Ergänzung 1
Werbung
Ionenart K+ Na+ ClA- intrazellulär [mM] 400 50 32 385 extrazellulär [mM] 20 440 560 - Gleichgewichtspot. [mV] -75 mV +55 mV -60 mV - Das aus den unterschiedlichen Ionensorten entstehende Membranpotential läßt sich durch die Goldmanngleichung berechnen, Vm Cl außen R T K außen Na außen ln zF K innen Na innen Cl innen 3.1a wobei mit K+/Na+/Cl- innen/außen die jeweiligen Ionenkonzentrationen gemeint sind. Die Goldmanngleichung ist eine Verallgemeinerung der Nernst-Gleichung. Diese Gleichung beschreibt die resultierende Membranspannung aufgrund unterschiedlicher Ionenverteilungen im thermodynamischen Gleichgewicht. Wenn sich auf der Membran die Ionenkonzentration verändert, dann gilt die Goldmanngleichung während der Veränderung nicht. Das Verhalten eines kleinen Stückchens der Membran eines Neurons (siehe Abb.3.9a-f) im unterschwelligen Spannungsbereich kann man zum Groteil mit einer einfachen Schaltung aus Widerständen, Kondensatoren und Batterien beschreiben. Ein Ionenkanal läßt spezifisch Ionen durch. Diese Kanäle sind zum Beispiel auf Kalium spezialisiert. Das Maß für die Leichtigkeit für den Durchgang von Ionen durch die Ionenkanäle wird durch die elektrische Leitfähigkeit g beschrieben (siehe Abb. 3.9a). Diese Leitfähigkeit ist ein elektrisches Maß und umgekehrt proportional zum elektrischen Widerstand r. Aufgrund des Ohmschen Gesetzes gilt: g=1 / r. Die Leitfähigkeit ist zur Permeabilität verwandt - aber nicht ident. Wenn die Permeabilität für eine Ionenart hoch ist, kann die Leitfähigkeit Null sein - wenn keine Ionen in der Lösung sein. Na+ außen Cl Na+ - Na+ Cl außen - Cl gK =1/rK innen - gK =1/rK innen A K+ A K+ A A UK K+ Abbildung 3.9a: Links ist ein Ionenkanal und das Ersatzschaltbild dafür - ein Widerstand - dargestellt. Durch die Ungleichverteilung der Ionen entsteht ein Nernstsches Potential für einen Kaliumkanal - ein Widerstand und eine Batterie. Durch das Konzentrationsgefälle und den elektrostatischen Gradienten ergibt sich eine Ladungstrennung, die durch das Nernstpotential beschrieben werden kann. Diese Ladungstrennung wird in der Elektronik durch eine Batterie UK dargestellt. ______________________________________________________________________________________ Ergänzung zum Vorlesungsskript BM I 24a Die Ionenbewegung in den einzelnen Kanälen ist unabhängig und für die einzelnen Ionen gibt es unabhängige spezialisierte Ionenkanäle. Die Ionenkanäle für die unterschiedlichen Ionen Kalium, Natrium und Chlor können durch verschiedene Widerstände, respektive Leitfähigkeiten gK, gNa und gCl, und das jeweilige Ladungsungleichgewicht durch die Batterien beschrieben werden (siehe Abb. 3.9b). Da das Nernst-Potential für die verschiedenen Ionensorten unterschiedlich ist, müssen auch unterschiedliche Batterien UK, UNa und UCl verwendet werden. Zu beachten ist die umgekehrte Stromrichtung für das Natrium - das Natrium strömt vom Extrazellulär- zum Intrazellulärraum im Gegensatz zum Kalium und Chlor. Na+ Cl Na+ - Na+ Cl außen Cl Na+ - Cl - Na+ Na+ Cl Cl - Cl - gK innen K+ A A K+ A A K+ A K+ A K+ A K+ A A gNa UK gCl UNa UCl K+ Abbildung 3.9b: Links ist die Membran mit den möglichen Ionenkanälen für K+, Na+, Cl- mit den Ionen-bewegungen dargestellt. Rechts sind die dazugehörigen elektrischen Ersatzschaltbilder dargestellt. Die Ionen können sich auf der Oberfläche der Membran gut bewegen, dies gilt aber nur für ein kleines Stück der Membran. Aus diesem Grund können die einzelnen Strompfade der jeweiligen Ionensorte durch einen Leiter - ohne Widerstand - verbunden werden (siehe Abb. 3.9c). Extrazellulärraum gK Extrazellulärraum gNa UK gCl UNa UCl Intrazellulärraum gK gNa UK UNa gCl LNa UCl ULNa LK ULK Intrazellulärraum Abbildung 3.9c: Durch den linken Ersatzschaltplan werden die 3 Ionenkanäle mit dem dazugehörigen Nernst-Potential dargestellt. Da es zu Leckströmen kommt, müssen diese durch Widerstande/Leitfähigkeiten und