Kl-02a - Fachbereich Wirtschaftswissenschaften

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
A
Prof. Dr. H. Rommelfanger
MATHEMATIK I
FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
Klausur vom 11.07.2002
Als Hilfsmittel ist neben Schreibmaterial nur zugelassen:
a. ein Buch „Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler“
entweder von H. Rommelfanger oder D. Ohse;
b. ein einfacher Taschenrechner (mit ein- oder zweizeiligem Display); Magnetkarten und
Zusatzmodule dürfen nicht verwendet werden!).
Das Schreiben mit Bleistift ist nicht gestattet!
Die Lösungen sind so ausführlich darzustellen, daß der Lösungsweg nachvollzogen werden kann!
1.
a. In einer Kleinstadt leben 10.000 volljährige Personen, davon sind 55% weiblichen
Geschlechts.
50% der (volljährigen) Einwohner dieser Stadt sind Kfz-Halter, darunter 1000 Frauen.
Tragen Sie diese Angaben in ein geeignetes Venn-Diagramm ein und ermitteln Sie die
Anzahl der (volljährigen) männlichen Personen, die nicht Kfz-Halter sind.
b. Welche reellen Zahlen genügen der Ungleichung
3x  5
 4x?
5x
(10)
2.
Berechnen Sie die folgenden Summen und Produkte
6
5
a.   ( j2 k  3 j  4k 2 )
j 1 k  2
3  2i
i  2 i  2
1
b. 43 
16
c.   15  2 j (1)19  j
j  1
j 3 
(12)
3.
a. Am Ironman-Rhein-Main in Frankfurt nehmen 90 Personen teil. Wie viele Möglichkeiten
gibt es, die Plätze 1, 2 und 3 zu besetzen?
b. Nach dem Wettbewerb werden von den auf den ersten 10 Plätzen eintreffenden Teilnehmern der erste und dann zufällig zwei weitere zur Doping-Kontrolle gebeten. Wie
viele Möglichkeiten gibt es, wenn die 10 Erstplatzierten schon bekannt sind?
2
c. Ironman Peter Zack hat sein Rennrad mit einer Kette gesichert, deren Zahlenschloss 4
Ziffernreihen mit jeweils den Ziffern von 0 bis 9 aufweist. Aus Sicherheitsgründen
schreibt er sich nicht die exakte Ziffernfolge auf, sondern nur deren Quersumme. Als er
nach der Siegerehrung das Fahrradschloss öffnen will, fällt ihm nicht mehr die richtige
Zahlenkombination ein. Wie viele verschiedene Zahlenkombinationen muss er zum
Öffnen der Kette maximal überprüfen, wenn er seinem Notizblock entnimmt, dass die
Quersumme 14 beträgt.
d. Als Peter Zack erschöpft zu Hause ankommt, möchte er sich zur Belohnung einen Cocktail mixen. Zur Auswahl stehen neben Vilbeler Mineralwasser, Orangensaft, Zitronensaft,
Wodka und Cointreau. Sein Cocktail-Glas fasst 7 Messeinheiten.
Wie viele verschiedene Cocktails kann er zubereiten, wenn er als Sportler mindestens 3
EH Mineralwasser in den Cocktail geben will, andererseits aber kein reines Mineralwasser
trinken möchte.
(13)
4.
a.
Der Student M. A. Nager möchte sich am 01.01.2003 ein Cabriolet des Typs "Grandezza
XR 7" kaufen. Dabei stehen ihm die drei folgenden Finanzierungsmodelle zur Auswahl:
i.
Er leistet eine Anfangszahlung in Höhe von 15.000 € in bar und fünf Jahre lang nachschüssige Jahresraten über 2500 €. Am 01.01.2008 ist noch eine Schlusszahlung über
5.000 € fällig.
