7. Webseiten - Graz University of Technology
Werbung
Diplomarbeit aus Technischer Mathematik, TU-Graz
Statistische Analyse von
Zugriffen auf die Homepage
des Instituts für Statistik
Zehetner Andreas
September 2000
Vorgelegt der Technisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät an
der Technischen Universität Graz
Begutachter: Univ.-Prof. Dr. Stadlober Ernst
Betreuer: Univ.-Ass. Dr. Stampfer Erwin
Institut für Statistik der Technischen Universität Graz
Ich versichere, diese Arbeit selbständig verfasst, andere als die angegebenen Quellen und
Hilfsmittel nicht benutzt und mich auch sonst keiner unerlaubten Hilfsmittel bedient zu
haben.
-ii-
Ich möchte mich bei Herrn Univ.-Prof. Dr. Stadlober Ernst für die großzügige Bereitstellung
der Institutseinrichtungen, die für die Durchführung dieser Arbeit notwendig waren, bedanken.
Speziell möchte ich mich für die intensive fachliche Betreuung meiner Diplomarbeit bei
Herrn Univ.-Prof. Dr. Stadlober Ernst und Herrn Univ.-Ass. Dr. Stampfer Erwin bedanken.
Besonderer Dank gilt jedoch meinen Eltern für ihre jahrelange Unterstützung meiner Studientätigkeit.
-iii-
Verzeichnisse
Inhaltsverzeichnis
Verzeichnisse............................................................................................................................. 1
Inhaltsverzeichnis ................................................................................................................... 1
Abbildungsverzeichnis ........................................................................................................... 3
Tabellenverzeichnis ................................................................................................................ 4
Definitions-, Satz- und Lemmaverzeichnis ............................................................................ 4
Abstract ..................................................................................................................................... 5
1. Einleitung .............................................................................................................................. 6
2. Datenaufbereitung ................................................................................................................ 8
3. Allgemeine Statistiken........................................................................................................ 11
4. Zeitliche Verteilungen ........................................................................................................ 14
4.1. Erzeugen eines Scatter-Plots in S-Plus 4.5.................................................................... 14
4.2. Erzeugen einer Boxplotserie in S-Plus 4.5 (Trellis-Grafiken) ...................................... 16
5. Wahrscheinlichkeitsverteilungen ...................................................................................... 20
5.1. Statistische Kennzahlen................................................................................................. 20
5.2. Histogramme und Kernschätzer .................................................................................... 21
5.3. Boxplots ........................................................................................................................ 22
5.4. Kolmogorov-Smirnov Test auf Normalverteilung ........................................................ 23
5.5. Kolmogorov-Smirnov Test auf Gammaverteilung ....................................................... 25
5.6. Wilson-Hilferty Approximation .................................................................................... 26
5.7. Box-Cox Transformation .............................................................................................. 30
6. Benutzer .............................................................................................................................. 34
7. Webseiten ............................................................................................................................ 37
7.1. Zeitliche Verteilung der Zugriffe auf die Webseiten .................................................... 39
8. Tageszeit .............................................................................................................................. 42
9. Modellanpassung ................................................................................................................ 43
9.1. Allgemeines Verfahren ................................................................................................. 43
9.2. Stationärität und Autokorrelationsfunktion ................................................................... 44
9.2.1. Prüfen der Daten mittels empirischer Autokorrelationsfunktion ........................... 45
9.3. Stationäre Prozesse ........................................................................................................ 47
9.3.1. MA(q)-Prozess ....................................................................................................... 47
9.3.2. AR(p)-Prozess ........................................................................................................ 48
9.3.3. ARMA(p,q)-Prozess ............................................................................................... 48
9.3.3.1. YULE-WALKER Gleichungen ...................................................................... 50
9.3.4. ARIMA(p,q)-Prozess ............................................................................................. 51
9.3.5. Saisonaler ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)-Prozess .......................................................... 51
9.3.6. Schätzen der Modellparameter eines ARMA(p,q)-Modells .................................. 53
9.3.6.1. Gauß´sche Maximum Likelihood Schätzung .................................................. 53
9.3.6.2. YULE-WALKER Schätzer ............................................................................. 55
9.4. Wahl der Ordnung ......................................................................................................... 56
9.4.1. Beurteilung der emp. ACF ..................................................................................... 56
9.4.2. Beurteilung der emp. PACF ................................................................................... 57
9.4.3. Wahl der Ordnungen bei saisonalen ARIMA-Modellen........................................ 57
9.4.4. Akaike`s Information Criterion (AIC) ................................................................... 58
-1-
9.5. Simulation von ARIMA-Prozessen ............................................................................... 59
9.6. „Goodness of Fit“-Tests ................................................................................................ 63
9.6.1. Graph der standardisierten Residuen...................................................................... 63
9.6.2. Emp. ACF der Residuen......................................................................................... 63
9.6.3. Portmanteau-Test ................................................................................................... 64
9.6.4. Ljung-Box Test ...................................................................................................... 64
9.7. Modellanpassung für Anwendersitzungen/Tag der 2. Periode ..................................... 65
9.8. Vorhersage .................................................................................................................... 75
9.8.1. Prognoseintervall für vorhergesagte Werte ............................................................ 75
9.8.2. Vorhersage für das 1. Quartal 2000 ....................................................................... 75
Anhang A ................................................................................................................................ 80
Literaturverzeichnis ............................................................................................................... 82
-2-
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 3.1.: Verhältnis zwischen internen und externen Benutzern .................................. 12
Abbildung 3.2.: Regionale Verteilung ..................................................................................... 13
Abbildung 4.1.: Scatter-Plots ................................................................................................... 15
Abbildung 4.2.: Boxplotserien ................................................................................................. 17
Abbildung 4.3.: Scatter-Plots mit Angabe der Wochentage .................................................... 18
Abbildung 4.4.: Boxplotserien mit emp. Variationskoeffizienten ........................................... 19
Abbildung 5.1.: Histogramme und Kernschätzer ..................................................................... 21
Abbildung 5.2.: Boxplots ......................................................................................................... 22
Abbildung 5.3.: Vergleiche mit N ( ˆ , ˆ ²) -Verteilungen ......................................................... 24
Abbildung 5.4.: Vergleiche mit Gam(â, ̂ )-Verteilungen ........................................................ 25
Abbildung 5.5.: Vergleiche mit N ( ˆ , ˆ ²) -Verteilungen,
nach Wilson-Hilferty Transformation. ............................................................................. 28
Abbildung 5.6.: QQ-Plots nach Wilson-Hilferty Transformation............................................ 29
Abbildung 5.7.: 95%-Konfidenzintervalle für λ ...................................................................... 31
Abbildung 5.8.: QQ-Plots nach Box-Cox Transformation ...................................................... 33
Abbildung 6.1.: Benutzer ......................................................................................................... 34
Abbildung 6.2.: Benutzerländer ............................................................................................... 35
Abbildung 6.3.: Benutzerkategorien ........................................................................................ 36
Abbildung 7.1.: angeforderte Seiten ........................................................................................ 37
Abbildung 7.2.: Einstiegseiten ................................................................................................. 38
Abbildung 7.3.: zeitliche Verteilung der angeforderten Seiten ................................................ 39
Abbildung 7.4.: zeitliche Verteilung der Einstiegseiten .......................................................... 40
Abbildung 7.5.: zeitliche Verteilung des Benutzers TU-Graz ................................................. 41
Abbildung 7.6.: Scatter-Plot mit emp. Korrelationskoeffizienten ........................................... 41
Abbildung 8.1.: Tageszeitenverläufe ....................................................................................... 42
Abbildung 9.1.: ACF-Plot für Anwendersitzungen/Tag der 2. Periode ................................... 46
Abbildung 9.2.: Simulierter AR(1)-Prozess ............................................................................. 59
Abbildung 9.3.: ACF-Plots von simulierten AR(1)-Prozessen mit verschiedenen 1 ............ 60
Abbildung 9.4.: Simulierter ARMA(1,1)-Prozess ................................................................... 61
Abbildung 9.5.: Yt ( X t X t 7 ) ............................................................................................ 66
Abbildung 9.6.: Diagnoseplots für ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell ....................................... 71
Abbildung 9.7.: Diagnoseplots für ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell mit 2 0 .................... 73
Abbildung 9.8.: Diagnoseplots für ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7-Modell ..................................... 74
Abbildung 9.9.: Vorhersage mit ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell ........................................... 76
Abbildung 9.10.: Vorhersage mit ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7-Modell ...................................... 76
Abbildung 9.11.: Plot der Vorhersagefehler beim ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell ............... 78
Abbildung 9.12.: Plot der Vorhersagefehler beim ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7-Modell ............. 78
Abbildung 9.13.: Boxplotserien ............................................................................................... 79
-3-
Tabellenverzeichnis
Tabelle 2.1.: Auszug aus dem Logfile........................................................................................ 8
Tabelle 2.2.: Top Level Domains ............................................................................................... 9
Tabelle 3.1.: Allgemeine Statistiken ........................................................................................ 11
Tabelle 5.1.: Statistische Kennzahlen ...................................................................................... 20
Tabelle 5.2.: Quantile der Gammaverteilung ........................................................................... 27
Tabelle 5.3.: Box-Cox Transformation 1 ................................................................................. 32
Tabelle 5.4.: Box-Cox Transformation 2 ................................................................................. 32
Tabelle 6.1.: Benutzerkategorien ............................................................................................. 36
Tabelle 9.1.: AIC-Werte für 7 Typen von Modellen................................................................ 69
Definitions-, Satz- und Lemmaverzeichnis
Definition 2.1.: Anwendersitzung, Einstiegzugriff, Einstiegseite .............................................. 9
Definition 9.1.: Zeitreihe, Zeitreihenprozess ........................................................................... 43
Definition 9.2.: Kovarianzfunktion .......................................................................................... 44
Definition 9.3.: Stationär .......................................................................................................... 44
Definition 9.4.: Autokovarianzfunktion und Autokorrelationsfunktion .................................. 44
Definition 9.5.: Empirische Autokorrelationsfunktion (emp. ACF) ........................................ 45
Lemma 9.1.: Approximative Verteilung von ˆ (h) ................................................................. 45
Definition 9.6.: White Noise .................................................................................................... 47
Definition 9.7.: MA(q)-Prozess ................................................................................................ 47
Definition 9.8.: AR(p)-Prozess................................................................................................. 48
Definition 9.9.: ARMA(p,q)-Prozess ....................................................................................... 48
Satz 9.1.: Existenz und Eindeutigkeit ....................................................................................... 48
Definition 9.10.: Kausalität ...................................................................................................... 48
Satz 9.2.: Kausalität .................................................................................................................. 49
Definition 9.11.: Invertierbarkeit ............................................................................................. 49
Satz 9.3.: Invertierbarkeit ......................................................................................................... 49
Definition 9.12.: Partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) .................................................. 50
Definition 9.13.: Empirische partielle Autokorrelationsfunktion (emp. PACF) ...................... 51
Definition 9.14.: ARIMA(p,d,q)-Prozess ................................................................................. 51
Definition 9.15.: Saisonaler ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)-Prozess ................................................ 52
Lemma 9.2.: Approximative Verteilung von ̂ p ..................................................................... 55
Lemma 9.3.: Formel von Bartlett ............................................................................................. 56
Lemma 9.4.: Approximative Verteilung von ˆ ( h ) .................................................................. 57
-4-
Abstract
Anhand der Homepage des Institutes für Statistik wird eine statistische Analyse der InternetZugriffe durchgeführt. Die Daten umfassen den Zeitraum vom 04.01.98 bis 31.12.99.Die
primären Untersuchungsmerkmale sind die Anzahl der Zugriffe und die Anzahl der
Anwendersitzungen. Die Verteilungen der Variablen (Anzahl der Zugriffe pro Tag usw.)
werden für verschiedene Perioden, für unterschiedliche Benutzerkategorien, nach verschiedenen geographischen Aspekten, für die diversen Webseiten der Homepage beschrieben
und statistisch interpretiert. Dies geschieht mittels Kreis-, Säulen-, Balken-, Liniendiagrammen, statistischer Kennzahlen, Histogrammen, Kernschätzern, Scatter-Plots, Boxplotserien, QQ-Plots und Kolmogorov-Smirnov Tests. Die Anzahl der Anwendersitzungen am
Tag t wird als Zeitreihe betrachtet. Aufgrund der vorliegenden Wochenschwankung werden
saisonale integrierte autoregressive moving average Modelle (saisonale ARIMA-Modelle) an
die Zeitreihe angepasst. Mit Hilfe von Anpassungstests werden die geschätzten Modelle
getestet. Mit geeigneten Modellen werden Vorhersagen für das 1. Quartal 2000 durchgeführt
und anschließend mit den tatsächlichen Daten verglichen. Es zeigt sich, dass ein saisonales
ARIMA-Modell die tatsächlichen Daten sehr gut prognostizieren kann.
