„Lineare Funktionen“ mit dem GTR

Die Erarbeitung der Thematik „Lineare Funktionen“ ein möglicher Weg
1. Schritt: Drei Einstiegsbeispiele
1.Bsp: Zum Abbau von Mineralien müssen oft Minen tief unter der Erde
angelegt werden. So gibt es z. Bsp. in Südafrika Minen, die mehr
als 3 km tief liegen. Die Wände sind so heiß, dass das Arbeiten
nur mit zusätzlicher Kühlung möglich ist. Die Temperatur T (in 0C)
innerhalb der Erde lässt sich in Abhängigkeit von der Tiefe x
(in km) durch T(x) = 10x + 20 beschreiben.
Arbeitsaufträge (ohne GTR)
a) Fülle mit Hilfe der Zuordnungsvorschrift die folgende Tabelle aus
Tiefe x (in km)
Temperatur T (in 0C)
0
1
2
3
4
b) Welche Bedeutung hat die Zahl 20 in der Zuordnungsvorschrift?
c) Bestimme auch die Temperaturen für die Tiefen 1,5 km, 2,9 km und 3,1 km.
d) Übertrage die Wertepaare der Tabelle als Punkte in ein Koordinatensystem.
Was für eine Art von Schaubild ergibt sich?
2. Bsp: Eine zylindrische Kerze hat eine Höhe von 7 cm und brennt
gleichmäßig ab. Die Höhe in Abhängigkeit von der Brenndauer
kann der nachfolgenden Tabelle entnommen werden.
Brenndauer x (in Stunden)
Kerzenhöhe (in cm)
GTR 7 / 8 - Lineare Funktionen
0
7
1
5
2
3
3
1
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Arbeitsaufträge
a) Stelle den Abrennvorgang grafisch dar und beschreibe deine gefundene
grafische Darstellung.
b) Durch welche Gleichung lässt sich das „Abbrennen“ der Kerze beschreiben?
c) Was bedeuten die verschiedenen Werte in der Gleichung aus b)?
3. Bsp: Tarifstruktur beim heimischen Wasserwerk
(Der Abrechnungszeitraum umfasst stets ein Jahr)
Einmalige Grundgebühr von 36 € (pro Jahr)
Jeder Kubikmeter Wasser kostet 3 €
Arbeitsaufträge (durchaus mit dem GTR)
a)
b)
c)
d)
Erstelle eine Tabelle und übersetze diese in eine grafische Darstellung.
Durch welche Vorschrift können die Kosten beschrieben werden?
Bestimme die Kosten bei einem Verbrauch von 32 Kubikmeter.
Bestimme den Verbrauch, falls 177 € zu bezahlen waren.
 Bei c) und d) durchaus Arbeiten im TABLE - Menu
Zusammenführung der Einstiegsbeispiele
 Welche Gemeinsamkeiten sind erkennbar?
 Form der Gleichung / Zuordnungsvorschrift
 In allen Fälle eine (nach oben) verschobene Ursprungsgerade
(  keine Proportionalität - Schüler eventuell mit TABLE prüfen lassen)
Alle Beispiele lassen sich durch Gleichungen der Form
f(x) = ax + b bzw. f(x) = mx + c beschreiben
 Definition der allgemeinen linearen Funktion
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2. Schritt: Deutung der Parameter c und m
m als Maß für die Steilheit von Geraden
m > 0
-
steigende Gerade (1. und 3. Beispiel)
m < 0
-
fallende Gerade
m = 0
-
Parallele zur x - Achse
(2. Beispiel)
Größeres m (> 0) bedeutet steiler ansteigende Gerade
Größeres m (< 0) bedeutet steiler abfallende Gerade
Begriffsbildung „Steigungsdreieck“ einführen - vgl. oben
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3. Schritt: Arbeiten am Steigungsdreieck (mit dem GTR)
1. Bsp: f(x) = 0,6 x + 1
Schaubild mit dem GTR zeichnen
Im TRACE – MODUS arbeiten
(über Window INIT Schrittweite 0,1 einstellen)
P (0/1) ; Cursor (TRACE) eine Einheit nach rechts
1
 P (1/1,6)
2
Differenz der zugehörigen y – Werte = 0,6 (= m !)
2. Bsp: f(x) = - 0,4 x + 3
Schaubild mit dem GTR zeichnen
Im TRACE – MODUS arbeiten
(über Window INIT Schrittweite 0,1 einstellen)
P1(0/ 3) ; Cursor (TRACE) eine Einheit nach rechts
 P2 (1/ 2,6)  P3(2 / 2,2)  .... P5(4 /1,4)
Differenz der zugehörigen y – Werte = - 0,4 (= m !)
4. Schritt: Zeichnen von Geraden üben
a)
f(x) = 2 + 0,5 x
b) f(x) = - 1,5 x + 6
c)
f(x) =
4
x + 3,5
3
d)
f(x) =
8
7
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+
3
x
7
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zu c):
„vergrößertes“ Steigungsdreieck mit Schülern herausarbeiten
zu d):
herausarbeiten, dass ganzzahlige Koordinaten weiterführen
 über TABLE oder eventuell Berechnung einzelner Funktionswerte
über G-SOLVE / Y – CALC ;
danach „Gerade durch zwei Punkte“
5. Schritt: Gleichung von gegebenen Geraden bestimmen
Grundidee: „Gerade durch zwei Punkte“
Steigung m über ein geschickt gewähltes Steigungsdreieck
Falls y-Achsenabschnitt der Zeichnung nicht entnommen
werden kann, den Weg über die Punktprobe mit einem
der beiden gegebenen Punkte vorstellen.