ii. Er leistet eine Anfangszahlung in Höhe von 5.000 € und sechs Jahre lang
vierteljährliche nachschüssige Raten über 1.200 €.
iii. Er zahlt 7 Jahre lang, jeweils zum 1. Januar Jahresraten in Höhe von 5.000 €.
Für welche dieser Alternativen soll sich Nager entscheiden, wenn eine Alternativverzinsung von 7% p.a. unterstellt werden kann?
b. An Silvester 1989 versprach Willibert seiner Frau Hiltrud einen Diamant-Ring zur
goldenen Hochzeit. Zu diesem Zweck zahlte er ab dem 31.12.90 jährlich DM 1.200 auf
ein Sparkonto ein. Willibert vereinbart mit dem Juwelier G. Oldsilver einen festen
Kaufpreis von DM 30.000 für den Fall, dass Willibert den Ring am Tag der goldenen
Hochzeit bar bezahlt.
Kann Willibert sein Versprechen halten, wenn der Hochzeitstag auf Freitag, den 13.
Dezember 2007 fällt und sein Guthaben auf dem Sparkonto mit 5% jährlich verzinst
wird?
(13)
3
5.
Gegeben ist die Funktion
f ( x )  1 x 2  3x  6 mit D = R
4
a. Untersuchen Sie die Funktion f auf Symmetrie. (Überprüfen Sie Ihre Vermutung!)
b. Geben Sie die (größtmöglichen) Teilintervalle zu D an, in denen f eine Umkehrfunktion
besitzt. Geben Sie die Funktionsgleichung und die Definitionsmenge der Umkehrfunktion(en) an.
c. Auf welche Teilmengen muss D eingeschränkt werden, damit eine Verkettung
h(x) = g  f ( x ) mit g( y) 5 log( y  1) möglich ist. Geben Sie die Funktionsgleichung von
g  f ( x ) an.
d. Berechnen Sie die Elastizität von f(x) an einer Stelle x 0 . Interpretieren Sie dann die
Elastizität an der Stelle x 0  10 .
(14)
6.
Zeichnen Sie in ein cartesisches Koordinatensystem die Mengen
M1  {( x, y)  R 2 | x  xy  y  5}
M 2  {( x, y)  R 2 | 2 y  3 | x  5 |  14}
M  M1  M 2  [1,[ R .
Malen Sie M mit einer hellen Farbe aus! Zeichnen Sie weiterhin kleine Kreise um die Punkte
(4, 3) und (6; 3,5) ein. Verbinden Sie außerdem die Punkte (5, 3) und (5,5; 1,5) bzw. (5, 1)
und (7, 1) durch kräftige Geradenstücke.
(12)
7.
Wenn der Tankstellenbesitzer M. I. Nol pro Woche x Tonnen Benzin verkauft, so entstehen
ihm Gesamtkosten in Höhe von
K(x) = x 3  6x 2  6x  13.600 [Euro].
Auf dem Benzinmarkt herrsche vollkommene Konkurrenz.
a. Wie viel Benzin soll Nol pro Woche verkaufen, wenn er seinen Gewinn maximieren
möchte und der Marktpreis pro Tonne Benzin 1.446 Euro beträgt? Wie hoch ist dann sei
maximaler Gewinn?
b. Ab welchem Marktpreis p lohnt es sich für Nol Benzin am Markt anzubieten?
(Lösungshinweis: 20 ist eine Nullstelle von x 3  3x 2  6.800 )
(16)
4
A
1.
MATHEMATIK I FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
Musterlösungen zur Klausur vom 11.07.2002
a. 50% 10.000  5000  1000  4000
55% von 10.000 = 5.500
weiblich
männlich
1.000
4.000
500 volljährige männliche Einwohner
sind nicht Kfz-Halter.
Kfz-Halter
500
4.500
b.
3x  5
 4x
5x
D = R \ {5}
2. Fall: 5  x
1. Fall: 5  x  0  5  x
 3x  5  20  5x  4x  x
2
x 2  2 x  15
( x  1) 2  16
( x  1)  4
 ( x  1)  4
5  x  3
 x  1  4 oder 4  x  1
 x  5 oder 3  x
L1  [5, 3]
L 2 ] 5,  [
L  [5, 3]  ] 5,   [
2.
54  
14 




