Skript Funktionen (PF und GF) -2014

Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
•
Als Exponenten ließen sich auch negative ganze Zahlen wählen
1
f ( x ) = x −n = n .
x
Ausbau der Funktionentheorie
1
Potenzfunktionen (PF)
Diese Funktionen sind an der Stelle x = 0 nicht definiert, so dass gilt
ID = IR \ { 0 } .
Bisher haben wir uns mit linearen Funktionen und deren jeweiligem charakteristischen Verlauf bzw. deren markanten Punkten beschäftigt. In ihrer einfachsten
Form haben lineare Funktionen die Form
Der Graph einer Potenzfunktion mit negativem ganzzahligen Exponenten
heißt Hyperbel n-ter Ordnung.
f (x) = x .
Diese Reihe lässt sich, wie könnte es anders sein, aber auch fortsetzen
f ( x) = x 2 , f ( x) = x 3 ,
f ( x ) = x 4 , f ( x ) = x 5 , …,
f ( x ) = x17 , …
Damit wir nicht immer alle aufschreiben müssen, fassen wir derartige Funktionen
unter einem Oberbegriff zusammen: Potenzfunktionen.
Wir werden uns relativ ausführlich mit ihnen beschäftigen, da sich einige Eigenschaften dieser Funktionen auf die später zu analysierenden ganzrationalen Funktionen übertragen lassen.
1.1
Funktionsgleichung einer PF
1.2
Zeichnen einer PF
Auch Potenzfunktionen zeichnen wir mit Hilfe einer Wertetabelle. Exemplarisch
betrachten wir im Folgenden die Graphen der Potenzfunktionen für n = 2 bis n =7.
Tab.8: Funktionswerte einiger Potenzfunktionen
x
− 100
−2
−1
−0,5
0
0.5
1
2
100
f2(x) = x2
104
4
1
0,25
0
0,25
1
4
104
f3(x) = x
3
−10
−8
−1
−0,125
0
0,125
1
8
10
f4(x) = x4
108
16
1
0,0625
0
0,0625
1
16
108
−32
−1
−0,03125
0
0,03125
1
32
10
64
1
0,015625
0
0,015625
1
64
1012
−128
−1
−0,0078125
0
0,0078125
1
128
10
5
Definition (Potenzfunktion und Parabel n-ter Ordnung)
Eine Funktion mit der Funktionsgleichung
f ( x ) = xn
f5(x) = x
f6(x) = x6
7
f7(x) = x
−10
6
10
1012
−10
14
6
10
14
mit x ∈ IR und n ∈ IN heißt Potenzfunktion.
Das x aus dem Funktionsterm wird als Basis bezeichnet, das n als Exponent.
x n ist dann die „n-te Potenz von x“.
Die Graphen einer Potenzfunktion bezeichnen wir allgemein als Parabel n-ter
Ordnung.
Offensichtlich treten nur bei Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten negative Funktionswerte auf. Bei Potenzfunktionen mit geradem Exponenten treten
ausschließlich positive Funktionswerte auf.
Aus diesem Grund werden hier die Graphen dieser beiden Gruppen getrennt dargestellt ( Abb.1 und Abb.2).
Anmerkungen
•
Für n = 0 gilt: f ( x ) = x 0 = 1, denn x 0 = 1 für alle x ∈ IR . Wir erhalten also
mit dem Exponenten 0 für jede beliebige Basis eine konstante Funktion
f ( x ) = 1 , die für jeden Wert x ∈ IR den Funktionswert 1 besitzt.
1
2
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
An der Wertetabelle und an den obigen Graphen erkennen wir ferner:
•
Alle Potenzfunktionen mit geradem Exponenten verlaufen durch die Punkte
P1 ( −1 / 1) , N1 (0 / 0 ) und P2 (1 / 1) .
•
Alle Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten verlaufen durch die
Punkte:
P3 ( −1 / − 1) , N2 (0 / 0 ) und P4 (1 / 1 ) .
•
Allen Potenzfunktionen gemeinsam sind demnach die Punkte
N (0 / 0 ) = N1 (0 / 0 ) = N2 (0 / 0 ) und P (1 / 1) = P2 (1 / 1) = P4 (1 / 1 ) .
P2
P1
N1
1.3
Abb.1: Graphen von Potenzfunktionen mit geradem Exponenten
Symmetrieeigenschaften von PF
Tab.1: Funktionswerte einiger Potenzfunktionen mit geradem Exponenten
x
− 100
−2
−1
−0,5
0
0.5
1
2
100
f2(x) = x2
104
4
1
0,25
0
0,25
1
4
104
8
16
1
0,0625
0
0,0625
1
16
10
12
64
1
0,015625
0
0,015625
1
64
10
4
10
6
10
f4(x) = x
f6(x) = x
8
12
P4
N2
P3
Vergleichen wir bei den Potenzfunktionen mit geradem Exponenten die Funktionswerte bzw. die Funktionsgraphen ( Abb.1 und Tab.1) für positive x-Werte mit
denen der entsprechenden negativen x-Werten, so fällt auf, dass diese jeweils
identisch sind. Es gilt z. B.
f2 ( −100 ) = 10 4 = 10.000 = f2 (100 ) und f 2 ( −2) = 4 = f2 ( 2)
oder
Abb.2: Graphen von Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten
Der jeweilige Verlauf der Graphen zeigt: Je größer die Exponenten werden, desto
gestreckter verlaufen die Graphen – sie verlaufen also näher an der y-Achse. Dies
gilt für alle x mit x > 1 . Nur im Bereich von -1 bis 1, also für alle x mit x < 1 ,
f4 ( −100 ) = 108 = f4 (2) und f4 ( −2) = 16 = f4 ( 2) .
Dabei sind stets alle Funktionswerte positiv – auch die der negativen x-Werte.
Allgemein können wir sagen, dass gilt
f (−x ) = f ( x ) .
werden die Parabeln mit Zunahme des Exponenten gestaucht, d. h. sie verlaufen
dort näher an der x-Achse. ( x
wird Betrag von x genannt)
3
4
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
1.4
Definition (Achsensymmetrie zur y-Achse)
Für Potenzfunktionen mit geradem Exponenten gilt:
für alle x ∈ IR .
f (x) = f (−x)
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Diese Art der Symmetrie nennen wir Achsensymmetrie zur y-Achse, da wir an den
Graphen dieser Funktionen erkennen können, dass die Graphen spiegelsymmetrisch zur y-Achse verlaufen.
Vergleicht man dagegen die Funktionswerte und Funktionsgraphen für positive xWerte mit denen der entsprechenden negativen x-Werte bei den Potenzfunktionen
mit ungeradem Exponenten ( Abb.2 und Tab.2), so fällt auf, dass sie sich lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden.
Grenzwertverhalten von PF
Das Grenzwertverhalten beschreibt den graphischen Verlauf eines Funktionsgraphen in einem bestimmten Bereich der Definitionsmenge. In der Regel geht es
dabei um das Verhalten am Rande der Definitionsmenge. Für alle bisher behandelten Funktionen gilt stets
ID = IR .
