23,52 (m) b) 2 A Vorderfront 2 A Rückseite 30,7736 (m2) Man braucht 7 Dosen Farbe. Die Farbe kostet 75,95 €. U Vorderfront U Rückseite 58,8 (m) c) 4. Arbeitslohn : 617,40 € Die Überlegung ist falsch: der Arbeitslohn, der von dem Umfang der Buchstaben abhängt, verdreifacht sich, aber die Kosten für die Farbe, die vom Flächeninhalt der Buchstaben abhängig sind, sind neunmal so groß. - 90 - Aufgabe 9.20 Der Flächeninhalt eines Grundstücks Ein Grundstück hat die unten abgebildete Form. 1. 2. 3. 4. Gib für jede graphisch dargestellte Zerlegung einen Term mit a und b für den Flächeninhalt A an ! Berechne den Flächeninhalt A des Grundstücks für jede Zerlegung und jedes Beispiel: (1) a = 20 m; b = 5 m (2) a = 5 m; b = 2 m (3) a = 4 m; b = 1 m Welcher Term erscheint Dir für diese konkreten Berechnungen günstiger zu sein ? Wie kann man die Flächeninhalte mit Hilfe der Quadrate a2 und b2 erhalten ? Wie kann man begründen, daß die Terme gleich sind ? - 91 - Lösungshinweise 9.20 Der Flächeninhalt eines Grundstücks 1. Zerlegung 1: A = a · (a - b) + b · (a - b) Zerlegung 2: A = a2 - b2 Zerlegung 3: A = 2 · [ 1/2 · (a + b) · (a - b)] = (a + b) · (a - b) 2. (1) A = 375 m2 ; (2) A = 21 m2 ; (3) A = 15 m2 Die Terme zu den Zerlegungen 2 und 3 sind günstig für konkrete Berechnungen, weil man nur drei Rechenoperationen durchführen muß. (Zerlegung 2: quadrieren, quadrieren, subtrahieren; Zerlegung 3: addieren, subtrahieren, multiplizieren.) Dagegen muß man beim Term zu Zerlegung 1 vier Rechenoperationen durchführen. Wer viele Quadratzahlen auswendig kennt, der kann beim Term zu Zerlegung 2 noch einen weiteren Vorteil nutzen. 3. Wie der Term zu Zerlegung 2 zeigt, erhält man A = a2 - b2 . 4. Es gibt zwei Möglichkeiten: Möglichkeit 1: Man kann Zahlen in die Terme einsetzen. Damit kann man nur zeigen, daß zwei Terme für bestimmte eingesetzte Zahlen wertgleich sind. Ob dies für alle Zahlen gilt bleibt offen. Möglichkeit 2: Man kann einen Term mit Hilfe von Termumformungen in einen anderen Term überführen ("umformen"). Dies zeigt die Gleichheit von Termen unabhängig von den eingesetzten Zahlen. Es ist A = (a + b) · (a - b) (Zerlegung 3) = a · (a - b) + b · (a - b) (Zerlegung 1) 2 2 =a -ab+ab-b = a2 - b2 (Zerlegung 2) - 92 - Aufgabe 9.21 Das Gemüsebeet Um ein rechteckiges Gemüsebeet der Länge a und der Breite b soll ein Kiesweg der Breite d angelegt werden. Man benötigt den Flächeninhalt des Weges, um die Kiesmenge zu bestellen. Für den Flächeninhalt des Weges wurden zwei Formeln ermittelt: A1 = 2 ad + 2 bd + 4 d2 A2 = (a + 2d) · (b + 2d) - ab 1. Erläutere für beide Formeln, was sie bedeuten und ob sie richtig sind ! 2. Welche der beiden Formeln ist leichter zu begründen ? 3. Berechne den Flächeninhalt des Weges für a = 6 m, b = 4 m und d = 0,5 m ! 4. Mit welcher der beiden Formeln kann man den Flächeninhalt leichter berechnen ? 5. Wie kann man begründen, daß beide Terme gleich sind ? 6. Forme den Term A2 in den Term A1 um (oder umgekehrt, nach Belieben) ! - 93 - Lösungshinweise 9.21 Das Gemüsebeet 1. Erläuterungen zu A1: Man zerlegt des Kiesweg in 8 Teilflächen, indem man die Strecken a und b über das Gemüsebeet hinaus verlängert. Man erhält 4 Rechtecke und 4 Quadrate. 2 a d : Flächeninhalt der 2 Rechtecke "oben" und "unten" 2 b d : Flächeninhalt der 2 Rechtecke "links" und "rechts" 4 d2 : Flächeninhalt der 4 Quadrate in den Ecken Durch Addieren der Teilflächeninhalte ergibt sich der Flächeninhalt des Kiesweges; die Formel ist richtig. Erläuterungen zu A2: Man berechnet die (gesamte) Fläche des äußeren Rechtecks und zieht davon die Fläche des inneren Rechtecks ab. a + 2 d : lange Seite des äußeren Rechtecks b + 2 d : kurze Seite des äußeren Rechtecks (a + 2 d) · (b + 2 d) : Flächeninhalt des äußeren Rechtecks a · b : Flächeninhalt des inneren Rechtecks (Gemüsebeet) Die Formel ist richtig. 2. 3. 4. A2 = 7 · 5 - 4 · 6 = 35 - 24 = 11 In beiden Formeln sind fünf einzelne Operationen vorhanden. (Z.B. A1: 3 Multiplikationen, 2 Additionen). Wegen d = 0,5 ist die Benutzung von Formel A2 möglicherweise vorteilhaft. Es gibt zwei Möglichkeiten. Möglichkeit 1: Man kann Zahlen in die Terme einsetzen. Damit kann man nur zeigen, daß zwei Terme für bestimmte eingesetzte Zahlen wertgleich sind. Ob dies für alle Zahlen gilt bleibt offen. Möglichkeit 2: Man kann einen Term mit Hilfe von Termumformungen in einen anderen Term überführen ("umformen"). Dies zeigt die Gleichheit von Termen unabhängig von eingesetzten Zahlen. Umformen von A2 in A1: A2 = (a + 2 d) · (b + 2 d) - a · b = a · (b + 2 d) + 2 d · (b + 2 d) - a · b = a b + 2 a d + 2 b d + 4 d2 - a b = 2 a d + 2 b d + 4 d2 = A1 . - 94 - Aufgabe 10.1 Landwirt Peters 1. Bauer Peters wohnt in der Gemeinde Würselen; er hat auf einer rechteckigen Wiese eine Scheune gebaut. Die Scheune ist 2,5mal so lang wie breit. Die Gesamtfläche des Grundstücks beträgt 793,5 m2. Die Lage der Scheune auf der Wiese kann man untenstehender Skizze entnehmen. 12 m 2,5x 14 m x a) b) c) Berechne Länge und Breite der Scheune. Verwende die Skizze. Wie viel Prozent der Gesamtfläche sind bebaut? Wie hoch sind die Abwassergebühren für dieses Grundstück, die Bauer Peters im Jahr bezahlen muss, wenn die Gemeinde bei bebauten Flächen 1,35 € / m² und für unbebaute Flächen 0,68 € / m² pro Jahr an Abwassergebühren verlangt? 2. Sein Wohnhaus hat Herr Peters in die Mitte eines 616 m² großen rechteckigen Grundstücks gebaut. Dabei hat er darauf geachtet, dass es von allen Grundstücksgrenzen gleich weit entfernt ist. Die genauere Lage kann man der Skizze entnehmen (alle Maße in Meter). x 2,5 9 x 2 x 12 Erläuterungen: Gepflasterte Wege Unbebaute Fläche Bebaute Fläche a) b) Wie lang sind die Grundstücksgrenzen? Berechne die Grundfläche des Wohnhauses. x - 95 c) d) 3. a) b) c) Gib den Flächeninhalt der gepflasterten Garageneinfahrt und des Eingangsweges an. Diese Flächen zählen zu den bebauten Flächen. Berechne die nach der Abwassergebührenordnung jährlich entstehenden Kosten. Zum Wässern der Blumen wird im Garten der Familie Peters eine zylindrische Regentonne aufgestellt. Diese hat die Maße: Höhe 85 cm, Durchmesser 60 cm. Wie viel Liter Regenwasser fasst die geschilderte Tonne? Da sich herausstellt, dass diese Tonne zu klein für den Gießwasserbedarf ist, kauft Bauer Peters zusätzlich eine neue Tonne, die aber 15 cm niedriger ist, doch das doppelte Fassungsvermögen besitzt. Berechne den Durchmesser der neuen Regentonne. Er stellt beide Regentonnen so auf, dass ihre oberen Kanten sich auf gleicher Höhe befinden. Beide werden mit einem Rohr verbunden. Skizze: Erläuterung: Regenwasser d) Zeichne den Füllgraphen dieses Regentonnensystems, gesucht ist die Funktion h: Volumen Füllhöhe. In welchem Punkt ist die Formulierung von Aufgabe 3.3 ungenau? - 96 - Lösungshinweise 10.1 Landwirt Peters Kommentar: Aufgaben 1 und 2 wurden bewusst ähnlich gehalten; die Idee war, die erste Aufgabe in der Klasse zu besprechen, die zweite Aufgabe dann als Gruppenarbeit oder Hausaufgabe aufzugeben. 1. a) (12 + 2,5 ∙ x) ∙ (14 + x) = 793,5 168 + 12 ∙ x + 35 ∙ x + 2,5 ∙ x2 = 793,5 x2 + 18,8 ∙ x - 250,2 = 0 x 9,4 9,4 2 250,2 x9 x 9,4 9,4 2 250,2 x 27,8 c) Scheunenabmessungen: 9 m breit und 22,5 m lang Scheunengrundfläche 9 m ∙ 22,5 m = 202,5 m2 Grundstücksfläche 23 m ∙ 34,5 m = 793,5 m2 Grundstücksfläche 25,52 % der Gesamtfläche Abwassergebühren 202,5 m2 ∙ 1,35 €/m2 + (793,5 m2 – 202,5 m2) ∙ 0,68 €/m2 = 675,26 € 2. a) b) (2 x 12) (2 x 9) 616 4 x 2 18 x 24 x 108 616 x 2 10,5 x 127 0 x 5,25 5,25 2 127 x 7,18 b) c) d) 3. x 5,25 5,25 2 127 x 17,68 Grundstücksabmessungen: 23,36 m breit und 26,36 m lang Hausfläche: 9 m ∙ 12 m = 108 m2 Eingangsweg: 2 m ∙ 7,18 m = 14,36 m2 9 m 2,5 m 7,18 m 41,29 m 2 Garageneinfahrt: 2 Bebaute Fläche: (108 m2 + 14,36 m2 + 41,29 m2) = 163,65 m2 Unbebaute Fläche: 616 m2 – 163,65 m2 = 452,35 m2 Abwassergebühren: 163,65 m2 ∙ 1,35 € + 452,35 m2 ∙ 0,68 € = 528,53 € a) h = 0,85 m; r = 0,3 m; V = ? V = π ∙ r2 ∙ h = 0,24 m3 b) h* = 0,7 m; V* = 0,48 m3; r* = ? V* 0,47 m h* Annahmen: Verbindungsrohr ohne Volumen und Durchmesser, direkt am Boden der kürzeren Regentonne angebracht. V * r *2 h * r* c) - 97 - d) Ohne Angabe der Größe des Verbindungsrohres (Länge und Durchmesser) und der Anbringungspunkte keine genauen Daten möglich. - 98 - Aufgabe 10.1 Landwirt Peters (Schwarz/weis) 1. Bauer Peters wohnt in der Gemeinde Würselen; er hat auf einer rechteckigen Wiese eine Scheune gebaut. Die Scheune ist 2,5mal so lang wie breit. Die Gesamtfläche des Grundstücks ist 793,5 m2. Die Lage der Scheune auf der Wiese kann man untenstehender Skizze entnehmen. 12 m 2,5x 14 m a) b) c) x Berechne Länge und Breite der Scheune. Verwende die Skizze. Wie viel Prozent der Gesamtfläche sind bebaut ? Wie hoch sind die Abwassergebühren für dieses Grundstück, die Bauer Peters im Jahr bezahlen muss, wenn die Gemeinde bei bebauten Flächen 1.35 €/ m² und für unbebaute Flächen 0,68 € / m² pro Jahr an Abwassergebühren verlangt ? 2. Sein Wohnhaus hat Herr Peters in die Mitte eines 616 m² großen rechteckigen Grundstücks gebaut. Dabei hat er darauf geachtet, dass es von allen Grundstücksgrenzen gleich weit entfernt ist. Die genauere Lage kann man der Skizze entnehmen (alle Maße in Meter). x 2,5 9 x 2 x 12 x Erläuterungen: Gepflasterte Wege Unbebaute Fläche Bebaute Fläche a) b) Wie lang sind die Grundstücksgrenzen ? Berechne die Grundfläche des Wohnhauses. - 99 c) d) Gib den Flächeninhalt der gepflasterten Garageneinfahrt und des Eingangsweges an. Diese Flächen zählen zu den bebauten Flächen. Berechne die nach der Abwassergebührenordnung jährlich entstehenden Kosten. 