2
a.    ( j k  3 j  4k )    j (2  3  4  5)  3 j  4  4(4  9  16  25)

j 1 k  2
 j 1 
6  5
2 
2
6 

6
=  [14 j2  12 j  216]
j 1
91 
21 




= 14 (1  4  9  16  25  36  12 (1  2  3  4  5  6)  6  216
=1.274 + 252 - 1.296 = 230
1 3  2i
b. 43 
i  2 i  2
 43 
3  2 2 3  2 1 3  2 0 3  21



 27  2  54
4
3
2
1
16
15 15
k 1
c.   15  2 j (1)19  j 
(1)19  (k 1)
  k  2
j

1

k  j 1 k  2  
j 3 

5
15
  15  2 k 1 (1)18  k  1  21 (1)18  15  2 2 (1)17
k
k 0  
15
 2  (1) 3   15  2 k (1)15  k  2  15  4
k
k 0  
 2 (2  1)15  2  60  56

1
3.
a. Es gibt V390  90  89  88  704.880 Möglichkeiten die ersten drei Plätze zu belegen.
98
 36 verschiedene Personenauswahlen.
b. Zur Dopingkontrolle gibt es 1  C 92   9  
2
  1 2
c. Peter Zack muss maximal
4
C14
 4C44   4  14  1  4 4  4  1  17   4 7   17   4 7  
 14   4  14   4   3   3 
17  16  15
765

4
= 680 – 140 = 540 Zahlenkombinationen überprüfen.
1 2  3
1 2  3
d. Peter Zack kann ( C15  1)  ( C25  1)  ( C35  1)  ( C45  1)
  5  1  1  1   5  2  1  1   5  3  1  1   5  4  1  1
 1 
 2 
 3 
 4 
65 765 8765
 5  4   6    7    8   1 


 2  3  4
1 2 1 2  3 1 2  3  4
= 1 + 15 + 35 + 70 = 121 verschiedene Cocktails mischen.
4.
a. Berechnung des Kapitalwertes der anfallenden Kosten i = 0,07
i.
n = 5,
K = 15.000,
K i  15.000  2.500
r = 2.500,
1,07 5  1
0,07  1,07 5
 5.000
S = 5.000
1
1,07 5
= 15.000 +10.250,49 + 3.564,93 = 28.815,42
ii. n = 6,
K = 5.000,
3 
0,07 
0,07 3  4 
0,21 


r  1.200  1  j

  1.200 4 
  1.200 4 
  4.926
4 
4
2 
2 


j 0 
4,105
K ii  5.000  4.926
iii. n = 7,
1,07 6  1
0,07  1,07 6
r  5.000  1,07 ,
 28.479,97
K=S=0
6
K iii  5.000  1,07
1,07 7  1
0,07  1,07 7
 28.832,70
Da K ii  K i  K iii , sollte sich Lever für die Alternative ii. entscheiden.
b. 1. Weg:
S = 30.000, r = 1200,
i = 0,05 p.a.,
K = 0,
0,05  30.000  1200
2700
log
log
1200
1200  16,62
n

