Vierpol-Theorie

Vierpol-Theorie
Vorbemerkung: Im folgenden wird keinesfalls eine vollständige Darstellung der VierpolTheorie gegeben, sondern nur jene Aspekte kurz besprochen, die die Vorteile der
Beschreibung eines linearen Übertragungsgliedes mit Hilfe einer Matrix deutlich machen.
Aus diesem Grund wird nur die Kettenmatrix (auch als „inverse Kettenmatrix“ bezeichnet)
beschrieben. In der Literatur finden auch alternative Formulierungen, die zu der hier
dargelegten vollkommen äquivalent sind – so wird zum Beispiel die Zählrichtung des
Ausgangsstroms oft gerade umgekehrt angenommen.
I1
Ein Vierpol ist eine beliebige elektrische / elektronische
Schaltung mit je zwei elektrischen Anschlüssen am Eingang
und am Ausgang. Zu beachten ist, dass der eingangsseitige
U1
Strom I1 positiv gezählt wird, wenn er in das Element hinein
fließt, und der Ausgangsseitige Strom I2 wird positiv gezählt,
wenn er aus dem Element heraus fließt. Dies Wahl der
Zählrichtung ermöglicht die Hintereinanderschaltung mehrerer Vierpole ohne
Vorzeichenänderung der Ströme (siehe unten).
I2
U2
Durch entsprechende äußere Beschaltung des Vierpols kann man genau zwei der vier Größen
I1, I2, U1 und U2 vorgeben, die anderen beiden Größen stellen sich entsprechend der
Innenschaltung des Vierpols ein. Gibt man zum Beispiel die beiden Spannungen vor, so sind
die beiden Ströme eindeutig festgelegt. Umgekehrt bedeutet dies auch, dass durch den
eingangsseitigen Strom I1 und die eingangsseitige Spannung U1 die beiden Ausgangsgrößen I2
und U2 eindeutig festgelegt sind.
Wir betrachten nun den Fall, dass der Vierpol kein nichtlineares Verhalten (etwa durch
Dioden etc.) aufweist1. Dann lassen sich die Ausgangsgrößen als lineare Funktionen der
Eingangsgrößen darstellen. Mit einer 2-mal-2-Matrix (der sogenannten Kettenmatrix) K lässt
sich damit schreiben:
U 2 
U 
   K   1 
 I2 
 I1 
Für den nebenstehenden einfachen Vierpol etwa, der nur aus einem
Widerstand R besteht, gelten die Beziehungen
I1
U2 = U1 - RI1 und I2 = I1
bzw. in Matrixschreibweise
I2
R
U1
U2
U 2   1  R  U 1 
   
   
 I 2   0 1   I1 
und damit ist die Matrix K zur Beschreibung diese Vierpols gegeben durch
1  R
K  

0 1 
1
Falls der Vierpol nichtlineare Bauteile enthält, lässt sich die Vierpoltheorie dennoch anwenden, wenn nicht die
absoluten Strom- und Spannungswerte, sondern nur die (kleinen) Strom- bzw. Spannungsänderungen in der
Nähe des so genannten Arbeitspunktes betrachtet.
Mit einer ähnlichen Überlegung erhält man zur Beschreibung
des nebenstehenden Vierpols, der ebenfalls nur aus einem
Widerstand R besteht, die Matrix
I1
I2
R
U1
0
 1
K  

  1 R 1
U2
Bei der Hintereinanderschaltung mehrerer Vierpole erhält man die Kettenmatrix zur
Beschreibung der Gesamtschaltung durch Multiplikation der Matrizen für jedes
Einzelelement:
U 3 
U 
U 
   K2   2   K2  K1   1 
 I2 
 I1 
 I3 
I1
I2
K1
U1
also
I3
K2
U2
Kgesamt = K2  K1
Zu beachten ist dabei, dass die Multiplikation der
Einzelmatrizen „von hinten nach vorne“ erfolgt !
Beispiel:
10 k
Gegeben ist folgende Schaltung:
20 k
5k
25 k
a. Bestimme die Kettenmatrix dieser Schaltung.
b. Bestimme Spannung und Strom am Ausgang, wenn Uein = 10 V und Iein = 3 mA.
c. Bestimme Spannung und Strom am Eingang, wenn Uaus = 10 V und Iaus = 3 mA.
 1 R 
Ks ( R)  

0 1 
 1 0


Kp ( R) 
1 1 
 R 
Kges  Ks ( 5000 )  Kp ( 25000 )  Kp ( 20000 )  Ks ( 10000 )
Kges 
a.
b.
4
 1.45
1.95  10 

 9  10  5

1.9


 10   44 
Kges  


 0.003   4.8  10  3 
1
Kges

 10   77.5



3
 0.003   5.25  10 

Am Ausgang liegen also -44 V
an und es fließen 4.8 mA
Am Eingang liegen also 77 V
an und es fließen 5.25 mA
U3