3. Zum Wässern der Blumen wird im Garten der Familie Peters eine zylindrische Regentonne aufgestellt. Diese hat die Maße, Höhe 85 cm, Durchmesser 60 cm. a) Wie viel Liter Regenwasser fasst die geschilderte Tonne ? b) Da sich herausstellt, dass diese Tonne zu klein für den Gießwasserbedarf ist, kauft er zusätzlich eine neue Tonne, die aber 15 cm niedriger ist, doch das doppelte Fassungsvermögen besitzt. Berechne den Durchmesser der neuen Regentonne. c) Er stellt beide so auf, dass ihre oberen Kanten sich auf gleicher Höhe befinden. Beide werden mit einem Rohr verbunden. Skizze: Erläuterung: Regenwasser d) Zeichne den Füllgraphen dieses Regentonnensystems, gesucht ist die Funktion h: Volumen Füllhöhe. In welchem Punkt ist die Formulierung von Aufgabe 3.3 ungenau ? - 100 - Kommentar: Aufgaben 1 und 2 wurden bewusst ähnlich gehalten; die Idee war, die erste Aufgabe in der Klasse zu besprechen, die zweite Aufgabe dann als Gruppenarbeit oder Hausaufgabe aufzugeben. Lösungshinweise 10.1 Landwirt Peters s.o. - 101 - Aufgabe 10.2 Bremsweg Der Bremsweg eines Autos ist abhängig von der Geschwindigkeit. Je größer die Geschwindigkeit, desto größer ist natürlich der Bremsweg. Der Bremsweg wächst aber quadratisch mit der Geschwindigkeit des Autos an. In Tests wird die Güte von Bremsanlagen getestet. Dazu wird eine Vollbremsung aus einer Geschwindigkeit von 100 km/h durchgeführt. Sehr gute Bremsanlagen bringen das Auto auf trockener Straße nach 36 m zum Stillstand. Bei ungünstigen Straßenverhältnissen beträgt der Bremsweg 60 m. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Um wie viel Prozent ist der Bremsweg bei ungünstigen Verhältnissen höher als der auf einer trockenen Straße? Wie verändert sich der Bremsweg allgemein, wenn die Geschwindigkeit eines Autos verdoppelt bzw. halbiert wird? Wie lang wären die Bremswege auf trockener bzw. ungünstiger Straße, wenn die Experimente mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h durchgeführt würden? Wie groß ist jetzt der prozentuale Unterschied zwischen den Bremsweglängen? Vergleiche mit Aufgabenteil 1. Die Länge des Bremsweges kann in Abhängigkeit von der gefahrenen Geschwindigkeit durch eine Funktionsgleichung der Form s(v)=k·v2 beschrieben werden. Bestimme die Konstante k für beide Straßenverhältnisse. In Wohngebieten gibt es oft eine Geschwindigkeitsbegrenzung auf 30 km/h. Wie lang sind die Bremswege bei dieser Geschwindigkeit? Vergleiche mit den Bremswegen bei der sonst in der Stadt üblichen Geschwindigkeit von 50 km/h. Beurteile den Sinn von Geschwindigkeitsbegrenzungen in Wohngebieten. In Aufgabenteil 5. wurde nicht berücksichtigt, dass der Fahrer erst noch reagieren muss, bevor er auf die Bremse tritt. In dieser Reaktionszeit rollt das Auto ungebremst weiter. Die Reaktionszeit beträgt etwa 0,8 s. Welchen Weg legt das Auto in dieser Zeit bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h bzw. bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h zurück? Vergleiche nun die Anhaltewege (Summe aus Reaktionsweg und Bremsweg) bei den beiden Geschwindigkeiten miteinander. - 102 - Lösungshinweise 10.2 Bremsweg 1. 2. 3. 4. 24 m von 36 m entsprechen 66,7% Da der Bremsweg quadratisch mit der Geschwindigkeit wächst, bedeutet eine Verdoppelung der Geschwindigkeit eine Vervierfachung des Bremsweges; eine Halbierung bedeutet, dass nur ein Viertel des Bremsweges erforderlich ist. 1 trockene Straße 36m 9m 4 1 feuchte Straße 60m 15m 4 6 m von 9 m entsprechen 66,7% trockene Straße 36 k t 100 2 k t 0,0036 feuchte Straße 60 k f 100 2 k f 0,006 5. 6. trockene Straße s (30) k t 30 2 3,2 feuchte Straße s(30) k f 30 2 5,4 Der Bremsweg reduziert sich also fast auf ein Drittel des Wertes bei 50 km/h. Dies ist ein großer Sicherheitsgewinn, insbesondere in Wohngebieten (spielende Kinder). 30 km/h bedeutet 8,3 m/s: sR ≈ 6,7 m, also sA ≈ 9,9 m bei trockener Straße 50 km/h bedeutet 13,9 m/s: sR ≈ 11,1 m; also sA ≈ 20,1 m bei trockener Straße Bei der hohen Geschwindigkeit ist der Anhalteweg 10,2 m länger, das entspricht 103%, der Anhalteweg ist also mehr als doppelt so lang. Bei feuchter Straße sind die Reaktionswege unverändert. Mit den längeren Bremswegen ergeben sich die Anhaltewege 12,1 m bzw. 26,1 m. In diesem Fall ist der Anhalteweg bei der hohen Geschwindigkeit sogar 115% größer. - 103 - Aufgabe 10.3 Hochsprung (Nach Liese, Rainer: Immer höher, immer weiter, mathematiklehren, Juni 84) In der Leichtathletik kann man die Flugkurven untersuchen, die beim Hochsprung zu beobachten sind. Dabei untersucht man die Bahn des Körperschwerpunktes des Athleten. Die Flugbahn des Körperschwerpunktes lässt sich durch eine Parabel beschreiben. Bei einem gestreckten Körper liegt der Körperschwerpunkt 0,6xKörpergröße von den Fußsohlen entfernt. Bei den unterschiedlichen Sprungstilen liegt der Scheitelpunkt der Bahn verschieden hoch über oder sogar durch die Krümmung des Körpers bedingt unterhalb der Latte. Bei einem guten Sprung des Fosbury-Flop sollten die Sportler folgendes anstreben: Der Scheitelpunkt liegt genau 5 cm oberhalb der Latte. Der Sportler springt eine Armlänge vor dem Hochsprunggerüst ab. 1. Fertige eine Planskizze an, die den Sachverhalt beschreibt. 2. Begründe, dass sich die Flugbahn in einem geeignet gewählten Koordinatensystem in der Form y = -ax2 +c mit a >0 beschreiben lässt. 3. Ulrike Meyfarth gewann bei den Olympischen Spielen im München 1972 mit 16 Jahren völlig überraschend die Goldmedaille im Hochsprung. Sie gewann damals mit einer Höhe von 1,92 m mit Fosbury-Stil. Ihre Körpergröße betrug 1,88 m, ihre Armlänge 90 cm. Gehe im folgenden davon aus, dass es ein guter Sprung war. a) Gib die Koordinaten von Absprung- und Scheitelpunkt an. b) Bestimme damit die Gleichung der Flugparabel bei dem Siegsprung in München. c) Zeichne den Graphen der Flugbahn des Körperschwerpunktes in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere Absprung- und Scheitelpunkt und die übersprungene Höhe. 4. Der Absprungpunkt muss von den Springern genau getroffen werden, um die optimale Höhe über der Latte zu erreichen. - 104 a) b) c) Welche Gleichung ergibt sich, wenn Ulrike Meyfarth den Absprung um eine Fußlänge (ca. 25cm) zu früh beginnt? Zeichne diese Flugbahn in das vorhandene Koordinatensystem ein und markiere die wichtigen Punkte. Welche Höhe hätte sie damit erzielt? - 105 - Lösungshinweise Aufgabe 10.3 Hochsprung 1. Skizze: 2. 3. SP auf Scheitelpunkt, Parabel nach unten geöffnet a) für A: x = -90; y= 0,6∙188 = 112,9 ; also A=(-90/113) für SP: x = 0; y = 192 + 5 = 197; also SP = (0/197) 2 b) Ansatz y = -ax + c führt mit den Koordinaten von A und SP auf a= 4. c) a) b) c) 84 0,0104 und c = 197 8100 s. unten y = -0,0104(x-25)2+197 = -0,0104x2-0,52x+190,5 s. unten x = 0 liefert y = 190,5 wegen der Differenz SP zu Latte ( -5cm) gilt h = 185,5cm 192 185,5 100% 3,39% Der Unterschied beträgt 192 - 106 - - 107 - Aufgabe 10.4 Verkauf von Jeanshosen 1. a) b) c) 2. a) b) Eine Firma produziert Jeanshosen. Bei einer monatlichen Ausbringung von x Hosen erzielt die Firma einen Erlös (Einnahmen) in Höhe von e(x) = - x2 + 1.300 x - 400.000 . Berechne den Erlös für verschiedene Ausbringungsmengen und zeichne den Graphen von e in ein Koordinatensystem. Wieviele Hosen muß die Firma produzieren, um einen monatlichen Erlös von 12.500 Euro zu erzielen ? Bei welcher monatlichen Ausbringung x erzielt die Firma den höchsten Erlös ? Wie kann man erklären, daß der Erlös ab dieser Menge abfällt ? Wie kann man den Verlauf der Erlösfunktion generell erklären ? Bei der Produktion einer Hose entstehen Stückkosten (Material, Arbeit) in Höhe von 16 Euro; dazu betragen die Fixkosten (Produktionsstätten, kaufmänn. Angestellte) für die Hosenabteilung anteilig 8.000 Euro. Stelle eine Funktion k auf, die für die Ausbringung x die Kosten k(x) benennt. Bis zu welcher Produktionsmenge x sind die Kosten höher als der Erlös ? Stelle eine Funktion g auf, die für die Ausbringung x den Gewinn g(x) benennt. Für welche monatliche Ausbringung wird der Gewinn am größten ? - 108 - Lösungshinweise 10.4 Verkauf von Jeanshosen 1. c) 2. a) Der Graph der Erlösfunktion e ist eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (650 / 22.500) und den Nullstellen x = 500 und x = 800. b) 12.500 = - x2 + 1.300 x - 400.000 2 <=> 0 = x - 1.300 x + 412.500 <=> x = 650 ± 100 <=> x= 550 v x = 750 Die Firma kann 550 oder 750 Hosen produzieren, um einen monatlichen Erlös von 12.500 Euro zu erzielen. e (x) = - x2 + 1.300 x - 400.000 = - [ x2 - 1.300 x + 400.000 ] = - [ (x - 650)2 - 22.500 ] = - (x - 650)2 + 22.500 S (650 / 22.500) Der höchste Erlös wird für x = 650 Hosen erzielt; er beträgt 22.500 Euro. Die Erlösfunktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, d.h. der Erlös steigt bis S an und fällt danach wieder ab, weil: Je mehr Hosen produziert werden, desto höher ist zunächst der Erlös, weil für jede Hose ein Erlös bzw. eine Einnahme erzielt wird. Bei einer sich erhöhenden Produktion bzw. einem sich erhöhenden Verkauf muß die Firma Mengenrabatte gewähren, um die Hosen absetzen zu können. Ab einer bestimmten Menge von Hosen nimmt der Markt weitere Hosen kaum noch auf. Der Verkauf ist nur über drastisch fallende Preise zu realisieren, schließlich sogar nur über dumping-Preise. a) <=> <=> <=> <=> b) Die Kostenfunktion lautet k (x) = 16 · x + 8.000 . Kosten = Erlös 16 x + 8.000 = - x2 + 1.300 x - 400.000 0 = x2 - 1284 x + 408.000 x = 642 ± 4.164 x 577,5 v x 706,5 . Die Kosten sind höher als der Erlös bis zu einer Produktion von 577 Hosen oder ab einer Produktion von 707 Hosen. Die Gewinnspanne ist somit sehr klein und verlangt eine genaue Kalkulation der Ausbringungsmenge x. Gewinn = Erlös - Kosten g (x) = e (x) - k (x) = - x2 + 1.284 x - 408.000 = - [ x2 - 1.284 x + 408.000 ] = - [ (x - 642)2 - 4.164 ] = - (x - 642)2 + 4.164 S (642 / 4.164) Bei einer monatlichen Ausbringung von 642 Hosen erzielt man den maximalen Gewinn von 4.164 Euro. Man kann einige Hosen mehr oder weniger produzieren bzw. verkaufen, doch dann fällt der Gewinn. Unterhalb von 577 Hosen oder oberhalb von 707 Hosen gibt es keinen Gewinn mehr. - 109 - Aufgabe 10.5 Verkauf von integrierten Schaltungen Eine Elektronikfirma produziert integrierte Schaltungen und verkauft im Monat 1.000 Stück eines Bauteils für 10 Euro pro Stück. Eine Außendienstmitarbeiterin vermutet, daß die Firma bei einem geringeren Preis mehr Schaltungen verkaufen könnte; und zwar bei einer Preissenkung von 0,10 Euro pro Stück 20 Schaltungen mehr, bei 0,20 Euro 40 Teile mehr, usw. 1. 2. 3. 