Spannungsquellen berücksichtigt werden, wie in der rechten Abbildung dargestellt. Leider sind die Ionenkanäle nicht perfekt. Das bedeutet, daß manche Ionenkanäle nicht besonders spezifisch arbeiten und auch Ionen durchlassen, die nicht für den jeweiligen Kanal bestimmt sind. Das bedeutet der jeweilige Ionenkanal leckt - man spricht dann von einer Leckleitfähigkeit LNa ______________________________________________________________________________________ Ergänzung zum Vorlesungsskript BM I 24b beziehungsweise LK. Diese beiden Leitfähigkeiten verusachen Ströme, die zu einer Ladungstrennung führt. Diese Ladungstrennung wird durch die Leckspannungen ULNa und ULK mit der jeweiligen Spannungsquelle beschrieben. Die Leitfähigkeiten und Spannungsquellen und sind nur der Vollständigkeit halber angeführt (siehe Abb. 3.9c). Praktisch kann man sie vernachlässigen. In dem Ersatzschaltplan können die beiden Leitfähigkeiten durch eine Leitfähigkeite LErsatz und eine Ersatzspannungquelle ersetzt werden. Die neue Ersatzleitfähigkeit ist sicher kleiner als der kleinste der jeweiligen Einzelleitfähigkeit (LErsatz = LNa + LK ). Zwei kleine Größen LNa und LK werden noch kleiner. Für die Modellbildung ist es wichtig, möglichst viele Faktoren zu berücksichtigen - wegfallen lassen kann man die einzelnen Größen immer noch, wenn der Einfluß zu klein und unbedeutend ist. Extrazellulärraum außen INa Na+ Na+ Na+ K+ gK gNa gCl LNa LK K+ innen UK UNa UCl ULNa IK ULK Intrazellulärraum Abbildung 3.9d: Links ist eine Ionenpumpe dargestellt. Der dadurch entstehende Ionenstrom muß durch Stromgeneratoren im Ersatzschaltplan - rechts - berücksichtigt werden. Auch die Ionenpumpen müssen berücksichtigt werden. Sie sorgen für einen konstanten Ionenstrom, das heißt Natrium wird nach außen und Kalium nach innen befördert. Eine Ionenpumpe sorgt gleichzeitig für einen Natrium- und einen Kaliumstrom. Im Ersatzschaltbild müssen zwei Stromgeneratoren hinzugefügt werden (siehe Abb. 3.9d). Jeder der Stromgeneratoren ist für eine Ionensorte - Natrium und Kalium - zuständig. Extrazellulärraum außen ++++++++++++ INa gK innen gNa gCl LNa Cm LK –––––––––––– IK UK UNa UCl ULNa ULK Intrazellulärraum Abbildung 3.9e: Da die Membran aus einer Doppellipidschicht besteht, die praktisch keine Ladungsträger durchläßt außer in den Ionenkanälen - wirkt die Membran auch als Kondensator (rechts). ______________________________________________________________________________________ Ergänzung zum Vorlesungsskript BM I 24c Damit muß nur mehr eine Größe berücksichtigt werden. Die Membran, bestehend aus einer Doppellipidschicht, ist für Ionen nicht durchlässig. Dadurch daß sich auf der Ober- und Unterseite der Membran Ionen unterschiedlicher Ladung befinden, und die Membran einen Isolator darstellt, kann ein kleines Stück der Membran als Kondensator Cm betrachtet werden. Ein typischer Wert für eine Membrankapazität eines Neurons beträgt rund 1F/cm2. Bisher wurden im Ersatzschaltbild genau 3 unterschiedliche Ionenkanäle, eine Ionenpumpe und die Membrankapazität berücksichtigt. Um ein größeres Stück der Membran beschreiben zu können, muß die Anzahl der Ionenkanäle, der Ionenpumpen und die exakte Fläche der Membran berücksichtigt werden. Für die einzelnen Werte ergibt sich dann: GK = . gK, GNa = . gNa und GCl = . gCl wobei die Anzahl der Kalium-, die Anzahl der Natrium-, und die Anzahl der Chlorkanäle pro Flächenstück (im Moment in willkürlichen Einheiten) angeben. Der Stromzweig für die Chlorionen hat nur einen geringen Einfluß, genauso wie die Leckleitfähigkeiten, auf das Membranpotential. So kann man die Leckleitfähigkeiten LK, LNa und die Chlorleitfähigkeit zu einer Ersatzleitfähigkeit zusammenfassen: LErsatz = GCl + LK + LNa + LLK + LLNa Nach dem Theorem von Thévenin* kann jeder reale Stromgenerator in eine reale Spannungsquelle umgewandelt werden. Somit ergibt sich für das Nernstpotential für das Chlor UCl in Verbindung