ETBlatt3-neu - Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
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Johann Wolfgang Goethe - Universität Frankfurt am Main Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Institut für Statistik und Mathematik Mathematik - Prof. Dr. H. Rommelfanger Mertonstr. 17-23 Telefon (069) 798 - 23 609 14.05.2016 ENTSCHEIDUNGSTHEORIE 3. Übungsblatt 1. WS 03/04 Betrachtet werden die beiden Ziele Gewinn (G) und Umsatz (U), für die beide möglichst große Werte erreicht werden sollen. Die realisierbaren Zielwertkombinationen sind in dem folgenden G/U-Koordinatensystem geometrisch dargestellt. G 400.000 C B D 300.000 A E 200.000 G 100.000 F 1 Mio. 2 Mio. 3 Mio. 4 Mio. U Eigentlich kann man einen solchen Zielkonflikt nur durch die Formulierung einer übergeordneten Nutzenfunktion N(G,U)max lösen. Eine solche Nutzenfunktion ist jedoch meistens nicht zuverlässig genug formulierbar. Es gibt daher verschiedene (letztendlich heuristische) Konzepte, mit denen versucht wird, gute resp. optimale Lösungen zu bestimmen. Geben Sie die G/U-Kombinationen an, die sich mit den folgenden Lösungskonzepten ergeben: a. Zielunterdrückung: Das Gewinnziel ist zu unterdrücken. b. Lexikografische Optimierung: Erstrangig ist das Gewinnziel zu realisieren. c. Erfüllung des Effizienzkriteriums: Eine Zielkombination ist dann effizient, wenn man den einen Zielwert nicht erhöhen kann, ohne den anderen zu verschlechtern. d. Maximierung der einen Zielgröße bei vorgegebenem Anspruchsniveau für die andere Zielgröße: Der Umsatz soll mindestens 3,3 Mio. betragen. e. Zielgewichtung: Das folgende Gesamtziel Z = 2,5G + 0,5U soll maximiert werden. 2 2. Gegeben sei folgendes Mehrziel-Entscheidungsproblem, bei dem die einzelnen Ziele jeweils möglichst groß gewählt werden sollen: z1 z2 z3 z4 z5 z6 a1 5 2 10 13 4 1 a2 13 4 10 13 0 5 a3 4 12 20 2 10 5 a4 2 12 8 4 10 5 a5 5 1 10 10 2 0 a. Was versteht man unter ineffizienten Handlungsalternativen und welche Rolle spielen diese im weiteren Entscheidungsprozess? Liegen solche ineffizienten Handlungsalternativen in obigem Beispiel vor? b. Welche Alternative wird ausgewählt, wenn als Entscheidungskonzept i. die Zielunterdrückung (z5 sei das wichtigste Ziel) ii. die lexikografische Ordnung (z5 sei das wichtigste, z2 das zweitwichtigste und z3 das drittwichtigste Ziel.) iii. die Maximierung einer Zielgröße bei vorgegebenem Anspruchsniveau für andere Zielgrößen (z1 soll größer als 4 sein, z5 sei dann das zu optimierende Ziel.) anwendet? Beurteilen Sie kurz die einzelnen Lösungskonzepte. c. Die einzelnen Zielgrößen werden nun über eine Beurteilungshierarchie zur Zielgröße z9 zusammengefasst, welche ebenfalls maximiert werden soll. Die nachfolgende Grafik gibt dabei die Gewichte der Zielgrößen auf den einzelnen Stufen an. z9 0,6 0,4 z7 0,3 4 0,4 z1 z2 z8 0,3 z3 0,1 z4 0,6 z5 0,3 z6 Welche Alternative wird ausgewählt? Beurteilen Sie auch dieses Lösungskonzept. 3 3. Gegeben sei folgendes Mehrziel-Entscheidungsproblem: z1 z2 z3 z4 z5 wj 0,1 0,25 0,2 0,05 0,1 a1 7 2 6 9 10 a2 5 5 5 5 5 a3 1 6 2 1 1 a4 8 3 5 9 8 a5 4 9 8 5 7 z6 0,3 3 5 10 3 2 Dabei geben zj die einzelnen Ziele, wj die Gewichte der einzelnen Ziele und ai die zur Auswahl stehenden Alternativen an. Ziel ist es, die Nutzenwerte der einzelnen Ziele zu maximieren. Ermitteln Sie mit Hilfe des Goal-Programming-Ansatzes die Alternative, bei der die einzelnen Ziele “möglichst gut” erfüllt werden. Wählen Sie dazu als Abstandsmaß die Regret-Funktion. 