4. Ermittle die Einnahmen der Firma für verschiedene Preissenkungen ! Stelle eine allgemeine Funktionsgleichung für die Einnahmen der Firma bei variablen Preissenkungen auf ! Angenommen, die Mitarbeiterin hätte recht, wie groß müßte dann die Preissenkung gewählt werden, damit die Firma möglichst hohe Einnahmen erzielt ? Kann man sicher sein, daß in diesem Fall auch der Gewinn, den die Firma mit diesen Schaltungen erzielt, am größten ist ? - 110 - Lösungshinweise 10.5 Verkauf von integrierten Schaltungen 1. Man berechnet die Einnahmen für verschiedene Preissenkungen x: x = 0 : Einnahmen = 1.000 Stück · 10,0 Eur / Stück = 10.000 Eur x = 0,1: Einnahmen = 1.020 Stück · 9,90 Eur / Stück = 10.098 Eur x = 0,2: Einnahmen = 1.040 Stück · 9,80 Eur / Stück = 10.192 Eur x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 2 Einn. 10.000 10.098 10.192 10.282 10.368 10.450 10.800 11.200 4 10.800 2. Bei einer Preissenkung von x Euro kann man möglicherweise 200 · x Schaltungen mehr verkaufen. Daher gilt: Einnahmen (x) = (1.000 + 200 x ) · (10 - x) = - 200 x2 + 1.000 x + 10.000 3. = - 200 x2 + 1.000 x + 10.000 = - 200 [ x2 - 5 x - 50 ] = - 200 [ (x - 2,5)2 - 225/4 ] = - 200 (x - 2,5)2 + 11.250 Der Graph der Funktion Einnahmen (x) ist eine gestreckte, nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt S (2,5 / 11.250 ) . Demzufolge sollte der Preis um 2,5 Euro auf 7,5 Euro gesenkt werden. Die Einnahmen betragen dann 11.250 Euro. (Die Nullstellen lauten x = - 5 und x = 10. Die Einnahmen liegen also im positiven Bereich für einen Preis zwischen 0 Euro und 15 Euro.) 4. Bei einem Preis von 7,5 Euro werden zwar die Einnahmen maximal, doch dies muß nicht für den Gewinn gelten, weil hierbei auch die Kosten zu berücksichtigen sind. Beispielsweise kann die Kostenfunktion linear sein (Stückkosten, Fixkosten), und dies ändert die Situation für ein Gewinnmaximum. Beispielsweise kann die Kostenfunktion auch stückweise linear sein. Sind nämlich die Produktionskapazitäten mit 1.000 Stück pro Monat voll ausgelastet, so muß bei einer erhöhten Produktion investiert werden (neuer Arbeitsplatz, Maschine, Halle, ...), so daß höhere Fixkosten entstehen. Einnahmen (x) - 111 - Aufgabe 10.6 Rosenbeet In einem Botanischen Garten wird ein quadratisches Beet von 10 m Seitenlänge neu gestaltet. „In der Mitte“ sollen Rosen gepflanzt werden. x x en os 10 m R x x 1. 2. 3. 4. 5. Berechne für x = 3m die Seitenlängen und den Flächeninhalt des Rosenbeetes! Berechne den Flächeninhalt des Rosenbeetes in Abhängigkeit von x! Wie muss x gewählt werden, damit das Rosenbeet 32% des gesamten Beetes einnimmt? Wie muss x gewählt werden, damit das Rosenbeet möglichst groß wird? Das Rosenbeet soll mit einem Zaun umgeben werden. 1 m Zaun kostet 14,50 Euro einschließlich Arbeitslohn. Für welches Beet sind die Kosten für den Zaun am günstigsten? - 112 - Lösungshinweise 10.6 Rosenbeet 1. Wenn die mit x benannte Strecke 3 m lang ist, ist das Rosenbeet 7 2 m 9,90 m lang und 3 2 m 4,24 m breit. 2. Länge = (10 x ) 2 und Breite = x 2 mit 0 x 5 Flächeninhalt: A(x) x 2 (10 x) 2 A(x) 2x 2 20x 3. 2x 2 20x 32 x 2 10x 16 0 x 2 x 8 Wegen 0 x 5 ist die Lösung x=2. Der Flächeninhalt des Rosenbeetes nimmt 32% des gesamten Beetes ein, wenn die mit x benannte Strecke 2 m lang ist. 4. A(x) 2x 2 20x A(x) 2(x 5) 2 50 Die Gleichung beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel 2. Ordnung, die in S(550) ihren Scheitelpunkt hat. Das Rosenbeet wird am größten für x = 5 [m]. Das Rosenbeet ist dann ein Quadrat, dessen Flächeninhalt mit 50 m2 genau halb so groß ist wie der des gesamten Beetes. 5. U( x ) 2 ( x 2 (10 x ) 2 ) U( x ) 20 2 U( x ) 28,28 Der Umfang des Rosenbeetes ist unabhängig von x und ist ca. 28,28 m lang. Der Zaun kostet rund 410 Euro. (14,50 € 28,28 = 410,06 €; 14,50 € 20 2 =410,12 €) - 113 - Aufgabe 10.7 Freier Fall Wenn ein Gegenstand fällt, kann die Bewegung durch die Funktion mit der Gleichung h = 5t² beschrieben werden. Dabei gibt h die Fallhöhe in m und t die Fallzeit in s an. 1. Monika möchte die Tiefe eines Brunnens ermitteln. Dazu wirft sie einen Stein in den Brunnen. 5 s später erfolgt der Aufprall. Wie tief ist der Brunnen? Sie ist nicht ganz sicher, ob es wirklich 5 s waren. Vielleicht hat sie sich etwas vermessen. Sie schätzt, dass sie höchstens 0,1 s zu viel oder zu wenig gemessen hat. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Wie viel Prozent beträgt ihre Messungenauigkeit bei der Zeitmessung? Wie tief wäre der Brunnen bei einer Fallzeit des Steines von 4,9 s? Wie tief bei einer Fallzeit von 5,1 s? Um wie viel Prozent könnte die Tiefe des Brunnen durch den Messfehler bei der Zeit abweichen? Bei einer anderen Uhr beträgt die Messungenauigkeit 0,2 s. Wieviel Prozent sind das? Wieviel Prozent beträgt dann die Messungenauigkeit bei der Tiefe? Stelle eine Tabelle auf, in der Du zu verschiedenen Messungenauigkeiten bei der Zeitmessung die Messungenauigkeiten bei der Tiefenmessung aufschreibst. Kannst du einen Zusammenhang feststellen? Wenn der Stein auf dem Boden des Brunnens aufschlägt, muss der Schall erst noch nach oben laufen. Die Bewegung des Schalls wird durch die Funktionsgleichung h(t) = 330t beschrieben. t ist dabei in Sekunden, h in Metern gemessen. Muss Monika das bei der Bestimmung der Brunnentiefe berücksichtigen? Bestimme eventuell die Brunnentiefe bei einer Messung von 5 s unter Berücksichtigung der Laufzeit des Schalls. - 114 - Lösungshinweise 10.7 Freier Fall 1. 2. 3. 4. 5. 6. h(5) = 125 0,1 s von 5 s entspricht 2% h(5,1) ≈ 130; h(4,9) ≈ 120 Durch den Fehler bei der Zeitmessung ergibt sich eine Abweichung von 5 m nach oben oder unten. 5 von 125 entspricht 4% 0,2 von 5 entspricht 4% h(5,2) ≈ 135,2; h(4,8) ≈ 115,2. Die Abweichung beträgt somit etwa 10 nach oben und unten, das entspricht 8%. Zu den beiden bereits ermittelten Wertepaaren sollten noch weitere ermittelt werden. Messungenauigkeit Zeit in % 2 4 ... 7. Messungenauigkeit Tiefe in % 4 8 ... Bei der Tiefe von 125 m ist die Laufzeit des Schalls t 125 s 0,4 s . 330 Wenn die Zeit wirklich mit einer Genauigkeit von 0,1 s gemessen wurde, muss die Laufzeit berücksichtigt werden. Die gemessene Zeit von 5 s setzt sich also aus der Fallzeit und der Laufzeit bei zunächst unbekannter Tiefe zusammen. t f tl h h 5 5 330 Quadrieren der Wurzelgleichung ergibt: 2 h h h h h2 5 h 2 25080 h 25 330 2 0 h 12540 154 .529 .100 12540 12431 25 5 330 5 33 330 2 Die Lösung muss kleiner als 125 sein, so dass der Fall mit dem Pluszeichen nicht möglich ist. Somit ergibt sich eine Tiefe von etwa 109 m. Die bei Wurzelgleichungen erforderliche Probe zeigt, dass es sich tatsächlich auch um eine Lösung der Wurzelgleichung handelt. - 115 - Aufgabe 10.8 Vergrößern und verkleinern auf dem Kopierer 1. 2. 3. 4. 5. 6. Klaus hat ein Photo der Größe 10 cm x 15 cm. Er stellt auf dem Kopierer eine Vergrößerung von 120 % ein. Das bedeutet, dass die vergrößerten Seitenlängen 120 % der Länge der ursprünglichen Seitenlängen haben. Wie lang sind die Seiten des Photos auf der Vergrößerung? Wie groß ist die Fläche des vergrößerten Photos? Um wie viel Prozent ist die Fläche bei der Vergrößerung gewachsen? Auf dem Photo ist ein gleichseitiges Dreieck zu sehen. Nach der Vergrößerung beträgt die Seitenlänge 4 cm. Wie groß ist die Fläche des vergrößerten Dreiecks? Wie groß waren Seitenlänge und Fläche vor der Vergrößerung? Klaus möchte nun die Fläche des Photos verdoppeln. Auf welche Vergrößerung muss er den Kopierer einstellen? Ein DIN-A-3 Blatt soll auf DIN-A-4 verkleinert werden. Welche Einstellung muss auf dem Kopierer gewählt werden? Bei einem DIN-A-4 Blatt beträgt das Verhältnis der Seitenlängen 2 :1. Legt man zwei solche Blätter nebeneinander, erhält man ein DIN-A-3 Blatt. Untersuche das Verhältnis der Seitenlängen bei einem DIN-A-3 Blatt und bei einem DIN-A-5 Blatt. Wenn Klaus zwei seiner Photos nebeneinander legt, bekommt er auch eine Fläche, die doppelt so groß ist. Was stellst du fest, wenn du die Verhältnisse der Seitenlängen untersuchst? Was ist das Besondere der DIN-A-Blätter? - 116 - Lösungshinweise 10.8 Vergrößern und verkleinern auf dem Kopierer 1. 2. Die Seitenlängen sind mit dem Vergrößerungsfaktor 1,2 zu multiplizieren. Neue Seitenlängen 12 cm bzw. 18 cm; neuer Flächeninhalt 216 cm². Flächeninhalt vor dem Vergrößern 150 cm². Der neue Flächeninhalt beträgt 144% des alten. Für die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks gilt h s2 s2 3 s. 4 2 s Sei also s 4cm A 4 3cm 2 6,9cm 2 Die Seitenlänge vor dem Vergrößern betrug Also betrug der Flächeninhalt A 3. 4. 4 cm 3,3cm . 1,2 h 3 3,3 2 cm 2 4,7cm 2 . 4 Der Vergrößerungsfaktor sei v. Die neuen Seitenlängen sind dann 10 v bzw. 15 v. Damit ist der neue Flächeninhalt 150 cm2 ∙ v2. Das soll das Doppelte des alten Flächeninhalts sein, als 300 cm2. Also ist v 2 1,41 . Somit ist eine Vergrößerung von 141% zu wählen. Seien a und b die Seitenlängen des Ausgangsblattes. Nach dem Verkleinern betragen die Seitenlängen v a bzw. v b. Somit ist der Flächeninhalt v2∙ab. Das soll die Hälfte von ab sein, also v 1 0,71 . Der Kopierer muss auf 71% eingestellt werden. 2 5. Beim Beim 6. a 2. b 2a 2 2 DIN-A-3-Blatt ist die längere Seite 2a und die kürzere b. Es ist 2 . b b 2 a a b DIN-A-5 Blatt ist b die längere Seite und die kürzere. Es ist ebenfalls 2 . a 2 2 Sei b die Länge der längeren Seite und a die Länge der kürzeren. Dann ist Das Seitenverhältnis des Photos beträgt beträgt das Seitenverhältnis 15 1,5 . 10 Legt er zwei Photos nebeneinander 20 1,3 . 15 Das Besondere bei den DIN-A-Blättern ist, dass beim Halbieren bzw. Verdoppeln das Seitenverhältnis erhalten bleibt. - 117 - Aufgabe 10.9 Fresh-Drink Eine Getränkefirma bietet ihre verschiedenen Sorten „Fresh-Drink“ in Standard-Tetrapacks an, deren Höhe immer doppelt so groß ist wie die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche. 1. 2. 3. 4. 