mit der Leckleitfähigkeit folgenden Strom: ICl = GCl . UCl Damit können die drei Stromgeneratoren IK , INa und ICl zu einem Ersatzstromgenerator IErsatz zusammengefaßt werden: IErsatz = IK + INa + ICl + ILK + ILNa * Theorem von Thévenin: Jedes lineare Netzwerk von Impedanzen und Generatoren kann, wenn man es von zwei beliebigen Punkten des Netzwerkes aus betrachtet, durch eine ideale Spannungsquelle und eine ihr in Serie befindliche Impedanz ersetzt werden. ______________________________________________________________________________________ Ergänzung zum Vorlesungsskript BM I 24d Somit ergibt sich ein Ersatzschaltbild für einen kleinen Bereich der Membran (siehe Abb. 3.9f). Dieses ersatzschaltbild beschreibt die elektrischen Eigenschaften einer Membran in hervorragender Weise. Man kann auch die unterschiedlichen biologischen Eigenheiten, wie zum Beispiel die unterschiedliche Anzahl der Ionenkanäle, mit den elektrischen Schaltkreisen leicht berücksichtigen. Extrazellulärraum Im IK GK UK INa GNa UNa IErsatz GErsatz ICm Cm UErsatz Intrazellulärraum Abbildung 3.9f: Ersatzschaltbild eines kleinen Stückchens der Membran. ______________________________________________________________________________________ Ergänzung zum Vorlesungsskript BM I 24e Der Membranwiderstand rm hängt sowohl vom spezifischen Widerstand einer Flächeneinheit der Membran Rm als auch vom Umfang des Dendriten ab und wird pro Längeneinheit des Zylinders in .cm angegeben. rm Rm 2a 3.6 Wie wir in Kapitel 3.1 gesehen haben, kann ein Stück der Membran elektrisch durch ein Ersatzschaltbild beschrieben werden kann. Für die passiven Eigenschaften sind die Spannungsquellen uninteressant. Die Spannungquellen geben nur den Absolutwert an - für die passiven Eigenschaften ist dies aber nicht wesentlich. Somit kann ein Bereich der Membran nur mit 2 Widerstanden rm und ra und einem Kondesator cm beschrieben werden. Die einzelnen Leitfähigkeiten aus der Abbildung 3.9f werden zu einem Widerstand zusammengefaßt und es ergibt sich daraus rm. Dieser Membranwiderstand kann makroskopisch oder auch mikroskopisch über die einzelnen Ionenkanäle bestimmt werden. Extrazellulärraum Extrazellulärraum rm Intrazellulärraum cm Intrazellulärraum Abbildung 3.11a: Unter bestimmten Umständen können die Spannungsquellen vernachläßigt werden und die Widerstände, respektive die Leitfähigkeiten, können zu einem Ersatwiderstand-Ersatzleitfähigkeit zusammengefaßt werden. Das Ersatzschaltbild aus Abbildung 3.11a kann nun über den axoplasmatischen Widerstand mit anderen Ersatzschaltbilder zusammengefügt werden. Damit können ganze Neuronenbereiche elektrisch beschrieben werden. Jeder Bereich besitzt charakteristische Memranwiderstande und Membrankapazitäten. Durch das korrekte Aneinanderfügen kann ein ganzes Neuron im unterschwelligen Bereich physikalisch beschrieben und erklärt werden. Im Prinzip handelt es sich bei dem Ersatzschaltbild um ein RC-Glied. Damit kann man schon eine ganz wichtige Eigenschaft erkennen. Wenn in ein Neuron Strom injiziert wird (es wird keine Schwelle ausgelöst), dann muß auch der Kondensator aufgeladen werden. Bei einem stufenförmigen Eingangssignal, ergibt sich ein exponentieller Anstieg. I [pA] Vm [mV] t t Abbildung 3.11b: Ein Stufensignal sorgt für einen exponentiellen Anstieg und Abfall des Membranpotentials. ______________________________________________________________________________________ Ergänzung zum Vorlesungsskript BM I 26a Der Anstieg des Membranpotentials bei einem Stromimpuls wird durch folgende Formel beschrieben: Vm ( t ) I m rm (1 e t ) und rm c m Eine andere wichtige Frage besteht darin, wie sich das Membranpotential entlang des Dendriten mit der Entfernung ändert, wenn man an einer Stelle Strom injiziert ? Sei vorausgesetzt, der kapazitive Strom ist Null und das Membranpotential hat ein konstantes Niveau erreicht, dann hängt die Potentialänderung durch eine Strominjizierung