Prof. Guido Sweers Jan M. Krämer Michael Kühn WS 2015/2016

WS 2015/2016
Prof. Guido Sweers
Jan M. Krämer
Michael Kühn
Analysis 1 - Übungsblatt 6
Die Lösungen müssen in den Übungsbriefkasten Analysis 1 (im Studierendenarbeitsraum, Mathematisches Institut, 3. Etage) geworfen werden. Abgabeschluss ist Donnerstag, 12 Uhr.
Aufgabe 1 (5 Punkte): Bestimmen Sie jeweils sup{xn }, inf{xn }, lim sup xn , lim inf xn
n→∞
n→∞
(a) xn = (−1)n−1 2 + n3
(b) xn = 1 + 2(−1)n+1 + 3(−1)
(c) xn = n(−1)
n(n−1)
2
n
Aufgabe 2: Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mithilfe von Partialbruchzerlegung in möglichst einfacher Form:
x2 + 2x − 12
(a)
(x − 2)2 (x − 3)
(b)
x4 − 9 x3 + 3 x2 + 145 x − 300
(x − 8)(x + 1)
Aufgabe 3 (5 Punkte): Seien {an }n∈N und {bn }n∈N reelle Folgen.
(a) Zeigen Sie: lim sup (an + bn ) ≥ lim sup an + lim inf bn .
n→∞
n→∞
n→∞
(b) Geben Sie ein Beispiel an, so dass lim sup (an + bn ) > lim sup an + lim inf bn .
n→∞
n→∞
n→∞
Aufgabe 4: Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?
(a) Sei an > 0 für n ∈ N: lim ann = 1 ⇒ lim an = 1
n→∞
n→∞
(b) lim an = 1 ⇒ lim ann = 1
n→∞
n→∞
Aufgabe 5 (5 Punkte): Angenommen jedes x ∈ (−1, 1) = {x ∈ R; −1 < x < 1} ist ein Häufungspunkt für die Folge {an }n∈N . Zeigen Sie, dass dann 1 auch ein Häufungspunkt für diese
Folge ist.
Aufgabe 6: Richtig oder falsch?
(a) Wenn {an } nicht beschränkt ist, dann hat es auch keinen Häufungswert.
(b) Wenn {an } nur einen Häufungspunkt hat, dann konvergiert {an }.
(c) Wenn {an } beschränkt ist und nur einen Häufungspunkt hat, dann konvergiert {an }.
Aufgabe 7: Die Ganzzahlfunktion x 7→ [x] ist für x ∈ R definiert als [x] := sup {n ∈ N ; n ≤ x}.
Wir definieren
√ √
n − n n∈N .
an :=
Zeigen Sie die folgenden Aussagen für n, m ∈ N+ :
(a) Für n = m2 gilt an = 0.
(b) Für n = m2 + 2m gilt an > 1 −
1
.
2m
(c) Für n ∈ [m2 , m2 + 2m) gilt an < an+1 < an +
1
.
2m
(d) Die Häufungspunkte von an sind [0, 1]
Aufgabe 8: Sei {xn }n∈N eine beliebige Folge reeller Zahlen und die Folge {an }n∈N gegeben durch
n−1
1X
durch das arithmetische Mittel an :=
xk .
n k=0
(a) Zeigen Sie:
lim sup an ≤ lim sup xn
n→∞
n→∞
lim inf xn ≤ lim inf an .
n→∞
n→∞
(b) Sei x ∈ R. Folgern Sie:
lim xn = x =⇒ lim an = x.
n→∞
n→∞
(c) Gilt auch die Umkehrung? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 9 (5 Punkte): Beweisen Sie für c ∈ R:
lim sup an = c ⇐⇒ ∀ε>0 : (∃n0 ∀n≥n0 : an < c + ε) ∧ (∀k0 ∈N ∃k≥k0 : ak > c − ε)
n→∞
Wir wurden gebeten folgenden Hinweis aufzunehmen:
Liebe Studierende!
Die Fachschaft Mathematik möchte Weihnachten feiern. Mit Euch! Ihr seid eingeladen am
9.12. ab 19 Uhr im Asta Café einen Glühwein oder Punsch auf die kommenden Feiertage
zu trinken. Wir freuen uns auf euch!