5. Wie viel Milliliter Fresh-Drink befinden sich in einem 10 cm hohen Mini-Tetrapack ? Die Verpackung wiegt 10 g. Wie schwer ist das Trinkpäckchen ? (Nimm an, dass der Fresh-Drink und Wasser die gleiche Dichte haben.) Bestimme einen Term für die Oberfläche eines beliebigen Standard-Tetrapacks ! Während einer Sonderaktion werden Tetrapacks für Parties abgefüllt, deren Kantenlängen um jeweils 5 cm länger sind als die der Standard-Tetrapacks. Die Oberfläche der Party-Tetrapacks ist doppelt so groß wie die der Standardverpackung. Wie viel Liter „Fresh-Drink“ ist in der Standardverpackung? Die Firma bietet Trinkpäckchen im 3-er Pack an. Dieser ist 15,9 cm lang und 5,3 cm breit. Je 5 dieser 3-er Packs sollen hintereinander in 4 mm starken Kartons verpackt werden. Wie lang und wie breit ist ein solcher Karton ? Die Kartons sollen so auf eine 1 m x 1 m große Palette gepackt werden, dass sie an den Rändern nicht überstehen. Skizziere, wie man diese Kartons auf der Palette anordnen kann und gib an, wie viele Kartons höchstens in einer Lage untergebracht werden können ! - 118 - Lösungshinweise 10.9 Fresh-Drink 1. 2. Inhalt des Mini-Tetrapacks = 250 cm3 = 250 ml Gewicht des Trinkpäckchens = 260 g 3. Oberfläche des Standard-Tetrapacks = 2 a 2 4 2a a 10a 2 4. 2(a 5) 2 4 (a 5) (2a 5) 2 10a 2 a 2 8a 15 0 a 4 31 Kantenlängen der Standardverpackung: (4 31)cm 9,6cm und 2 (4 31) cm 19,1 cm Inhalt der Standardverpackung 1,8 Liter (4 31) 2 2 (4 31)cm3 1751,706...cm3 1,8 Liter 9,6 2 19,1cm3 1760,256cm3 1,8 Liter 3er-Pack: 15,9 cm x 5,3 cm fünf 3er-Packs im 4mm starken Karton: 27,3 cm x 16,7 cm Es passen 18 dieser Kartons auf eine 1m x 1m – Palette. 16,7 cm 81,9 cm 81,9 cm 83,5 cm 5. 100 cm - 119 - Aufgabe 10.10 Verpackungen für Kandis und Würfelzucker Die Herstellerfirma des obigen Produktes will eine andere Form der Verpackung einführen, ohne das Volumen zu verändern. Dazu soll als erstes die Grundfläche quadratisch werden. Bisher hat die Verpackung die Maße: 6cm x 7,5cm in der Grundfläche und 12 cm hoch. 1. Für das Volumen gilt: V = 540 cm 3 und V = a 2 h . a) Erläutere, wie man auf V = 540 cm 3 kommen kann. b) Erläutere, wie man auf die Formel V = a 2 h kommen kann. c) Fülle die Lücken in der nebenstehenden Tabelle aus und erläutere die erste Zeile: a h 3 60 5 15 9,6 8 11 - 120 2. Bei einer Höhe von 7 cm ist der Zusammenhang zwischen der Kantenlänge a und dem Volumen durch folgenden Graph dargestellt: a) Bestimme mit Hilfe des Graphen, bei welcher Kantenlänge ein Volumen von 500 cm 3 erzielt wird? Skizziere im obigen Diagramm die Graphen zu den Höhen von 4 cm und 12 cm. Welche Kantenlängen sind nun für V= 500 cm³ erforderlich? Vergleiche den Verlauf der Graphen. b) c) d) 3. a) b) 4. a) b) Für die Verpackung von Würfelzucker wählt die Firma die Form eines Würfels. Bei einem Würfel berechnet sich das Volumen mit Hilfe der Formel V a 3 Erläutere, wie man auf die Formel V a 3 kommt. Bestimme für ein Volumen von 450 cm 3 die zugehörige Seitenlänge. Beschreibe deine Vorgehensweise! Die Firma möchte für die Kandisverpackung Papier sparen. Bei gleichem Volumen von 540 cm 3 und quadratischer Grundfläche mit Kantenlänge a soll die Oberfläche möglichst klein gewählt werden. Für die Oberfläche der Verpackung gilt nun die Formel 540 O = 2 a2 4 a 2 a Erläutere, wie man auf diese Formel für die Oberfläche kommt. Skizziere den Graphen, der den Zusammenhang zwischen der Kantenlänge a und der Oberfläche O beschreibt, im unteren Koordinatensystem. 121 Kantenlänge a Die kleinste Oberfläche wird bei einer Breite von und einer Höhe von 3 Bei einem Volumen von 216 cm sind die optimalen Ausmaße. erreicht. 122 Lösungshinweise 10.10 Verpackungen für Kandis und Würfelzucker Die Aufgabe ist für Schüler, die einen graphikfähigen Taschenrechner oder einen Rechner mit CAS verwenden. 1. a) b) c) 2. Für das Volumen gilt: V ist gleich Grundfläche 6cm mal 7,5 cm multipliziert mit der Höhe h = 12 cm, also 540 cm 3 . Bei quadratischer Grundfläche ergibt sich damit V = a 2 h . 3²*60 = 540 a h 3 60 5 21,6 15 6 9,6 7,5 8 8,4375 11 4,4628 Die Werte ergeben sich, wenn man die obige Formel nach den gesuchten Werten auflöst. Dabei ist bei der Berechnung von a die Wurzel zu ziehen. Bei einer Höhe von 7 cm ist der Zusammenhang zwischen der Kantenlänge a und dem Volumen durch folgenden Graph dargestellt: a) b) c) Es müssen die Graphen zu 4*a² und 12*a² dargestellt werden. 123 d) 3. a) b) 4. a) Der Graph zu 4*a² ist flacher, der zu 12*a² ist steiler als der vorgegebene Graph. Es handelt sich um einen Würfel der Kantenlänge a, also ist das Volumen V a3 Bei einem Volumen von 450 cm 3 kann die zugehörige Seitenlänge z.B. durch ein Näherungsverfahren mit Hilfe der Intervallhalbierung bestimmt werden. Es ergibt sich dann ein Näherungswert von 7,66 cm. Der Wert kann aber auch z.B. aus dem Graph der Funktion mit dem Term a³ abgelesen werden: Ersetzt man in der Formel V = a 2 h . V durch 540 und löst nach h auf, so kann man h in die Oberflächenformel des Quaders mit quadratischer Grundfläche einsetzen. 540 O = 2a² + 4ah mit h 2 a b) Die kleinste Oberfläche wird bei einer Breite von 8,14 cm und einer Höhe von 8,14 cm erreicht. Es handelt sich also um einen Würfel. Bei einem Volumen von 216 cm 3 sind die optimalen Ausmaße für Kantenlänge und Höhe 6 cm. Zur Bestimmung der Werte sind in der Oberflächenformel 540 durch 216 zu ersetzen. 124 Aufgabe 10.11 Kugelstoßen Beim Kugelstoßen durchläuft die Kugel näherungsweise eine Parabelbahn, die mit der Gleichung f(x) = a x2 + x + c beschrieben werden kann. Die Zahlen a und c sind dabei abhängig vom Wurf (Größe des Werfers / Höhe des Abwurfpunktes, Geschwindigkeit der Kugel beim Abwurf). In unserem Fall hat die Kugel - kurz nachdem sie die Hand des Werfers verläßt - eine Höhe von 3 m über dem Erdboden. 6 Meter weiter landet die Kugel. 1. Bestimme die Koeffizienten a und c, die zur abgebildeten Flugbahn gehören. Rechne ab jetzt mit der folgenden Funktion weiter: f(x) 4 x2 x 3 1 2. 3. 4. 5. 6. 7. Welche maximale Höhe über dem Erdboden hat die Kugel während des Fluges erreicht? Der Werfer stößt die Kugel in einer Höhe von 2,50 m ab. Vervollständige die Skizze und die Flugbahn. Wie weit steht der Werfer vom Start der Messung (Nullpunkt) entfernt ? In welcher Entfernung vom Abstoßpunkt befindet sich die Kugel, wenn sie bei ihrer Abwärtsbewegung wieder die Höhe 2,5 m passiert ? Erläutere, wieso ein größerer Kugelstoßer (bei ansonsten gleichen Bedingungen) bessere Weiten erzielen kann. Der Werfer stößt die Kugel im Training gegen eine Böschung, die gleichmäßig ansteigt. Die Böschung beginnt im Nullpunkt und erreicht nach 10 Metern eine Höhe von 3,5 Metern. Gib den Funktionsterm an, der den Verlauf der Böschung beschreibt. Bestimme rechnerisch den Punkt, an dem die Kugel auf die Böschung trifft. 125 Lösungshinweise 10.11 Kugelstoßen 1. Der Punkt A(0/3) liegt auf der Kurve, d.h. f(0) = 3 <=> a · 02 + 0 + c = 3 <=> c = 3 . Auch liegt der Punkt B(6/0) auf der Kurve, d.h. f(6) = 0 <=> a · 36 + 6 + 3 = 0 <=> 36 a = - 9 a = - 1/4 = - 0,25 Damit lautet die Funktion f(x) = - 1/4 x2 + x + 3 . <=> 2. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, erreicht die Kugel ihr maximale Höhe im Scheitelpunkt. f(x) = - 1/4 [x2 - 4 x - 12] = - 1/4 [ (x - 2)2 - 4 - 12] = - 1/4 (x - 2)2 + 4 . Der Scheitelpunkt ist S (2 / 4). Die Kugel erreicht also die größte Höhe 4 m über dem Boden. 4. Der Werfer steht an der Stelle x (x < 0), für die gilt f(x) = 2,5 <=> - 1/4 x2 + x + 3 = 2,5 2 <=> - 1/4 x + x + 0,5 = 0 2 <=> x -4x-2 = 0 2 <=> (x - 2) - 6 = 0 <=> x=2- 6 v x=2+ 6 <=> x - 0,45 v x 4,45 Wegen x < 0 steht der Werfer an der Stelle x - 0,45 , d.h. etwa 45 cm vom Start der Messung entfernt. 5. Lösungsweg 1: Symmetriebetrachtung Die Parabel ist symmetrisch zu einer Geraden (Achse) parallel zur y-Achse durch S(2/4). Daher wird die Höhe y = 2,5 m genauso weit rechts vom Scheitelpunkt erreicht, wie es links vom Scheitelpunkt der Fall war. Links vom Scheitelpunkt war die Kugel bei x = 2 - 6 auf einer Höhe von y = 2,5 , also 6 von der Achse entfernt. Also wird die Höhe von y = 2,5 auch 6 Meter rechts von der Achse erreicht, also bei x = 2 + 6 4,45 Metern. Lösungsweg 2: Rechnen Es ist y = f(x) = 2,5 <=> - 1/4 x2 + x + 3 = 2,5 <=> x=2- 6 v x=2+ 6 <=> x - 0,45 v x 4,45 (vgl. Aufgabenteil 4) Nach etwa 4,45 Metern vom Abwurfpunkt (Nullpunkt) entfernt passiert die Kugel wieder eine Höhe von 2,5 Metern. 126 6. Bei einem größeren Kugelstoßer liegt der Abstoßpunkt höher. Die Parabelbahn bleibt gleich, ist jedoch nach oben verschoben. Dadurch liegt der Auftreffpunkt (Nullstelle) weiter rechts, d.h. die Weite wird größer. 7. Die Böschung steigt auf 10 Meter horizontal 3,5 Meter an, d.h. 0,35 m Anstieg auf 1 m horizontal. Deshalb ist die Steigung m = 0,35. Weil die Böschung im Nullpunkt beginnt, ist die Funktion proportional, und der Funktionsterm, der den Verlauf der Böschung beschreibt, lautet y = 0,35 · x . Schnittpunkt von Böschung und Flugbahn: y (Böschung) = y (Parabel) <=> 0,35 · x = - 1/4 x2 + x + 3 <=> 1/4 x2 - 0,65 x - 3 = 0 <=> x2 - 2,6 x - 12 = 0 <=> x = 1,3 ± 13,69 <=> x = 1,3 ± 3,7 <=> x = - 2,4 v x=5 Die Kugel trifft nach 5 Metern auf die Böschung in einer Höhe von y = 0,35 · 5 = 1,75 Metern 127 Aufgabe 11.1 Wachstum 1. a) b) c) d) e) 2. Bei einem vom Boden aus wachsenden Tropfstein hat man vor 4 Jahren eine Höhe von 0,73 m gemessen, nun ist er 0,79 m hoch. Man nimmt lineares Wachstum an. Wie hoch ist der Tropfstein nach 3, 5, 7, ..., x Jahren ? Stelle die Funktionsgleichung auf und zeichne den Graphen. Wie verändert sich die Höhe des Tropfsteins, wenn man ausgehend von einer Beobachtung im Jahre x noch 2, 3, 4, ..., d Jahre wartet ? In wie vielen Jahren ist der Tropfstein voraussichtlich 1 m hoch ? Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich die Höhe des Tropfsteins ? d) e) Bei einer Fadenalge mißt man zunächst eine Länge von 15 cm, nach drei Tagen eine Länge von 22 cm. Man nimmt ein exponentielles Wachstum an. Wie lang ist die Alge nach 5, 7, 11, ..., x Tagen ? Stelle die Funktionsgleichung auf und zeichne den Graphen. Wie verändert sich sich Länge der Alge, wenn man ausgehend von einer Beobachtung am Tage x noch 2, 3, 4, ... d Tage wartet ? Wie viele Tage nach der Beobachtung ist die Alge voraussichtlich 1 m lang ? Nach wie vielen Tagen verdoppelt die Fadenalge ihre Länge ? (Verdoppelungszeit) 3. Warum ist das Wachstum in dem einen Fall linear, in dem anderen Fall exponentiell ? a) b) c) 128 Lösungshinweise 11.1 Wachstum 1. Man bearbeitet am besten Aufgabenteil b vor a. b) Der Tropfstein wächst 6 cm in 4 Jahren, d.h. 1,5 cm = 0,015 m in einem Jahr. y = 0,79 + 0,015 · x a) Zeit x 0 3 5 7 x Länge y 0,79 m 0,835 m 0,865 m 0,895 m 0,79 + 0,015 · x c) Im Jahr x hat der Tropfstein eine Höhe von y = 0,015 · x + 0,79 m. Nach weiteren 2 Jahren ist er um 2 · 0,015 m gewachsen. Nach weiteren 3 Jahren ist er um 3 · 0,015 m gewachsen. Nach weiteren 4 Jahren ist er um 4 · 0,015 m gewachsen. Nach weiteren d Jahren ist er um d · 0,015 m gewachsen. Man sieht dies auch allgemein an der Funktionsgleichung: y = 0,79 + (x + d) · 0,015 = 0,79 + x · 0,015 + d · 0,015 . Beim linearen Wachstum wächst ein Objekt in gleichen Perioden (2, 3, 4, d) um die gleiche additive Konstante (Wachstumsrate). d) y = 1 = 0,79 + 0,015 · x <=> 0,21 = 0,015 · x <=> In 14 Jahren wird der Tropfstein voraussichtlich 1 m hoch sein. e) 0,79 · 2 = 0,79 + 0,015 · x <=> 0,79 = 0,015 · x <=> 52,67 = x Nach etwa 53 Jahren hat sich die Höhe des Tropfsteins verdoppelt. 14 = x 2. Man bearbeitet am besten Aufgabenteil b vor a. b) Es ist f(x) = b · ax , x = Tage. b ist der Startwert, denn es gilt f(0) = b. Daher ist b = 15. Weiterhin hat die Alge nach drei Tagen eine Länge von 22 cm, d.h. f(3) = 22 <=> 15 · a3 = 22 <=> a3 = 22/15 <=> a 1,136 . x Daraus folgt schließlich f(x) = 15 · 1,136 . a) Zeit x Länge y 0 15 cm 5 28,38 cm 7 36,62 cm 11 60,99 cm x 15 · 1,136x 129 c) Am Tag x hat die Alge eine Länge von f(x) = 15 · 1,136x cm . Die Länge ändert sich nach weiteren 2 Tagen auf f(x + 2) = 15 · 1,136x + 2 = 15 · 1,136x · 1,1362 nach weiteren 3 Tagen auf 3 1,136 nach weiteren 4 Tagen auf 4 1,136 nach weiteren d Tagen auf d 1,136 f(x + 3) = 15 · 1,136x + 3 = 15 · 1,136x · f(x + 4) = 15 · 1,136x + 4 = 15 · 1,136x · f(x + d) = 15 · 1,136x + d = 15 · 1,136x · also in d Tagen um den Faktor 1,136d . Beim exponentiellen Wachstum ändert sich die Größe in gleichen Perioden (2, 3, 4, d) um einen konstanten Faktor. 3. d) 100 = 15 · 1,136x <=> 100 / 15 = 1,136x <=> x = log 1,136 (100 / 15) 14,88 . Nach 15 Tagen ist die Alge mehr als einen Meter lang. e) Die Verdoppelungszeit sei T. 2 · 15 · 1,136x = 15 · 1,136x + T <=> 2 = 1,136T <=> T = log 1,136 2 5,44 . Alle 5,44 Tage verdoppelt die Fadenalge ihre Länge. Tropfstein: Man kann annehmen, daß in gleichen Zeitabständen (Perioden) etwa gleich viel Kalkwasser von der Decke einer Höhle tropft. Dieses Kalkwasser bestimmt das Wachstum des Tropfsteins. Die Menge des Wassers ist unabhängig von der Höhe des Tropfsteins. Egal, wie hoch der Tropfstein ist - stets kommt in gleichen Perioden die gleiche Menge Kalk (bzw. Mineralien) hinzu. Fadenalge: Das Wachstum der Fadenalge geschieht über Zellteilung. Sind zu Beginn wenige Zellen vorhanden, die sich teilen können, so wächst die Alge langsam. Sind zu einem späteren Zeitpunkt mehr Zellen vorhanden, die sich teilen können, so wächst die Alge schneller. Man kann dies auch genauer betrachten. Jeden Tag teilt sich ein bestimmter Prozentsatz der Zellen, hier 13,6 %. Ist die Alge zu Beginn 15 cm lang, so beträgt ihre Länge nach 1 Tag: 15 · 1,136 = 15 · 1,1361 nach 2 Tagen: 15 · 1,136 · 1,136 = 15 · 1,1362 nach 3 Tagen: 15 · 1,136 · 1,136 · 1,136 = 15 · 1,1363 nach x Tagen: = 15 · 1,136x 130 Aufgabe 11.2 Füllen einer Vase Der dargestellte Körper, eine Designerblumenvase, ist aus drei zylinderförmigen Abschnitten zusammengesetzt. Die drei Zylinder werden mit der gleichen , konstanten Wasserzulaufrate gefüllt, das bedeutet, dass beim Füllen immer dieselbe Menge Wasser pro Zeiteinheit zuläuft. Gemessen wird in Milliliter pro Sekunde (ml/s). Der untere Zylinder hat eine Grundfläche von 2 dm2 und eine Höhe von 3 cm. Er wird innerhalb von 8 Sekunden gefüllt. Zuerst wird der untere Zylinder berechnet. 1. 2. 3. Berechne die Höhenänderungsrate, das bedeutet: Um wie viele cm nimmt der Wasserstand im unteren Zylinder pro Sekunde zu? Berechne die Wasserzulaufrate! Berechne den Radius der Grundfläche der Vase. Wir betrachten nun den mittleren Zylinder. Dieser ist nach weiteren 16 Sekunden gefüllt und hat eine Höhe von 4 cm. 4. Berechne die Querschnittsfläche des mittleren Zylinders! Während der Füllung des oberen Zylinders liegt eine Höhenänderungsrate von 0,4 cm pro Sekunde vor. Es dauert dann 10 Sekunden, bis dieser Teil der Vase gefüllt ist. 5. 6. 7. 8. Welche Gesamthöhe hat die Vase? Wie viel Liter fasst die Vase? Zeichne den Graphen, der die Höhe des Wasserstandes in der Vase in Abhängigkeit von der Zeit angibt. Entwirf eine Vase mit vernünftigen Maßen, die ungefähr dasselbe Fassungsvermögen wie die Designervase besitzt und einen kugeligen Bauch mit zylinderförmigem Kragen besitzt. 131 Lösungshinweise 11.2 Füllen einer Vase 3 cm 8 s 1. Höhenänderungsrate 2. Volumen des unteren Zylinders 2dm 2 3cm 600 cm 3 Zulaufrate 600 cm 3 cm 3 75 8s s A 200 3. A r 2 r 4. Volumen des mittleren Zylinders 75 cm 8cm cm 3 16 s 1200 cm 3 s 1200 cm 3 300 cm 2 4cm cm Höhe des oberen Zylinders 0,4 10 s 4cm s Gesamthöhe 3cm 4cm 4cm 11cm Querschnittsfläche 5. 6. Volumen des oberen Abschnitts 75 cm 3 10 s 750 cm 3 s Gesamtvolumen 600cm3 1200cm3 750cm3 2,55l 7. Höhe in cm 10 5 Zeit in s 8. 10 20 30 Es gibt zu dieser Aufgabe keine eindeutige Lösung. Skizziert ist hier ein möglicher Lösungsweg. Wähle z. B. eine Kugel mit V 2l . Dann ergibt sich als 4 3 Radius V R 3 R 3 3V 7,8cm . 4 Wähle nun einen Zylinder mit V 0,6l und r 4cm . Es ergibt sich eine Höhe V r 2 h h V r 2 12 cm . Das tatsächliche Volumen ist nun nicht die Summe dieser beiden Volumina, denn dann würde ein Kugelabschnitt doppelt gerechnet. Die Formelsammlung liefert für das Volumen eines Kugelabschnittes: V H 2 3R H . 1 3 Nach Pythagoras ist H 7,8 7,8 2 16 1,1cm , also V 28cm 3 . Damit ergibt sich als Gesamtvolumen der Kugelvase V 2,57l . H R 132 Aufgabe 11.3 "Immer weniger Deutsche !" Jedes Jahr nimmt die Gesamtzahl der in Deutschland lebenden Menschen ab. Lebten 1990 noch etwa 83 Millionen Menschen in Deutschland, so waren es im Jahre 2.000 nur noch 80,5 Millionen Menschen. 1. Wir nehmen an, daß es sich hierbei um eine lineare Abnahme handelt. a) Beschreibe den Prozeß der Abnahme in einem Funktionsterm. Zeichne den Graphen, der die Abnahme der Bevölkerung beschreibt. b) Wieviele Menschen werden im Jahre 2.100 in Deutschland leben ? c) Wann werden nur noch 50 Millionen Menschen in Deutschland leben ? d) Wann werden nur noch halb so viele Menschen wie 1990 in Deutschland leben ? e) Beurteile, inwiefern die Prognosen (1b bis 1d) realistisch sind : Welche Annahmen werden mit der linearen Modellierung getroffen ? Was spricht gegen diese Annahmen ? 2. Wir nehmen an, daß es sich um eine exponentielle Abnahme handelt. a) Beschreibe den Prozeß der Abnahme in einem Funktionsterm. Zeichne den Graphen, der die Abnahme der Bevölkerung beschreibt. b) Wieviele Menschen werden im Jahre 2.100 in Deutschland leben ? c) Wann werden nur noch 50 Millionen Menschen in Deutschland leben ? d) Wann werden nur noch halb so viele Menschen wie 1990 in Deutschland leben ? Falls Du eine Formel bei der Berechnung benutzt, dann leite sie auch bitte her. e) Beurteile, inwiefern die Prognosen (2b bis 2d) realistisch sind : Welche Annahmen werden mit der exponentiellen Modellierung getroffen ? Was spricht gegen diese Annahmen ? 3. Vergleiche die beiden Modelle und die Berechnungen kurz miteinander. 133 Lösungshinweise 11.3 "Immer weniger Deutsche !" 1. a) b) c) y = 83 - 2,5 · x , x = Zeit in 10-Jahres-Perioden y = 83 - 2,5 · 11 = 55,5 Mio. Menschen 50 = 83 - 2,5 · x <=> 33 = 2,5 · x <=> x = 13,2 In 132 Jahren, d.h. im Jahre 2.122, werden 50 Millionen Menschen in Deutschland leben. d) 41,5 = 83 - 2,5 · x <=> x = 16,6 In 166 Jahren , d.h. im Jahre 2.156, werden nur noch halb so viele Menschen in Deutschland leben. e) Annahme des linearen Modells: In jeder Periode nimmt die Anzahl der in Deutschland lebenden Menschen um die konstante Rate 2,5 ab. Dazu müssen die Geburten- und Sterberate konstant bleiben, die von äußeren Bedingungen (Nahrung, Wasser, Luft, Platz, ...) und sozialen Bedingungen (Technik, Medizin, Kindergeld, ...) abhängen. Alle diese Bedingungen müssen konstant bleiben. Gegenannahmen zum linearen Modell: Die Zerfallsrate ist nicht konstant 2,5, weil sich eine oder mehrere Bedingungen ändern (z.B. Raummangel, medizinischer Fortschritt, staatliche Förderung von Kindern, ...). Beurteilung der Prognosen: Die Konstanz der Zerfallsrate ist von vielen Bedingungen abhängig, also unwahrscheinlich. Ebenfalls ist es unwahrscheinlich, Konstanz zu erhalten über längere Zeiträume in der sich rasch ändernden menschlichen Welt. 2. f(x) = 83 · 0,97x , x = Zeit in 10-Jahres-Perioden f(11) = 83 · 0,9711 59,4 Mio. Menschen 50 = 83 · 0,97x <=> x = log 0,97 (50/83) 16,64 In etwa 166,4 Jahren, d.h. im Jahre 2.156, werden nur noch 50 Millionen Menschen in Deutschland leben. d) Die Halbwertzeit sei T. f(x + T) = 0,5 f(x) x + T <=> 83 · 0,97 = 0,5 · 83 · 0,97x <=> 0,97T = 0,5 <=> T = log 0,97 (0,5) 22,76 Alle 227,6 Jahre halbiert sich die Anzahl der Bewohner. Im Jahr 2.217 werden nur noch 41,5 Millionen Menschen in Deutschland leben. e) Annahmen des exponentiellen Modells: In jeder Periode nimmt die Anzahl mit dem konstanten Faktor 0,97 ab. (Dann analog 1 e.) a) b) c) 134 Aufgabe 11.4 Abkühlung von Tee In einem Glas befindet sich heißer Tee mit einer Temperatur von 90° C. Die Raumtemperatur beträgt 20° C, und der Tee kühlt sich langsam ab. Die Differenz zwischen Tee- und Raumtemperatur nimmt jede Minute um 10 % des vorigen Wertes ab. 1. 2. 3. 4. 5. Beschreibe den Prozeß des Abkühlens in einem Funktionsterm . Wie heiß ist der Tee nach 5 Minuten ? Man kann den Tee trinken, wenn er etwa 30° C heiß ist. Wie lange muß man warten, bis man den Tee trinken kann ? Wann ist die Temperatur nur noch halb so groß wie zu Beginn ? In England gibt man zum Tee noch eine bestimmte Menge Milch hinzu. Dies dient zum einen der Veränderung des Geschmacks, zum anderen beschleunigt man damit den Abkühlungsprozeß. Aus dem Blickwinkel, den Abkühlungsprozeß zu beschleunigen: Sollte man die Milch zu Beginn oder gegen Ende des Abkühlungsprozesses hinzufügen ? Begründe ! 