Stationen zur Wurzelrechnung mit Lösungen

Multiplikations- und Divisionsregel
Station 1
Schreibe die beiden Regeln ins Heft und rechne dann mindestens 5 Aufgaben.
Multiplikationsregel:
Divisionsregel:
a  b  ab
a

b
a
b
Fasse unter einer Wurzel zusammen und radiziere! Die Variablen stellen hierbei positive Zahlen dar.
1.
3  12
2.
10  14,4
3.
0,1  0,001
4.
3 28

7
3
5.
14 17
 11 23
35
6.
0,35  6  2,1
7.
ab  ab 3
8.
48
3
9.
24,5a
6
:
192 bc 54abc
10.
16  36
 16 36
4
4
11.
2 13  2 13
12.
117 pq  52
2  13  2  13
Lösungen
Station 1
1.
6
2.
12
3.
0,01
4.
2
5.
13
6.
2,1
7.
ab2
8.
4
12.
78 p
9.
10.
24,5a  54abc 1
441a 2 1 21a 7
 
 
 a
192 bc
6
64 6 48 16
6
4   25  60
2
11.
2 13
2  13

7
3
2
3
7

2
p
q
Radizieren
Station 2
Die Multiplikationsregel und die Divisionsregel können natürlich auch rückwärts angewendet werden.
Beispiel:
16  25  16  25  4  5  20
Radiziere! Die Variablen stellen hierbei positive Zahlen dar.
1.
36  144
2.
0,09  0,0225
4.
49a 4  16b2c8
5.
196x 2 y 5
3.
6,25  10 6
49 yz 4
Bei den folgenden Aufgaben musst Du vor dem Radizieren geschickt zerlegen und neu zusammenfassen!
6.
13  52
7.
1,6  105
8.
50a 3
32a
Lösungen
1.
72
2.
0,045
4.
28a 2 bc 4
5.
14xy 2
7z 2
7.
16  104 
 4  10 2  400
8.

2xy 2
z2
25a 2 5a 5
  a
16
4 4
Station 2
3.
2500
6.
13  4  13 
 13  2  26
Teilweises Radizieren
Station 3
Meistens sind die Terme unter der Wurzel keine vollständigen Quadrate (bzw. Quadratzahlen).
Dann kann man die Wurzel nur teilweise ziehen. Man vereinfacht jedoch immer so weit wie möglich.
Beispiel:
192  4  48  4  48  2  3  16  2  3  4  8 3
Radiziere teilweise (so weit wie möglich) ! Rechne mindestens 5 Aufgaben!
Die Variablen stellen hierbei positive Zahlen dar.
1.
4.
7.
32
9000
2.
2 180
3.
176
5.
3 507ab 2
6.
x5
5  105
8.
9.
18a 2  27b2
x2  x3
8y 2
Lösungen
1.
4.
7.
4 2
30 10
2.
12 5
3.
4 11
5.
39b  3a
6.
x2 x
50  10000 
 100  2  25  500 2
9.
Station 3
9  (2a 2  3b2 )  3 2a 2  3b2
8.
x 2  (1  x)
4  2y 2

x
1 x

2y
2
Unter die Wurzel ziehen
Station 4
Manchmal ist es auch sinnvoll, das Wurzelziehen wieder „rückwärts“ zu machen und einige oder alle
Terme „unter die Wurzel zu ziehen“.
3 a  9a
Beispiel:
Aufpassen:
oder
5 x  0,04y  25( x  0,04y)  25x  y
Minuszeichen können nicht unter die Wurzel gezogen werden!
3 a   9a
Beispiel:
Ziehe unter das Wurzelzeichen! Rechne mindestens 5 Aufgaben.
Die Variablen stellen hierbei positive Zahlen dar.
1.
7 x
2.
4.
3x2 xy
5.
2ab
3c 3

c
8a 2 b
8.
7.
2
3
3.
a
1a
3
3a
 3b
3x  1
2x 
4a
1b
2
xy
x
y3
6.
9.
12 x 3  4 x 2
2,5a 
Lösungen
1.
49x
2.
4
9
4.
 9x5y
5.
7.
3bc
2
8.
b
625a
Station 4
3.
8a 2 b
3a 3  27a 2 b
6.
x3
y
4 x2 (3x  1)
1
4 x2 (3x  1)
9.
252 a 2
b
ab