Daher sind bei Potenzfunktionen und später auch bei ganzrationalen Funktionen
( 2.) zunächst nur die Bereiche für sehr kleine bzw. sehr große x-Werte von
Interesse. Wir gehen hier der Frage nach: Wie verändert sich der Funktionswert
einer Funktion f, wenn x immer kleiner wird, wenn x sozusagen gegen minus Unendlich strebt? Wie schreiben dafür
Tab.2: Funktionswerte einiger Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten
x
− 100
3
6
f3(x) = x
−10
f5(x) = x5
−1010
7
f7(x) = x
−10
14
„x → −∞“
−2
−1
−0,5
0
0.5
1
2
100
−8
−1
−0,125
0
0,125
1
8
10
−32
−1
−0,03125
0
0,03125
1
32
1010
−128
−1
−0,0078125
0
0,0078125
1
128
10
6
und sagen „x strebt gegen minus Unendlich“.
Oder für den umgekehrten Fall
„x → + ∞“
14
So gilt z. B. f3 ( −2) = − 8 und f3 ( 2) = 8 sowie f3 ( −1) = − 1 und f3 (1) = 1 .
und sagen „x strebt gegen plus Unendlich“.
Dabei sind die Funktionswerte der negativen x-Werte ebenfalls stets negativ.
Betrachten wir das Grenzwertverhalten für x → − ∞ , so werden die Funktions-
Definition (Punktsymmetrie zum Nullpunkt)
Für Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten gilt:
werte von immer kleiner werdenden x-Werten untersucht ( − 100 ; − 1000 , − 10000
usw.). Umgangssprachlich können wir sagen: Erhalten wir sehr hohe, positive
Funktionswerte, so verläuft der Graph – am linken Rand ( x → − ∞ ) – gegen plus
f (−x) = − f (x)
für alle x ∈ IR .
Diese Art der Symmetrie nennen wir Punktsymmetrie zum Nullpunkt, da wir an
den Graphen dieser Funktionen erkennen können, dass die Graphen symmetrisch
sind bzgl. einer Spiegelung am Koordinatenursprung.
Die in den Definitionen der Achsen- bzw. Punktsymmetrie genannten Eigenschaften können bei der Berechnung von Funktionswerten von Potenzfunktionen einige
Rechenarbeit ersparen. Auch bei symmetrischen ganzrationalen Funktionen (
2.) können diese Bedingungen, z. B. im Rahmen der Kurvendiskussion, ausgenutzt werden.
5
Unendlich ( + ∞ ), d. h. nach oben. Erhalten wir sehr kleine, negative Funktionswerte, verläuft der Graph – am linken Rand ( x → − ∞ ) – gegen minus Unendlich (
− ∞ ), d. h. nach unten.
Betrachten wir das Grenzwertverhalten für x → + ∞ , so werden die Funktionswerte von immer größer werdenden x-Werten untersucht (100 , 1000 , 10000
usw.). Umgangssprachlich können wir hier sagen: Erhalten wir sehr hohe, positive
Funktionswerte, verläuft der Graph – am rechten Rand ( x → + ∞ ) – gegen + ∞ ,
d. h. nach oben. Erhalten wir sehr kleine, negative Funktionswerte, verläuft der
Graph – am rechten Rand ( x → + ∞ ) – gegen − ∞ , d. h. nach unten.
6
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Anhand der obigen Wertetabellen und Graphen (
anschaulich sofort klar:
Abb.1, 2 bzw. Tab.1, 2) ist
Der Grenzwert (Limes) einer Funktion f (kurz: lim f ( x ) ) für
x → + ∞ und x → − ∞
hängt bei Potenzfunktionen vom Exponenten ab.
Bei geraden Exponenten gilt unter Rückgriff auf die Achsensymmetrie zur y-Achse
( 1.3)
lim f ( x ) =
x→+∞
Bei ungeraden Exponenten gilt unter Rückgriff auf die Punktsymmetrie zum Ursprung ( 1.3)
lim
x→− ∞
= − lim
f (x)
1.5
x→+ ∞
f (x) =
− ∞.
Wertemengen von PF
Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge alle Funktionswerte, die sich ergeben, wenn man alle Elemente der Definitionsmenge (in der Regel IR) für x einsetzt. Die Wertemengen von Potenzfunktionen können sofort an den Funktionsgraphen aus Abb.1 und Abb.2 abgelesen werden:
Die Funktionswerte bei Potenzfunktionen mit geradem Exponenten sind immer
positiv, und da die Grenzwerte für Potenzfunktionen mit geradem Exponenten für
x → + ∞ und für x → − ∞ beide + ∞ sind, gilt hier
W = IR+ = {y ∈IR y ≥ 0 }.
f (x) = + ∞ .
lim
x → −∞
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Die Funktionswerte bei Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten sind positiv
für x > 0 und negativ für x < 0 . Der Grenzwert der Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten für x → + ∞ ist + ∞ und der für x → − ∞ ist − ∞ . Daher gilt
hier
W = IR .
Das heißt hier gilt
lim
x→+ ∞
f (x) =
1.6
+ ∞.
Monotonieverhalten (Steigung) von Potenzfunktionen
Das Monotonieverhalten einer Funktion gibt an, ob eine Funktion steigt oder fällt.
Das Monotonieverhalten kann überprüft werden, indem untersucht wird, ob die
Funktionswerte größer oder kleiner werden, wenn der x-Wert erhöht wird.
Aber
lim
x→− ∞
f (x)
= − ∞.
Dabei bedeutet die Schreibweise
lim
x→− ∞
f ( x ) bzw.
lim
x→+ ∞
f (x)
Das Monotonieverhalten sagt daher auch etwas über den Verlauf des Funktionsgraphen aus. Umgangssprachlich können wir sagen: Zeichnen wir den Funktionsgraphen tendenziell von links unten nach rechts oben, so steigt der Funktionsgraph. Ist der Verlauf eher von links oben nach rechts unten, fällt der Funktionsgraph. Dabei wird der Verlauf des Graphen stets von links nach rechts beschrieben, entsprechend den größer werdenden x-Werten.
nichts anderes als „Grenzwert der Funktion f (x ) für x gegen minus Unendlich“
bzw. „Grenzwert der Funktion f (x ) für x gegen plus Unendlich“.
7
Da das Monotonieverhalten nicht immer überall gleich ist, muss man die fallenden
und steigenden Bereiche getrennt voneinander betrachten. Diese unterschiedlichen Bereiche werden dann durch ihre x-Werte angegeben, mathematisch spricht
man hier von Intervallen.
8
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Definition (Intervalle)
Ein Intervall ist eine spezielle Teilmenge der reellen Zahlen IR.
[a ; b] = {y ∈IR
a ≤ x ≤ b}
heißt abgeschlossenes Intervall von a bis b und ent-
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Definition ((streng) monoton fallend):
Eine Funktion f heißt in einem Intervall I streng monoton fallend, falls für beliebige
Stellen x1 und x2 aus dem Intervall I gilt:
hält alle reellen Zahlen, die zwischen a und b liegen
und auch die sogenannten Intervallgrenzen a und b.
] a ; b[ = {y ∈IR
a < x < b}
heißt offenes Intervall von a bis b und enthält alle
reellen Zahlen, die zwischen a und b liegen, aber
nicht die Intervallgrenzen a und b.
] a ; b] = {y ∈IR
a < x ≤ b}
Wenn x1 < x2 ist, dann ist f ( x1) > f ( x2 ) .