135 Lösungshinweise 11.4 Abkühlung von Tee 1. f(x) = 70 · 0,9x , x = Zeit in Minuten, y = Temperaturdifferenz 2. f(5) = 70 · 0,95 41,3 , d.h. der Tee ist etwa 61° C heiß. 3. Die Temperaturdifferenz beträgt dann 10°C. 10 = 70 · 0,9x <=> x = log 0,9 (1/7) 18,5 Nach ungefähr 18,5 Minuten kann man den Tee trinken. 4. Die Temperaturdifferenz beträgt dann 25°C. 25 = 70 · 0,9x <=> x = log 0,9 (25/70) 9,8 Nach ungefähr 9,8 Minuten ist der Tee nur noch halb so heiß (45°C). 5. Die Temperaturdifferenz ist zu Beginn hoch. Dann nimmt sie in jeder Periode 10% des vorigen Wertes ab, was ein hoher Wert ist. Später ist die Temperaturdifferenz geringer. 10% dieses geringeren Wertes ist auch ein niedriger Wert. Daraus folgt, daß der Tee sich zu Beginn stärker bzw. schneller abkühlt als gegen Ende des Abkühlungsprozesses. Daher sollte man die Milch gegen Ende hinzufügen, um den zu Beginn schnell verlaufenden Abkühlungsprozeß nicht zu stören. 136 Aufgabe 11.5 Radioaktiver Zerfall 1. Der Zerfall einer radioaktiven Substanz kann durch die Zerfallsgleichung N (t ) 6 10 15 10 0,01t beschrieben werden. Dabei bezeichnet t die Zeit in Sekunden und N die Anzahl der unzerfallenen Atome a) Skizziere den Graphen, ohne Werte zu berechnen. b) Wie viele Atome gibt es am Anfang, wie viele nach 10 s? c) Wie groß ist die durchschnittliche Zerfallsrate in den ersten 10 Sekunden? d) Ist die durchschnittliche Zerfallsrate in der 1. Sekunde größer, kleiner oder gleich dem Ergebnis von Teil c)? e) Nach welcher Zeit liegt noch die Hälfte der Ausgangsmenge vor? Diese Zeit nennt man „Halbwertszeit“ f) Untersuche, wie viele Atome nach der doppelten, dreifachen, vierfachen usw. Halbwertszeit noch vorliegen. Welche Gesetzmäßigkeit fällt dir auf? Formuliere diese Gesetzmäßigkeit durch eine Funktionsgleichung mit den Variablen N und k, wobei k angibt, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind. 2. Ein anderes Material hat eine Halbwertszeit von 10 s a) Wie lautet die Zerfallsgleichung für dieses Material? b) Unter der Zerfallswahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Atom innerhalb der nächsten Sekunde zerfällt. Die Zerfallswahrscheinlichkeit ist für jedes Material eine konstante Zahl. Wie groß ist die Zerfallswahrscheinlichkeit für das Material des zweiten Aufgabenteils? 3. Der radioaktive Zerfall kann durch ein Würfelspiel simuliert werden. Dazu verwendet man ein Blatt mit zum Beispiel 100 Feldern. Diese stehen für die noch nicht zerfallenen Atome. Für jedes Feld wird einmal gewürfelt. Würfelt man eine 6, so gilt das entsprechende Atom als zerfallen und das Feld wird durchgestrichen. Hat man für alle Felder einmal gewürfelt, so ist die erste Sekunde vergangen, und es wird gezählt, wie viele Felder noch übriggeblieben sind. Anschließend wird das Verfahren für die übriggebliebenen Felder wiederholt. Jedes Mal, wenn man für alle übriggebliebenen Felder gewürfelt hat, ist in der Simulation wieder eine Sekunde vergangen, und es wird notiert, wie viele Felder jetzt noch nicht durchgestrichen sind. Wie groß ist die Halbwertszeit für dieses simulierte Material? 137 Lösungshinweise 11.5 Radioaktiver Zerfall 1. a) b) Es handelt sich um eine Exponentialfunktion mit negativem Exponenten, also sieht der Graph so aus: N (0) 6 10 15 N (10 ) 6 10 15 10 0,1 4,77 10 15 c) d) e) f) N (10 ) N (0) 1 1,23 10 14 10 s Da der Graph zu Beginn am stärksten fällt, ist die durchschnittliche Zerfallsrate in der 1. Sekunde kleiner. (Betragsmäßig natürlich größer) 1 3 10 15 6 10 15 10 0,01t t 100 lg 30 ,1 2 Es ist N (2t H ) 1,5 1015 , N (3t H ) 0,67 1015 und N (4t H ) 0,38 1015 . Übersichtlich in einer Tabelle zusammengestellt: Anzahl der Halbwertszeiten Anzahl der Atome ( 10 15 ) 0 6 6 20 1 3 6 2 1 2 1,5 6 2 2 3 0,67 6 2 3 4 0,38 6 2 4 Damit ergibt sich N (a) 6 10 15 2 a . 2. N0 1 1 gilt k lg 0,03 . Also N (t ) N 0 10 0.03t . 10 2 2 a) N (t ) N 0 10 kt . b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für die erste Sekunde. Dividiere dazu die Zahl der Wegen N (10 ) zerfallenen Atome durch die Zahl der vorhandenen: N (0) N (1) 0,067 Somit beträgt die N (0) Zerfallswahrscheinlichkeit 0,067. Pro Sekunde zerfallen 6,7% der Atome, die zu Beginn der Sekunde vorhanden sind. 3. Bei dieser Simulation beträgt die Zerfallswahrscheinlichkeit allgemeinen Gleichung N (t ) N 0 10 kt ergibt sich: 1 6 . Ausgehend von der 138 N (0) N (1) 1 1 5 1 10 k k lg 0,079 N (0) 6 6 6 N (t ) N 0 10 0,079t . . Somit lautet die Zerfallsgleichung Die Halbwertszeit ergibt sich wie in 1 e) als t 1 1 lg 3,81 . 0,079 2 139 Aufgabe 11.6 Erlenmeyerkolben Zu berechnen ist ein Gefäß in Form eines Erlenmeyerkolben aus der Chemie, das in einer Skizze weiter unten dargestellt ist. Runde auf nur eine Nachkommastelle. ( Hinweis: Überlege zuerst aus welchen Körpern das Gefäß zusammengesetzt ist! Bedenke, man muss etwas hineinschütten können! ) d2 Angaben: Höhen: h1 = 7,2 cm h2 = ? h3 = 13 cm Durchmesser: d1 = 7,6 cm d2 = 5,8 cm h2 h3 h1 s Seitenlinie: s= ? d1 Skizze nicht maßstabsgetreu ! 1. 2. 3. 4. 5. 6. Zeige, dass die Länge der Seitenlinie s = 7,3 cm beträgt. Berechne das Fassungsvolumen des Gefäßes, wenn es bis 3 mm unter der Oberkante gefüllt ist. Der obere Teil des Kolbens kann auf Wunsch des Kunden mit einer farbigen Glasur versehen werden. Das Auftragen der Glasur wird mit 5 Cent pro cm2 in Rechnung gestellt. Berechne den Mehrpreis, falls ein Kunde die Glasur wünscht! Wie hoch würde die Flüssigkeit (aus 2.) in einem zylinderförmigen Becherglas stehen, dessen Radius gleich r2 ist? (Flüssigkeitsmenge 401 ml) Ein weiterer Kunde bestellt insgesamt 750 von den Gläsern. Sie werden in Kartons zu je 150 Gläsern mit quadratischer Grundfläche zu 25 Gläsern pro Lage verpackt. Zwischen zwei Gläsern und zwischen zwei Lagen ist immer ein Karton eingefügt. Dieser Karton hat eine Stärke von 5 mm. Der äußere Karton hat eine Stärke von 0,8 cm. Berechne die Abmessungen der Pakete, die der Kunde erhält. Die Herstellerfirma gewährt bei Abnahme von mindestens 150 einfachen Gläsern einen Rabatt von 7,5 % auf den Preis von 0,65 € pro Glas. Hinzu kommen noch die Kosten für Porto und Verpackung von 3,60 € pro Paket. Von diesem Gesamtbetrag wird nochmals 0,2 % als Transportversicherung berechnet. Wie hoch ist die Rechnung des Kunden aus Teil 5? 140 7. Beim Transport der Glasgefäße rechnet man mit 5 % Bruch bei den Gläsern, wenn die Sendung beim Kunden ankommt. Wie viele Gläser muss die Firma für einen Großkunden einpacken, damit mindestens 3 650 Gefäße unzerstört bei ihm ankommen? 141 Lösungshinweise 11.6 Erlenmeyerkolben d1 d 2 2 h1 7,3 cm 2 2 1. 2. h2 = h1 – h3 VZy = π ∙ r22 ∙ (h2 – 0,3 cm) = 145,31 cm3 VKSt = ⅓ ∙ π ∙ (r12 + r1r2 +r22) ∙ h3 = 255,37 cm3 Vges = VZy + VKSt = 400,68 cm3 3. M = 2 ∙ π ∙ r2 ∙ h2 = 105,68 cm2 Preis: 105,68 cm2 ∙ 0,05 € = 5,28 € 4. V = π ∙ r22 ∙ h V h 15,18 cm r22 5. Der Kunde erhält 750 : 150 = 5 Pakete. Jedes Paket hat 6 Lagen zu je 25 (5 x 5) Gläsern. Jedes Paket hat die Abmessungen: Breite/Tiefe: 4 ∙ 0,5 cm + 5 ∙ 7,6 cm + 2 ∙ 0,8 cm = 41,6 cm Höhe: 5 ∙ 0,5 cm + 6 ∙ 13 cm + 2 ∙ 0,8 cm = 82,1 cm 6. 750 ∙ 0,65 € ∙ 0,925 = 450,94 € 5 Pakete: 5 ∙ 3,60 € = 18,00 € Kosten: (450,94 € + 18,00 €) ∙ 1,002 = 469,88 € 7. 3650 Gläser entsprechen 95 %. 3650 100 3842,11 , also müssen 3843 Gläser geliefert werden. 95 142 Aufgabe 11.7 Sandhaufen Schüttet man Sand auf eine ebene Fläche, so formt sich ein sogenannter Schüttkegel (vgl. Bild) auf. 1. Auf dem Lagerplatz der Firma Sand & Co liegt ein solcher Schüttkegel .Dieser hat am Boden einen Umfang von 38 m und eine Höhe von 6 m. a. Kann die Firma damit einen Auftrag über eine Lieferung von 200 m3 Sand erfüllen? b. Bei feuchtem Sand ist der Böschungswinkel des Kegels ungefähr 450. Handelt es sich hier um feuchten Sand? 2. Das Förderband von Sand & Co liegt hat eine Länge von 15 m. Der Fußpunkt des Förderbandes liegt 12 m vom Mittelpunkt der Kegelgrundfläche entfernt. Wie hoch kann der Sandhaufen maximal werden ? 3. Ein Frachtschiff bringt eine neue Ladung von 4000 m3 feuchtem Sand. Auf dem Lagerplatz soll die Höhe der Kegel maximal 9 m betragen. a. Wie viel solcher Kegel mit 9 m Höhe müssen aufgeschüttet werden? b. Wie hoch wird der Kegel mit dem Rest? c. Die Dichte von feuchtem Sand beträgt 1,99 g/cm3. Wie viele LKW mit einer Nutzlast von 28 t braucht man, um die gesamte Ladung von 4000 m3 zu transportieren? d. Wie ändert sich die Anzahl der Kegel aus Aufgabenteil a, wenn sie nur noch 8 m hoch werden dürfen? Ein Schubverband bestehend aus zwei Frachtschiffen liefert feuchten Sand an. Wie sollte man die Sandkegel von 9 m Höhe auf dem Lagerplatz anordnen, um den benötigten Platz möglichst klein zu halten? 4. 143 Lösungshinweise 11.7 Sandmengen Verändert nach : Abakus 10, A 46, Schöningh Verlag, 1995, S.92 Mathematik Denken und Rechnen 10A Ausgabe NRW; Westermann Verlag 1982, Seite59 1. a) U 2 r U 38 m 6,05m 2 2 V 13 r 2 h 13 6,052 6 m3 229,98 m3 r b) Die Firma kann den Auftrag erfüllen. h 6 tan , tan 0,99, 44,710 r 6,05 Es handelt sich um feuchten Sand. 2. h 152 122 m 9 m 3. a) h h 9m , r 9m r tan tan 450 V 13 r 2 h 13 9 2 9 m 3 763,41 m 3 tan 4000 m 3 : 763,41 m 3 5,24 Man erhält 5 ganze Kegel und einen Resthaufen. b) V 4000 m3 5 763,41m3 182,95 m3 Da tan 45° = 1 , folgt h = r. Hier gilt : V 13 h 3 h3 3 V 3 3 182,95 m 5,59 m c) g kg t 1,99 3 1,99 3 3 cm dm m t 4000 m 3 1,99 3 7960 t m 7960 t : 28 t 284,286 1,99 284 28 t 7952 t 144 Man benötigt 285 LKW. d) h h 8m , r 8m r tan tan 450 V 13 r 2 h 13 82 8 m 3 536,17 m 3 tan 4000 m 3 : 536,17 m 3 7,46 Man erhält zwei volle Kegel mehr. 145 Aufgabe 11.8 Das Kieswerk Ein Kieswerk lagert immer einen gewissen Vorrat verschiedener Kies- und Sandsorten, um auch auf überraschende Großaufträge schnell reagieren zu können. Diese Haufen nehmen eine annähernd kegelförmige Gestalt an. Der Böschungswinkel des Kegels ist von dem aufgeschütteten Material abhängig. Ein Sandhaufen hat eine maximale Breite von 9,4 m und Böschungswinkel eine Höhe von 5 m. Ein Kunde braucht davon für den Bau einer betonierten Fläche 100 m³. 1. Reicht der Sandvorrat? 