ausschließlich von den relativen Werten von rm und ra ab. ______________________________________________________________________________________ Ergänzung zum Vorlesungsskript BM I 26b 3.4 Das Hodgkin-Huxley Modell Das Hodgkin-Huxley Modell bringt die Membranstromdichte und die Membranspannung in einen Zusammenhang. Die spannungsabhängigen Ionenkanäle öffnen in Abhängigkeit vom Membranpotential und der Zeit. Wesentlich sind die spannungsabhängigen Ionenkanäle für Natrium und Kanäle. Durch ihr öffnen wird jeweils ein zusätzliches Nernstpotential aktiv. Damit kann wieder eine Ersatzschaltung für ein kleines Stück der Membran konstruiert werden. Zusätzlich müssen die Strompfade für die Ruhemembrankanäle und die Ionenpumpen berücksichtigt werden, genauso wie die Membrankapazität. Die Strompfade für die Ruhemembrankanäle und für die Ionenpumpen können zu einem Ersatzstrompfad zusammengefaßt werden. Die Ruheleitfähigkeit GRuhe ist nicht von der Zeit oder dem aktuellen Membranpotential abhängig. Die J's sind Stromdichten [A/cm2], die V's sind Spannungen oder auch Potentiale [V]; Cm ist die Kapazität der Membran pro Flächeneinheit [F/cm2] und die G's bezeichnen die spezifischen Ionenleitfähigkeiten [S/cm2]. Extrazellulärraum Jm JK GK(Vm,t) VK JNa JRuhe GNa(Vm,t) VNa GRuhe JCm Cm VRuhe Intrazellulärraum Abbildung 3.18a: Ersatzschaltbild eines kleinen Stückchens der Membran, das spannungsabhängige Ionenkanäle berücksichtigt. Die Leitfähigkeiten der spannungsabhängigen Ionenkanäle sind von dem Memranpotential und der Zeit abhängig. Es gibt vier Zweige im Schaltplan (siehe Abb.3.9), aus denen sich der resultierende Gesamtstrom ergibt. Einer davon berücksichtigt die Kapazität der Membran, während die anderen drei die Ionenströme (spannungsabhängige Natrium- und Kaliumströme und die Leckströme, verursacht durch die spannungsunabhängigen Kanäle, aus denen auch das Ruhepotential resultiert) beschreiben. Der Natrium- und Kaliumzweig ist repräsentiert durch einen veränderlichen Widerstand in Serie mit einem Nernst-Gleichgewichtspotential (Batterie) für das jeweilige Ion. Wichtig in diesem Modell ist, daß die Natrium- und Kaliumleitfähigkeiten vom Membranpotential und der Zeit abhängen. Unter Anwendung der Kirchhoff'schen Regeln und dem Ersatzschaltbild ergibt sich: J m J C Jion 3.10 und die Stromdichten für die verschiedenen Ionen ______________________________________________________________________________________ Ergänzung zum Vorlesungsskript BM I 28a J ion J K J Na J Ruhe 3.11 was geschrieben werden kann als: J m J C J K J Na J Ruhe 3.12 Durch Anwendung des Ohm'schen Gesetzes (I=U/R=UG) und (I= Q , Q=C∙U) erhalten wir: J m Cm Vm G K (Vm , t ) (Vm VK ) G Na (Vm , t ) (Vm VNa ) G Ruhe (Vm VRuhe ) t 3.13 VNa und VK stellen das Nernst'sche Gleichgewichtspotential für Natrium und Kalium dar, definiert durch VNa ce RT log iNa F c Na und VK ce RT log iK F cK 3.14 wobei R die molare Gaskonstante, T die absolute Temperatur und F die Faradaykonstante (F=9.6487104 Cmol-1) darstellen. Die molaren Konzentrationen für intrazelluläre beziehungsweise extrazelluläre Natriumionen und Kaliumionen ist durch c iNa , c eNa , c iK und c eK gegeben. Für den Zusammenhang von Strom und Spannung entlang eines Zylinders, das heißt in Richtung z, ergibt sich mit a als Radius der Querschnittsfläche eines Axons und r a als axoplasmatischer Längswiderstand. Man kann zeigen, daß gilt: 2 Vm z 2 2 a ra J m 3.15 Unter Verwendung von 1.4 und 1.6 ergibt sich Vm 1 2 Vm Cm G K (Vm , t ) (Vm VK ) 2 2ara z t G Na (Vm , t ) (Vm VNa ) G Ruhe (Vm VRuhe ) 3.16 Diese Gleichung beschreibt die Ausbreitung des elektrischen Potentials entlang einer Axonmembran. Das Membranpotential, gegeben durch Gl. 3.16 kann nun berechnet werden, wenn die Funktionen GK(Vm,t) und GNa(Vm,t) bekannt sind. ______________________________________________________________________________________ Ergänzung zum Vorlesungsskript BM I 28b
