¨Ubungsaufgaben zur Topologie II

Übungsaufgaben zur Topologie II
Prof. Dr. C.-F. Bödigheimer, V. Ozornova
Sommersemester 2012
Blatt 5
Abgabe: Mi, 9.5.2012, in der Vorlesung
Erste Definition der p-adischen Zahlen Qp .
Aus: Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen, von K.Hensel, im Jahresbericht DMV,
Band 6, 1899.
Aufgabe 21. (Vergleichssatz)
Seien (E∗ , ∂ E ) und (F∗ , ∂ F ) zwei Homologietheorien, die das Wedge-Axiom erfüllen, d.h. für beliebige IndexL
e∗ (Xi ) → E
e∗ (W Xi ) sind Isomorphismen
mengen I gilt: Die von Inklusionen induzierte Abbildungen i∈I E
i∈I
(analog für F ). Sei ferner T : (E∗ , ∂ E ) → (F∗ , ∂ F ) eine natürliche Transformation von Homologietheorien, d.h.,
für jedes Paar (X, A) liefert T Abbildungen Tn (X, A) : En (X, A) → Fn (X, A), die mit den induzierten Abbildugen in E- bzw. F -Homologie sowie mit den Verbindungshomomorphismen verträglich sind. Zeigen Sie, dass
T∗ (X) für alle endlichdimensionale CW-Komplexe X einen Isomorphismus liefert, falls T∗ (pt) ein Isomorphismus
ist.
Aufgabe 22. (Inverser Limes I)
Sei I eine kleine Kategorie, C eine beliebige Kategorie und F : I → C ein Funktor. Ein Limes von F ist ein
Objekt limI F von C zusammen mit Morphismen ηi : limI F → F (i) für jedes i ∈ Ob(I), welche die beiden
folgenden Bedingungen erfüllen:
• Sind i, j ∈ Ob(I) und f ∈ MorI (i, j), so gilt F (f ) ◦ ηi = ηj .
• Es sei X ein Objekt von C und für jedes Objekt i ∈ Ob(I) sei ein Morphismus λi : X → F (i) so gegeben,
dass F (f ) ◦ λi = λj gilt falls i, j ∈ Ob(I) und f ∈ MorI (i, j). Dann gibt es genau einen Morphismus
ϕ : X → limI F mit ηi ◦ ϕ = λi für alle i ∈ Ob(I).
Der Begriff “Limes” ist also dual zum Begriff “Kolimes”, und viele Aussagen über den Limes sind dual zu den
entsprechenden Aussagen über den Kolimes.
Analog zum “direkten Limes”, einem Spezialfall des Kolimes, betrachtet man auch den inversen Limes, der ein
Spezialfall vom Limes ist (leider ist der Sprachgebrauch an dieser Stelle etwas irreführend.) Der inverse Limes
lim F ist definiert als Limes von einem Funktor F : I → C, wobei I op eine gerichtete Kategorie ist.
←−
Beweisen Sie:
1
1. Jeder Funktor F : I → K-Mod besitzt einen Limes. Hierbei bezeichnet K-Mod die Kategorie der K-Moduln
über einem festen Ring K. Zeigen Sie ferner: Für einen Funktor F : Nop → Z-Mod kann der inverse Limes
lim F mit dem Kern der folgenden Abbildung identifiziert werden:
←−
Y
(pri −F (i+1→i)◦pri+1 )i Y
F (i) −−−−−−−−−−−−−−−−→
F (i)
i∈N
i∈N
2. Jeder Funktor F : I → coChK besitzt einen Limes, wobei coChK die Kategorie der Kokettenkomplexe über
K bezeichnet.
3. Sei F wieder ein Funktor F : I → coChK . Die Projektionen ηi induzieren einen natürlichen Homomorphismus Φ : H ∗ (limI F ) → limI H ∗ (F ).
Aufgabe 23. (Inverser Limes II)
1. Wir wollen zeigen, dass inverser Limes linksexakt, aber nicht rechtsexakt ist. Seien Funktoren F, G, H :
Nop → Z-Mod und natürliche Transformationen α : F → G, β : G → H derart vorgegeben, dass für alle
n ∈ N die Sequenzen
α(n)
β(n)
0 → F (n) −−−→ G(n) −−−→ H(n) → 0
exakt sind. Zeigen Sie, dass dann die Sequenz
0 → lim F → lim G → lim H
←−
←−
←−
exakt ist. Zeigen Sie ferner an einem Beispiel, dass die von β induzierte Abbildung nicht notwendigerweise
surjektiv ist. (Tipp: Betrachten Sie die exakten Sequenzen 0 → Z → Z → Z/pn → 0.)
2. Folgern Sie daraus, dass die Abbildung aus dem Teil 3 Aufgabe 22 im Allgemeinen kein Isomorphismus
ist. (Das ist anders als im Fall der direkten Limiten, vgl. Aufgabe 40(e) aus Topologie I).
Aufgabe 24. (Der abgeleitete Funktor lim1 )
Sei F : Nop → Z-Mod ein Funktor. Wir definieren
1
lim F := coker
Y
(pri −F (i+1→i)◦pri+1 )i
F (i) −−−−−−−−−−−−−−−−→
!
Y
F (i)
i∈N
i∈N
1. Zeigen Sie, dass es in der Situation der Aufgabe 23.1 eine exakte Sequenz der Form
0 → lim F → lim G → lim H → lim1 F → lim1 G → lim1 H → 0
←−
←−
←−
existiert.
2. Zeigen Sie: Sind die Abbildungen F (i + 1 → i) alle surjektiv, so gilt lim1 F = 0.
*-Aufgabe 25. (Kohomologie und Kolimes)
Wir wollen zeigen, dass für eine Sequenz von Unterkomplexen X0 ⊂ X1 ⊂ . . . ⊂ X eines CW-Komplexes X mit
X = ∪Xi nicht notwendigerweise H n (X) ∼
H n (Xi ) gilt. Betrachten Sie dazu die exakte Sequenz
= lim
←−
M
M
0→
Z→
Z→Q→0
n∈N
n∈N
1
wobei die Abbildungen durch 1n 7→ `
1n − (n + 1)
W· 1n+11 bzw. 1n 7→ n! gegeben sind. Realisieren Sie die erste
1
Abbildung in H1 als eine Abbildung n∈N S → n∈N S (vgl. Aufgabe 20 aus Topologie I.) Betrachten Sie den
2-dimensionalen Zellenkomplex Z, der durch Ankleben von Zellen entlang dieser Abbildung entsteht. Finden
Sie eine Folge von Unterkomplexen Z0 ⊂ Z1 ⊂ . . . ⊂ Z von Z mit Z = ∪Zi und H 2 (Zi ) = 0. Zeigen Sie
außerdem, dass H 2 (Z) 6= 0 ist. (Tipp: Sie können die Folge so wählen, dass H1 (Zi ) = Z und die Inklusion gerade
die Multiplikation mit i induziert. Für die Berechnung von H 2 (Z) können Sie beispielsweise das universelle
Koeffiziententheorem und die obige exakte Sequenz benutzen.)
Die Fachschaft Mathematik feiert am 15.5. ihre Mathe-Party im Goldenen Engel. Ab 22 Uhr werdet
Ihr mit Welcome-Shots begrüßt und an der Bar gibt es Tequila und Fassbier für 1 e! DJ Lost Boy
legt wieder für euch auf. Karten gibt es im VVK für 2 e und an der AK für 4 e. Der VVK findet
Do. 10.5., Mo. 14.5. und Di. 15.5. in der Mensa Poppelsdorf statt.
2