2. Sand hat eine Dichte von 1,4 g/cm³. Wie viel Eisenbahnwaggons mit einer Tragfähigkeit von 25 t müssen eingesetzt werden, um die bestellte Menge abzuholen? 3. Der Rest wird wieder zu einem Haufen aufgeschüttet. Wie hoch ist dieser? 4. Beton ist eine Mischung aus Zement und Sand. Der Kunde möchte Beton herstellen, indem er Sand und Zement im Verhältnis 6:1 mischt. Die daraus produzierten Betonplatten sollen 3 m lang, 2 m breit und 20 cm dick sein. Wie viel Platten kann er herstellen? 5. Auf einer sauberen Fläche möchte das Kieswerk einen neuen Sandvorrat anlegen. Dazu schüttet es täglich 10 m³ Sand neu auf. Stelle die Höhe des Sandhaufens, der innerhalb von zwei Wochen entsteht, als Funktion der Zeit graphisch dar und bestimme einen Funktionsterm! 6. Welchen Böschungswinkel hat ein Sandhaufen? 7. Das gleiche Kieswerk lagert Feinkies auf einer kreisförmigen Fläche mit einem Durchmesser von 12 m. Der Böschungswinkel des Kieshaufens beträgt 35°. Bestimme den Wert des Haufens, wenn ein Kubikmeter Feinkies 15 € kostet! 146 Aufgabe 11.8 Das Kieswerk 1. 2. 3. V = 115,66 m³ Der Sandvorrat reicht. m = 140 t Man benötigt also 6 Waggons. Diese Aufgabe erlaubt sicherlich viele Lösungsnuancen. r 45,7 h ; V 13 r 2 h 2275,09 h 3 4. h 2,57 m VBeton = 116 2/3 m³ VPlatte = 1,2 m² Er kann 97 Platten herstellen. 5. 6,00 Höhe in m 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 0 2 4 6 8 Tage 6. 7. tan = 1,0638...; = 46,77° h 4,2 m V 158,34 m³ Wert = 2375 € 10 12 14 16 147 Aufgabe 11.9 Weingefäße Wein wird aus einer 0.75 Liter fassende Weinflasche vollständig in drei Gläser eingeschenkt. Dabei soll der Inhalt gleichmäßig auf alle drei Gläser verteilt. Unglücklicherweise hat jedes Glas eine andere Form. Es handelt sich dabei um einen Zylinder, eine Halbkugel mit aufgesetztem Zylinder und einen Kegel (Skizze). 1. Wie viel Wein enthält jedes Glas bei einer Füllhöhe von 10 cm? 2. Gib für die Gläser 1 und 3 jeweils einen Term an, der die Menge der Flüssigkeit in Anhängigkeit von der Füllhöhe beschreibt. Stelle die Zuordnung graphisch dar. 3. Wie sieht der Funktionsgraph für Glas 2 aus? Skizziere seinen Verlauf. 4. Bestimme für jedes Gefäß die Einfüllhöhe, wenn man nun den Inhalt der Weinflasche gleichmäßig auf alle drei Gläser verteilt. 5. Denke dir eine Gefäßform aus und bearbeite damit Teilaufgabe 2. 148 Lösungshinweise 11.9 Weingefäße V r 2 h , dabei ist r = 3cm. 4 V r 3 r 2 (h 3) für h > 3 cm, dabei ist r = 3cm. Halbkugel + Zylinder: 3 r 3 V r 2 h , dabei muss r mit Hilfe des Strahlensatzes berechnet werden. Kegel: 3 h 20 4 1 1 2 3 h h . Daher ist V ( h) h h und damit r 20 5 3 5 75 Zylinder: 1. 2. 90 , 305/3* , 40/3* s.o. 3. In jedes Gefäß muss 250 cm³ eingefügt werden. 4. Die gesuchte Höhe ist bei Glas 1 ungefähr 7,84 cm bei Glas 2 ungefähr 8,84cm bei Glas 3 ungefähr 18,14 cm. 149 Aufgabe 11.10 Salmonellen 1. 2. 3. 4. 5. Eine Cremetorte wird um 10°° Uhr hergestellt und mit 500 Salmonellen verunreinigt. Solche Verunreinigungen sind unvermeidbar und für den Menschen unbedenklich. Wie entwickelt sich die Salmonellenzahl bis 15°° Uhr bei 37°C? Untersuche die Entwicklung der Salmonellenzahl in den anderen beiden Umgebungen für diesen Zeitraum! Stelle zu jeder Umgebung eine Funktionsgleichung auf! Wie viel Prozent der ursprünglichen Salmonellenmenge hat man jeweils um 15°° Uhr in allen drei Umgebungen? Selbst widerstandsfähige Menschen können durch 3 000 000 Salmonellen ernsthaft erkranken. Ab wann sollten sie, je nach Lagerung, auf den Genuss der Torte verzichten? 150 Lösungshinweise 11.10 Salmonellen 1. Zeit Anzahl 10:00 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000 Eine Darstellung als Diagramm würde die Aufgabe auch beantworten. 2. Die Salmonellenzahl im kühlen Keller würde auf 500 um 12:30 Uhr und auf 1000 um 15:00 Uhr steigen. Im Kühlfach würde die Anzahl nur auf 2 3. 5 48 und damit ungefähr 537 steigen. x beschreibt die Stunden. Bei 37° : y = 2x x Im kühlen Keller: y = 2 2,5 Im Kühlfach: y = 2 48 4. Bei 37° : Im kühlen Keller: Im Kühlfach : 51200 % 200 % 1,07 % 5. Lösung zu Aufstellen der entsprechenden Exponentialgleichung : Bei 37° : 3 000 000 = 2 x . Es ergibt sich ungefahr 21 Stunden. x Im kühlen Keller: und 5 Stunden. Im Kühlfach : ungefähr 43 Tage. 3 000 000 = 2 x 2,5 3 000 000 = 2 x 48 . Es ergibt sich ungefähr 53 Stunden, also 2 Tage Es ergibt sich ungefähr 1033 Stunden, also 151 Aufgabe 11.11 Sauerstoffflasche Der Innenraum einer Sauerstoffflasche besteht aus einem Zylinder, auf dessen Grundfläche je eine Halbkugel aufgesetzt ist. Die Gasflasche hat außen die gleiche Gestalt. Die Maße des Innenraumes sind in der Skizze gegeben. 160 mm 1500 mm 1. 2. 3. Zeichne einen maßstäblichen Längsschnitt durch den Innenraum der Flasche. Berechne das Volumen des Innenraumes. Die Flasche hat eine Wanddicke von 1 cm und besteht aus Eisen mit der Dichte 7,87 4. 5. 6. g cm 3 . Welche Masse hat die leere Gasflasche? Die gefüllte Flasche hat eine Masse von 74,6 kg. Wie groß ist der Anteil der Sauerstoffmasse an der Gesamtmasse der Flasche in Prozent? Wie groß ist die Dichte des Sauerstoffes in der Flasche? In der Flasche herrscht ein Gasdruck von 270 bar. Der Normaldruck in der Atmosphäre beträgt 1 bar. Wenn Gas aus der Flasche entnommen wird, hat es außerhalb der Flasche den Normaldruck. Außerdem ist bekannt, dass der Zusammenhang zwischen dem Druck und dem Volumen eines Gases eine Antiproportionalität ist. Welches Gasvolumen kann man der Flasche entnehmen? m3 Sauerstoff benötigt. Wie lange kann man mit der h 7. Bei einer Anwendung werden 1,2 8. gefüllten Sauerstoffflasche arbeiten? Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Druck und der Dichte eines Gases? Errechne die Dichte von Sauerstoff unter Normaldruck aus den Daten der Aufgabe. Vergleiche mit dem Literaturwert. Wie groß ist die prozentuale Abweichung? 152 Lösungshinweise 11.11 Sauerstoffflasche 2. Es handelt sich um eine Kugel mit Radius 8 cm und einen Zylinder mit Radius 8 cm 4 3 und Höhe 134 cm. V r 3 r 2 h 29087 cm 3 29,1l . 3. Es handelt sich um eine Kugel mit Radius 9 cm und einen Zylinder mit Radius 9 cm und 4 3 Höhe 134 cm. V r 3 r 2 h 37152 cm 3 37 ,2l . Damit ergibt sich ein Wandvolumen von 8065 cm 3 mit einer Masse m V 63,5kg 4. Die Masse des Sauerstoffs beträgt 11,1kg . Das sind 14,9% der Gesamtmasse 5. 6. Bei Antiproportionalität liegt Produktgleichheit vor: 270 29,1 7857 . Somit können etwa 7,9m 3 entnommen werden. 7. 8. g m 0,381 . V cm 3 7,857 m 3 m3 1,2 h 6,5h Wegen der Produktgleichheit gilt pV k mit einer Konstanten k. Wegen V p gilt k . Somit besteht Quotientengleichheit, also p ist Proportional zu ρ. Bei m g 0,381 cm 3 0,001411 g . Der Normaldruck ergibt sich somit eine Dichte 270 cm 3 p m m k Literaturwert beträgt 0,001429 g cm 3 . Das entspricht einer Abweichung von etwa 1,3%. 153 Aufgabe 11.12 Blumenkübel Die Promenade eines Seebades erhält neue 50 cm hohe Blumenkübel aus Stahlblech. Es wurden drei verschiedene Formen ausgewählt. Form 1 Quader mit quadratischer Grundfläche; Grundkantenlänge = 1,20 m 1,20 m Form 2 Zylinder Durchmesser der Grundfläche = 1,20 m 1,20 m 1,20 m Form 3 Pyramidenstumpf mit quadratischen Grundflächen 0,50 m 0,80 m 1. 2. 3. 4. Wie groß ist jeweils die Fläche, die für Bepflanzungen zur Verfügung steht? Im Spätsommer sollen die Kübel mit Stiefmütterchen bepflanzt werden. Wie viele Pflanzen müssen je Blumenkübel bestellt werden, wenn 45 Pflanzen pro m2 gesetzt werden sollen? Wie viel m3 Erde müssen je Blumenkübel gekauft werden? Berechnen Sie den Materialverbrauch pro Blumenkübel und berücksichtigen Sie, dass für Lötfalze zusätzlich 9% bei der 1. Form, 5% bei der 2. Form und 7% bei der 3. Form benötigt werden! 154 5. Die für die Fußgänger sichtbaren Flächen sind mit Fichtenholz von 5 mm Dicke verkleidet worden. 1 cm3 Fichtenholz wiegt 0,54 g. Berechnen Sie das Gewicht der Holzverkleidung für die einzelnen Formen! 155 Lösungshinweise 11.12 Blumenkübel 1. Die für Bepflanzungen zur Verfügung stehende Fläche beträgt bei Form 1 und Form 3 jeweils 1,44 m2, bei Form 2 sind es (0,6m)2 = 0,36 m2 1,13 m2. 2. 1,44 · 45 = 64,8 65 und 0,36·45 = 50,89... 51 Für die Bepflanzung müssen 65 Pflanzen je Kübel der Formen 1 und 3 und 51 Pflanzen je Kübel der Form 2 bestellt werden. V1 = (1,20 m)2 ·0,50 m = 0,72 m3 V2 = ·(0,6 m)2 ·0,5 m = 0,5654... m3 0,565 m3 3. V3 = 4. 5. 1 0,5m (0,64m2 3 0,8m 1,2m 1,44m2 ) 0,507m3 Für jeden Blumenkübel der Form 1 (2; 3) müssen 0,72 m3 (0,565 m3; 0,507 m3) Blumenerde gekauft werden. O1 = 1,44 m2 + 4 ·1,2 m ·0,5 m = 3,84 m2 M1 = 3,84 m2 ·1,09 = 4,1856 m2 4,19 m2 O2 = · 0,36 m2 + 2 ·0,6 m ·0,5 m = 3,0159... m2 3,02 m2; M2 = 3,02 m2 ·1,05 3,17 m2 Für Form 3 (Pyramidenstumpf) muss die Höhe hS einer Seitenfläche berechnet werden.. h S (0,5m) 2 (0,2m) 2 0,5385...m 0,54m O3 = 0,64 m2 + 4 ·(0,6 m + 0,4 m) ·0,54 m = 2,8 m2 M3 = 2,8 m2 · 1,07 3,00 m2 Der Materialverbrauch pro Blumenkübel beträgt bei Form 1 (Form 2; Form 3) ca. 4,19 m2 ( ca. 3,17 m2; ca. 3,00 m2). G1 = (4 ·1,2 m ·0,5 m ·0,005 m) ·0,54 kg/m3 = 12 ·0,54 kg = 6,48 kg G2 = (2 ·0,6 m ·0,5 m·0,005 m) ·0,54 kg/m3 9,425 ·0,54 kg 5,090 kg G3 = (4 ·(0,6 m + 0,4 m) ·0,54 m·0,005 m) ·0,54 kg/m3 = 5,832 kg Die Holzverkleidung der Blumenkübel wiegt bei Form 1 (Form 2; Form 3) 6,48 kg (ca. 5,090 kg; 5,832 kg). 156 Aufgabe 11.13 Konservendosen 1. a) b) Konservendosen sind in Europa genormt. Eine große Dose Ananas hat z.B. einen Durchmesser von 9,8 cm und eine Höhe von 11,3 cm. Die folgenden Aufgaben beziehen sich alle auf diese Dosengröße. Berechne, wie viel ml in die Dose gefüllt werden können. Konservendosen werden rundum mit einem Beschriftungspapier beklebt, das sich 1 cm überlappt. Welche Maße hat das Etikett der Ananasdose? Wie groß ist der Flächeninhalt? 