With the Homepage of the Institute of Statistics a statistical analysis of the internet accesses
will be made. The data covers the period of time from 04.01.98 to 31.12.99. The primary
features are the no. of accesses and the no of user-sessions. The distributions of the variables
(no. of accesses per day etc.) will be described and statistically interpreted in different
periods of time, for various categories of users, for geographical aspects, for specific websites
of the Homepage. This will be made by using circle-, columns-, bars-, lines-diagrams,
statistical characteristics, histograms, density lines, scatter-plots, boxplotseries, QQ-Plots and
Kolmogorov-Smirnov tests. The no. of user-sessions will be considered as time series. Due to
the existing weekly fluctuation seasonal integrated autoregressive moving average models
(seasonal ARIMA-models) will be fitted to the time series. The estimated models will be
tested by using „Goodness of Fit“-tests. For the 1. quarter 2000 forecasts will be made using
suitable models and than compared with the real data. It turns out, that a seasonal ARIMAmodel can prognosticate the real data very good.
-5-
1. Einleitung
Anhand der Homepage des Institutes für Statistik wird eine statistische Analyse der InternetZugriffe durchgeführt. Die primären Untersuchungsmerkmale sind die Anzahl der Zugriffe
und die Anzahl der Anwendersitzungen. Dabei ist unter einer Anwendersitzung eine Folge
von Zugriffen eines Benutzers, vom Einstieg in die Homepage (1. Zugriff) bis zum Verlassen
der Homepage (letzter Zugriff) zu verstehen. Die Daten wurden aus dem Logfile des Webservers der TU-Graz extrahiert und umfassen den Zeitraum vom 04.01.98 – 31.12.99.
Die Verteilungen der Variablen (Anzahl der Zugriffe pro Tag usw.) werden für verschiedene
Perioden, für unterschiedliche Benutzerkategorien, nach verschiedenen geographischen
Aspekten, für die diversen Webseiten der Homepage beschrieben und statistisch interpretiert.
Während des Beobachtungszeitraums wurden 75119 erfolgreiche Zugriffe auf die Homepage
registriert. Davon kommen 61158 Zugriffe (81.4 %) von Benutzern, die nicht vom Institut für
Statistik stammen. Da sich das Interesse hauptsächlich auf diese „externen“ Zugriffe beschränkt, werden die Zugriffe, die von Rechnern des Institutes für Statistik kommen, in der
weiteren Analyse nicht mehr berücksichtigt.
Durchschnittlich fanden 89 Zugriffe bzw. 28 Anwendersitzungen pro Tag statt.
52.8 % der Zugriffe (bzw. 28.4 % der Anwendersitzungen) stammen aus Österreich. Die
Hauptbenutzer der Homepage sind die Grazer Studentenheime und die Institutionen der TUGraz. Von diesen beiden Gruppen kommen 35.9 % der gesamten Zugriffe (bzw. 16.2 % der
Anwendersitzungen).
Die begehrteste Webseite der Homepage ist die Seite über die Lehrveranstaltungen mit 20.9
% der Zugriffe. Die begehrteste Einstiegseite (diejenige Seite, auf die Benutzer bei ihrer
Anwendersitzung als erstes zugreifen) ist die Seite des IWSM (International Workshop on
Statistical Modelling), die sich auch auf der Homepage befindet (31.9 % der Einstiegzugriffe).
Der Beobachtungszeitraum wird in zwei getrennte Zeiträume eingeteilt, die 1. Periode vom
04.01.98 bis 21.09.98 und die 2. Periode vom 22.09.98 bis 31.12.99. Bei der 1. Periode
handelt es sich um eine Art Anlaufperiode, während der noch keine klare Struktur in den
Daten erkennbar ist. Die durchschnittliche Anzahl der Zugriffe bzw. Anwendersitzungen pro
Tag liegt mit 22 bzw. 4 auch deutlich unter denen der 2. Periode mit 121 bzw. 40.
Die Verteilungen der Anzahl der Zugriffe pro Tag (bzw. Anwendersitzungen pro Tag) für den
gesamten Zeitraum und unterschieden für die beiden Perioden werden mittels statistischer
Kennzahlen, Histogrammen, Kernschätzern, Boxplots, Kolmogorov-Smirnov Tests und
graphischen Vergleichen zwischen den empirischen Verteilungen und den hypothetischen
Verteilungen untersucht.
Für die Verteilungen der Anzahl der Zugriffe pro Tag der 1. und 2. Periode und der Anzahl
der Anwendersitzungen pro Tag der 2. Periode ist die Gammaverteilung ein akzeptables
Modell. Demgemäß ist der Versuch, die Daten mittels der Wilson-Hilferty Transformation
und der Box-Cox Transformation auf die Normalverteilung zu transformieren, nur bei den
entsprechenden Daten, Anzahl der Zugriffe pro Tag der 1. und 2. Periode und Anzahl der Anwendersitzungen pro Tag der 2. Periode, erfolgreich.
-6-
Die Anzahl der Anwendersitzungen am Tag t wird als Zeitreihe { X t } betrachtet. Diese
Analyse wird nur für die 2. Periode durchgeführt.
Mögliche saisonale Schwankungen, Trends, Ausreißer und/oder Diskontinuitäten werden
mittels Zeitreihenplots und Boxplotserien identifiziert, wobei eine Wochenschwankung (ein
7-Tage-Zyklus) in den Daten festgestellt wird.
Aufgrund der vorliegenden Wochenschwankung werden verschiedene Zeitreihenmodelle,
sogenannte saisonale integrierte autoregressive moving average Modelle (saisonale ARIMAModelle) an die Daten angepasst.
Mit Hilfe verschiedener graphischer Verfahren und diverser Statistiken, wie z. B. Zeitreihenplots, empirischer Autokorrelationsfunktionen, empirischer partieller Autokorrelationsfunktionen und dem Akaike`s Information Criterion (AIC), werden die sogenannten
Ordnungsparameter des Modells identifiziert. Anschließend werden mittels Maximum Likelihood Schätzung die verbleibenden Parameter des Modells geschätzt.
Mit Hilfe von Anpassungstests wird das geschätzte Modell getestet.
Nach Selektieren eines geeigneten Modells werden Vorhersagen für das 1. Quartal 2000
durchgeführt und anschließend mit den tatsächlichen Daten verglichen. Es zeigt sich, dass ein
saisonales ARIMA-Modell die tatsächlichen Daten sehr gut prognostizieren kann.
Als unterstützende Literatur für die Zeitreihenanalyse werden hauptsächlich die Bücher
Introduction to Time Series and Forecasting von Brockwell und Davis (1996), Analyse von
Zeitreihen von Chatfield (1982) und der S-Plus 4 Guide to Statistics verwendet.
Als Software für die Analyse der Daten und das Modellieren als SARIMA-Modell wird
hauptsächlich S-Plus 4.5 verwendet. Kreis-, Säulen- und Balkendiagramme, sowie einige
Liniendiagramme werden in MS-Excel erzeugt. Sämtliche Daten sind in einer AccessDatenbank abgelegt.
Diverse Fachbegriffe über das Internet, wie Homepage, Server usw., sind im Anhang A
zusammengefasst und erklärt.
-7-
2. Datenaufbereitung
Die Daten wurden aus dem Logfile des Webservers der TU-Graz extrahiert und umfassen den
Zeitraum von 04.01.98 – 31.12.99. Der Logfile beinhaltet von jedem erfolgreichen Zugriff auf
die Homepage (i) die Benutzer-Adresse des zugreifenden Rechners, (ii) die vom Benutzer
abgerufene Webseite, (iii) das Datum des Zugriffs und (iv) die Zugriffszeit auf die Sekunde
genau. Tabelle 2.1. zeigt einen Auszug aus dem Logfile.
Benutzer-Adresse
Webseite
Datum
Zugriffszeit
Fedvzm203.tu-graz.ac.at
/stat/home.html
01.11.99
17:37:25
Fedvzm203.tu-graz.ac.at
/stat/
01.11.99
17:37:25
Fedvzm203.tu-graz.ac.at
/stat/content.html
01.11.99
17:37:25
Fedvzm203.tu-graz.ac.at
/stat/register.html
01.11.99
17:37:31
Fedvzm203.tu-graz.ac.at
/stat/diploma.html
01.11.99
17:37:59
Fedvzm203.tu-graz.ac.at
/stat/lectures.html
01.11.99
17:38:03
Fedvzm203.tu-graz.ac.at
/stat/courses/lec9900.html
01.11.99
17:38:10
Fedvzm203.tu-graz.ac.at
/stat/courses/prstat.html
01.11.99
17:38:13
pat.iic.wifi.at
/stat/courses/prstat.html
01.11.99
18:04:28
pat.iic.wifi.at
/stat/register.html
01.11.99
18:04:49
Fedvzm203.tu-graz.ac.at
/stat/guestbook.html
01.11.99
18:05:51
pat.iic.wifi.at
/stat/ content.html
01.11.99
18:06:30
ss02.ny.us.ibm.com
/stat/stampfer/research.htm
01.11.99
18:32:01
129.27.154.9
/stat/
01.11.99
18:32:30
bos-spider10b.lycos.com
/stat/iwsm/ac.html
01.11.99
18:32:50
129.27.154.9
/stat/guestbook.html
01.11.99
18:32:58
Tabelle 2.1.: Auszug aus dem Logfile
Die Benutzer-Adresse kann in Form der IP-Adresse (Internet Protokolladresse) oder in Form
der DNS-Adresse (Domain Name System Adresse) vorliegen (siehe Tabelle 2.1.). Die IPAdresse identifiziert einen Rechner, der mit dem Internet verbunden ist. Sie besteht aus durch
4 Punkte getrennte Zahlen zwischen 1 und 255 (z. B. 129.27. 154.9). Da der Mensch sich
symbolische Namen besser merken kann als die Nummernkombinationen des Internet
Protokolls, gibt es das Domain Name System (DNS), dass IP-Adressen in die entsprechenden
DNS-Adressen, und umgekehrt, umwandelt (z. B. 129.27.154.9 fstatpc09.tu-graz.ac.at).
Eine gewisse Sequenz von IP-Adressen wird an eine Institution (Unternehmen, Netzbetreiber,
Organisation, Universität, ...) vergeben, je nach Größe der Institution (z. B. TU-Graz:
129.27.0.0 bis 129.27.255.255). Die Vergabe der Nummern innerhalb dieser Sequenz ist der
Institution, bzw. dem zuständigen Webserver überlassen. Die DNS-Adresse kann
grundsätzlich mit dem Aufbau einer Telefonnummer verglichen werden. Nach der
Landeskennzahl als oberste Priorität folgt die Ortskennzahl und die Rufnummer. Im Internet
werden die einzelnen Ebenen pragmatisch nach ihrer Priorität bezeichnet. Top-Level-Domain,
Second-Level-Domain,.... Der Unterschied zwischen diesen beiden Systemen liegt in der
Leseweise. Während eine Telefonnummer immer von links nach rechts gelesen wird, werden
Domains „von hinten“ gelesen, d.h. die Wertigkeiten werden von links nach rechts größer.
Die Top-Level-Domains (TLDs) stehen demnach ganz rechts.
-8-
Diese Ebenen müssen weltweit koordiniert werden. Von Beginn an wurden dabei 6 große
TLDs vorgegeben (siehe Tabelle 2.2.).
.com
.edu
.gov
.mil
.net
.org
Unternehmen
Bildungseinrichtungen
US-Amerikanische Regierung
US-Militär
Internet Betreiber
Organisationen
Tabelle 2.2.: Top Level Domains
Neben diesem Index hat man auf der obersten Ebene einen zweiten Index etabliert, der allen
Ländern der Erde die Möglichkeit einräumt, eine Domain unter ihrem Namen einzurichten.
Daher die Domainnamen wie .at, .de, .it, usw. Dieser ist aber nicht zwingend vorgeschrieben,
da .com länderübergreifend ist und für weltweit operierende Unternehmen mit Sitz in
beispielsweise Österreich angewendet werden kann. Die Kombinationen .com.at, .edu.at, ...
sind möglich, die Kombinationen .at.com, .at.edu,... sind nicht möglich. Erfolgt in der zweiten
Ebene die nähere Spezifizierung .co. für Company, .ac. für Academy, .or. für Organisation,
.gv. für Government, so erfolgt in der dritten Ebene der Hinweis auf die Organisation, das
Unternehmen, ...(.tu-graz.ac.at) , sonst in der zweiten Ebene (.lycos.com).
Falls die IP-Adresse im Logfile protokolliert wird, muss sie zuerst in die entsprechende DNSAdresse übersetzt werden, um damit weiterarbeiten zu können. Die Übersetzung wird im
Internet, auf den Homepages jener internationalen Organisationen gemacht, die Domains und
somit IPs verwalten, das sind RIPE (Riseaux IP Europiens, für europäische Domains und IPs
zuständig), APNIC (Asia Pacific Network Information Centre) und ARIN (American Registry
for Internet Numbers).
Für unsere Analyse wird festgelegt, dass nur diejenigen IP-Adressen übersetzt werden, von
denen aus mehr als 40 Zugriffe innerhalb des Beobachtungszeitraums stammten. Dabei
werden die einzelnen IPs zu größeren Sequenzen zusammengefasst (z. B. von LRZ-München:
141.84.0.0 - 141.84.255.255 stammen 105 Zugriffe).