Gilt lediglich:
Wenn x1 < x2 ist, dann ist f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) ,
so heißt f monoton fallend.
heißt linksoffenes Intervall von a bis b und enthält alle
reellen Zahlen, die zwischen a und b liegen und die
rechte Intervallgrenze b, aber nicht die linke Intervallgrenze a.
[a ; b [ = {y ∈IR
a ≤ x < b} heißt rechtsoffenes Intervall von a bis b und enthält
alle reellen Zahlen, die zwischen a und b liegen und
die linke Intervallgrenze a, aber nicht die rechte Intervallgrenze b.
Intervalle, bei denen eine der Intervallgrenzen − ∞ oder + ∞ ist, sind an dieser
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1
x2
x1
x2
Intervallgrenze per Definition immer offen, so z. B. ] − ∞ ; a ] oder [ b ; + ∞ [ .
Abb.3: Streng monoton wachsende Funktion
Definition ((streng)monoton wachsend oder auch monoton steigend)
Eine Funktion f heißt in einem Intervall I streng monoton wachsend (steigend),
falls für beliebige Stellen x1 und x2 aus dem Intervall I gilt:
Abb.4: Streng monoton fallende Funktion
Der Unterschied zwischen der strengen Monotonie und der „einfachen“ Monotonie
besteht lediglich darin, dass bei der Monotonie benachbarte Funktionswerte gleich
sein können; bei strenger Monotonie hingegen ist der rechte Funktionswert immer
größer (wachsend) bzw. kleiner (fallend) als der linke.
Wenn x1 < x2 ist, dann ist f ( x1 ) < f ( x 2 ) .
Gilt lediglich:
Wenn x1 < x2 ist, dann ist f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) ,
so heißt f monoton wachsend (steigend).
9
Wir wollen nun das Monotonieverhalten verschiedener ausgesuchter Potenzfunktionen analysieren, um gegebenenfalls daraus Gesetzmäßigkeiten für deren graphischen Verlauf abzuleiten. Dazu untersuchen wir, in welchen Bereichen der
jeweilige Funktionsgraph steigt und in welchen Bereichen der Funktionsgraph fällt.
Ist der Graph bekannt, folgen wir dazu dem Verlauf des Graphen von links nach
rechts.
10
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Bei Potenzfunktionen mit geradem Exponenten kennen wir bereits mit Abb.1 die
folgenden Graphen:
Zu erkennen ist, dass die Graphen der Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten bis x = 0 ständig steigen und auch über x = 0 hinaus weiter steigen. D. h. f
ist im gesamten Definitionsbereich ID = IR streng monoton wachsend.
1.7
PF der Art f ( x ) = a ⋅ x n
Funktionen der Art
f ( x ) = a ⋅ x n mit a ∈ IR
entstehen aus der Multiplikation des Funktionsterms einer Potenzfunktion
p( x ) = x n
Abb.5: Monotonie bei Graphen von PF mit geradem Exponenten
Offensichtlich zu erkennen ist, dass die Graphen der Potenzfunktionen mit geradem Exponenten bis x = 0 ständig fallen. Für diejenigen x, die größer als 0 sind,
steigen die Funktionsgraphen jedoch durchgehend an.
D. h. in dem Intervall I1 = ] − ∞ ; 0] ist f streng monoton fallend und in dem Intervall
I 2 = [ 0 ; + ∞ [ ist f streng monoton wachsend.
Wie verhält es sich nun bei Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten? Mit
Abb.2 kennen wir ebenfalls deren typischen graphischen Verlauf.
mit einem Koeffizienten a.
Durch diese Multiplikation ergeben sich Veränderungen der ursprünglichen Potenzfunktion p in Bezug auf den Verlauf des Graphen, das Grenzwertverhalten
und die Wertemenge. Lediglich das Symmetrieverhalten wird – wie wir im Folgenden noch sehen werden – nicht durch die Multiplikation mit einem beliebigen Koeffizienten beeinflusst.
Die Funktionen der Art f ( x ) = a ⋅ x n werden dabei entsprechend ihres typischen
graphischen Verlaufs in vier Funktionstypen klassifiziert:
•
n gerade, a > 0 ,
•
n gerade, a < 0 ,
•
n ungerade, a > 0 ,
•
n ungerade, a < 0 .
Diese vier Funktionstypen bilden eine wesentliche Grundlage für die Untersuchung der Eigenschaften ganzrationaler Funktionen ( 2).
Ausgehend von vier Beispielfunktionen, wollen wir die verschiedenen Veränderungen systematisch darstellen. Dazu werden wir zunächst mit Hilfe einer Wertetabelle die Funktionsgraphen der vier ausgewählten Funktionen darstellen
( Tab.3 und Abb.7 bis 10).
Abb.6: Monotonie bei Graphen von PF mit ungeradem Exponenten
11
12
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Tab.3: Wertetabelle der Funktionen f1 ( x ) = 0,5 x 2 , f2 ( x ) = − 3 x 4 , f3 ( x ) = 4 x 3 und f 4 ( x ) = − 2 x 5
x
-3
-2
-1
-0,5
0
0.5
1
2
3
f1 ( x ) = 0,5 x 2
4,5
2
0,5
0,125
0
0,125
0,5
2
4,5
f2 ( x ) = − 3 x 4
– 243
– 48
–3
– 0,1875
0
– 0,1875
–3
– 48
– 243
f3 ( x ) = 4 x 3
– 108
– 32
–4
– 0,5
0
0,5
4
32
108
f4 ( x ) = − 2 x 5
486
64
2
0,0625
0
– 0,0625
–2
– 64
– 486
Bei Potenzfunktionen mit geradem Exponenten wirkt sich die Multiplikation mit
positiven bzw. negativen Zahlen auf den Verlauf des Graphen folgendermaßen
aus:
•
Die Multiplikation mit positiven Zahlen führt zu einer Streckung (falls a > 1 )
•
Die Multiplikation mit negativen Zahlen führt zu einer Streckung (falls
a < − 1) bzw. Stauchung des Graphen (falls − 1 < a < 0 ) und zusätzlich im-
bzw. Stauchung des Graphen (falls 0 < a < 1 ).
mer zu einer Spiegelung an der x-Achse. Der Graph ist dann nach unten
geöffnet und die Grenzwerte ändern in diesem Fall ihr Vorzeichen.
Bei Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten wirkt sich die Multiplikation mit
positiven bzw. negativen Zahlen auf den Verlauf des Graphen folgendermaßen
aus:
•
Die Multiplikation mit positiven Zahlen führt zu einer Streckung (falls a > 1 )
bzw. Stauchung des Graphen (falls 0 < a < 1 ).
•
Die Multiplikation mit negativen Zahlen führt zu einer Streckung (falls
a < − 1) bzw. Stauchung des Graphen (falls − 1 < a < 0 ) und zusätzlich immer zu einer Spiegelung an der x-Achse. Die Grenzwerte ändern ihr Vorzeichen.