log 1,05
log 1,05
n=?
Spätestens am 01.01.1990 + 17 Jahre = 01.01.2007 steht die Summe zur Verfügung. Das
ist vor dem 13.12.2007, d. h. Willibert kann sein Versprechen einhalten.
2. Weg:
Kontostand am 31.12.2006 = 01.01.2007, n = 17
S  0  1200
1,0517  1
 31.008.439 ,
0,05
d. h. er kann sein Versprechen einlösen.
5.
f ( x )  1 x 2  3x  6  1 ( x 2  12x  6 2 )  6  9  1 ( x  6) 2  3 .
4
4
4
a. f ist spiegelsymmetrisch zu a = 6, da
f (6  z)  1 (6  z  6) 2  3  1 z 2  3 = f (6  z)  1 (6  z  6) 2  3  1 (z) 2  3
4
4
4
4
b. f besitzt als streng monotone Funktion eine Umkehrfunktion in D1 ]  , 6] und in
D 2  [6,  [ .
In beiden Fällen ist die Bildmenge gleich f (D1 )  f (D2 )  [3,  [ .
y  1 ( x  6) 2  3 
4
y  3  1 ( x  6) 2
4
 4( y  3)  ( x  6) 2
f11 : [3,  [  ]  , 6]
f 21 : [3,  [  [6,  [
 x  62 y3
y
y
 x  62 y3
c. g( y) 5 log( y  1) ist definiert für y + 1 > 0  y > -1
f ( x )  1 ( x  6) 2  3  1  ( x  6) 2  4 2
4
 |x6| 2
x – 6 < -2 oder 2 < x – 6  x < 4 oder 8 < x,
d. h. D muss eingeschränkt werden auf D* ]  , 4[  ] 8,  [
4
h ( x ) 5 log 1 ( x  6) 2  2
d. f ' ( x ) 
1 x  3,
2

 f (x 0 ) 
1 x 2  3x
2
oder gleichwertig
1 x 2  3x  6
4
1
4
( 1 x  3) x
2
( x  6) 2  3
f(10)  201  20
d. h. steigt der x-Wert von x 0  10 aus um 1 %, so steigt y um 20 %.
7
6.
zu M1 : x  xy  y  5
y( x  1)  5  x
1. Fall: x – 1 > 0  x > 1
5x
y
x 1
2. Fall: x < 1
5x
y
x 1
3. Fall: x = 1
04
unmöglich, d.h. die Punkte
(5, y), y  R beliebig
gehören nicht zu M1
Randkurve ist Hyperbel mit dem Zentrum (1, -1) und K 
5 1
12
 4.
zu M 2 : 2y  3 x  5  14
y  7 3 x 5
2
Nach unten geöffneter Winkel mit der Ecke (5, 7).
y
M1
x
M2
M1
7.
a.
G(x )  1.446  x  (x 3  6x 2  6x  13.600)  x 3  6x 2  1.440x  13.600
G' (x )  3x 2  12x  1.440  0  x 2  4x  4  480  4
 (x  2) 2  484  x  2  484  24 oder [x = 2 – 22 = -20]
8
nicht sinnvoll, da <0
G ' ' ( x )  6 x  12
Da G ' ' ( x )  6  24  12  0 , hat G in x=24 ein relatives Maximum.
Da außerdem G(0) = -13.600 und lim G ( x )   ,
x  
hat G in x = 24 auch das absolute Maximum. Demnach soll Nol pro Woche 24 Tonnen
Benzin anbieten, wodurch er einen Gewinn in Höhe von
G(24)  243  6  24 2  1.440  24  13.600  13.824  3.456  34.560  13.600  10.592
[Euro] erzielt.
b. Ein Angebot lohnt sich, wenn der Marktpreis größer (gleich) den minimalen Durchschnittskosten ist.
K(x)
13.600
k(x) 
 x 2  6x  6 
x
x
13.600
k ' ( x )  2x  6 
0
x2
 x 3  3x 2  6.800  0
( x 3  3x 2  6.800) : ( x  20) 
2
x