Im Logfile werden chronologisch die Zugriffe auf die verschiedenen Webseiten der Homepage und die dazugehörigen Benutzer protokolliert. Der Einstieg (die erste Seite auf die der
Benutzer zugreift) und das Verlassen (die letzte Seite auf die der Benutzer zugreift) der
Homepage werden im Logfile nicht erfasst.
Definition 2.1.: Anwendersitzung, Einstiegzugriff, Einstiegseite
Wenn zwischen zwei Zugriffen mit derselben Benutzeradresse weniger als 30 Minuten liegen,
gehören diese beiden Zugriffe zu derselben Anwendersitzung. Der zeitlich gesehen erste
Zugriff einer Anwendersitzung ist der Einstiegzugriff. Die erste Webseite auf die während
einer Anwendersitzung zugegriffen wird, wird als Einstiegseite bezeichnet.
Es ist jedoch unmöglich, das Verlassen der Homepage zeitlich exakt festzustellen, da nur der
Zeitpunkt des Zugriffs auf eine Seite, nicht aber der Zeitpunkt des Verlassens einer Seite
protokolliert wird. Man kann die letzte Seite, auf die der Benutzer zugreift, definieren, weiß
aber nicht, wie lange er sich diese Seite ansieht. Es ist daher auch unmöglich, die exakte
Dauer einer Anwendersitzung festzustellen.
-9-
Aufgrund der Beziehung zwischen den Einstiegzugriffen und den Anwendersitzungen können
Zählstatistiken bzgl. Anwendersitzungen aus jenen über die Einstiegzugriffe abgeleitet
werden (z. B. Anzahl der Anwendersitzungen). Der folgende Algorithmus, Abfrage für den
Einstiegzugriff, wurde verwendet, um die Zeilen im Logfile, die den Einstiegzugriff anzeigen, zu ermitteln.
Abfrage für den Einstiegzugriff
Datensatz := Zeile aus dem Logfile,
n := Anzahl der Datensätze,
y := Datensatz y aus dem Logfile,
Benutzeradresse(y) := Benutzeradresse des Datensatzes y,
Δd(y, x) := Zugriffszeit des Datensatzes y – Zugriffszeit des Datensatzes x,
Δd(y,0) , y .
For y = 1,....,n
x = y – 1
while (true)
{if Δd(y, x) > 30 Minuten then
{Anwendersitzung = „Einstieg“; break}
else if (Benutzeradresse(x) = Benutzeradresse(y)) then
{Anwendersitzung = „ “; break}
x = x – 1}
Next y
Innerhalb des Beobachtungszeitraums für die 1. Periode (vom 04.01.98 bis 21.09.98) gibt es
Tage, an denen keine Zugriffe im Server-Log protokolliert sind. Das kann entweder daran
liegen, dass der Server-Log ausgefallen war, oder dass an diesen Tagen wirklich keine
Zugriffe auf die Homepage getätigt wurden. Solche Tage wurden nicht berücksichtigt. Die
fehlenden Tage sind:
28.02.98,
03.03.98 – 31.03.98,
04., 10., 11., 12., 19., 30.04.98,
05., 15., 19., 29., 30.07.98,
02., 23., 24., 30.08.98,
06.09.98.
-10-
3. Allgemeine Statistiken
Nach der Datenaufbereitung wird die Tabelle 3.1. erstellt, die eine allgemeine Übersicht über
die Aktivitäten auf dieser Homepage innerhalb des Beobachtungszeitraums bietet.
Im folgenden definiere ich die in Tabelle 3.1. und in weiterer Folge vorkommenden Begriffe.
Interne Zugriffe sind Zugriffe, die von Rechnern des Institutes für Statistik stammen. Externe
Zugriffe sind alle Zugriffe mit Ausnahme der internen Zugriffe. Unter Zugriffen aus
Österreich werden Zugriffe von Rechnern in deren DNS-Adresse die Länderdomain at in der
Form „*.at“ oder „*.at.*“ vorkommt (* entspricht einer beliebigen Zeichenfolge),
subsummiert. Weiters werden die übersetzten IP-Adressen, die eindeutig dem Land
Österreich zuzuordnen sind, berücksichtigt. Zugriffe mit unbekannter Herkunft sind Zugriffe
von Rechnern, deren IP-Adresse nicht übersetzt wurde. Die internationalen Zugriffe ergeben
sich aus den externen Zugriffen abzüglich der Zugriffe aus Österreich und der Zugriffe mit
unbekannter Herkunft.
Die Begriffe bezüglich der Anwendersitzungen sind entsprechend definiert.
Allgemeine Statistiken
Gesamt
externe Zugriffe
04.01.1998 00:00:00 bis 31.12.1999 24:00:00
Beobachtungszeitraum
Anzahl der erfolgreichen Zugriffe
Davon interne Zugriffe
Davon externe Zugriffe
Zugriffe aus Österreich
Zugriffe international
Zugriffe mit unbekannter Herkunft
Anzahl der Anwendersitzungen
Davon interne Anwendersitzungen
Davon externe Anwendersitzungen
Anwendersitzungen aus Österreich
Internationale Anwendersitzungen
Anwendersitzungen mit unbek. Herkunft
in %
von gesamt
75119
100.0 %
13961
18.6 %
61158
81.4 %
21821
2263
19558
100.0 %
10.4 %
89.6 %
Tabelle 3.1.: Allgemeine Statistiken
-11-
in %
von gesamt
61158
32307
25134
3717
100.0 %
52.8 %
41.1 %
6.1 %
19558
100.0 %
28.4 %
61.3 %
10.3 %
In den beiden folgenden Kreisdiagrammen (Abbildung 3.1.) wird das Verhältnis der Anzahl
der internen und externen Zugriffe bzw. Anwendersitzungen grafisch dargestellt.
Anwendersitzungen
Zugriffe
interne A.
10.4%
interne Z.
18.6%
externe Z.
81.4%
externe A.
89.6%
Abbildung 3.1.: Verhältnis zwischen internen und externen Benutzern
Berechnet man den Quotienten zwischen der Anzahl der Zugriffe und der Anzahl der
Anwendersitzungen sieht man, dass ein interner Anwender fast doppelt soviel Zugriffe/
Anwendersitzung wie ein externer Anwender hat.
Zugriffe/Anwendersitzung:
intern
extern
6.17
3.13
Da sich das Interesse hauptsächlich auf externe Zugriffe beschränkt, werden in der
weiteren Bearbeitung der Daten die internen Zugriffe nicht mehr berücksichtigt.
-12-
In den nächsten beiden Kreisdiagrammen (Abbildung 3.2.) wird das Verhältnis zwischen Zugriffen bzw. Anwendersitzungen von österreichischen Benutzern, internationalen Benutzern
und Benutzern unbekannter Herkunft grafisch dargestellt.
Anwendersitzungen nach Region
Zugriffe nach Region
unbekannt
6.1%
internat.
41.1%
unbekannt
10.3%
Österreich
28.4%
Österreich
52.8%
internat.
61.3%
Abbildung 3.2.: Regionale Verteilung
Es wird wieder der Quotient Zugriffe/Anwendersitzung errechnet. Dieser zeigt deutlich auf,
dass ein österreichischer Anwender fast dreimal soviel Zugriffe/Anwendersitzung wie ein
internationaler (oder unbekannter) Anwender hat.
Zugriffe/Anwendersitzung:
Österreich
international
unbekannt
-13-
5.82
2.10
1.84
4. Zeitliche Verteilungen
Die Zugriffe auf die Homepage werden vom Webserver mit ihrem Entstehungszeitpunkt im
Logfile protokolliert. Eine derartige Beobachtungssequenz wird als Zeitreihe bezeichnet. Aus
dem Logfile kann durch geeignete Aggregation die Anzahl der Zugriffe bzw. Anwendersitzungen je Zeiteinheit abgeleitet werden. Als Zeiteinheit wird vorerst einmal ein Tag (von
00:00:00 bis 23:59:59) verwendet und es wird die Anzahl der Zugriffe bzw. Anwendersitzungen am i-ten Tag betrachtet. Diese Zeitreihen werden mit Zugriffe/Tag(i) und Anwendersitzungen/Tag(i) bezeichnet, wobei i = 04.01.98,...,31.12.99.
In Abbildung 4.1. werden die Zugriffe/Tag(i) bzw. Anwendersitzungen/Tag(i) gegen den Tag
i aufgetragen. Anschließend wird auf die Datenpunkte noch ein Glättungsverfahren (LoessGlättung) angewandt. Daraus resultiert dann ein Scatter-Plot mit einer Glättungskurve.
4.1. Erzeugen eines Scatter-Plots in S-Plus 4.5
Im Hauptmenü wählt man Graph ► 2D Plot. Das Insert Graph-Dialogfenster öffnet sich.
Dort wählt man:
Graph Type: 2D
Plot Type:
Scatter Plot
und bestätigt die Angaben durch Anklicken des OK-Buttons. Das Line/Scatter Plot-Dialogfenster öffnet sich. Auf der Karte Data to Plot wählt man den zu plottenden Datensatz aus:
Data Set:
Zugriffe
x Column(s): Datum
y Column(s): Zugriffe.Tag
Auf der Karte Line wählt man eine Linienart für die Loessglättung aus. Auf der Karte
Symbol wählt man die Art der Datenpunktdarstellung aus. Auf der Karte Smooth/Sort wählt
man den Glättungstyp:
Smoothing Type:
Loess
und bestätigt die Eingaben durch Anklicken des OK-Buttons. Die Grafik wird geplottet. Die
Berechnungen, die zur Darstellung benötigt werden (z. B. Loess-Glättung), werden in S-Plus
automatisch durchgeführt. Die Grafik kann im Grafikfenster noch nachbearbeitet werden.
Viele explorative Darstellungsmethoden, wie beispielsweise Boxplots, Histogramme, Dichteschätzer, QQ-Plots, sind ähnlich über das Insert Graph-Dialogfenster zu gestalten.
-14-
Zugriffe/Tag
400
300
200
100
04.01.98
05.05.98
03.09.98
02.01.99
03.05.99
01.09.99
31.12.99
05.03.98
04.07.98
02.11.98
03.03.99
02.07.99
31.10.99
Datum
Anwendersitzungen/Tag
110
90
70
50
30
10
04.01.98
05.05.98
03.09.98
02.01.99
03.05.99
01.09.99
31.12.99
05.03.98
04.07.98
02.11.98
03.03.99
02.07.99
31.10.99
Datum
Abbildung 4.1.: Scatter-Plots
Man sieht bei beiden Grafiken (Abbildung 4.1.) ab Mitte September 1998 einen deutlichen
Anstieg der Anzahl der Zugriffe/Tag bzw. Anwendersitzungen/Tag.
-15-
Dieser deutliche Anstieg wird auch noch durch eine andere explorative Darstellungsmethode,
der Boxplotserie (Abbildung 4.2.), visualisiert.
4.2. Erzeugen einer Boxplotserie in S-Plus 4.5 (Trellis-Grafiken)
Man verwendet zur Erzeugung von Boxplotserien Trellis-Grafiken. Mit Trellis-Grafiken kann
man multivariate Datensätze visualisieren. Die Grundidee von Trellis besteht darin,
mehrdimensionale Datensätze darzustellen, indem man den Datensatz gemäß einer oder
mehrerer Variablen ( = Dimensionen) in Gruppen aufteilt und jede dieser Untergruppen in
einer üblichen zwei- oder dreidimensionalen Grafik darstellt.
Die Erstellung von Trellis-Grafiken wird am Beispiel einer Boxplotserie demonstriert:
Erstellen eines Boxplots für die Variable Zugriffe.Tag aus dem Datensatz Zugriffe.
Zugriffe/Tag
500
300
100
Man arrangiert den Object Browser und das Grafikfenster so, dass man beide zur Gänze
sehen kann und aktiviert im Object Browser die Variable Datum aus dem Datensatz
Zugriffe.
Man klickt auf das Wort Datum und bewegt die Maus bei gedrückter Maustaste in den
Kopfbereich der Grafik. Dieser Bereich wird dann durch ein gestricheltes Rechteck
symbolisiert.
Lässt man die Maustaste los, dann produziert S-Plus die folgende Trellis-Grafik (Boxplotserie):
Datum: 22.01.99 to 12.07.99
Datum: 13.07.99 to 31.12.99
500
Zugriffe.Tag
300
100
Datum: 04.01.98 to 27.07.98
Datum: 28.07.98 to 21.01.99
500
300
100
Die Grafik kann im Grafikfenster noch nachbearbeitet werden.
Mit dieser unscheinbaren Aktion hat man S-Plus veranlasst, eine ganze Reihe von Teilschritten automatisch durchzuführen:
Zunächst wurde der Datensatz in Untergruppen gemäß der Variable Datum aufgeteilt. Da
es sich bei dieser Variable um eine Datumsvariable handelt, bildet S-Plus automatisch
verschiedene Klassen mit Zeitintervallen. Wäre die Variable z. B. ein Faktor mit 4 Ausprägungen gewesen, wären genau 4 Untergruppen gebildet worden.
Für jede dieser Untergruppen wird nun ein eigener Boxplot angelegt.