Abb.7: Graph zu f1 ( x ) = 0,5 x 2
Abb.8: Graph zu f2 ( x ) = − 3 x 4
Die Funktionsgleichungen der vier dargestellten Beispiele führen uns zu einer
Klassifikation des globalen Verlaufs der jeweiligen Funktionsgraphen, die wir in
der folgenden Tabelle zusammenstellen:
Tab.4: Verlauf der Funktionsgraphen der vier Funktionstypen zu f ( x ) = a ⋅ x n
n gerade und a > 0
n gerade und a < 0
y
y
x
Abb.9: Graph zu f3 ( x ) = 4 x 3
denen aus den Abb.8 und Abb.10 und denen der Potenzfunktionen mit f ( x ) = x n
13
y
y
x
x
n ungerade und a < 0
x
Abb.10: Graph zu f4 ( x ) = − 2 x 5
Betrachten wir die Graphen in den Abb.7 und Abb.7 und vergleichen wir diese mit
so wird deutlich:
n ungerade und a > 0
Die obige Zusammenstellung macht deutlich, dass sich das Symmetrieverhalten
der Funktionsgraphen auch durch die Multiplikation mit negativen Koeffizienten
nicht ändert. Das Grenzwertverhalten und die Wertemenge werden jedoch durch
die Multiplikation mit negativen Koeffizienten beeinflusst.
14
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Die folgende Tabelle soll nochmals verdeutlichen, wo sich Veränderungen ergeben und wo nicht.
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
1.8
Übungsaufgaben zu PF
1.8.1 Geben Sie für die vier Funktionstypen mit f ( x ) = ax n in Abhängigkeit vom
Tab.5: Symmetrieverhalten, Grenzwertverhalten und Wertemenge zu f ( x ) = a ⋅ x n
Exponenten n und vom Koeffizienten a die größten möglichen Intervalle an,
Grenzwertverhalten
f (x ) = a ⋅ x n
Symmetrieverhalten
für die sich das Monotonieverhalten nicht ändert.
Wertemenge
bei − ∞
bei + ∞
+∞
n gerade
und a > 0
Achsensymmetrie
zur y-Achse
+∞
n gerade
und a < 0
Achsensymmetrie
zur y-Achse
−∞
{
}
W = y ∈ IR y ≥ 0
1.8.2 Zeichnen Sie die Funktionen
f1 mit f1 ( x ) = − x 4 + 1 ,
−∞
{
}
W = y ∈ IR y ≤ 0
f2 mit f2 ( x ) =
1
4
x 4 − 2 und
f3 mit f3 ( x ) = ( x + 2 )4 + 1
n ungerade
und a > 0
Punktsymmetrie
zum Ursprung
−∞
+∞
n ungerade
und a < 0
Punktsymmetrie
zum Ursprung
+∞
−∞
W = IR
mit Hilfe der entsprechenden Wertetabellen in ein Koordinatensystem ein
und untersuchen Sie ihr Symmetrieverhalten, Grenzwertverhalten und Mo-
W = IR
notonieverhalten. Geben Sie jeweils die zugehörige Wertemenge an.
Was hat sich jeweils im Vergleich zur Funktion f mit f ( x ) = x 4 verändert?
Es bleibt zu fragen, ob sich aus der Multiplikation des Funktionsterms einer PF mit
einem Koeffizienten ein Einfluss auf das Monotonieverhalten ergibt. Die Überprüfung dieses Sachverhaltes überlassen wir dem Leser zur Übung ( Übungsaufgabe 1.8.1).
1.8.3 Zeichnen Sie die Funktionen
f4 mit f4 ( x ) = x 3 + 1 und f5 mit f5 ( x ) = − 0,5 x 3 − 1
mit Hilfe der entsprechenden Wertetabellen in ein Koordinatensystem ein
und untersuchen Sie ihr Symmetrieverhalten, Grenzwertverhalten und Monotonieverhalten. Geben Sie jeweils die zugehörige Wertemenge an.
Was hat sich jeweils im Vergleich zur Funktion f mit f ( x ) = x 3 verändert?
15
16
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
2
Ganzrationale Funktionen (GF)
In diesem Kapitel werden die ganzrationalen Funktionen vorgestellt. Dazu werden
grundlegende Eigenschaften wie beispielsweise ihr Symmetrieverhalten oder die
entsprechenden Wertemengen untersucht, die uns bei einer vollständigen Kurvendiskussion wieder begegnen werden.
2.1
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Als Definitionsbereich für ganzrationale Funktionen nehmen wir üblicherweise die
Menge IR der reellen Zahlen an.
Definition (Grad einer ganzrationalen Funktion / Grad eines Polynoms)
Der höchste Exponent n heißt der Grad des Polynoms.
Der Grad des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationalen Funktion.
Definition einer GF
Beispiele (ganzrationale Funktionen)
Setzen wir Potenzfunktionen bzw. Potenzfunktionen der Art f ( x ) = a ⋅ x n als
1.
Summen oder Differenzen zusammen, so erhalten wir Funktionen wie zum Bei-
Der höchste Exponent der Funktion f ist 3.
Folglich hat diese ganzrationale Funktion den Grad 3.
Die Funktionsgleichung hat also nach der allgemeinen Definition die Form
spiel die Funktion f mit f ( x ) = x 4 − 5 x 3 + 2 x 2 .
Definition (ganzrationale Funktion)
Eine Funktion f, deren Funktionsgleichung in der Form
f ( x ) = an x n + an −1x n −1 + an −2 x n −2 + ... + a2 x 2 + a1x + a0
mit n ∈ IN , a0 , a1, a2 , a3 , ..., an −1, an ∈ IR und an ≠ 0 , geschrieben werden kann,
heißt ganzrationale Funktion.
f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 2x − 7
f ( x ) = a3 x 3 + a2 x 2 + a1x + a0 .
Die einzelnen Koeffizienten haben somit die Werte
a3 = 1, a2 = − 5 , a1 = 2 und a0 = − 7 .
2.
g( x ) = − 2x 5 + 5 x 4 + 2x 2 + 1
Der höchste Exponent der Funktion g ist 5.
Folglich hat diese ganzrationale Funktion den Grad 5.
Die Funktionsgleichung hat also nach der allgemeinen Definition die Form
Anmerkung
Mit
g ( x ) = a5 x 5 + a4 x 4 a3 x 3 + a2 x 2 + a1x + a0 .
f ( x ) = a0 , f ( x ) = a1x + a0 und f ( x ) = a2 x 2 + a1x + a0
kennen wir bereits drei besondere ganzrationale Funktionen: Die konstanten,
linearen und quadratischen Funktionen.
Definition (Polynom / Koeffizienten des Polynoms / Absolutglied)
Ein Term der Form
an x n + an −1x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1x + a0
Die einzelnen Koeffizienten haben somit die Werte
a5 = − 2 , a4 = 5 , a3 = 0 , a2 = 2 , a1 = 0 und a0 = 1.
2.2
Symmetrieeigenschaften von GF
Ganzrationale Funktionen können mit 2.1 aufgefasst werden als zusammengesetzte Potenzfunktionen. Daher liegt es nahe, bei der Untersuchung der Symmetrie von ganzrationalen Funktionen auf das Wissen über die Symmetrie von Potenzfunktionen zurückzugreifen.
mit n ∈ IN , a0 , a1, a2 , a3 , ..., an −1, an ∈ IR und an ≠ 0 heißt Polynom in x.
Die Zahlen a0 , a1, a2 , a3 , ..., an bezeichnen wir als Koeffizienten des Polynoms.
Der Koeffizient ao heißt auch das Absolutglied, weil er im Grunde ohne x absolut
Die Graphen von Potenzfunktionen mit geradem Exponenten sind bekanntlich
achsensymmetrisch zur y-Achse, d. h. es gilt
f (−x ) = f (x ) .
unveränderlich ist, während a1x , a2 x 2 , a3 x 3 usw. durch Einsetzungen in die
Variable x verändert werden können.
