Thema: Einführung der Ableitung mit CAS Derive oder TI 92

Laakmann 14.05.16
Thema: Einführung der Ableitung mit CAS Derive
Mathematische Voraussetzungen: Steigung einer Geraden; Grenzwerte;
CAS – Voraussetzungen: einfache Grundkenntnisse ( Rechenoperationen und Definition von
Funktionen)
Idee der Reihe: Entwicklung einer black box, die für eine beliebige Funktion f(x) die Steigung der
Tangente an einer Stelle a berechnet.
Motivation: 2 Funktionsgraphen sollen so aneinander gezeichnet werden, dass der Übergang
knickfrei oder glatt ist.
(Kreissegmente mit unterschiedliche Radien und unterschiedlichen Mittelpunkten;
Kreissegment und Gerade wie sie beim Bau einer Spielzeugeisenbahn benutzt werden;
Einmündung an einem Autobahnkreuz o.ä.)
Hier kann zur Demonstration von der Lehrerin /vom Lehrer DERIVE eingesetzt werden, um die
glatten Übergänge von den Übergängen mit Knick zu unterscheiden. Man benötigt dazu den
CHI(a,x,b)-Befehl
(CHI(a,x,b) ist gleich 1 für x  [a,b] und sonst 0)
Beispiel: die Funktionen f(x) = x2 und g(x) = x+2 sollen an der Übergangsstelle a=2 zusammengefügt
werden.
Wir geben die Ausdrücke x2 CHI(-inf,x,2) und (x+2) CHI(2,x,inf) ein, (inf steht für  ),
schalten auf das 2D-Graphik-Fenster um und zeichnen die beiden Ausdrücke; evt einmal „hinauszoomen“ (F10 drücken)
Mit dem Voyage 200 erzeugt man zusammengesetzte Funktionen mit dem when Befehl
Im y-Editor wird eingegeben: when(x<2,x²,x+2) und durch F2 ZoomIn und dem neuen
Zentrum (2/4) ist der Übergang mit Knick deutlich sichtbar. Zum Vergleich sollte auch ein
knickfreier Übergang gezeichnet werden.
Aus der Motivation heraus entwickelt man die zentrale Fragestellung:
„Was wollen wir unter einem knickfreien Übergang an einer Stelle a verstehen?“
Verlauf: Man arbeitet mit einer konkreten Funktion f(x) z. B. f(x) = x2 wenn x<2 und x+2 sonst , und
der Stelle 2 und skizziert den Graphen an der Tafel.
Ohne CAS wird an der Tafel durch (2 / f(2)) und einem zweiten Punkt des Graphen eine Sekante
eingezeichnet und deren Steigung als eine Annäherung der Steigung von f(x) an der Stelle 2
betrachtet. Wird der zweite Punkt näher an den Punkt (2 / f(2)) heranrückt, erhält man eine genauere
Annäherung
Konkret: wir berechnen zunächst die Sekantensteigung für f(x) = x2 wenn x<2 und x+2 sonst und
04
 2.
02
f (3)  2 5  4

Nehmen wir als zweiten Punkt (3 / 5), so ergibt sich als Sekantensteigung
=1
32
32
Stelle a =2 . Wir wählen als zweiten Punkt z.B. (0/0) und erhalten als Sekantensteigung:
Ein knickfreier Übergang entsteht dann, wenn der Grenzwert der Sekantensteigungen an der Stelle 2
existiert. Dies ist hier nicht der Fall, da lim
x2
f ( x)  4
f ( x)  4
 1 und lim
 4.
x2
x4
x4
Der Nachweis ist durch Polynomdivision zu ermitteln.
Existiert der Grenzwert der Sekantensteigung, so wird er auch Steigung der Funktion an der Stelle a
genannt, oder auch Tangentensteigung an der Stelle a.
