Modulformen - ¨Ubungsblatt 3

Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. C.-G. Schmidt
Dr. Fabian Januszewski
08.05.2015
Modulformen - Übungsblatt 3
Wir bezeichnen mit log den Hauptzweig des natürlichen Logarithmus.
Aufgabe 1
Es sei (bn )n∈N eine Folge komplexer Zahlen. Wir sagen, daß das unendliche Produkt
Q
∞
n=1 bn absolut konvergiert, wenn für die Folge an := bn − 1 die Reihe
∞
X
|an |
n=1
absolut konvergiert. Zeigen Sie:
(a) Das unendliche Produkt der bn konvergiert genau dann absolut, wenn es ein N ∈ N
gibt mit |ak | < 1 für alle k ≥ N so daß die Reihe
∞
X
log(bn )
k=N
absolut konvergiert.
(b) Im Fall der absoluten Konvergenz gilt
∞
Y
bn := lim
n→∞
n=1
(c) Es gilt
Q∞
n=1 bn
n
Y
bi =
i=1
N
−1
Y
∞
X
bj · exp
j=1
!
log bk
.
k=N
6= 0 genau dann, wenn bn 6= 0 für jedes n ∈ N .
Aufgabe 2
Es sei D ⊆ C offen und (fn )n∈N eine Folge analytischer Funktionen auf D . Die Reihe
∞
X
fn
n=1
sei normal konvergent. Zeigen Sie:
(a) Für jedes z ∈ D konvergiert das Produkt
Q∞
n=1 (1
+ fn (z)) absolut.
(b) Die Abbildung
∞
Y
(1 + fn ) :
n=1
D → C, z 7→
∞
Y
(1 + fn (z))
n=1
ist analytisch.
(c) Die Nullstellenmenge von
aller (1 + fn ) , n ∈ N .
Bitte wenden
Q∞
n=1 (1
+ fn ) ist die Vereinigung der Nullstellenmengen
Aufgabe 3
Es sei φ : N → C eine beschränkte schwach multiplikative Funktion. Zeigen Sie:
(a) Für jedes s ∈ C mit Re(s) > 1 konvergiert die Reihe
Lφ (s) :=
∞
X
φ(n)n−s
n=1
absolut und es gilt
Lφ (s) =
∞
Y X
p
!
k
φ(p )p
−sk
.
k=1
(b) Die Riemannsche Zeta-Funktion ζ(s) hat in der rechten Halbebene der s ∈ C mit
Re(s) > 1 keine Nullstelle.
Abgabe bis spätestens Freitag, den 15. Mai 2015, um 11:30 Uhr zu Beginn der Übung.