17
18
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Daher können wir vermuten, dass die Graphen von ganzrationalen Funktionen, die
sich nur aus Summanden mit geradem Exponenten zusammensetzen, ebenfalls
achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Diese Vermutung lässt sich durch die Betrachtung verschiedener Funktionsgraphen anschaulich bestätigen ( Tab.6):
Tab.6: Vergleich verschiedener ganzrationaler Funktionen und ihrer Graphen
f ( x ) = 2x 3 + x 2 − x
g ( x ) = −2 x 4 + x 2
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Begründung
Allgemein gilt
( − x )n = ( x )n für gerade n, n ∈ IN .
Ist nun f mit f ( x ) = an x n + an −2 x n −2 + ... + a2 x 2 + a0 eine ganzrationale Funktion
deren Exponenten alle gerade sind, so gilt daher:
h( x ) = −2 x 3 + x
an ( − x )n + an − 2 ( − x )n −2 + ... + a2 ( − x )2 + a0 = an x n + an −2 x n −2 + ... + a2 x 2 + a0
Also
f (−x ) = f (x ) .
Abb.11: f ( x ) = 2 x 3 + x 2 − x
Abb.12: g ( x ) = −2 x 4 + x 2
Abb.13: h( x ) = −2 x 3 + x
Der Funktionsgraph von f (Abb.11) ist weder achsen- noch punktsymmetrisch.
Dies ist leicht an den Nullstellen − 1 und 0,5 abzulesen. Die Funktion f selber setzt
sich aus Potenzfunktionen mit geraden (2) und ungeraden Exponenten (1, 3) zusammen.
Der Funktionsgraph von g (Abb.12) ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Betrachten wir den Funktionsterm, so ist festzustellen, dass g nur gerade Exponenten (2,
4) besitzt.
Der Graph von h (Abb.13) hingegen besitzt nur ungerade Exponenten (1, 3); der
Verlauf des Graphen ist, wie leicht zu erkennen ist, punktsymmetrisch zum Ursprung.
Satz (Achsensymmetrie zur y-Achse bei ganzrationalen Funktionen)
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit
Entsprechende Überlegungen für ganzrationale Funktionen, deren Exponenten
alle ungerade sind, führen zu folgendem Satz:
Satz (Punktsymmetrie zum Ursprung bei ganzrationalen Funktionen)
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit
f ( x ) = an x n + ... + a1x1 + a0
ist genau dann punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn der Funktionsterm (das Polynom) ausschließlich Potenzen von x mit ungeradem Exponenten
enthält.
Begründung
Die Begründung dieser Behauptung erfolgt analog zur obigen Begründung für
ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponten: Wir verwenden allerdings
jetzt die Hilfe
( − x )n = − ( x )n = − x n für ungerade n, n ∈ IN .
f ( x ) = an x n + ... + a2 x 2 + a0
ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Funktionsterm (das
Polynom) ausschließlich Potenzen von x mit geradem Exponenten enthält.
Hinweis: a0 ist wegen a0 = a0 ⋅ x 0 = a0 ⋅ 1 ein Summand mit geradem Exponenten.
Bei ganzrationalen Funktionen, in deren Funktionsterm sowohl gerade als auch
ungerade Exponenten auftreten, gibt es stets Summanden, bei denen sich das
Vorzeichen beim Ersetzen von x durch –x ändert. Denn für die ungeraden
Summanden gilt
f (−x ) = − f ( x ) .
19
20
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Bei den anderen Summanden ändert sich das Vorzeichen hingegen nicht, da bei
geraden Exponenten gilt
f (−x ) = f ( x ) .
Daher ist unmittelbar ersichtlich:
Satz (Punktsymmetrie zum Ursprung bei ganzrationalen Funktionen)
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f, deren Funktionsterm sowohl gerade
als auch ungerade Potenzen von x enthält, ist weder achsensymmetrisch zur
y-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Beispiele (Symmetrie ganzrationaler Funktionen)
1. f ( x ) = 3 x 4 −
1
3
x 2 + 13
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
2.3. Grenzwertverhalten von GF
Das Grenzwertverhalten sagt etwas über den Verlauf des Graphen aus. Wenn wir
es kennen, können wir Aussagen treffen über die „Herkunft“ und das „Ziel“ des
Graphen. Dabei „lesen“ wir wie üblich von links nach rechts, d. h. die Graphen
kommen entweder aus dem II. oder dem III. Quadranten und führen entweder in
den I. oder den IV. Quadranten. Der Weg des Graphen „zwischendurch“, d. h. um
den Nullpunkt herum, wird dabei nicht beachtet.
Wir haben bereits festgestellt, wie wir anhand der Funktionsgleichung die
Symmetrie des Graphen einer ganzrationalen Funtkion erkennen können. Wir
wollen nun untersuchen, wie wir das Grenzwertverhalten (den Verlauf des
Graphen) für sehr kleine und sehr große x anhand des Funktionsterms erkennen
können.
Der Graph der Funktion f (Abb.14) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da
ausschließlich gerade Potenzen von x auftreten.
Beispiele (Grenzwertverhalten ganzrationaler Funktionen)
2. g ( x ) = 4 x 5 − 0,5 x 3 + 2 x
Der Graph der Funktion g (Abb.15) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da
ausschließlich ungerade Potenzen von x auftreten.
1. f1( x ) = x 3 − 2 x 2 − 15 x + 10
2. f2 ( x ) = x 3
Verlauf des Graphen von III nach I.
Verlauf des Graphen von III nach I
3. h( x ) = 4 x 4 − 6 x 3 + 2 x 2
Der Graph der Funktion h (Abb.16) ist wieder achsensymmetrisch zur y-Achse
noch punktsymmetrisch zum Ursprung, da gerade und auch ungerade Potenzen
von x auftreten.
Achsensymmetrie zur
y-Achse
Punktsymmetrie zum
Ursprung
II
I
II
I
III
IV
III
IV
Keine Symmetrie
Abb.18: f2 ( x ) = x 3
Abb.17: f1( x ) = x 3 − 2 x 2 − 15 x + 10
Abb.14: f ( x ) = 3 x 4 −
1 x2
3
+ 13
Abb.15: g ( x ) = 4 x 5 − 0,5 x 3 + 2 x
21
Abb.16: h( x ) = 4 x 4 − 6 x 3 + 2 x 2
22
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
3. f3 ( x ) =
1
4
x4 − x2 − x − 3
Verlauf des Graphen von II nach I
II
I
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
lim f1( x ) = lim
4. f4 ( x ) = x 4
Also gilt
Verlauf des Graphen von II nach I
Allgememein formulieren wir:
II
I
x → ∞
x → ∞
x3 .
Satz (Grenzwert von ganzrationalen Funktionen und höchster Exponent)
Bei einer ganzrationalen Funktion f mit
f ( x ) = an x n + an −1x n −1 + ... + a1x + a0
bestimmt der Summand an x n (mit dem höchsten Exponenten n) über den Verlauf
des Graphen für x → − ∞ und x → + ∞ .