-16-
04.01.98 bis 15.05.98 16.05.98 bis 21.09.98 22.09.98 bis 28.02.99 01.03.99 bis 31.07.99 01.08.99 bis 31.12.99
500
Zugriffe/Tag
400
300
200
100
0
04.01.98 bis 15.05.98 16.05.98 bis 21.09.98 22.09.98 bis 28.02.99 01.03.99 bis 31.07.99 01.08.99 bis 31.12.99
Anwendersitzungen/Tag
120
100
80
60
40
20
0
Abbildung 4.2.: Boxplotserien
Aufgrund der Erkenntnisse aus Abbildung 4.1. und Abbildung 4.2. wird der Beobachtungszeitraum in zwei getrennte Zeiträume unterteilt:
1. Periode: 04.01.98 bis 21.09.98
2. Periode: 22.09.98 bis 31.12.99.
Im nächsten Schritt werden die Scatter-Plots aus Abbildung 4.1. etwas genauer analysiert.
Abbildung 4.3. beinhaltet einen repräsentativen Ausschnitt des Scatter-Plots aus Abbildung
4.1., wobei zusätzlich eine Verbindungslinie eingezeichnet ist und die Wochentage (Mo, Di,
-17-
..., So) an denen die Anzahl der Zugriffe/Tag bzw. Anwendersitzungen/Tag erhoben wurden,
teilweise angegeben sind.
1. Periode
Fr
Zugriffe/Tag
80
Mi
Fr
Fr So
60
So
40
Do
So
Mo
Mo
Do
Sa
So
Fr
20
Mo
Sa
Mi
Sa
Mo
Do
Sa
0
01.05.98
11.05.98
Mo
So
So
Do
21.05.98
31.05.98
10.06.98
Datum
2. Periode
500
Zugriffe/Tag
400
Mo
Fr
Di
300
Di
Mi
Mo
200
So
Mo
So
So
Di
Fr
100
Mo
Sa
So
0
06.01.99
Sa
Sa
16.01.99
Sa So
Sa
26.01.99
Do
Mi
Fr
05.02.99
Fr
Sa
Fr
Sa
So
15.02.99
Fr
Sa
So
25.02.99
Datum
Abbildung 4.3.: Scatter-Plots mit Angabe der Wochentage
In der 2. Periode gibt es eine größenmäßig annähernd gleichbleibende Wochenschwankung
(einen sich wiederholenden 7-Tage-Zyklus) über den gesamten Zeitraum. An fast allen
Samstagen und Sonntagen sind wenig Zugriffe, an den anderen Wochentagen sind vermehrte
Zugriffe. In der 1. Periode kann man einen derartigen klaren Wochenzyklus nicht feststellen.
Dieselbe Aussage ist auch für die Anzahl der Anwendersitzungen/Tag gültig.
-18-
Die Erkenntnis aus Abbildung 4.3 wird bestätigt, wenn man die Daten bezogen auf die
Wochentage (Mo, Di, ..., So) anhand von Boxplotserien betrachtet und sich dazu die
empirischen Variationskoeffizienten für jeden Wochentag berechnet (Abbildung 4.4.).
, wobei Standardabweichung
und Mittelwert der dem Merkmal zugrundeliegenden Verteilung. Der VK gibt also die
Streuung relativ zum Mittelwert an. Der empirische Variationskoeffizient (emp. VK) ist
ˆ s
definiert durch emp. VK =
wobei und durch ihre Schätzer s und x ersetzt
ˆ x
werden.
Der Variationskoeffizient (VK) ist definiert durch VK =
Boxplotserien:
1
.
P
e
r
i
o
d
e
2
.
P
e
r
i
o
d
e
S
o
M
o
D
i M
i D
o
F
r S
a
S
o
M
o
D
i M
i D
o
F
r S
a
5
0
0
8
0
4
0
0
6
0
3
0
0
4
0
2
0
0
Zugrife/Ta
Zugrife/Ta
1
0
0
2
0
1
0
0
0
0
V
K
: 1
.
0
7
0
.
9
8
0
.
6
6
0
.
7
8
0
.
8
5
0
.
8
0
1
.
2
1
V
K
1
,
0
7
0
,
9
8
0
,
6
6
0
,
7
8
0
,
8
5
0
,
8
0
1
,
2
1
V
K
: 0
.
7
1
0
.
5
4
0
.
5
4
0
.
4
6
0
.
5
1
0
.
5
4
0
.
6
3
V
K
1
,
0
7
0
,
9
8
0
,
6
6
0
,
7
8
0
,
8
5
0
,
8
0
1
,
2
1
1
.
P
e
r
i
o
d
e
2
.
P
e
r
i
o
d
e
S
o
M
o
D
i M
i D
o
F
r S
a
S
o
M
o
D
i M
i D
o
F
r S
a
1
2
1
0
0
9
7
5
6
5
0
Anwedrsitzugn/Ta
1
2
5
Anwedrsitzugn/Ta
1
5
3
2
5
0
0
V
K
: 0
.
6
5
0
.
6
4
0
.
4
9
0
.
4
9
0
.
5
0
0
.
5
4
0
.
8
4
V
K
1
,
0
7
0
,
9
8
0
,
6
6
0
,
7
8
0
,
8
5
0
,
8
0
1
,
2
1
V
K
: 0
.
5
2
0
.
4
5
0
.
3
8
0
.
3
7
0
.
4
5
0
.
5
0
0
.
4
8
V
K
1
,
0
7
0
,
9
8
0
,
6
6
0
,
7
8
0
,
8
5
0
,
8
0
1
,
2
1
Abbildung 4.4.: Boxplotserien mit emp. Variationskoeffizienten
Betrachtet man die emp. Variationskoeffizienten (VK) in Abbildung 4.4., erkennt man, dass
das Merkmal Anwendersitzungen/Wochentag einen geringeren emp. VK als das Merkmal
Zugriffe/Wochentag hat. Weiters haben die Daten der 1. Periode deutlich größere emp. VK
als die der 2. Periode.
-19-
5. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Die statistischen Analysemethoden basieren häufig auf der Annahme, dass die zu untersuchenden Daten aus einer Normalverteilung stammen. Die möglichen zugrundeliegenden
Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zugriffe/Tag und der Anwendersitzungen/Tag werden
mittels statistischer Kennzahlen, Histogrammen, Kernschätzern, Boxplots, Anpassungstests
(Kolmogorov-Smirnov Tests) und grafischen Vergleichen zwischen empirischen und
hypothetischen Verteilungen in S-Plus ermittelt. Weiters wird versucht, die Daten auf
Normalverteilung zu transformieren.
5.1. Statistische Kennzahlen
In S-Plus erhält man eine Reihe statistischer Kennzahlen, in dem man im Hauptmenü
Statistics ► Data Summaries ► Summary Statistics wählt. Dort gibt man den zu analysierenden Datensatz an und wählt die verschiedenen Statistiken (z. B. arithm. Mittel, Median,
Varianz) aus. In Tabelle 5.1. sind einige statistische Kennzahlen des Merkmals Zugriffe/Tag
bzw. Anwendersitzungen/Tag für verschiedenen Zeiträumen aufgelistet.
Stichprobenanzahl (n)
Minimum
1. Quartil
Arithm.. Mittel ( x )
Median
3. Quartil
Maximum
Std. Abweichung (s)
Varianz (s²)
Schiefe
Kurtosis
Stichprobenanzahl (n)
Minimum
1. Quartil
Arithm. Mittel ( x )
Median
3. Quartil
Maximum
Std. Abweichung (s)
Varianz (s²)
Schiefe
Kurtosis
gesamt
1. Periode
Zugriffe/Tag
Zugriffe/Tag
04.01.98 - 31.12.99 04.01.98 – 21.09.98
687
221
1
1
24.0
8.0
89.0
21.9
70.0
16.0
132.5
29.0
490
93
79.2
19.7
6270.1
387.8
1.3
1.5
2.0
2.0
2. Periode
Zugriffe/Tag
22.09.98 - 31.12.99
466
6
66.0
120.8
107.5
160.0
490
76.9
5912.0
1.1
1.9
gesamt
1. Periode
Anwenders./Tag
Anwenders./Tag
04.01.98 - 31.12.99 04.01.98 - 21.09.98
687
221
1
1
6.0
2.0
28.5
4.3
24.0
4.0
44.0
6.0
118
15
24.1
2.5
578.4
6.5
0.8
1.0
0.2
1.1
Tabelle 5.1.: Statistische Kennzahlen
2. Periode
Anwenders./Tag
22.09.98 - 31.12.99
466
3
24.0
40.0
37.0
53.0
118
21.0
440.4
0.8
0.8
-20-
5.2. Histogramme und Kernschätzer
Für die Wahl der Klassenanzahl k bei den Histogrammen werden die Faustregeln k 2 n
für n < 100 und k 10 log 10 n für n > 100 (n...Stichprobenanzahl) verwendet.
Bei den Kernschätzern wurde ein Gaußkern mit einer Fensterbreite h 1.06ˆn
( ˆ = s).
1
5
verwendet
In S-Plus erhält man die resultierenden Grafiken ähnlich wie den Scatter-Plot über das Insert
Graph-Dialogfenster (siehe Abschnitt 4.1.). Dort wählt man den Punkt Histogram with
Density Line. Die Klassenanzahl für das Histogramm, der Kern und die Fensterbreite für den
Kernschätzer können optional gewählt werden. Bei der Fensterbreite für den Kernschätzer
muss man 4*h angeben.
Zugriffe/Tag gesamt
k = 28
0.010
h = 23
0.005
Zugriffe/Tag 1. Periode
Zugriffe/Tag 2. Periode
0.000
0
k = 23
0.030
60 120 180 240 300 360 420 480
0.006
k = 26
h=7
h = 24
0.003
0.015
0.000
0.000
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
Anwendersitzungen/Tag gesamt
0.06
60 120 180 240 300 360 420 480
k = 28
h=7
0.03
Anwendersitzungen/Tag 1. Periode
0.00
0
15
30
45
60
75
Anwendersitzungen/Tag 2. Periode
90 105
k = 15 (nicht 23
0.2
k = 26
0.02
lt. Faustregel, da es
h=7
nur 15 Realisierungsmöglichkeiten gibt)
h=1
0.1
0.01
0.00
0.0
0
2
4
6
8
10
12
0
14
15
Abbildung 5.1.: Histogramme und Kernschätzer
-21-
30
45
60
75
90 105
5.3. Boxplots
Die entsprechenden Boxplots sind in Abbildung 5.2. dargestellt.
g
e
s
a
m
t
5
0
0
4
0
0
3
0
0
Zugrife/Ta
2
0
0
1
0
0
0
1
.
P
e
r
i
o
d
e
2
.
P
e
r
i
o
d
e
8
0
4
0
0
6
0
3
0
0
4
0
2
0
0
Zugrife/Ta
5
0
0
Zugrife/Ta
1
0
0
2
0
1
0
0
0
0
g
e
s
a
m
t
1
2
5
1
0
0
7
5
Anwedrsitzugn/Ta
5
0
2
5
0
1
.
P
e
r
i
o
d
e
2
.
P
e
r
i
o
d
e
1
2
5
1
5
1
0
0
1
0
7
5
5
0
Anwedrsitzugn/Ta
Anwedrsitzugn/Ta
5
2
5
0
0
Abbildung 5.2.: Boxplots
-22-
5.4. Kolmogorov-Smirnov Test auf Normalverteilung
Bei Betrachtung der vorigen Grafiken (Abbildung 5.1., Abbildung 5.2.) ist die Normalverteilungsannahme für die Daten der 2. Periode noch am ehesten vertretbar. Die Analyse mittels
Kolmogorov-Smirnov (K-S) Test zeigt jedoch deutlich, dass die Normalverteilungsannahme
in allen Fällen zweifelhaft ist. Einzig für die Daten Anwendersitzungen/Tag der 2. Periode
lehnt der K-S Test, für α < 5.3 % (α ist der Fehler 1. Art), die Normalverteilungsannahme
nicht deutlich ab. Die graphischen Vergleiche zwischen den empirischen Verteilungen und
den hypothetischen N (ˆ , ˆ 2 ) -Verteilungen bestätigen dies. Dabei werden ̂ = x und ̂ 2 =
s 2 für den jeweils betrachteten Zeitraum berechnet. Die Ergebnisse dieser Vergleiche sind in
Abbildung 5.3. zu sehen. Zusätzlich sind die Werte ks = Wert der K-S Teststatistik, z =
n *ks und p angegeben. Für p gilt: falls p > α wird die Normalverteilung (Nullhypothese)
angenommen, falls p < α wird die Normalverteilung abgelehnt.
In S-Plus kann Abbildung 5.3. wie folgt realisiert werden.
S-Plus Sequenz
>attach(Zugriffe)
>cdf.compare(Zugriffe.Tag,distribution="normal",mean=mean(Zugriffe.Tag),
sd=sqrt(var(Zugriffe.Tag)))
#graphischer Vergleich.
>ks.gof(Zugriffe.Tag,distribution="normal",mean=mean(Zugriffe.Tag),
sd=sqrt(var(Zugriffe.Tag)))
#KS-Test.
Die Grafik wurde im Grafikfenster noch nachbearbeitet.