17

340

x

stets  0 für x  0, d.h. es existiert
keine weitere positive Wurzel
 ( x 3  20x 2 )
17 x 2
 (17x 2  340x )
340x
 (340x  6.800)
Da k ' ' ( x )  2 
2  13.600
x3
0
 0 für alle x  0 , hat k in x = 20 ein relatives und absolutes
Minimum.
k(20) = 400 – 120 + 6 +680 =966, d. h. ab einem Marktpreis von 966 Euro lohnt es sich für
Nol, Benzin anzubieten.
9
Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Prof. Dr. H. Rommelfanger
MATHEMATIK I
FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
Klausur vom 11.07.2002
B
Als Hilfsmittel ist neben Schreibmaterial nur zugelassen:
a. ein Buch „Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler“
entweder von H. Rommelfanger oder D. Ohse;
b. ein einfacher Taschenrechner (mit ein- oder zweizeiligem Display); Magnetkarten und
Zusatzmodule dürfen nicht verwendet werden!).
Das Schreiben mit Bleistift ist nicht gestattet!
Die Lösungen sind so ausführlich darzustellen, daß der Lösungsweg nachvollzogen werden kann!
1.
Berechnen Sie die folgenden Summen und Produkte
6
a. 
5
2
2
 (ik  3k  4i )
k 1 i  2
b.
1 1 12  2 k