III
IV
Abb.19: f3 ( x ) =
1
4
III
IV
Abb.20: f4 ( x ) = x 4
x4 − x2 − x − 3
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion hängt also nur vom
Summanden mit der höchsten Potenz von x ab.
Wir müssen daher lediglich nur wissen, wie die dem Grad der ganzrationalen
Funktion
entsprechende
Potenzfunktion
Grenzwertverhalten angeben zu können (
Die obigen Abbildungen lassen erkennen, dass die Graphen der Funktionen f1 und
f2 (Abb.17 bzw. Abb.18) am „Anfang“ und am „Ende“ gleich verlaufen. Gleiches gilt
für die Graphen der Funktionen f3 und f4 (Abb.19 bzw. Abb.20). Der Verlauf dieser
Graphen wird offensichtlich entscheidend durch die Summanden x3 bzw. x4
bestimmt. Die anderen Summanden scheinen lediglich den Verlauf in der
Umgebung des Ursprungs zu beeinflussen.
mit
f ( x ) = an x n verläuft,
um
das
1.7).
Tab.7: Grenzwertverhalten bei GF in Bezug auf f ( x ) = a ⋅ x n
Grenzwertverhalten
f ( x ) = a ⋅ xn
bei
−∞
bei
+∞
n gerade und a > 0
+∞
+∞
n gerade und a < 0
−∞
−∞
n ungerade und a > 0
−∞
+∞
n ungerade und a < 0
+∞
−∞
Tatsächlich gilt:
lim
=
f1( x )
lim
x→ ∞
=
lim
x→ ∞
=
lim
x→ ∞
=
lim
x→ ∞
x→ ∞
[x ⋅ (1−
3
[x ⋅ (1−
3
[x
3
]
⋅ (1 )
2x 2
x3
2
x
(x
3
− 2 x 2 − 15 x + 10
− 153x +
− 152 +
x
=
10
x3
x
10
x3
)
Da x beliebig groß (unendlich) wird,
gilt:
)]
2
lim  x  = 0
x → ∞ 
)]
lim
x→ ∞
Information:
lim
 15 
 2  =0
x 
x → ∞
(x )
3
lim
 10 
 3  =0
x 
x → ∞
23
Um den Verlauf des Graphen zu klären, sind also nur zwei Dinge am
Funktionsterm abzulesen:
1.
2.
Ist der Grad n gerade oder ungerade?
Ist der Koeffizient an der höchsten Potenz von x positiv oder negativ?
Die so getroffene Einteilung gibt mit Tab.7 automatisch das entsprechende
Grenzwertverhalten an.
24
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
In der folgenden Tab.8 ist das Grenzwertverhalten ganzrationaler Funktionen noch
einmal abschließend illustratorisch zusammengestellt:
n gerade
y
x
x
Verlauf von II nach I
Verlauf von III nach I
y
•
ganzrationale Funktionen mit ungeradem Grad
•
ganzrationale Funktionen mit geradem Grad.
Ganzrationale Funktionen mit ungeradem Grad
Bei ganzrationalen Funktionen mit ungeradem Grad haben wir gesehen, dass der
Graph dieser Funktionen
•
von − ∞ nach + ∞ verläuft, falls der Koeffizient an der höchsten Potenz von
x positiv ist und
•
von + ∞ nach − ∞ verläuft, falls der Koeffizient an der höchsten Potenz von
x negativ ist.
y
In beiden Fällen treten alle Werte von − ∞ bis + ∞ als Funktionswerte auf, so
dass gilt
x
an < 0
Wertemengen von GF
n ungerade
y
an > 0
2.4
Entsprechend dem oben dargestellten Grenzwertverhalten von ganzrationalen
Funktionen, sind bei der Betrachtung der Wertemengen dieser Funktionen zwei
(bei genauerem Hinsehen drei) Fälle zu unterscheiden:
Tab.8: Grenzwertverhalten bei geradem bzw. ungeradem höchsten Exponenten
f ( x ) = an x n
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
x
W = IR.
Die Wertemenge dieser Funktionen umfasst also alle reellen Zahlen.
Verlauf von III nach IV
Verlauf von II nach VI
Funktionen mit geradem Grad
Bei ganzrationalen Funktionen mit geradem Grad sind beide Grenzwerte
•
+ ∞ , falls der Koeffizient an der höchsten Potenz von x positiv ist, bzw.
•
− ∞ , falls der Koeffizient an der höchsten Potenz von x negativ ist.
Verbinden wir bei positiven an die beiden Äste des Graphen, so ist zu erkennen,
dass es im Verlauf des Graphen (mindestens) einen tiefsten Punkt geben muss:
T ( xT / yT ) .
Die y-Werte aller anderen Punkte sind demzufolge größer. Es gilt somit
W = { y ∈IR
25
26
y ≥ y T }.
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Verbinden wir hingegen bei negativen an die beiden „Äste“ des Graphen, so ist
erkennbar, dass es im Verlauf des Graphen (mindestens) einen höchsten Punkt
geben muss:
H ( xH / y H ) .
Die y-Werte aller anderen Punkte sind demzufolge kleiner. Es gilt somit
W =
2.5
{ y ∈IR
y ≤ y H }.
Markante Punkte einer GF
Von den markanten Punkten des Graphen einer ganzrationalen Funktion können
wir bisher lediglich die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen.
Dabei unterscheiden wir zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse und dem
Schnittpunkt mit der y-Achse. Die Bedingungen zur Bestimmung dieser beiden
Schnittpunktarten sind schon von den linearen Funktionen bekannt.
Im Rahmen der Differentialrechnung werden wir weitere markante Punkte der
Graphen von ganzrationalen Funktionen kennen lernen und untersuchen, Hochbzw. Tiefpunkte sowie Wendepunkte. Alle markanten Punkte werden bei einer
vollständigen Kurvendiskussion berücksichtigt.
2.5.1 Schnittpunkt mit der y-Achse
Auch bei ganzrationalen Funktionen gilt für den Schnittpunkt mit der y-Achse die
Bedingung:
x = 0.
Dieser hat daher die Koordinaten Sy (0 / f (0) ) .
Für ganzrationale Funktionen f mit f ( x ) = an x n + ... + a1x1 + a0 gilt
f (0) = a0
und somit
Sy (0 / a0 ) .
27
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
2.5.2 Schnittpunkte mit der x-Achse
Bei ganzrationalen Funktionen gilt für Schnittpunkte mit der x-Achse wie gehabt
die Bedingung
f (x) = 0 .
Dies führt bei ganzrationalen Funktionen ersten oder zweiten Grades zu linearen
bzw. quadratischen Gleichungen, die mit Hilfe geeigneter Verfahren zu lösen sind.
Beispiel (Lineare Funktion f ( x ) = 5 x + 6 )
Die Bedingung f ( x ) = 0 führt hier zu der Gleichung 5 x + 6 = 0 .
⇒
5x + 6 = 0
−6
⇔
5x = − 6
:5
⇔
x =−
6
5
= − 1,2
Somit gilt: Sx (− 1,2 / 0 ) bzw. N (− 1,2 / 0 ) .
Beispiel (Quadratische Funktion f ( x ) = 2x 2 + 10 x + 12 )
Die Bedingung f ( x ) = 0 führt hier zu der Gleichung 2 x 2 + 10 x + 12 = 0 .