-23-
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
E
m
pir ic al
100
200
300
400
500
s ol i d
D
a
t
e
n
:
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
1
.
P
e
r
i
o
d
e
k
s
=
0
.
1
5
,
z
=
2
.
2
3
p
<
0
.
0
0
0
1
20 40 60 80
s ol i d
l i ne
i s
i s
100
200
300
400
500
the
empi
s ol ir
d
i c
lal
i ne
d.f.
i s
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
E
m
pir ic al
s ol i d
10
12
14
s ol i d
l i ne
l i ne
i s
empi ri c a
D
a
t
e
n
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
2
.
P
e
r
i
o
d
e
k
s
=
0
.
0
6
,
z
=
1
.
3
5
p
=
0
.
0
5
3
0
i s
20
40
60
80
100
120
the
empi
s ol i d
ri c
li
al
ne
d.f.
i s
Abbildung 5.3.: Vergleiche mit N ( ˆ , ˆ ²) -Verteilungen
-24-
the
and
E
m
H
pi
y
r
pothes
ic al
an
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
D
a
t
e
n
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
1
.
P
e
r
i
o
d
e
k
s
=
0
.
1
5
,
z
=
2
.
2
7
p
=
0
.
0
0
0
1
8
the
H
yp
20
40
60
80
100
120
E
m
pir ic al
6
and
D
a
t
e
n
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
g
e
s
a
m
t
k
s
=
0
.
1
3
,
z
=
3
.
4
7
p
<
0
.
0
0
0
1
0
4
empi ri c
D
a
t
e
n
:
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
2
.
P
e
r
i
o
d
e
k
s
=
0
.
0
8
,
z
=
1
.
8
0
p
=
0
.
0
0
3
0
l i ne
the
and
E
m
H
pi
yr
pothes
ic al
an
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
E
m
pir ic al
2
H
yp
D
a
t
e
n
:
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
g
e
s
a
m
t
k
s
=
0
.
1
3
,
z
=
3
.
4
9
p
<
0
.
0
0
0
1
0
0
and
the
5.5. Kolmogorov-Smirnov Test auf Gammaverteilung
Ein anderes Verteilungsmodell, dass bei Betrachtung der Dichteschätzer (siehe Abbildungen
5.1., 5.2.) plausibel erscheint, ist die Gammaverteilung (Gam(a, )). Der unbekannte
x2
x
Parametervektor (a, ) wird dabei mittels Momentenmethode durch â = 2 , ̂ = 2
s
s
geschätzt. Es resultiert Abbildung 5.4., wobei ̂ lambda.
S-Plus Sequenz
>attach(Zugriffe)
>cdf.compare(Zugriffe.Tag,distribution="gamma",shape=mean(Zugriffe.Tag)^2/
var(Zugriffe.Tag), rate=mean(Zugriffe.Tag)/var(Zugriffe.Tag))
>ks.gof(Zugriffe.Tag,distribution="gamma",shape=mean(Zugriffe.Tag)^2/
var(Zugriffe.Tag), rate=mean(Zugriffe.Tag)/var(Zugriffe.Tag))
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
E
m
pir ic al
0
100
200
300
400
500
and
D
a
t
e
n
:
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
1
.
P
e
r
i
o
d
e
â
=
1
.
2
4
,
l
a
m
b
d
a
=
0
.
0
5
6
k
s
=
0
.
0
4
,
z
=
0
.
6
3
p
=
0
.
8
2
20 40 60 80
H
E
ym
pothes
pir ic al
iz
an
ed
l i ne
i s
0
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
i s
the
empi ri c al
d
D
a
t
e
n
:
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
2
.
P
e
r
i
o
d
e
â
=
2
.
4
7
,
l
a
m
b
d
a
=
0
.
0
2
0
k
s
=
0
.
0
4
,
z
=
0
.
8
5
p
=
0
.
4
6
100
200
300
400
500
E
m
pir ic al
l i ne
the
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
s ol i d
s ol i d
H
y pot
D
a
t
e
n
:
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
g
e
s
a
m
t
â
=
1
.
2
6
,
l
a
m
b
d
a
=
0
.
0
1
4
k
s
=
0
.
0
7
,
z
=
1
.
8
8
p
=
0
.
0
0
1
7
E
m
pir ic al
0
and
and
H
y pot
empi ri c
s al
ol i d.f.
d
l i ne
i s
the
D
a
t
e
n
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
g
e
s
a
m
t
â
=
1
.
4
0
,
l
a
m
b
d
a
=
0
.
0
4
9
k
s
=
0
.
1
5
,
z
=
4
.
0
0
p
<
0
.
0
0
0
1
0
20
40
60
80
100
120
E
m
pir ic
al
and
H
E
ym
pothes
pir ic al
iz
an
ed
D
a
t
e
n
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
1
.
P
e
r
i
o
d
e
â
=
2
.
8
4
,
l
a
m
b
d
a
=
0
.
6
6
2
k
s
=
0
.
1
0
,
z
=
1
.
5
5
p
=
0
.
0
1
6
2
4
6
8
10
12
14
s ol i d
l i ne
l i ne
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
s ol i d
0
i s
the
i s
the
d
D
a
t
e
n
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
2
.
P
e
r
i
o
d
e
â
=
3
.
6
3
,
l
a
m
b
d
a
=
0
.
0
9
1
k
s
=
0
.
0
5
,
z
=
1
.
0
0
p
=
0
.
2
6
20
40
60
80
100
120
empi ri c
s al
ol i d.f.
d
l i ne
Abbildung 5.4.: Vergleiche mit Gam(â, ̂ )-Verteilungen
-25-
empi ri c al
i s
the
Für die Daten Zugriffe/Tag der 1. Periode, Zugriffe/Tag der 2. Periode und Anwendersitzungen/Tag der 2. Periode scheint die Gammaverteilung ein adäquates Modell zu sein.
5.6. Wilson-Hilferty Approximation
Bei den untransformierten Daten kann man die Normalverteilung nicht annehmen. Man kann
jedoch die Gammaverteilung teilweise annehmen (siehe Abbildung 5.4.). Deshalb wählt man
den parametrischen Ansatz:
1. Verteilungsmodell ist die Gammaverteilung,
X ~ Gam(a, ), a > 0, > 0 mit Dichte f X ( x)
a
x a 1 exp( x) I (0, ) ( x) .
( a )
2. Transformation der gammaverteilten Variablen auf die Normalverteilung.
Für eine Zufallsvariable X ~ Gam(a, ) gilt (Kotz und Johnson (1983)):
1
1
3
1
X 1 appr.
appr
.
1
1
3
und a 9a ~ N 0,1 .
X ~ N 1 ,
1
a
9a 9a
9a
Diese Approximation durch die N(0,1)-Verteilung nennt man Wilson-Hilferty Approximation.
Um zu zeigen wie gut die Wilson-Hilferty Approximation für eine Gam(a, )-Verteilung ist,
vergleicht man die Quantile e , die sich aus der Gam(a, )-Verteilung ergeben mit den rücktransformierten N(0,1)-Quantilen eˆ . Es gilt
1
1
1
1
3
3
, :
und
Y : X , eˆ : eˆ , : 1
9a
9a
a
a
Y eˆ
P( X eˆ ) P (Y eˆ ) P(
) P ( Z z ) ,
wobei Z ~ N (0,1) und z das α-Quantil der N(0,1)-Verteilung ist. ê ergibt sich aus
z
eˆ
1
a
3
3
eˆ eˆ z eˆ z .
a
In Tabelle 5.2. sieht man den Vergleich des exakten Quantils e mit dem approximativen
Quantil ê für eine Gam(1.24, 0.056)-Verteilung und für eine Gam(2.47,0.02)-Verteilung.
Die Quantile kann man auch mit Abbildung 5.4. (2. und 3. Plot) vergleichen, wobei die
Berechnungen der Quantile in S-Plus mit den folgenden Kommandos durchgeführt werden.
-26-
S-Plus Sequenz
a<-1.24
lambda<-0.056
y<-qgamma(c(0.01,0.05,0.1,0.25,0.5,0.75,0.9,0.95,0.99),
shape=a, rate=lambda)
z<-qnorm(c(0.01,0.05,0.1,0.25,0.5,0.75,0.9,0.95,0.99),
mean=0,sd=1)
sigma<-sqrt(1/(9*a))
mu<-(1-1/(9*a))
e<-(a/lambda)*((sigma*z+mu)^3)
y;e
#ausgewählte Quantile der
#Gam(1.24,0.056)-Verteilung.
#ausgewählte Quantile der
#N(0,1)-Verteilung.
# eˆ .
#Ausgabe der Vektoren.
Gam(1.24,0.056)-Verteilung
exakt
approx.
e eˆ
α
e
ê
e
Gam(2.47,0.02)-Verteilung
exakt
approx.
e eˆ
α
e
ê
e
0.01
13.427
12.148
0.095
0.05
27.942
27.505
0.016
0.1
39.401
39.384
0.0004
0.25
65.715
66.111
-0.006
0.5 107.293 107.572
-0.003
0.75 163.801 163.516
0.002
0.9 228.762 228.043
0.003
0.95 274.437 273.767
0.002
0.99 374.509 375.278
-0.002
0.01
0.05
0.1
0.25
0.5
0.75
0.9
0.95
0.99
0.485
1.837
3.333
7.757
16.556
30.565
48.348
61.533
91.684
0.217
1.617
2.237
7.875
16.708
30.472
47.979
61.121
91.853
0.553
0.120
0.029
-0.015
-0.009
0.003
0.008
0.007
-0.002
Tabelle 5.2.: Quantile der Gammaverteilung
Die Wilson-Hilferty Approximation ist desto besser je größer a ist (vergleiche Spalten
e eˆ
e eˆ
e eˆ
in Tabelle 5.2.). Für a → ∞ gehen die Werte
→ 0. Für a = 100 ist .95 .95
e
e
e.95
= 0.0000065. Der Parameter geht nur als Skalierungsparameter in ê und e ein und kann
deshalb bei dieser Betrachtung vernachlässigt werden.
Im nächsten Schritt wird die Wilson-Hilferty Transformation auf die Daten angewandt. Die
transformierten Daten werden wie vorhin (Abbildung 5.3.) in Abbildung 5.5. dargestellt.
-27-
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
E
m
pir ic al
1
s ol i d
2
3
l i ne
is
D
a
t
e
n
:
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
1
.
P
e
r
i
o
d
e
k
s
=
0
.
0
5
,
z
=
0
.
7
8
p
=
0
.
5
9
0
1
s ol i d
2
3
l i ne
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
empi ri
D
a
t
e
n
:
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
2
.
P
e
r
i
o
d
e
k
s
=
0
.
0
3
,
z
=
0
.
7
3
p
=
0
.
6
8
-3 -2 -1 0
i s
1
2
3
the s
empi
r
al i d.f.
ol i d
li
ic
ne
s
the
E
m
pir ic al
and
H
y
D
a
t
e
n
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
g
e
s
a
m
t
k
s
=
0
.
1
0
,
z
=
2
.
7
5
p
<
0
.
0
0
0
1
-3 -2 -1 0
1
s ol i d
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
E
m
pir ic al
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
the
and
H
y
pothe
E
m
pi
r
ic
al
an
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
E
m
pir ic al
-1
H
y
D
a
t
e
n
:
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
g
e
s
a
m
t
k
s
=
0
.
0
5
,
z
=
1
.
2
5
p
=
0
.
0
7
8
-3 -2 -1 0
-2
and
2
3
l i ne
i s
the
empi ri
and
E
m
pi
H
r
y
ic
pothe
al
an
D
a
t
e
n
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
2
.
P
e
r
i
o
d
e
k
s
=
0
.
0
5
,
z
=
1
.
0
6
p
=
0
.
1
9
D
a
t
e
n
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
1
.
P
e
r
i
o
d
e
k
s
=
0
.
1
1
,
z
=
1
.
5
7
p
=
0
.
0
1
4
-2
-1
0
1
s ol i d
2
3
l i ne
-4
i s
-2
0
2
the s
empi
ol i d
r
li
ic
ne
al i d.f.
s
the
Abbildung 5.5.: Vergleiche mit N ( ˆ , ˆ ²) -Verteilungen, nach Wilson-Hilferty Transformation.
Man sieht, dass bei den Daten, bei denen eine Gammaverteilung plausibel war, für die entsprechenden transformierten Daten eine Normalverteilung annehmbar ist.
-28-
Dies wird durch die QQ-Plots für die transformierten Daten nochmals bestätigt (Abbildung
5.6.).
In S-Plus erhält man den QQ-Plot ähnlich wie den Scatter-Plot über das Insert GraphDialogfenster (siehe Abschnitt 4.1.). Dort wählt man den Punkt QQ Normal with Line (y).
g
e
s
a
m
t
4
2
Zugrife/Ta
0
2
4
4
2
1
.
P
e
r
i
o
d
e
0
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
2
2
.
P
e
r
i
o
d
e
2
2
0
0
Zugrife/Ta
4
Zugrife/Ta
4
2
2
4
4
4
4
2
0
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
2
4
4
2
0
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
g
e
s
a
m
t
2
4
4
2
Anwedrsitzugn/Ta
0
2
4
4
1
.