2. Die Dosen werden aus drei Blechteilen durch Falzen (Umschlagen) der Deckel- und Bodenränder zusammengesetzt. Beim Schneiden der Teile entsteht Abfall, außerdem müssen sich die Teile überdecken, so dass man sie durch Falze verbinden kann. Hierzu braucht man insgesamt 10% mehr Blech, als der Oberfläche der Dose entspricht. a) Wie viel m2 Blech braucht eine Dosenfabrik für die Tagesproduktion von 25.000 Dosen mit obigen Maßen? 24 dieser Ananasdosen sollen in einen quaderförmigen Karton gepackt werden. Nenne zwei sinnvolle Kartongrößen (Länge, Höhe, Breite), in die 24 Dosen genau hineinpassen. b) 3. a) b) Wenn man eine der Dosen in eine genau passende quaderförmige Pappschachtel packt, bleibt etwas Luft, d.h. ein Volumen, das zum Quader und nicht zum Dosenzylinder gehört. Wie viel % mehr Volumen hat der Quader gegenüber der zylindrischen Dose? Zeige, dass dieser Prozentsatz unabhängig ist vom Radius r und von der Höhe h des Dosenzylinders und den Maßen der genau dazu passenden Pappschachtel. 157 Lösungshinweise 11.13 Konservendosen 1. a) b) 2. a) b) 3. a) b) V = π · 4,92 · 11,3 cm3 ~ 852,35 cm3 ~ 850 ml F = 11,3 cm · (2π·4,9 + 1) cm ~ 359,23 cm2 Oberfläche O einer Dose: O = (2π·4,92 + 2π·4,9·11,3) cm2 ~ 498,76 cm2 Blechbedarf B für eine Tagesproduktion: B = 498,76 cm2 · 1,1 · 25000 = 1371,59 m2 1. Vorschlag: Karton mit zwei Lagen à 4 · 3 = 12 Dosen Maße: (4 · 9,8 cm) x (3 · 9,8 cm) x (2 · 11,3 cm) ~ 40 cm x 30 cm x 23 cm 2. Vorschlag: Karton mit 4 Lagen á 3 · 2 = 6 Dosen Maße: (2 · 9,8 cm) x (3 · 9,8 cm) x (4 · 11,3 cm) ~ 20 cm x 30 cm x 46 cm Volumen VQ des Quaders: VQ = 9,8 · 9,8 · 11,3 cm3 = 1085,25 cm3 Volumen VD der Dose : VD ~ 852,35 cm3 (s. 1a)) VQ : VD = 1,2732 , also hat der Quader 27,32% mehr Volumen. Allgemein: VQ : VD = [(2πr) 2 · h] : [πr2 · h] = 1,2732 , also hat der Quader unabhängig von den entsprechenden Maßen 27,32% mehr Volumen. 158 Aufgabe 11.14 Schokoladenformen Die beiden Schokoladen wiegen jeweils 100 g, sie haben dasselbe Volumen, aber verschiedene Formen: Sorte R Sorte M 12 mm 90 mm 90 mm 75 mm 160 mm 1. a) Berechne jeweils das Volumen der Schokoladensorte R. b) Welche Höhe hat die Schokoladensorte M? 2. Beide Schokoladen sind in Folien eingepackt, deren Ränder maschinell verschweißt werden. Diese Folien sind rechteckig und haben die Maße: 12,1 cm x 23 cm bzw.18,5 cm x 21 cm. a) Berechne die Flächengröße der beiden Verpackungspapiere. b) Wie viel % Verpackungsmaterial lässt sich sparen, wenn sich der Hersteller für die Schokoladenform mit der kleineren Oberfläche entscheidet? 3. Frau Müller will für ihre Enkelkinder zylinderförmige Osterkörbchen aus Bastelpappe herstellen, in die jeweils 2 Tafeln der Sorte R und 55 Schokokugeln mit dem Durchmesser von 1,2 cm gelegt werden sollen. Der verbleibende Luftraum soll mit Papiergras gefüllt werden. a) Welchen Radius muss das Körbchen mindestens haben? Frau Müller wählt als Radius 7,5 cm und als Höhe 4 cm. b) Zeige, dass die 55 Schokokugeln noch in das Körbchen passen, ohne dass sie überstehen. c) Wie viel ml Papiergras passen höchstens noch in das Körbchen hinein? 159 Lösungshinweise 11.14 Schokoladenformen 1. a)/b) Volumen V der Schokoladen: V = 9 · 9 · 1,2 cm3 = 97,2 cm3 Höhe h der Sorte M : h = 97,2 : (16·7,5) cm = 0,81 cm 2. a) F(Sorte R) = 12,1 · 23 cm2 = 278,3 cm2 F(Sorte M) = 18,5 · 21 cm2 = 388,5 cm2 b) p% = 278,3 : 388,5 ~ 0,7163 , also lassen sich 28,37% Verpackungsmaterial einsparen, wenn Sorte R hergestellt wird. 3. a) Der Durchmesser d des Körbchens muss mindestens so groß wie die Diagonale des Schokoladenquadrates sein. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: d2 = 92 + 92 = 162, also d ~ 12,73 (cm) Der Radius des Körbchens muss also mindestens 6,37 cm groß sein. b) Die beiden Schokoladen haben eine Höhe von 2,4 cm, es passt also noch eine Lage Schokokugeln auf die Schokoladen. Auf die Fläche einer Schokolade passen 7 · 7 = 49 Schokokugeln, denn 9 cm : 1,2 cm = 7,5. Der Durchmesser des Körbchens beträgt 15 cm, die Schokoladen sind 9 cm breit. Also ist die Lücke zwischen Schokolade und Körbchenrand an 4 Stellen maximal 3 cm breit, Platz genug um bei einer Höhe von 4 cm noch die restlichen 6 Schokokugeln unterbringen zu können. c) V(Korb) = π · 7,52 · 4 cm3 ~ 706,86 cm3 V(55 Kugeln) = (4/3 · 0,63 · π cm3) ~ 49,76 cm3 V(Luft) = (706,86 – 49,76 – 2 · 97,3) cm3 = 462,7 cm3 Frau Müller benötigt also ca. 0,5 l Papiergras. 160 Aufgabe 11.15 Firmenlogo An der Fabrikhalle einer Firma ist einen Firmenlogo angebracht, das aus einer dreieckigen Metallplatte ABC und einer dreieckigen Glasplatte EDC besteht. D 3 m 20° 3m C F 3m E 60° A B 2,50 m 1. 2. 3. 4. Berechne die Flächeninhalte der beiden Dreiecke ABC und EDC. Begründe, dass das überstehende Dreieck FDC den Flächeninhalt 189 dm2 hat. Wie viel % der Metallplatte werden von der Glasplatte überdeckt? Gegenüber der Fabrikhalle wird im Abstand von 5 m ein Lampenmast errichtet. An diesem befindet sich in gleicher Höhe wie der Punkt B des Logos ein nach unten und oben schwenkbarer Strahler. Wie groß muss der Abstrahlwinkel des Strahlers sein, damit der Balken BC vollständig angestrahlt wird ? Begründe deine Antwort durch eine entsprechende Skizze und Rechnung ! Logo Fabrikhalle Abstrahlwinkel Lampenmast 161 Lösungshinweise 11.15 Firmenlogo 1. BC BC 4,33 m 2,5 A Dreieck ABC = 5,41 m2 h sin 20° = ED h = 1,03 m 3 1 ED 2 cos 20° = ED 5,64 m 3 A Dreieck EDC = 2,90 m2 tan 60° = 2. D 3 m 20° C 3m F 20° 3m E 60° A B 2,50 m = 30° ; = 140° ; = 110° ; = 50° sin 110 FD FD 3,68 m sin 50 3 A Dreieck FDC = 1 3,68 1,03 1,89 m2 (mit ungerundeten Werten gerechnet) 2 1,89 m2 = 189 dm2 3. A Dreieck EFC = 2,90 – 1,89 = 1,01 1,01 18,7% 5,41 162 Aufgabe 11.16 CD-Spieler Der Sensor eines CD-Spielers kann mit einer Fernbedienung angesprochen werden, wenn diese nicht zu weit entfernt ist und sich in einem bestimmten Winkelbereich befindet. Der horizontale Bereich, in dem die Fernbedienung wirksam ist, ist in der Abbildung 1 dargestellt. 1. 2. 3. 4. 5. 5m Sensor 60° Wie groß ist die maximale Breite des Bereiches? Abbildung 1 In welchem Abstand vom Sensor wird die maximale Breite erreicht. Der Sensor steht in einem Zimmer genau in 5m der Mitte der kürzeren Wand wie in der Abbildung 2 dargestellt. Wie groß ist der Anteil an der Zimmerfläche, in dem die Fernbedienung benutzt werden kann? 4m Wie ändert sich der Anteil, wenn der Sensor Sensor genau in einer Zimmerecke steht? Von der Fernbedienung aus breitet sich das Signal für den Sensor in Form einer Halbkugel aus. Die Sendeenergie verteilt Abbildung 2 sich also auf die Fläche einer Halbkugel. Bei der bisher betrachteten Fernbedienung reicht die Energie in einem Abstand von 5 m gerade noch für den Sensor aus. Wie weit ist die Reichweite einer anderen Fernbedienung mit doppelter Sendeenergie? 163 Lösungshinweise 11.16 CD-Spieler 1. g Wegen g r sin30 2,5 beträgt die maximale Breite 5 m. 30° 2. Es ist d r cos30 4,33 . Also wird sie im Abstand von etwa 4,33 m erreicht. 3. Aus der Abbildung ist zu entnehmen: x 2 tan60 3,46 . Damit gilt für die Dreiecksflächen an der linken Zimmerwand AD gh 3,46 m 2 . 2 d x 2 AD AK 60° Zu berechnen ist die Fläche der Reststücke an der rechten Seite. Es ist sin , also 23,6 . Die Fläche des 2 5 Kreissektors mit dem Winkel beträgt dann AK r 2 360 5,15 m 2 . Das Dreieck oberhalb des Kreissektors hat den Winkel 90 66,4 . Es ist s 2 tan90 4,58m , also AD1 4,58m 2 .Damit ist AR 10m AK AD1 0,27m . 2 2 AR s 2 AD1 90°- Von den oberen 10m 2 wird durch den Sensor somit nicht abgedeckt eine Fläche von 3,46m 2 0,27m 2 3,73m 2 . Der Anteil der Zimmerfläche, in der die Fernbedienung nicht benutzt werden kann, beträgt somit rund 37%. 4. AK Wenn der Sensor in der Ecke des Raumes steht, ist nur die Fläche eines Kreissektors mit Winkel 60° zu bestimmen. r 2 360 60 13m 2 . Der nicht überdeckte Rest des Zimmers hat eine Fläche von etwa 7m 2 . Das entspricht 35%. 5. Für die Fläche einer Halbkugel gilt A 2r 2 . Wenn I 0 die ausgestrahlte Intensität ist, hat die Intensität im Abstand r den Wert ist I0 2r 2 60° . Sei r1 die Reichweite der stärkeren Fernbedienung. Dann I0 2I 0 r1 2 5 7,1 2 25 2r12 164 Aufgabe 11.17 Dachzimmer Eva erhält unter dem Dach ein neues Zimmer. Eine Grundrisszeichnung und eine Schnittzeichnung liegen bereits vor. (Alle Angaben in Meter! Bitte auf zwei Nachkommastellen runden) 1,65 40° 1,00 1,50 Vorhang 2,00 SCHNITT 1,00 Schlafbereich Bett 1,20 GRUNDRISS 4,00 1,00 3,00 1,30 0,80 2,40 Wohnflächenberechnung: Bei Räumen mit einer lichten Höhe von... mindestens 2 m mindestens 1 m und höchstens 2 m weniger als 1 m 1. 2. 3. 4. 5. 6. ..... wird angesetzt die volle Grundfläche die halbe Grundfläche eine Anrechnung Übertrage die Pläne im Maßstab 1 : 50 auf Millimeterpapier. Welche Grundfläche hat das Zimmer? Bei der Wohnflächenberechnung für die Miete oder das Finanzamt werden die Flächen unter den Dachschrägen gemäß obiger Tabelle ermittelt. Wie groß ist die Wohnfläche demnach, wenn die Dachgaube zunächst unberücksichtigt bleibt? Um die Wohnfläche zu erhöhen, soll auf eine Dachfläche eine 3 m breite und 1 m tiefe Dachgaube gesetzt werden (s. Schnitt). Um wie viel Prozent kann dadurch die Wohnfläche vergrößert werden? Die der Dachgaube gegenüberliegende Dachschräge soll von innen mit Holz verkleidet werden. Wie viel m2 Holz müssen mindestens gekauft werden, wenn 15% Verschnitt eingerechnet wird? Eva möchte mit einem Vorhang ihren Schlafbereich abtrennen. Welche Höhe muss der Vorhang haben, wenn er bis zum Fußboden reichen soll? 165 Lösungshinweise 11.17 Dachzimmer 1. – 2. 3. Grundfläche G = 3 m · 5 m + 4 m · 4,5 m = 33 m2 tan 40° = 1 m : x , daraus folgt x ~ 1,20 m Es ergibt sich eine Wohnfläche W = G – 0,5 · (5m + 4 m) · 1,2 m = 27,6 m2 4. Die Dachgaube überspannt eine Fläche von 3 m2, 3 m2 unter der Dachschräge können also bei der Wohnflächenberechnung voll statt halb berechnet werden, die Wohnfläche erhöht sich um 1,5 m2 auf 29,1 m2. 1,5 : 27,6 ~ 0,054 = 5,4% , also erhöht sich die Wohnfläche um 5,4 %. sin 40° = 1,5 m : x , daraus folgt x = 2,33 m. Dachschrägenfläche D = 2,33 · 4 m2 = 9,32 m2 Holzbedarf H = 9,32 m2 · 1,15 = 10,718 m2 ~ 11 m2 tan 40° = x : 1,2 m , daraus folgt x ~ 1 m Der Vorhang muss 2 m lang sein. 5. 6.