⇒
⇔
2x 2 + 10 x + 12 = 0
x
2
+ 5x + 6 = 0
()
5 2
2
⇔
x = −5±
⇔
x = − 2,5 ±
⇔
x = − 2,5 ± 0,5
⇔
x = − 2,5 − 0,5
⇔
x = −3
2
∨
:2
pq − Formel
−6
0,25
∨
x = − 2,5 + 0,5
x = −2
Somit gilt: S x1 (− 3 / 0 ) und S x 2 (− 2 / 0 ) bzw. N1 (− 3 / 0 ) und N2 (− 2 / 0 ) .
Bei ganzrationalen Funktionen dritten oder höheren Grades sind die Nullstellen
nicht mit Hilfe einer einfachen Formel zu bestimmen, wie dies z.B. bei den quadratischen Funktionen der Fall ist ( p-q-Formel).
28
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Lösungsverfahren: Ausklammern
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Bedingung zur Bestimmung der Nullstellen: f ( x ) = 0
Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion hat bekanntlich die Form:
⇒ x ⋅ ( x 2 + 6 x + 9) = 0
f ( x ) = an x n + an −1x n −1 + ... + a2 x 2 + a1x + a0 .
⇔
x= 0
∨ x 2 + 6x + 9 = 0
Ist bei einer ganzrationalen Funktion das Absolutglied gleich Null, also a0 = 0 ,
⇔
⇔
x= 0
x= 0
∨ ( x + 3)( x + 3) = 0
∨ x = − 3 ∨ x = −3
so können wir zunächst durch das Ausklammern einer möglichst großen Potenz
von x (höchste mögliche Potenz ist dabei die kleinste, die in dem Polynom auftritt)
versuchen, den Grad des Restpolynoms zu verringern. Oft reicht dies schon aus,
um ohne Polynomdivision die Nullstellen zu bestimmen.
Beispiel (Bestimmung der Nullpunkte von f ( x ) = 6 x 5 + 2 x 4 − 4 x 3 )
1. binom. Formel
Die Nullpunkte sind somit N1( −3 / 0) und N2 (0 / 0) .
Am letzten Beispiel wird deutlich, dass wir bei der Berechnung der Nullstellen eine
Zahl auch mehrfach erhalten können. Wir sprechen dann von einer mehrfachen
Nullstelle. So war etwa im obigen Beispiel x = − 3 eine doppelte Nullstelle der
Funktion f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x .
Sei f ( x ) = 6 x 5 + 2 x 4 − 4 x 3 .
Dann gilt f ( x ) = 6 x 5 + 2 x 4 − 4 x 3 = x 3 ⋅ (6 x 2 + 2 x − 4) .
Bedingung zur Bestimmung der Nullstellen: f ( x ) = 0
⇒
x 3 ⋅ ( 6 x 2 + 2 x − 4) = 0
⇔
x3 = 0
⇔
x =0
∨ x2 +
⇒
x =0
∨ x1 2 = − 61 ±
⇔
x =0
∨ x1 2 ≈ − 61 ± 2,01
⇔
x ≈ −2,18 ∨ x = 0 ∨ x ≈ 1,84.
∨ 6 x 2 + 2x − 4 = 0
1
3
x −4=0
Lösungsverfahren: Polynomdivision
Ist die Zerlegung des Funktionsterms in die sogenannten Linearfaktoren bekannt,
so lassen sich die Nullstellen direkt ablesen.
:6
p − q − Formel
(61 )2 + 4
Die Funktion f mit f ( x ) = x 3 + 5,5 x 2 − 9 x − 49,5 = ( x + 5,5) ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x − 3) hat die
Nullstellen x1 = − 5,5 ∧ x 2 = − 3 ∧ x 3 = 3 ,
da ein Polynom der Art ( x + 5,5) ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x − 3) genau dann 0 ist, wenn einer der
Faktoren 0 ist.
Zwar kann in IR nicht jedes Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden,
falls jedoch eine Nullstelle x0 ∈ IR existiert, so gilt folgender Satz:
Die Nullpunkte sind somit N1( −2,18 / 0), N 2 (0 / 0) und N 3 (1,84 / 0).
Satz und Definition (Linearfaktor / Restpolynom)
Ist x0 ∈ IR eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion f mit
Beispiel (Bestimmung der Nullpunkte von f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x )
f ( x ) = an x n + an −1x n −1 + ... + a2 x 2 + a1x + a0 ,
Sei f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x .
so lässt sich f schreiben als f ( x ) = g ( x ) ⋅ ( x − x0 ) .
Dann gilt f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x = x ⋅ ( x 2 + 6 x + 9) .
Wir bezeichnen die Differenz ( x − x0 ) als Linearfaktor und g (x ) als Restpolynom.
29
Das Restpolynom g( x ) ist ein Polynom mit dem Grad n − 1 ist.
30
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Um das Restpolynom g(x), das beim Abspalten des Linearfaktors entsteht,
angeben zu können, muss in der Regel eine sogenannte Polynomdivison
durchgeführt werden.
Die Nullstelle, die zur Bildung des Linearfaktors erforderlich ist, wird im Rahmen
der Schulmathematik in der Regel durch „Ausprobieren“ ermittelt. Das bedeutet,
dass die Funktionswerte der ganzzahligen x-Werte z. B. von x = − 3 bis x = + 3
berechnet werden. Gilt dann hoffentlich für einen dieser Werte f ( x ) = 0 , so hat
man eine Nullstelle gefunden und kann mit dem zugehörigen Linearfaktor die
Polynomdivision durchführen.
Beispiel (Polynomdivision bei der Funktion f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 )
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Damit ist
g ( x ) = ( x 2 + x − 2) und
f ( x ) = ( x − 3) ⋅ ( x 2 + x − 2) .
Mit Hilfe der p-q-Formel kann man nun die Nullstellen von g (x ) ermitteln:
x 2 = − 2 und x 3 = 1 .
Somit besitzt f insgesamt drei Nullstellen − 2 ; 1 und 3 .
Um das Verfahren der Polynomdivision zur Bestimmung von Nullstellen einer
ganzrationalen Funktion anzuwenden, ist es notwendig, eine Nullstelle zu kennen,
um durch den entsprechenden Linearfaktor teilen zu können. Dies kann - wie oben
bereits beschrieben – letztlich nur durch systematisches „Ausprobieren“,
bestimmter x-Werte geschehen.
Gegeben ist die Funktion f mit
Dabei soll der folgende Satz eine Hilfe sein:
f ( x ) = x 3 − 2x 2 − 5 x + 6 .
Eine Nullstelle dieser Funktion ist x = 3 ,
Satz (Absolutglied und Linearfaktor)
Für eine ganzrationale Funktion f mit
da f (3) = 33 − 2 ⋅ 32 − 5 ⋅ 3 + 6 = 0 .
f ( x ) = an x n + an−1x n −1 + ... + a2 x 2 + a1x + a0 ,
Somit gilt
g ( x ) = f ( x ) : ( x − 3) .
deren Koeffizienten alle ganzzahlig sind, gilt:
Um zu wissen, welcher Funktionsgleichung g (x ) genügt, führen wir eine PolyJede ganzzahlige Nullstelle von f ist ein Teiler des absoluten Gliedes a0 .
nomdivision durch:
:x
=
( x 3 − 2x 2 − 5 x + 6) : ( x − 3) = x 2 + x
− (x 3 − 3x 2 )
−2
Beispiel (Bestimmung der Nullstellen von f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 )
Gegeben ist die Funktion f mit
x 2 − 5x + 6
f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 .