4 k  2 k  2
16
c.   15  (1) 21  i  2 i
i  1
i 3 
(12)
2.
a.
Am Volkslauf „Happy Running“ in Bad Clearwater nehmen 90 Personen teil. Wie viele
Möglichkeiten gibt es, die Plätze 1, 2 und 3 zu besetzen?
e. Nach dem Wettbewerb werden von den auf den ersten 10 Plätzen eintreffenden Teilnehmern der erste und dann zufällig zwei weitere zur Doping-Kontrolle gebeten. Wie
viele Möglichkeiten gibt es, wenn die 10 Erstplatzierten schon bekannt sind?
f. Der Teilnehmer Holger Drahtig hat sein Rennrad mit einer Kette gesichert, deren Zahlenschloss 4 Ziffernreihen mit jeweils den Ziffern von 0 bis 9 aufweist. Aus Sicherheitsgründen schreibt er sich nicht die exakte Ziffernfolge auf, sondern nur deren Quersumme.
Als er nach der Siegerehrung das Fahrradschloss öffnen will, fällt ihm nicht mehr die
richtige Zahlenkombination ein. Wie viele verschiedene Zahlenkombinationen muss er
zum Öffnen der Kette maximal überprüfen, wenn er seinem Notizblock entnimmt, dass
die Quersumme 14 beträgt.
10
g. Als Holger Drahtig erschöpft zu Hause ankommt, möchte er sich zur Belohnung einen
Cocktail mixen. Zur Auswahl stehen neben Vilbeler Mineralwasser, Orangensaft,
Zitronensaft, Wodka und Cointreau. Sein Cocktail-Glas fasst 7 Messeinheiten.
Wie viele verschiedene Cocktails kann er zubereiten, wenn er als Sportler mindestens 3
EH Mineralwasser in den Cocktail geben will, andererseits aber kein reines Mineralwasser
trinken möchte.
(13)
3.
a. Im VW-Werk Wolfsburg arbeiten 10.000 volljährige Personen, davon sind 55% männlichen Geschlechts.
50% der Beschäftigten sind Kfz-Halter, darunter 1000 Männer.
Tragen Sie diese Angaben in ein geeignetes Venn-Diagramm ein und ermitteln Sie die
Anzahl der weiblichen Beschäftigten, die nicht Kfz-Halter sind.
c. Welche reellen Zahlen genügen der Ungleichung
30  18x
 12  3x ?
10  2 x
(10)
4.
a.
Frau Saubermann möchte sich am 01.01.2008 eine neue Küche kaufen. Dabei stehen ihr
die drei folgenden Finanzierungsmodelle zur Auswahl:
i.
Sie leistet eine Anfangszahlung in Höhe von 15.000 € in bar und fünf Jahre lang
nachschüssige Jahresraten über 2500 €. Am 01.01.2013 ist noch eine Schlusszahlung
über 5.000 € fällig.
ii. Sie leistet eine Anfangszahlung in Höhe von 5.000 € und sechs Jahre lang
vierteljährliche nachschüssige Raten über 1.200 €.
iii. Sie zahlt 7 Jahre lang, jeweils zum 1. Januar Jahresraten in Höhe von 5.000 €.
Für welche dieser Alternativen soll sich Frau Saubermann entscheiden, wenn eine
Alternativverzinsung von 7% p.a. unterstellt werden kann?
b. Am Neujahrstag 1995 versprach Peter Pan seiner Frau Anna einen Diamant-Ring zur
silbernen Hochzeit. Zu diesem Zweck zahlte er ab dem 31.12.95 jährlich DM 1.200 auf
ein Sparkonto ein. Peter vereinbart mit dem Juwelier P. Latin einen festen Kaufpreis von
DM 30.000 für den Fall, dass Peter Pan den Ring am Tag der silbernen Hochzeit bar
bezahlt.
Kann Peter Pan sein Versprechen halten, wenn der Hochzeitstag auf Freitag, den 13.
Dezember 2012 fällt und sein Guthaben auf dem Sparkonto mit 5% jährlich verzinst
wird?
(13)
11
5.
Zeichnen Sie in ein cartesisches Koordinatensystem die Mengen
M1  {( x, y)  R 2 | 3x  3xy  3y  15}
M 2  {( x, y)  R 2 | y  3 | x  5 | 7}
2
M  M1  M 2  [1,[ R .
Malen Sie M mit einer hellen Farbe aus! Zeichnen Sie weiterhin kleine Kreise um die Punkte
(4, 3) und (6; 3,5) ein. Verbinden Sie außerdem die Punkte (5, 3) und (5,5; 1,5) bzw. (5, 1)
und (7, 1) durch kräftige Geradenstücke.
(12)
6.
Wenn der Heizöllieferant „Brunhilde“ pro Woche x Tonnen Heizöl verkauft, so entstehen ihm
Gesamtkosten in Höhe von
K(x) = x 3  6x 2  6x  13.600 [Euro].
Auf dem Heizölmarkt herrsche vollkommene Konkurrenz.
a. Wie viel Heizöl soll „Brunhilde“ pro Woche verkaufen, wenn er seinen Gewinn
maximieren möchte und der Marktpreis pro Tonne Heizöl 1.446 Euro beträgt?. Wie hoch
ist dann sei maximaler Gewinn?
b. Ab welchem Marktpreis p lohnt es sich für „Brunhilde“ Benzin am Markt anzubieten?
(Lösungshinweis: 20 ist eine Nullstelle von x 3  3x 2  6.800 )
(16)
7.
Gegeben ist die Funktion
f ( x )  1 x 2  3x  6 mit D = R
4
a. Untersuchen Sie die Funktion f auf Symmetrie. (Überprüfen Sie Ihre Vermutung!)
b. Geben Sie die (größtmöglichen) Teilintervalle zu D an, in denen f eine Umkehrfunktion
besitzt. Geben Sie die Funktionsgleichung und die Definitionsmenge der Umkehrfunktion(en) an.
c. Auf welche Teilmengen muss D eingeschränkt werden, damit eine Verkettung
h(x) = g  f ( x ) mit g( y) 5 log( y  1) möglich ist. Geben Sie die Funktionsgleichung von
g  f ( x ) an.
d. Berechnen Sie die Elastizität von f(x) an einer Stelle x 0 . Interpretieren Sie dann die
Elastizität an der Stelle x 0  10 .
(14)
12
B
MATHEMATIK I FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
Musterlösungen zur Klausur vom 11.07.2002
1.
Vergleiche Aufgabe 2 der Klausur A.
2.
Vergleiche Aufgabe 3 der Klausur A.
3.
Vergleiche Aufgabe 1 der Klausur A.
4.
Vergleiche Aufgabe 4 der Klausur A. In beiden Teilaufgaben ist de Zeitraum um 5 Jahre
verschoben.
5.
Vergleiche Aufgabe 6 der Klausur A.
3x  3xy  3y  15  x  xy  y  5
y  3 ( x  5)  7  2 y  3 ( x  5)  14
2
6.
Vergleiche Aufgabe 7 der Klausur A.
7.
Vergleiche Aufgabe 5 der Klausur A.