4. Gegeben sind die beiden folgenden Paarvergleichsmatrizen 1 4 A 1 1 4 2 8 a. 1 2 1 8 1 und 1 5 4 1 1 B 1 3 5 1 3 1 4 Berechnen Sie den auf 1 normierten Gewichtungsvektor zur Paarvergleichsmatrix A. b. Berechnen Sie nach der AHP-Methode den Gewichtungsvektor zur Paarvergleichsmatrix B. (Der größte Eigenwert der Matrix B ist = 3,0858) 5. Betrachten wir die Auswahl einer Studentenwohnung, bei der die 3 Ziele "Größe der Wohnung (in qm)", "Entfernung zur Universität (in Gehminuten)" und "Lärmbelästigung" berücksichtigt werden. Verwendet wird die in der Tabelle beschriebene Paarvergleichsmatrix mit Fuzzy-Intervallen. Einige der Paarvergleiche sind dabei bewusst recht unscharf gewählt. Größe Entfernung Lärm Größe (1;1;1;1;1;1) (7 ; 8 ; 8,5 ; 9,5 ;10 ;11) (2 ; 2,5 ; 3 ; 3 ; 3,5 ; 4) Entfernung ( 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 1 ; 1) (1;1;1;1;1;1) (1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 1 ; 2) Lärm (1 ; 3 ; 1 ; 1 ; 2 ; 1) (2,5 ; 3; 3,5 ; 4,5 ; 5 ; 6) (1;1;1;1;1;1) 11 10 19 17 8 7 4 7 3 3 5 2 6 5 9 7 3 5 ( 59 ; 107 ; 82 ; 74 ; 61 ; 23 ) (10,5 ;12 ;13;15 ;16 ;18) (19 ; 16 ; 38 ; 30 ; 29 ; 27 ) 44 70 57 51 40 14 6 5 9 7 6 5 a. Berechnen Sie die mit σ*j normierte Paarvergleichsmatrix mit Fuzzy-Intervallen und den g *. Fuzzy-Gewichtevektor ~ 4 b. Berechnen Sie auf der Basis der bisherigen Rechnungen und der in der nachfolgenden Tabelle gegebenen Teilnutzenwerte u ik für die Attribute von vier Wohnungen den ~ der einzelnen Wohnungen. Gesamtnutzen u k 6. Wohnung A B C D Größe (qm) 10 2 1 4 Entfernung (Min) 1 10 2 5 Lärmbelästigung 2 1 9 5 Gegeben sei folgendes hierarchisches Zielsystem zur Beurteilung der Bilanzstruktur eines Unternehmens: Bilanzstruktur Eigenkapitalquote Eigenkapitalqualität Gesamtanlagendeckungsgrad Zur Klassifizierung der Eingangsgrößen werden trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen verwendet, wobei im Folgenden nur die Eckpunkte der Zugehörigkeitsfunktionen auf 0- und 1-Niveau angegeben werden. EK-Quote (niedrig) [%] = (-; -; 15; 20) EK-Quote (mittel) [%] = (15; 20; 26; 33) EK-Quote (hoch) [%] = (26; 33; ; ) EK-Qualität (niedrig) [%] = (-; -; 85; 90) EK-Qualität (mittel) [%] = (85; 90; 95; 100) EK-Qualität (hoch) [%] = (95; 100; ; ) Gesamtanlagendeckungsgrad (niedrig) [%] = (-; -; 65; 70) Gesamtanlagendeckungsgrad (mittel) [%] = (65; 70; 80; 90) Gesamtanlagendeckungsgrad (hoch) [%] = (80; 90; ; ) 5 Die Unterziele werden mittels folgendem Regelsatz aggregiert. Eigenkapitalquote Eigenkapitalqualität Gesamtanlagendeckungsgrad Bilanzstruktur s s s s s s s s s m m m m m m m m m g g g g g g g g g s s s m m m g g g s s s m m m g g g s s s m m m g g g s m g s m g s m g s m g s m g s m g s m g s m g s m g ss s sm m sm m ss m s m+ m+ mm+ m+ s+ s+ m m+ m+ g gg g+ Es werden drei Unternehmen betrachtet: Eigenkapitalquote Eigenkapitalqualität Gesamtanlagendeckungsgrad Unternehmen A 17 % 100 % 85 % Unternehmen B 35 % 92 % 79 % Unternehmen C 30 % 87 % 60 % Geben Sie für jedes Unternehmen die (unscharfe) Beurteilung des Oberziels “Bilanzstruktur” an. 6 7. In dem großen Telekommunikationsunternehmen Mobil-Dom soll ein Werbeauftrag an eine von 6 Werbeagenturen (A - F) vergeben werden. Ein Entscheidungsgremium bestehend aus 9 Personen (m1 – m9) soll die geeignete Agentur auswählen. Die Präferenzordnungen der einzelnen Mitglieder sind in der folgenden Tabelle wiedergegeben. m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 1. B B A F D C A A A 2. A A E E E D E D F 3. D C B B B F C B D 4. F E C A A B B C C 5. C F F C F A D F B 6. E D D D C E F E E Welche Agentur wird gewählt bei Anwendung a. der Einstimmigkeitsregel, b. der einfachen und der absoluten Mehrheit, c. dem Double Election-Verfahren, d. dem Borda-Kriterium, e. der Methode des paarweisen Vergleichs? Existiert eine Condorcet-Alternative? Wenn ja, benennen Sie diese! 8. Gegeben sei folgendes Präferenzordnungsprofil einer Gruppe mit drei Mitgliedern und vier zur Auswahl stehenden Alternativen. Genügt dieses Präferenzordnungsprofil der Eingipfelbedingung? a b c P1 P2 P3 c d d P1 P2 P3 d c b P1 P2 P3 b a a