P
e
r
i
o
d
e
2
0
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
2
2
2
0
0
2
2
4
4
2
.
P
e
r
i
o
d
e
Anwedrsitzugn/Ta
4
Anwedrsitzugn/Ta
4
4
4
2
0
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
2
4
4
2
0
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
Abbildung 5.6.: QQ-Plots nach Wilson-Hilferty Transformation
-29-
2
4
5.7. Box-Cox Transformation
Es wird noch die Möglichkeit der Verwendung eines nichtparametrischen Ansatz, der BoxCox Transformation (Box und Cox (1964)), in Betracht gezogen. Die allgemeine Form der
Box-Cox Transformation für y > 0 lautet
y 1
y ( ) ,
log y,
falls 0
falls 0,
wobei λ den Transformationsparameter bezeichnet. Man nimmt an, dass es einen Wert λ gibt,
für den yi ( ) einer Normalverteilung mit konstanter Varianz genügt, d. h.
yi ( ) ~ N ( i ( ), ²( )) .
Der Schätzer ̂ wird in S-Plus mit dem Befehl boxcox bestimmt. boxcox berechnet die Profile
Log-Likelihood Funktion pl ( ) (siehe Friedl – Lineare Modelle (SS 2000)) für verschiedene
λ der einfachen Box-Cox Transformation y( ) y , gegeben durch
n
2
n
n
log
y
y
n
log
(
1
)
log y i , 0
i
2
i 1
i 1
pl ( )
n
n
n log log y i log y 2 log y i ,
0
2
i 1
i 1
mit y
1 n
1 n
y
log
y
,
i
log yi .
n i 1
n i 1
̂ ergibt sich aus max pl ( ) pl (ˆ ) . Ein approximatives Konfidenzintervall für den Para
meter λ beinhaltet all jene Werte von λ, für die pl (ˆ ) pl ( ) 12 12 ;1 , wobei 12 ;1 das (1-
)-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad ist (z. B. 0.95;1 = 3.8415).
Die Ergebnisse für ̂ werden in Abbildung 5.7. grafisch dargestellt und in Tabelle 5.3. und
Tabelle 5.4. aufgelistet.
S-Plus Sequenz
>attach(Zugriffe)
>library(MASS)
>boxcox(Zugriffe.Tag ~ Zugriffe.Tag,
Lambda = seq(0, 1, len = 11),
plotit = T)
#Der Befehl boxcox verlangt ein Modell.
#Berechnung und Plot von 11 λ-Werten von 0 bis 1 in 0.1
#Schritten.
-30-
-502 -50log-Likehd -5048 -5046
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
g
e
s
a
m
t
9
5
%
0
.
2
0
0
.
2
5
0
.
3
0
l
a
m
b
d
a
0
.
3
5
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
2
.
P
e
r
i
o
d
e
-398 -397 log-Likehd -396 -395 -394
-187 -186 log-Likehd -185 -184
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
T
a
g
1
.
P
e
r
i
o
d
e
9
5
%
0
.
1
0
0
.
1
5
0
.
2
0
0
.
2
5 0
.
3
0
l
a
m
b
d
a
0
.
3
5
0
.
4
0
0
.
4
0
9
5
%
0
.
2
0
.
3
0
.
4
0
.
5
l
a
m
b
d
a
-4275 -427 log-Likeh-4d273 -427 -4271 -4270
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
g
e
s
a
m
t
9
5
%
0
.
2
0
0
.
2
5
0
.
3
0
0
.
3
5
l
a
m
b
d
a
9
5
%
0
.
0
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
2
.
P
e
r
i
o
d
e
-283 -28 log-Likehd -281 -280 -2819
-781 -780 -7log9-Likehd -78 -7 -76
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
/
T
a
g
1
.
P
e
r
i
o
d
e
0
.
1
0
.
2
0
.
3
l
a
m
b
d
a
0
.
4
0
.
4
0
0
.
5
9
5
%
0
.
3
0
.
4
0
.
5
l
a
m
b
d
a
Abbildung 5.7.: 95%-Konfidenzintervalle für λ
-31-
0
.
6
Zusammenfassung der Box-Cox Transformation
ˆ
Transformiert man die Daten auf y(ˆ ) y , und testet man dann mittels KolmogorovSmirnov Test auf Normalverteilung, folgt der in Tabelle 5.3. und Tabelle 5.4. angeführte Wert
für p.
Zugriffe/Tag
gesamt
̂ = 0.31
pl (ˆ ) -5046.073
95%-Konfidenzintervall
für λ = (0.25,0.37)
p = 0.058
Zugriffe/Tag
1. Periode
̂ = 0.25
pl (ˆ ) -1183.653
95%-Konfidenzintervall
für λ = (0.13,0.36)
p = 0.89
Zugriffe/Tag
2. Periode
̂ = 0.35
pl (ˆ ) -3393.958
95%-Konfidenzintervall
für λ = (0.24,0.46)
p = 0.69
Anwendersitzungen/Tag
gesamt
̂ = 0.31
pl (ˆ ) -4269.975
95%-Konfidenzintervall
für λ = (0.24,0.38)
p < 0.0001
Anwendersitzungen/Tag
1. Periode
̂ = 0.27
pl (ˆ ) -775.899
95%-Konfidenzintervall
für λ = (0.08,0.46)
p = 0.025
Anwendersitzungen/Tag
2. Periode
̂ = 0.45
pl (ˆ ) -2819.028
95%-Konfidenzintervall
für λ = (0.32,0.59)
p = 0.55
Tabelle 5.3.: Box-Cox Transformation 1
Transformiert man die Daten derart, dass y ( 0 ) y 0 mit 0 aus dem Konfidenzintervall für
, erhält man beispielsweise:
Zugriffe/Tag
gesamt
0 = 13
pl (0 ) -5046.375
p = 0.078
Zugriffe/Tag
1. Periode
0 = 14
pl (0 ) -1183.653
p = 0.89
Zugriffe/Tag
2. Periode
0 = 13
pl (0 ) -3394.012
p = 0.68
Anwendersitzungen/Tag Anwendersitzungen/Tag Anwendersitzungen/Tag
gesamt
1. Periode
2. Periode
1
1
1
0 = 3
0 = 4
0 = 2
pl (0 ) -4270.227
p < 0.0001
pl (0 ) -775.914
p = 0.027
pl (0 ) -2819.267
p = 0.76
Tabelle 5.4.: Box-Cox Transformation 2
Alle sechs Konfidenzintervalle für aus Tabelle 5.3. beinhalten den Wert =
1
3
1
3
. Falls man
die Daten zu y transformiert, hat man bis auf die Skalierung eine Wilson-Hilferty Transformation.
-32-
ˆ
Die Abbildung 5.8. zeigt die QQ-Plots für die mittels y(ˆ ) y transformierten Daten.
g
e
s
a
m
t
7
6
5
Zugrife/Ta
4
3
2
1
3 2 1 0 1
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
2
3
1
.
P
e
r
i
o
d
e
2
.
P
e
r
i
o
d
e
3
.
0
8
2
.
5
6
Zugrife/Ta
Zugrife/Ta
2
.
0
4
1
.
5
2
1
.
0
3 2 1 0 1
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
2
3
3
2
g
e
s
a
m
t
1 0
1
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
2
3
4
3
Anwedrsitzugn/Ta
2
1
3 2 1 0 1
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
2
3
1
.
P
e
r
i
o
d
e
2
.
0
2
.
P
e
r
i
o
d
e
8
1
.
8
6
1
.
6
1
.
4
Anwedrsitzugn/Ta
Anwedrsitzugn/Ta
4
1
.
2
2
1
.
0
3 2
1 0 1
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
2
3
3
2
1 0
1
N
o
r
m
a
l
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
o
n
2
3
Abbildung 5.8.: QQ-Plots nach Box-Cox Transformation
Vergleicht man diese QQ-Plots mit den QQ-Plots der Daten nach Anwendung der WilsonHilferty Transformation (Abbildung 5.6.), so erkennt man bis auf die Skalierung keinen
Unterschied.
-33-
6. Benutzer
In diesem Abschnitt wird auf die Benutzer der Homepage näher eingegangen. Die Benutzer
werden identifiziert und ihre Zugriffe (bzw. Anwendersitzungen) werden aufsummiert.
In Abbildung 6.1. werden die Benutzer aufgelistet, von denen mehr als 0.25 % der gesamten
Zugriffe (bzw. Anwendersitzungen) stammen. Dazu werden die einzelnen DNS- und IPAdressen in größere (brauchbare) Sequenzen zusammengefasst, z. B. werden 195.34.128.0 195.34.159.255, *.teleweb.at, *.telekabel.at zu Telekabel Wien GmbH zusammengefasst
(* entspricht einer beliebigen Zeichenfolge). Die Übersetzung der DNS- und IP-Adressen
wird im Internet, auf den Homepages jener internationalen Organisationen gemacht, die
Domains und somit IPs verwalten (RIPE, APNIC,ARIN). Die aufgelisteten Benutzer in
Abbildung 6.1. machen insgesamt 64.4 % der gesamten Zugriffe (bzw. 51.9 % der gesamten
Anwendersitzungen) aus.
Anwendersitzungen
Zugriffe
7417
Studentenheime in Graz
Subzentren der T U-Graz
Studentenheime in Graz
6579
ISDN-Anschlüsse der T U-Graz
3249
Deutsche T elekom AG, T elekom Online-Dienste
Digital Equipment Corporation
1786
T elekom Austria AG
658
Deutsche T elekom AG, T elekom Online-Dienste
563
Inktomi Corporation
1361
519
Lycos, Inc
1174
IMS INFO media systems Internet Services GmbH
878
Digital Equipment Corporation
2041
NET WAY AG Internet Service Provider
1025
Subzentren der T U-Graz
484
ISDN-Anschlüsse der T U-Graz
1015
467
T elekom Austria AG
417
924
Institut für Mathematik, T U-Graz
Exodus Commnications Inc.
T U-Wien
900
Exodus Commnications Inc.
871
Universität Wien
714
Inktomi Corporation
690
ISDN-Call-Back-Anschlüsse der T U-Graz
649
T elekabel Wien GmbH
630
University of London
Excite, Inc.
358
T U-Wien
598
Proxy- und Webserver T U-Graz
377
358
University of London
536
270
Ludwig-Maximilians-Universität Muenchen
248
Google Inc
244
Endemann Werbeagentur
212
NET WAY AG Internet Service Provider
206
Lycos, Inc
524
Universität Wien
197
AT W Enterprises
492
AT W Enterprises
190
Ludwig-Maximilians-Universität Muenchen
461
Alexa Internet
Excite, Inc.
444
Institut für Mathematik, T U-Graz
183
Institut für Geodäsie, T U-Graz
421
ISDN-Call-Back-Anschlüsse der T U-Graz
127
WU-Wien
411
Gruner + Jahr AG & Co
124
123
134
Universität Klagenfurt
392
T elekabel Wien GmbH
Google Inc
348
AOL Domain Registration
122
RedIRIS, Spanish National R&D Network
336
RedIRIS, Spanish National R&D Network
120
Northern Light T echnology LLC
296
GT N, PROVIDER
115
Alexa Internet
289
BT Fusion IP Services Platform
112
Hörsäle, T U-Graz
279
Proxy- und Webserver T U-Graz
106
Bauer GmbH, oberland.net
104
WU-Wien
103
Katholieke Universiteit Leuven
272
WIFI der Wirtschaftskammer
271
Openfind, T aiwan
262
Hochschülerschaft, T U-Graz
244
Endemann Werbeagentur
244
Universität Udine
216
Montanuniversitaet Leoben
212
Computer Center
207
ACOnet
205
Johannes Kepler Universitaet Linz
189
Universität Gent
188
Leibniz-Rechenzentrum der Bayerischen Akademie
100
NEC USA, Inc.
74
ACOnet
72
Muscat Limited
69
Universität Innsbruck
67
Universität Klagenfurt
66
Katholieke Universiteit Leuven
65
Hörsäle, T U-Graz
59
Muscat Limited
187
RUBIS incorporated
59
Gruner + Jahr AG \& Co
183
Computer Center
58
BT Fusion IP Services Platform
180
Johannes Kepler Universitaet Linz
57
JOANNEUM RESEARCH
180
Den Kongelige Veterinaer- og Landbohoejskole
56
Leibniz-Rechenzentrum der Bayerischen Akademie
167
JOANNEUM RESEARCH
55
166
Universität Gent
Universität Innsbruck
0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
50
0
Zugriffe
200
400
600
800
Anwendersitzungen
Abbildung 6.1.: Benutzer
-34-
1000
1200
Betrachtet man Abbildung 6.1., sieht man, dass der Großteil der Zugriffe (bzw. Anwendersitzungen) von Institutionen der TU-Graz und von Studentenheimen in Graz stammt. Fasst
man diese Gruppen zusammen, kommt man auf 21932 Zugriffe (35.9 % der gesamten
Zugriffe) bzw. auf 3172 Anwendersitzungen (16.2 % der gesamten Anwendersitzungen).