− (x 2 − 3x )
− 2x + 6
− ( −2 x + 6 )
0
Für diese Funktion gilt
f (3) = 30 und f ( 2) = 0
Also ist x = 2 eine Nullstelle dieser Funktion, so dass sich f schreiben lässt als
f ( x ) = g ( x ) ⋅ ( x − 2) .
Wir berechnen das Restpolynom g ( x ) mit
g ( x ) = f ( x ) : ( x − 2) .
31
32
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Es ist:
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Lösungsverfahren: Substitution
:x
=
( x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 ) : ( x − 2 ) = x 2 + 5 x + 6
− (x
3
2
− 2x )
Unter Substitution versteht man allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen
anderen. Dies wird üblicherweise angewandt um den Ausdruck, der den Term
enthält, zu vereinfachen beziehungsweise in eine Standardform zu überführen.
5 x 2 − 4 x − 12
− ( 5 x 2 − 10 x )
Im Zusammenhang mit ganzrationalen Funktionen wird dieses Verfahren benutzt,
6 x − 12
− ( 6 x − 12 )
um die Nullstellen von Funktionen mit „biquadratischen“ Funktionstermen zu bestimmen.
0
Biquadratisch sind die Funktionsterme, wenn sie die Form f ( x ) = ax 2n + bx n + c
besitzen. Dabei enthält der Funktionsterm einen Absolutanteil ohne die Variable x
Für das Restpolynom gilt folglich
und zwei Summanden mit Potenzen von x. Für diese beiden Potenzen muss gel-
g ( x ) = ( x + 5 x + 6) .
2
ten, dass die erste dieser Potenzen doppelt so groß ist wie die zweite. Entspre-
( )2 + b(x n ) + c
chend den Potenzgesetzen gilt dann f ( x ) = ax 2n + bx n + c = a x n
Die Funktion f ist daher auch zu schreiben als
.
f ( x ) = ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 5 x + 6 ) .
Die erste Potenz ist also das Quadrat der zweiten Potenz.
Also gilt
Diese Eigenschaft nutzt man aus, um die Bestimmung der Nullstellen solcher
f (x) = 0
Funktionen auf das Lösen einer quadratischen Gleichung zurückzuführen. Ersetzt
⇒ x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 = 0
Polynomdiv ision
( )2 = z 2 ).
so ist die erste Potenz dann das Quadrat der neuen Variable ( x 2n = x n
⇔ ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 5x + 6) = 0
⇔ x −2=0
⇔
x=2
+2
∨
x 2 + 5x + 6 = 0
∨
x = −3
∨
Ist die so entstandene quadratische Gleichung lösbar (mit der pq-Formel, der
pq − Formel
x = −2 .
Die Nullpunkte sind somit N1 (− 3 / 0 ) , N2 (− 2 / 0 ) und N1 (2 / 0 ) .
33
man die kleinere der Potenzen durch eine neue Variable z (Substitution x n = z ),
quadratischen Ergänzung oder einem andren Lösungsverfahren), so erhält man
eine oder zwei Lösungen für z. Um nun die Lösungen für x zu erhalten muss eine
„Rücksubstitution“ durchgeführt werden. Entsprechend der Bedingung x n = z gilt
nun x = ± n z , falls n gerade ist und x = n z , falls n ungerade ist.
34
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
Biquadratische Funktion
Substitution
Substituierte Funktion
f ( x ) = 2 x 4 + 8 x 2 − 10
x2 = z
f ( x ) = 2z 2 + 8z − 10
f ( x ) = 21 x 4 − 4 x 2 + 1
x2 = z
f ( x ) = 21 z 2 − 4z + 1
f ( x ) = 3 x 6 + 12 x 3 − 12
x3 = z
f ( x ) = 3z 2 + 12z − 12
f ( x ) = 0,5 x 8 + 6 x 4 − 3
x4 = z
f ( x ) = 0,5z 2 + 6z − 3
Beispiel (Bestimmung der Nullstellen von f ( x ) = −
1
8
x
4
+ 2x
2
Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = − 81 x 4 + 2 x 2 − 6 .
Bed: f ( x ) = 0
− 1 x 4 + 2x 2 − 6 = 0
Substitution : x 2 = z
⇔
− 1 z 2 + 2z − 6 = 0
⋅ (− 8 )
⇔
z
⇔
z =8±
(− 8)2
⇔
z = 8±
16 = 8 ± 4
⇔
z = 4
⇔
⇔
x= ± 4
∨ x = ± 12
x = −2 ∨ x = +2 ∨
x ≈ − 3,46
∨
x ≈ + 3,46
⇔
x1 = − 3,46
∨
∨
x 4 = 3,46
⇒
8
8
2
− 16z + 48 = 0
∨
− 48
z = 12
∨
pq − Formel
x2 = − 2
− 6)
Skript zum Ausbau der Funktionentheorie I
2.6
Übungsaufgaben zu GF
2.6.1 Stellen Sie folgende Funktionsgleichungen durch Polynome dar. Geben Sie
den Grad des Polynoms und den Wert der Koeffizienten a0, a1, a2, ... an.
a)
f ( x ) = ( x − 2 )2 − 4 x 3
b)
f ( x ) = 2 x 3 − ( x − 1)2
c)
f ( x ) = ( x − 4 )( x + 1) 2
2.6.2 Welche der folgenden ganzrationalen Funktionen haben Graphen, die
achsensymmetrisch zur y-Achse bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung
sind?
a)
f ( x ) = 13 x 4 + 7 x 2 − 11
b)
f ( x ) = ( 2 x 3 − 4 x )x 3
c)
f ( x ) = 4 x 3 − 7 x + 13
2.6.3 Bestimmen Sie die Variable c so, dass der Graph der Funktion symmetrisch
verläuft (achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum
Ursprung).
a)
f ( x ) = x 3 + 4x + c
b)
f ( x ) = ( x − c )( x + 4 )
c)
f ( x ) = x3 + xc
2.6.4 Führen Sie die folgenden Polynomdivisionen durch:
Rücksubstitution x = ±
x3 = 2
Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind somit:
N1(− 3,46 / 0 ) , N 2 (− 2 / 0 ) , N3 (2 / 0 ) und N 4 (3,46 / 0 ) .
a)
( x 3 − 4 x 2 − 16 x + 15) : ( x + 3)
b)
(3 x 3 − 11x 2 − 13 x + 36 ) : ( x − 4)
c)
( 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x − 5) : x +
(
1
2
)
2.6.5 Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktionen f und g mit
f ( x ) = x 3 − x ² − 22 x + 40 und g ( x ) = 6 x 3 + 19 x ² + 2 x − 3 .
Hinweis: Bestimmen Sie zunächst eine Nullstelle und zerlegen Sie anschließend den
Funktionsterm mittels Division durch den zur Nullstelle gehörenden Linearfaktor.
2.6.6 Zeigen Sie, dass die Funktionen f und g mit
f ( x ) = x 2 + 1 und g ( x ) = x 6 + x 4 + x 2 + 1 = ( x 2 + 1)( x 4 + 1)
keine reellen Nullstellen und somit auch keine Zerlegung in Linear-faktoren
in IR haben.
35
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