2
625a
100
10
a
Nenner rational machen
Station 5
Treten bei einem Bruch im Nenner eine oder mehrere Wurzeln auf, dann muss man üblicherweise so
umformen, dass nur mehr rationale Zahlen im Nenner stehen.
Begründung: Niemand dividiert gerne durch unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche!
Außerdem sieht der umgeformte Term meist einfacher aus.
Beispiele:






4 3 2
4 3 2
4 3 2
4
4
3
3 5 1



 3 2 ;


15 ;
2
92
7
3 2
5
5 5 5
3 2  3 2
32  2
11  6

11  6



6  
11  6 
11 
11 
11 
  
6  11  2 66  6 17  2


11  6
5
6


66
Mache den Nenner rational! Rechne mindestens 5 Aufgaben!
1.
4.
7.
5 10
8
2 + 3
3 + 6
10
2 + 3+ 5
2.
5.
8.
3 7
4 3
4
5- 3
a
b
3.
81
82 -1
6.
15 - 13
15 + 13
9.
4 x  2 xy  y
2 x y
Lösungen
1.
5 5
2
2.
4.
3
3
5.
7.
8.
10 3 +15 2 - 5 30
6
ab
b
=
21
4
2 5 +2 3
Station 5
3.
82 + 1
6.
14 - 195
5
5
5
3
2
30
3
2
6
9.
8x x  y y
4x  y
Binomische Formeln
Station 6
Multipliziere aus, vereinfache und fasse so weit wie möglich zusammen:
1.
3.
5.
7.


2
2 5  18
2
 20  3 2   3
2
2
3

3
6


8  3 18
2.
2
4.
5 8

2
6.


 3  2 3  2
2 7  3 10   2 7  3 10 
5 2  18
8.
2
9  17  9  17
Lösungen
1.
8  6 8  18  9  18 
2.
 8  6 16  9  162 
 170  6  12  98
25  2  2  5 2  18  18 
 50  10 36  18  128
3 2  1
3.
4 5  4 518  18  38  12 10
5.
20  2  3  40  9  2  9  5  2  3  40  8  91
6.
4  7  9 10  62
8.
8
4.
7.
66  36 2
Station 6
Definitionsmenge
Station 7
Du kennst folgende Merkregeln:
Im Nenner darf nie Null stehen!
Unter einer Wurzel darf nichts Negatives stehen!
Bestimme unter Berücksichtigung dieser Regeln die Definitionsmenge der folgenden Terme:
1.
2x  1
2.
2 1 x
3.
2
x 1
4.
3x
x 1
5.
x2  1
6.
16  x2
7.
x  x
8.
3x
x 1
Lösungen


2.
D    ;1
D  1;
4.
D  0; = R0+
5.
D=R
6.
D  4;4
7.
D = {0}
8.
D    1;0
1.
D
3.
1
;
2
also nur die Zahl Null!
Station 7
Wurzelgleichungen
Station 8
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen! Lege vorher die Definitionsmenge fest!
1.
2x  1  3
3.
2.
4.
2
x 1
1
3 1 x  12
5.
x 1  2  0
6.
7.
3 x  8  0
8.
2
2
3x
1

x 1 5
16  x2  2  0
3x
5
x 1
Lösungen
1.
1

D   ;  ; L = {5}
2

3.
D  1; ; L = {1}
5.
7.
2.
Station 8
D  ;1 ; L = {-15}
4.
+
1
D = R0 ; L   
 74 
D = R ; L  3
6.
D   4;4 ; L  2 3
D = R ; L = {}
Quadrieren ist nur erlaubt, wenn auf beiden
Seiten der Gleichung nichts negatives steht!
8.
D = R0 ; L = {}, weil 
 

+

25
 D !!
22