6. Schritt: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Vorweg:
Bedingung f(x) = 0 (für den x – Achsenschnittpunkt)
bzw. f(0) (für den y – Achsenschnittpunkt) über eine
Zeichnung mit den Schülern herausarbeiten
(funktionales Denken schulen)
Danach diese Werte nochmals an den Eingangsbeispielen
(Mine in Südafrika bzw. abbrennende Kerze) deuten !
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1. Bsp:
f(x) = - 0,4 x + 3
1. Weg (grundsätzlich per Hand)
2. Weg (mit GTR)
Graph zeichnen, G-SOLVE und Y-ICPT liefert den
y – Achsenschnittpunkt R(0/3)
Graph zeichnen, G-SOLVE und ROOT liefert den
x – Achsenschnittpunkt N(7,5/0)
Alternativen zur Berechnung des x- Achsenschnittpunktes
mit dem GTR
Bsp: f(x) = 2(x – 4) - 3
a) Schaubild über GRAPH – MENU zeichnen ; in Window Grundeinstellung INIT vornehmen  Schrittweite 0,1 eingestellt
Mit TRACE – Befehl an Schnittstelle herantasten
 x = 5,5 bzw. N(5,5/0)
b) Mit SOLVE die Gleichung 2(x – 4) – 3 = 0 lösen
Eingabe: SOLVE ( 2 ( x - 4) - 3 , 5 , 0 , 30 ) liefert x = 5,5
Suchintervall
Schätzwert
Solve – Befehl über RUN / OPTN / CALC / SOLVE
c) Mit TABLE wird in der Tabelle derjenige x – Wert gesucht,
für den der y-Wert Null ergibt.
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2. Bsp:
f(x) = 3 (x – 2) + 4
TRACE liefert für die Schnittstelle mit der x – Achse x  0,7
Genauere Werte für x ergeben sich beim Arbeiten mit TABLE
(Verfeinerung der Schrittweite und Einschränkung der Tabelle unter Umständen ergeben sich Probleme mit dem Speicher !)
7. Schritt: Schnittpunkte von Geraden
Vorweg:
Schnittbedingung f(x) = g(x) zusammen mit den
Schülern (geometrisch) erarbeiten (funktional denken)
Bsp: f(x) = 3x + 4
;
g(x) = 3 – 2x
1. Weg (grundsätzlich per Hand)
2. Weg (mit GTR)
a) 3x + 4 = 3 – 2x
3x + 4 - 3 + 2x
als (neue) Funktion eingeben und zeichnen lassen
G-SOLVE / ROOT liefert x = - 0,2 und y = 3,4
Die Schaubilder schneiden sich in S(- 0,2/3,4)
b)
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Über den Schnittpunkt der Schaubilder
Hierzu beide Funktionen über GRAPH eingeben
und zeichnen lassen
G-Solve / ISCT liefert S(- 0,2/3,4)
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Anwendungsbsp: Löse das folgende Zahlenrätsel mit dem GTR
Die Summe von zwei Zahlen ist 96. Addiert man zur
1. Zahl das 4 –fache der 2. Zahl, so erhält man 129.
Bestimme die beiden Zahlen.
1. Zahl sei x
;
2. Zahl sei y
x + y = 96 liefert
y = 96 - x
(= Y1)
129
1
x + 4y = 129 liefert …. y =
- x (= Y2)
4
4
G-Solve / ISCT liefert S(85/11), d.h., die gesuchten
Zahlen sind 85 und 11.
oder mit SOLVE
96 - x -
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129
1
+ x = 0 liefert x = 85
4
4
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Anwendungsbeispiele zu „Lineare Funktionen“ mit dem GTR
(Quelle: Elemente der Mathematik 3 – Baden-Württemberg / Schroedel / Seite 232 ff))
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Ergänzungen ( f(x) = 21,6 - 0,0032 x )
a) Bestimme den Kerosinverbrauch nach 1580 Flugkilometern
(5,056 t ; über G-SOLVE / Y – CALC ; x – Wert eingeben ; Ergebnis von 21,6
subtrahieren)
b) Wie viel Kerosin ist nach 3240 km noch vorhanden?
(11,232 t ; über G-SOLVE / Y – CALC ; x – Wert eingeben oder mit TRACE )
c) Nach wie viel Flugkilometern sind noch 7,36 t Kerosin im Tank?
(4450 km ; bspw. Y1 = 21,6 – 0,0032 x mit Y2 = 7,36 schneiden (ISCT) )
d) Wie viel Kerosin müsste für einen Langstreckenflug (10500 km)
getankt werden?
Grundsätzlich können alle vorgestellten Aufgabenbeispiele durch
geeignete Fragestellungen ergänzt werden, so dass der GTR sinnvoll und gewinnbringend eingesetzt werden kann.
Ihrer Kreativität sind keine Grenzen gesetzt!
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