Im nächsten Schritt werden die Länder identifiziert, aus denen die Benutzer stammen. Dies ist
nur dann möglich, falls in der DNS-Adresse die Länderdomain vorkommt. Eine Ausnahme
bilden die USA, denn *.edu, *.gov, *.mil werden den USA zugerechnet. Weiters werden die
übersetzten IP-Adressen, die eindeutig einem Land zuzuordnen sind berücksichtigt. In
Abbildung 6.2. werden die Benutzerländer aufgelistet, aus denen mehr als 0.25 % aller
Zugriffe (bzw. 0.3 % aller Anwendersitzungen) stammen.
Die aufgelisteten Länder machen insgesamt 73 % der gesamten Zugriffe (bzw. 55.4 % der
gesamten Anwendersitzungen) aus.
Anwendersitzungen
Zugriffe
32307
Österreich
Österreich
USA
1301
USA
Italien
1213
United Kingdom
United Kingdom
Belgien
Spanien
641
Frankreich
486
Schweiz
443
Niederlande
433
Dänemark
433
2422
693
539
Italien
1183
644
5552
Deutschland
5586
Deutschland
442
Spanien
280
Frankreich
218
Schweiz
199
Dänemark
195
Niederlande
183
Belgien
175
Kanada
136
Australien
103
Polen
378
Taiwan
291
Polen
95
Kanada
239
Japan
86
Australien
180
Schweden
67
Tschechische Rep.
163
Tschechische Rep.
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
65
0
1000
2000
3000
4000
Anwendersitzungen
Zugriffe
Abbildung 6.2.: Benutzerländer
-35-
5000
6000
Im nächsten Schritt werden die Benutzer in die Kategorien Unternehmen, Organisationen,
Bildungseinrichtungen, Internet Betreiber, Regierungen (Militär kommt nicht vor) eingeteilt.
Die Einteilungen in die jeweiligen Kategorien sind in Tabelle 6.1. aufgelistet. Dabei ist ein
Zugriff einer Kategorie anzurechnen, falls in der DNS-Adresse des Benutzers eine der angeführten Kombination vorkommt. Weiters werden die übersetzten IP-Adressen der Benutzer,
die eindeutig einer dieser Kategorien zuzuordnen sind, berücksichtigt.
DNS-Adresse (* entspricht einer beliebigen
Zeichenfolge, ? entspricht genau einem Zeichen)
*.com, *.com.??, .co.
*.org, *.org.??, .or.
*.edu, *.edu.??., .ac.
*.net, *.net.??
*.gov, *.gov.??, .gv.
Kategorie
Unternehmen
Organisationen
Bildungseinrichtungen
Internet Betreiber
Regierungen
Tabelle 6.1.: Benutzerkategorien
Bei einer Einteilung in diese 5 Kategorien werden 65.5 % aller Zugriffe berücksichtigt, bzw.
58.3 % aller Anwendersitzungen. In Abbildung 6.3. sind die Ergebnisse in einem Diagramm
dargestellt.
Anwendersitzungen
Zugriffe
Bildungseinrichtungen
Bildungseinrichtungen
27586 (ac) 1461 (edu)
Unternehmen
Unternehmen
7506 (com) 216 (co)
Internet Betreiber
4895 (ac)
3887 (com)
Internet Betreiber
2933
224
Regierungen
86
Organisationen
157
Organisationen
79
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
0
1000
Abbildung 6.3.: Benutzerkategorien
-36-
96 (co)
1617
Regierungen
0
747 (edu)
2000
3000
4000
5000
6000
7. Webseiten
Die Homepage besteht aus mehreren Webseiten, auf die man entweder direkt zugreifen kann
oder mit Hilfe eines Links kommt.
Eine Methode zur genauen Bestimmung der Position einer Webseite im Internet ist der
Universal Resource Locator (URL). Eine URL-Adresse besteht aus vier Teilen: Protokolltyp
(http), Servername (www.cis.tu-graz.ac.at), Verzeichnispfad (/stat/) und Dateiname (guestbook.html). Beispielsweise führt das URL http://www.cis.tu-graz.ac.at/stat/guestbook.html
zur Webseite Guestbook der Homepage des Institutes für Statistik.
Die einzelnen Webseiten werden zu übergeordneten Ordnern zusammengefasst (z. B. werden
die Seiten /stat/iwsm/* zur Webseite IWSM zusammengefasst). Während des Beobachtungszeitraums hat sich die Bezeichnung von einzelnen Webseiten geringfügig verändert. Zur
Bearbeitung der Seiten wird eine einheitliche Bezeichnung festgelegt (z. B. werden
/stat/books.html und /stat/library/* zu Bibliothek zusammengelegt).
Abbildung 7.1. zeigt wie oft (in % aller Zugriffe) auf welche Seiten zugegriffen wird.
Angeforderte Seiten
Gästebuch
1.5%
Bibliothek
6.7%
Rest
9.5%
Startseite
10.3%
Sekretariat
1.2%
Lehrveranstaltungen
20.9%
Stadlober
5.1%
Stampfer
8.2%
Vorlesungen
2.7%
Friedl
1.6%
Anmeldung
1.2%
Akad. Personal
2.2%
IWSM
19.4%
ÖMG
7.9%
Diplomarbeiten
1.7%
Abbildung 7.1.: angeforderte Seiten
Die Kategorie Rest beinhaltet Seiten mit weniger als 1 % der gesamten Zugriffe und die
Content-Seite (5.5 %), da diese nur Navigationselemente enthält.
-37-
Abbildung 7.2. zeigt, wie oft eine Seite als Einstiegseite gezählt wird (in % aller Einstiegzugriffe).
Einstiegseiten
Gästebuch
1.2%
Rest
9.4%
Startseite
12.5%
Bibliothek
3.2%
Stadlober
7.1%
Lehrveranstaltungen
16.3%
Stampfer
8.1%
Friedl
1.7%
ÖMG
8.5%
IWSM
31.9%
Abbildung 7.2.: Einstiegseiten
Eigentlich wäre die typische Einstiegseite die Startseite der Homepage (http://www.cistu.graz.ac.at/stat/), man kann aber auch eine URL eingeben, um auf eine bestimmte Seite
direkt zuzugreifen. Die (anzahlmäßig) bedeutendste Einstiegseite ist nicht die Startseite,
sondern die IWSM-Seite.
Die Kategorie Rest beinhaltet Einstiegseiten die weniger als 1 % der gesamten Einstiegzugriffe ausmachen und die Content-Seite (3.2 %).
-38-
7.1. Zeitliche Verteilung der Zugriffe auf die Webseiten
Abbildungen 7.1. und 7.2. zeigen die begehrtesten Seiten der Homepage auf. Es stellt sich
jetzt die Frage nach der zeitlichen Verteilung der Zugriffe auf die Webseiten. Dazu werden im
Falle der angeforderten Seiten die sieben begehrtesten Seiten und im Falle der Einstiegseiten
die sechs begehrtesten Seiten genauer betrachtet. Als Zeiteinheit wird ein Monat festgelegt.
Das heißt, man betrachtet wie oft auf eine Seite j im i-ten Monat (j = Startseite, IWSM,
Lehrveranstaltungen, ... , i = 01/98,...,12/99) zugegriffen wird bzw. wie oft ein Einstiegzugriff
für eine Seite j registriert wird. Diese Zeitreihen werden mit Zugriffe/Monat(i)/Webseite(j)
und Einstiegzugriff/Monat(i)/Webseite(j) bezeichnet.
Da man hauptsächlich an der 2. Periode (22.09.98 bis 31.12.99) interessiert ist, betrachtet man
nur die Monate 09/98 bis 12/99. In diesem Zeitraum machen die Zugriffe auf die sieben
begehrtesten angeforderten Seiten 80.2 % aller Zugriffe aus. In Abbildung 7.3. sind die
Zugriffe/Monat(i)/Webseite(j) gegen das Monat i aufgetragen.
Angeforderte Seiten
5000
4000
3000
35 %
2000
35 %
49 %
43 %
35 %
29 %
23 %
1000
26 %
25 %
25 %
23 %
27 %
37 %
15 %
18 %
15 %
48 %
34 %
35 %
13 %
30 %
13 %
0
Sep 98 Okt 98 Nov 98 Dez 98 Jan 99 Feb 99 Mrz 99 Apr 99 Mai 99 Jun 99 Jul 99 Aug 99 Sep 99 Okt 99 Nov 99 Dez 99
Startseite
Lehrveranstaltungen
IWSM
Bibliothek
ÖMG
Stadlober
Stampfer
gesamt
Abbildung 7.3.: zeitliche Verteilung der angeforderten Seiten
Die Prozentangaben an den einzelnen Punkten in Abbildung 7.3. geben den Anteil an den
gesamten Zugriffen in dem jeweiligen Monat an.
-39-
In Abbildung 7.4. sind die Einstiegzugriffe/Monat(i)/Webseite(j) gegen das Monat i aufgetragen. Im Zeitraum 09/98 bis 12/99 werden 86.4 % aller Einstiegzugriffe auf die sechs
begehrtesten Einstiegseiten getätigt.
Einstiegseiten
1800
1600
1400
1200
1000
58 %
800
54 %
48 %
40 %
41 %
42 %
600
39 %
36 %
400
24 %
70 %
200
28 %
27 % 32 %
14 %
20 %
13 %
16 %
11 %
13 %
19 %
22 %
26 %
30 %
16 %
0
Sep 98 Okt 98 Nov 98 Dez 98 Jan 99 Feb 99 Mrz 99 Apr 99 Mai 99 Jun 99 Jul 99 Aug 99 Sep 99 Okt 99 Nov 99 Dez 99
Startseite
Lehrveranstaltungen
IWSM
ÖMG
Stadlober
Stampfer
gesamt
Abbildung 7.4.: zeitliche Verteilung der Einstiegseiten
Die Prozentangaben an den einzelnen Punkten in Abbildung 7.4. geben den Anteil an den
gesamten Einstiegzugriffen in dem jeweiligen Monat an.
Die IWSM (International Workshop on Statistical Modelling) Seiten und die ÖMG
(Österreichische Mathematische Gesellschaft) Seiten sind gesondert zu behandeln. Sie
gehören zwar zur Homepage haben aber einen speziellen Status. Sie beziehen sich auf zeitlich
begrenzte Ereignisse (Tagungen). Betrachtet man den Verlauf der IWSM- und ÖMG-Seiten
und deren „Begehrtheit“ genauer, erkennt man ihre Sonderstellung.
Auch der typische Benutzer dieser Seiten ist ein anderer als bei den anderen Seiten. Wie
bereits festgestellt, kommen 21932 Zugriffe (35.9 % der gesamten Zugriffe) von Institutionen
der TU-Graz und von Studentenheimen in Graz, jedoch wird von denen lediglich 478 mal (2.2
% von 21932) auf IWSM-Seiten und 564 mal (2.6 % von 21932) auf ÖMG-Seiten zugegriffen. Diese geringe Anzahl an Zugriffen ist vernachlässigbar.
-40-
Abbildung 7.5. zeigt den zeitlichen Verlauf der Anzahl der Zugriffe/Monat ohne IWSM- und
ÖMG-Seiten. 47 % dieser Zugriffe stammen von Institutionen der TU-Graz und von
Studentenheimen in Graz. Diese werden ebenfalls in der Grafik berücksichtigt.
Externe Zugriffe ohne Zugriffe auf IWSM- und ÖMG-Seiten
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
bis
9/98
Okt
98
Nov
98
Dez
98
Jan
99
Feb
99
Mrz
99
Apr
99
Mai
99
Jun
99
externe Zugriffe ohne IWSM- und ÖMG-Seiten
Jul
99
Aug Sep
99
99
Okt
99
Nov
99
Dez
99
TU-Graz, Studentenheime
Abbildung 7.5.: zeitliche Verteilung des Benutzers TU-Graz
Man erkennt natürlich die starke Abhängigkeit der gesamten Zugriffe/Monat ohne IWSMund ÖMG-Seiten von den Zugriffen/Monat der TU-Graz und Studentenheimen in Graz. Dies
wird auch bestätigt durch den hohen emp. Korrelationskoeffizienten (r = 0.89) und dem
dazugehörenden Scatter-Plot (Abbildung 7.6.).
K
o
r
r
e
l
a
t
i
o
n
r
=
0
.
8
9
2
5
0
0
2
0
0
0
1
5
0
0
1
0
0
0
Zugrife/MonatvTU-GrazundStehimnGraz
5
0
0
0
1
0
0
0 2
0
0
0
3
0
0
0
4
0
0
0
5
0
0
0
e
x
t
e
r
n
e
Z
u
g
r
i
f
f
e
/
M
o
n
a
t
o
h
n
e
I
W
S
M
u
n
d
Ö
M
G
S
e
i
t
e
n
Abbildung 7.6.: Scatter-Plot mit emp. Korrelationskoeffizienten
-41-
8. Tageszeit
Zu verschiedenen Tageszeiten wird auch auf die Homepage natürlich auch verschieden oft
zugegriffen.Um dies zu verdeutlichen werden die Zugriffe, die während der i-ten Stunde eines
Tages j getätigt werden, aufsummiert (i = 1,...24, j = 04.01.98,...,31.12.99). Diese Reihe wird
mit Zugriffe/Stunde(i)/Tag(j) bezeichnet.