An dieser Stelle kann man sinnvoll das CAS einsetzen und eine white box erarbeiten, die zu einer
beliebigen Funktion f(x) und zwei beliebigen Punkten (a / f(a)) und (b / f(b)) zunächst die Steigung
der Sekante berechnet und anschließend die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle a. Dazu benutzen
wir die Fähigkeit des CAS Funktionen selbst zu definieren. In DERIVE erfolgt dies unter Definieren
D:\68617938.doc
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Laakmann 14.05.16
„Funktionen definieren“. Unter „Name und Argumente geben wir zunächst F(x) ein, ohne eine
Definitionsangabe. Anschließend benennen wir eine Funktion mit MSEK(a,b) und definieren sie durch
(f(b)-f(a))/(b-a). Eine dritte Funktion bezeichnen wir mit STEIGUNG(a) und definieren sie mit
LIM(MSEK(a,b),b,a). Der Bildschirm sieht nun so aus:
Mit dem Voyage 200 definiert man Funktionen über die Engabe Define z.B.
Define f(x)=when(x<2,x²,x+2) oder über when(x<2,x²,x+2) STO f(x)
Die Steigung der Sekante wird mit
f (b)  f ( a )
STO msek(a,b) definiert.
ba
Der linksseitige Grenzwert wird berechnet durch: Limit(msek(a,b),b,a,-1), der rechtsseitige
durch Limit(msek(a,b),b,a,1) und der Grenzwert durch Limit(msek(a,b),b,a). Der letzte
Ausdruck wird unter Steigung(a) abgespeichert.
Da Limit(msek(2,b),b,2,-1)=4 und Limit(msek(2,b),b,2,1)=1 ist, gibt es hier keinen Grenzwert
Limit(msek(2,b),b,2)=Steigung(2)=undef
Der Übergang ist nicht knickfrei.
An dieser Stelle sollte man weitere Funktionen untersuchen und knickfreie Übergänge finden lassen.
Anschließend kann man sich allgemein der Sekanten- und Tangentensteigung zuwenden.
Belegt man nun f(x) mit einem konkreten Funktionsterm z.B.
konkretes a und b die Sekantensteigung ausrechnen lassen
x , so kann man mit MSEK(a,b) für
z.B. MSEK(2,3) = 3  2  0.318 und ebenfalls für ein konkretes a die Steigung bestimmen. Z. B.
STEIGUNG (2.5)  0.316
Behandelt man die Stelle a als Variable, so lautet das Ergebnis: Steigung(a) =
1
2 a
An dieser Stelle kann man die Schülerinnen /Schüler - nach einer Erläuterung des Ergebnisses –
auffordern, weitere Funktionen zu untersuchen und Regeln für die Steigung von f(x) an der Stelle a zu
finden und zu formulieren. Hierzu können alle Funktionen benutzt werden, die aus der Sekundarstufe
1 bekannt sind. Die Schüler/innen erstellen mit der Funktion
STEIGUNG(a)
eine Liste mit den Funktionen und den Steigungen an der Stelle a und entdecken Regelmäßigkeiten,
die sie in Sätzen formulieren.
Wichtig: erst nach Beendigung dieser Übung wird die in DERIVE und Voyage 200 vordefinierte
Funktion bzw. die Schaltfläche freigegeben.
Resümee:
Ohne die z.T. langwierigen und ermüdenden Polynomdivisionen durchzuführen oder Rechentricks
anzuwenden, können die Schüler/innen die Tangentensteigung von allen bekannten Funktionen
bestimmen und auf Regelhaftigkeiten hin untersuchen. Sie müssen dazu die Definition, die
Begriffsbildung (im Unterrichtsgespräch) genau erarbeiten, überlassen dann die Rechnungen DERIVE
bzw. dem Voyage200 und entdecken aus den vielen Resultaten (in Einzel- oder Partnerarbeit)
Regelmäßigkeiten, die sie schriftlich fixieren.
An diesem Beispiel zeigt sich deutlich eine Verlagerung des Schwerpunktes im Mathematikunterricht.
Wir verzichten hier auf das algorithmische Rechnen (und darüber sollte man sich im Klaren sein),
verschärfen jedoch den Zwang zur exakten Begriffsbildung und geben Raum für entdeckendes Lernen.
D:\68617938.doc
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