Mathe 11c Übungsblatt zur KA Nr.4 29.04.09

Mathe 11c
Übungsblatt zur KA Nr.4
29.04.09
1) a) Untersuche die Funktionen f t ( x)  x²  2tx  4t auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte!
b) Zeichne ft für t =0; t=1 und t=2 mit Hilfe des GTR in ein gemeinsames Schaubild ein.
c) Für welches t nimmt der Tiefpunkt den größten Wert ein?
d) Für welche t hat die Funktion 0, 1 bzw. 2 Schnittpunkte mit der x-Achse
2) a) Zeichne f t ( x)  x ³  (4t  t ³) x ² für t  0; t 
1
1
; t  1; t  2; t  2 mithilfe des GTR .
2
2
b) Für welchen Wert von t mit t>0 liegt der Wendepunkt am weitesten „rechts“?
3) Bestimme die Tangenten an das Schaubild von f durch den Punkt P:
a) f ( x )  2 
1
x² ;
2
P(2|0,5)
b) f ( x) 
1
1
x ³  3 x ; P( |0)
3
3
4) In welchem Bereich auf dem positiven x-Achsenabschnitt befindet sich der Schatten eines
Berges mit der Funktionsgleichung f ( x)   x 2  4 , den eine Lichtquelle im Punkt P (2 / 9)
auf die x-Achse wirft? Fertige zuerst eine Skizze an!
5) Bei einem Musical soll der Ton mit einem Mikrofon aufgenommen werden. Je nach
nachdem wie weit man das Mikro wegstellt, wird zum einen der gewünschte Ton zum
anderen aber auch das unerwünschte Rauschen lauter oder leiser.
Im Bereich 0<x<8 kann die Lautstärke des Musiksignals durch die Funktion f(x)=0,01x²0,2x+8 und die Rauschlautstärke durch g(x)= 0,05x²-0,7x+3
(mit x in Metern)
angenähert werden. Den bestmöglichen Ton erhält man bei maximalem Rauschabstand,
d.h. wenn der Unterschied zwischen Musiksignal und Rauschen am größten ist. Wie weit
müsste man dann hier das Mikro wegstellen?
6) Der Finanzminister der Stufe 11 des PG plant ein Stufenfest im Abdera. Bei einem Eintritt
von 2€ erwartet man 200 Besucher. Eine Umfrage unter der Stufe hat ergeben, dass für
jede 10ct mehr Eintritt 20 Besucher weg bleiben, für je 10ct weniger Eintritt würden
entsprechend je 20 Besucher mehr kommen. Im Durchschnitt konsumiert jeder Besucher
noch 6€ an Getränken von denen die Hälfte wieder in die Stufenkasse wandert. Aus
Sicherheitsgründen dürfen nicht mehr als 300 Leute ins Abdera rein. Wie hoch muss er
den Eintrittspreis ansetzen, um den größten Gewinn zu machen?
7) Aus einem 36 cm langen Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule
hergestellt werden. Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales
Volumen hat?
8) Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 12 cm und 8
cm lang. Diesem Dreieck soll ein möglichst großes Rechteck
einbeschrieben werden, von dem 2 Seiten auf den Katheten
des Dreiecks liegen.
9) Bestimme jeweils eine Funktionsterm einer ganzrationalen
Funktion, die durch die Punkte geht.
a) A(0|0); B(1|-8); C(5|-20)
b) TP(1|8); S(0|9)
c) WP(2|-9); HP(0|-23)
d) W(0|1); TP(4|  20 )
1
3
Lösungen zum Übungsblatt zur KA Nr.3:
1) a) TP(t|-t²+4t).
b) siehe GTR
c) Für t=2 ist der TP(t|-t²+4t) also TP(2|4) am höchsten
d) 4t²-16t=4t(t-4)>0 => für t=0 und t=4: 1 NS, dazwischen keine , sonst 2
1
3
2) a) siehe GTR b) W ( t ³ 
3) a) B(1|1,5); t: y=-x+
5
2
4
1
4
t | ?) ; Maximum von  t ³  t bei t 
3
3
3
8
3
b) B(-1| ) ; t: y=-2x+
4
 1,1547
3
2
3
4) B(-1|3) ; t: y=-2x+5 schneitet x-Achse bei x=2,5
5) GTR=> x=6,25 Maximum von y3=y1-y2
6) G( x)  200  20x  2  0,1x  3 , x ist dabei die Anzahl der 10ct-Erhöhungen
(1. Klammer sind die Besucher, 2. klammer die einnahmen pro Besucher)
 5  x  10 , denn für x>10 hätte man negativ viele Leute da,
und für x<-5 hätte man unerlaubterweise mehr als 300 Leute drin.
G ( x)  2( x ²  40 x  500) hat zwar eigentlich ein globales Maximum bei x=-20. Aber x= -20
liegt nicht in der zugelassenen Definitionsmenge (sonst wären 600 Leute im Abdera).
Da G’(x)<0 also G(x) streng monoton fallend ist, muss also das zugelassenen Maximum
am linken Rand also bei x=-5 liegen.
Wenn man den Eintritt auf 1,5€ senkt kommen 300 Leute und macht den maximalen
Gewinn von 1350 €.
7) A=x²*y; NB: 8x+4y=36 => y= 9-2x
A(x)=x²(9-2x) mit 0  x  4,5 ist Zielfunktion und hat einen HP bei x=3. Da A(0)=A(4,5)=0
ist HP(3|27) absolutes Maximum. Mit Kantenlänge 3cm (Würfel) hat die Säule das größte
Volumen.
8)
A=
x*y;
die
Nebenbedingung
bekommt
man
mit
y
dem
x 12  y
2

; x 8 y
8
12
3
2
2
=> A( y )  (8  y )  y   y ²  8 y mit 0  y  12 ist Zielfunktion;
3
3
2.Strahlensatz sagt:
12-y
Da A(0)=A(12)=0 ist der HP(6|12) absolutes Maximum.
Also ist für x=4 und y=6 der Flächeninhalt mit 12cm² am größten.
9) a) f(x) = x²-9x
b) x² -2x +9
c) x³-6x²-7
d)
1
x³  8x  1
6
x
8