Die Einteilung der Stunden erfolgte nach dem folgenden Schema
1
2
24
von 00:00:00 bis 00:59:59
von 01:00:00 bis 01:59:59
von 23:00:00 bis 23:59:59
In Abbildung 8.1. werden die Zugriffe/Stunde(i)/Tag(j) für den gesamten Zeitraum bzw. die
1. Periode und die 2. Periode über j aufsummiert und gegen die i-te Stunde aufgetragen.
Zugriffe/Stunde gesamt
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Zugriffe/Std.
Zugriffe/Stunde 2. Periode
Zugriffe/Stunde 1. Periode
350
5000
300
4500
4000
250
3500
200
150
3000
2500
2000
100
1500
50
1000
500
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Zugriffe/Std.
Zugriffe/Std.
Abbildung 8.1.: Tageszeitenverläufe
Man erkennt 2 unterschiedliche Verläufe. Bei den Zugriffen/Stunde der 1. Periode sind
beispielsweise zu den Stunden 3, 7 mehr Zugriffe zu verzeichnen als zu den Stunden 9, 11,
17, 18, 22, 23, 24. Bei den Zugriffen/Stunde der 2. Periode trifft dies nicht zu. Beim Verlauf
der gesamten Zugriffe/Stunde überwiegt natürlich der Einfluss der 2. Periode. Hier sieht man
schön die niedrigeren Häufigkeiten in den frühen Morgenstunden.
-42-
9. Modellanpassung
Die folgenden Definitionen, Sätze, Verfahren und Schlussfolgerungen sind hauptsächlich aus
den Büchern Introduction to Time Series and Forecasting von Brockwell und Davis (1996),
Analyse von Zeitreihen von Chatfield (1982) und aus dem S-Plus 4 Guide to Statistics.
Da sich die Daten als Zeitreihe darstellen lassen (siehe Abschnitt 4.), versucht man die Daten
an ein stationäres Zeitreihenmodell anzupassen. Für diese spezielle Analyse wird der Datensatz Anwendersitzungen/Tag der 2. Periode herangezogen.
Definition 9.1.: Zeitreihe, Zeitreihenprozess
Eine Zeitreihe ist eine Abfolge {xt } von Beobachtungen zu bestimmten Zeitpunkten t S .
Falls S diskret ist spricht man von einer diskreten Zeitreihe, ist S ein reelles Intervall spricht
man von einer stetigen Zeitreihe. Wir fassen eine Zeitreihe als Realisation eines Zeitreihenprozesses { X t }, t S , auf.
In der Folge werden ausschließlich diskrete Zeitreihen mit S = ℤ = {..., 2,1,0,1,2,...} betrachtet.
9.1. Allgemeines Verfahren
Vorab wird ein allgemeines Verfahren zur Analyse von Zeitreihen aufgezeigt, um einen Überblick über die wichtigsten Schritte, auf die in den folgenden Seiten eingegangen wird, zu
bekommen.
Zuerst wird die Zeitreihe geplottet und geprüft, ob sie
(a) einen erkennbaren Trend,
(b) eine saisonale Komponente,
(c) deutlich Veränderungen in ihrem Verhalten oder
(d) Ausreißer enthält.
Im Anschluß werden Ausreißer möglicherweise berichtigt, Trend und saisonaler Effekt
beseitigt, um eine annähernd stationäre Zeitreihe zu erhalten. Dieses Ziel kann unter
Umständen durch Transformation der Daten erreicht werden.
Falls es signifikante Abhängigkeiten zwischen den Daten gibt, dann muss man ein
komplexeres stationäres Zeitreihenmodell, dass die Abhängigkeitsstruktur der Daten
widerspiegelt, finden.
Nachdem ein vernünftig erscheinendes Zeitreihenmodell identifiziert wurde, geht man an
die Vorhersage zukünftiger Daten.
-43-
9.2. Stationärität und Autokorrelationsfunktion
Definition 9.2.: Kovarianzfunktion
Sei { X t } ein Zeitreihenprozess mit E ( X t2 ) . Die Erwartungswertfunktion von { X t } ist
(t ) E ( X t ) .
Die Kovarianzfunktion von { X t } ist
(r , s) = Cov( X r , X s ) , r, s ℤ.
Definition 9.3.: Stationär
Der Prozess { X t } ist (schwach) stationär, wenn
(i) (t ) unabhängig von t, und
(ii) (t h, t ) unabhängig von t ist h ℤ.
Strikte Stationärität eines Zeitreihenprozesses { X t } ist durch die Bedingung, dass h, N
ℤ, N 0 , die Zufallsvektoren { X 1 ,..., X N } und { X 1 h ,..., X N h } dieselbe Verteilung haben,
definiert. Wann immer in der Folge der Begriff stationär benutzt wird, meinen wir damit aber
schwach stationär nach Definition 9.3.
Im Falle eines stationären Prozesses gilt t, h ℤ (t h, t ) (h) ist unabhängig von t. Die
Kovarianz hängt somit nur vom sogenannten Lag h ab. Wir geben darum folgende Definition
an.
Definition 9.4.: Autokovarianzfunktion und Autokorrelationsfunktion
{ X t } sei ein stationärer Zeitreihenprozess. Die Autokovarianzfunktion (ACVF) von { X t }
ist
(h) Cov( X t h , X t ).
Die Autokorrelationsfunktion (ACF) von { X t } ist
(t h, t ) (h)
.
( h)
(t , t )
(0)
Die ACF und ACVF eines stationären Zeitreihenprozess { X t } haben die folgenden einfach
nachzurechnenden Eigenschaften.
1. (0) 1 und (0) Var ( X t ) ,
2. (k ) (k ) und (k ) (k ) ,
3. (k ) 1 und (k ) (0) .
In der Praxis sind die meisten Zeitreihen nicht stationär. Um ein stationäres Modell anpassen
zu können, müssen zunächst die nicht stationären Variationsursachen (z. B. ein Trend oder
eine Saisonschwankung) aufgezeigt und entfernt werden.
Wichtige Eigenschaften einer Zeitreihe werden durch die empirische Autokorrelationsfunktion angezeigt. Sie misst die Korrelation zwischen Beobachtungen bei verschiedenen
Lags und verschafft einen Einblick in das Wahrscheinlichkeitsmodell, das diese Daten
erzeugt.
-44-
Definition 9.5.: Empirische Autokorrelationsfunktion (emp. ACF)
Seien x1 ,..., x N Beobachtungen eines Zeitreihenprozesses und x
1
N
N
x
t 1
t
.
Die empirische Autokovarianzfunktion (emp. ACVF) ist
N h
1
ˆ (h) ( xt h x )( xt x ),
N h N.
N t 1
Die empirische Autokorrelationsfunktion (emp. ACF) ist
ˆ (h)
ˆ (h)
,
N h N.
ˆ (0)
Für h 0 ist ˆ (h) approximativ gleich der emp. Kovarianzfunktion der (N – h) Beobachtungspaare ( x1 , x1 h ), ( x2 , x2 h ),..., ( x N h , x N ). Der Unterschied besteht in der Verwendung des Divisors N anstatt N-h und der Subtraktion des gemeinsamen arithmetischen Mittels
x von jedem Faktor der Summe. Die Verwendung des Divisors N garantiert, dass die emp.
N
Kovarianzmatrix ˆ N ˆ (i j )i , j 1 nicht negativ definit ist (siehe Brockwell und Davis,
S.18).
9.2.1. Prüfen der Daten mittels empirischer Autokorrelationsfunktion
Um die empirische Autokorrelationsfunktion zu interpretieren ist es nützlich, diese über den
Lags h aufzutragen. Die Betrachtung dieser Grafik, in der Folge als ACF-Plot bezeichnet, gibt
aufschlussreiche Hinweise über die Abhängigkeitsstruktur der Daten. Zunächst sind folgende
Eigenschaften zu betrachten.
Wenn die Zeitreihe Saisonschwankungen enthält, dann findet man diese auch im ACFPlot mit der gleichen Frequenz wieder.
Wenn eine Zeitreihe einen Trend enthält, dann können die Werte der emp. Autokorrelationsfunktion erst für große Lags h klein werden.
Wenn eine Zeitreihe einen oder mehrere Ausreißer enthält, kann der ACF-Plot ernstlich
beeinflusst sein. Es ist ratsam, diese zu berichtigen.
Fundamental für die Interpretation des ACF-Plots sind die Stichprobeneigenschaften von
ˆ (h). Als Speziallfall motivieren wir zunächst das folgende Lemma, wobei iid für
unabhängig und identisch steht.
Lemma 9.1.: Approximative Verteilung von ˆ (h)
Für große N ist die emp. ACF ˆ (h) von iid verteilten X 1 ,..., X N mit endlicher Varianz
1
approximativ iid N (0, ) verteilt.
N
Die Verallgemeinerung von Lemma 9.1. auf lineare Prozesse (z. B. ARMA(p,q)-Modelle)
wird später angegeben (siehe Abschnitt 9.4.1., Lemma 9.3.). Mittels Lemma 9.1. können wir
1
die Hypothese H iid , dass X 1 ,..., X N iid N (0, ) verteilt sind, überprüfen. Falls nämlich
N
-45-
x1 ,..., x N Realisationen eines solchen Prozesses sind, sollen ca. 95 % der ˆ (h) innerhalb der
1,96
Grenzen
liegen.
N
Zur Illustration betrachten wir den ACF-Plot für Anwendersitzungen/Tag der 2. Periode. Eine
Faustregel besagt, falls von den ersten 40 Werten der emp. ACF mehr als 2 oder 3 Werte
außerhalb oder ein Wert weit außerhalb der 95%-Grenzen liegen, dann kann man H iid
verwerfen (siehe Brockwell und Davis, S. 34).
In S-Plus wird der ACF-Plot mit den 95%-Grenzen mit dem Befehl acf berechnet und
geplottet. Die dazugehörigen S-Plus Kommandos lauten wie folgt.
S-Plus-Sequenz
>attach(ab220998)
>Anw <- cts(Anw.Tag, start =
dates(„220998“, format = „dmy“,
out.format = „d m y“), units = „days“)
>acf(Anw,lag.max=40)
#Daten Anw. Tag sind im Datenframe ab220998
#abgelegt.
#Darstellung als calender time series (cts),
#Startdatum: 22.09.98, Enddatum (31.12.99)
#ergibt sich automatisch.
#emp. ACF Berechnung und Plot bis Lag h = 40.
Abbildung 9.1. zeigt den ACF-Plot für Anwendersitzungen/Tag der 2. Periode. Die Werte der
emp. ACF befinden sich teilweise außerhalb und teilweise innerhalb der 95 %-Grenzen
(gepunktete Linie in Abbildung 9.1.). Man kann somit annehmen, dass es sich um eine nicht
stationäre Zeitreihe handelt. Weiters schwanken die emp. ACF-Werte mit einer deutlich
erkennbaren Frequenz von 7 Lags. Dies bestätigt die Vermutung von früher, dass die Daten
einer Wochenschwankung unterliegen (siehe Abschnitt 4, Abbildung 4.3. und 4.4.).
0. 0.2 0.4 ACF 0.6 0.8 1.0
S eries
0
10
20
30
40
Lag
(i n
day
s)
Abbildung 9.1.: ACF-Plot für Anwendersitzungen/Tag der 2. Periode
-46-
:
A
9.3. Stationäre Prozesse
Definition 9.6.: White Noise
Die Verteilung einer Folge {Z t } von unkorrelierten Zufallsvariablen mit Mittelwert 0
und Varianz ² , d.h. E ( Z t ) 0 , E ( Z t2 ) 2 und E (Z t Z ) 0 für t , bezeichnet man als
White Noise Verteilung (weißes Rauschen). Abkürzend werden wir {Z t } ~ WN (0, ²)
schreiben.
iid
Falls {Z t } ~ N (0, ²) , dann spricht man von einem Gauß´schen White Noise Prozess. Falls
{Z t } iid verteilt ist mit Mittelwert null und Varianz ² dann schreiben wir {Z t } ~ IID (0, 2 )
und bezeichnen die Verteilung als IID-Noise. Jede IID (0, 2 ) verteilte Folge ist WN (0, ²)
verteilt, aber nicht umgekehrt. Wenn {Z t } ~ WN (0, ²) , dann ist {Z t } stationär.
Aus Gründen der Einfachheit werden nur Prozesse mit Mittelwert 0 behandelt. Einen
solchen Prozess erhält man, in dem man statt { X t } den Prozess { X t } behandelt. Das
beeinflusst die ACF nicht.
9.3.1. MA(q)-Prozess
Definition 9.7.: MA(q)-Prozess
{ X t } ist ein Moving Average Prozess der Ordnung q (MA(q)-Prozess), wenn
X t Z t 1 Z t 1 2 Z t 2 ... q Z t q ,
mit {Z t } ~ WN (0, ²) und 1 ,..., q konstant.
Für den MA(q)-Prozess gilt
1. E ( X t ) 0,
2. (h) Cov( X t , X t h ) =
= Cov( Z t 1 Z t 1 ... q Z t q , Z t h ... q Z t q h ) =
hq
0,
2 q h
= i i h , h 0,1,..., q, 0 1
i 0
(h),
h0
2 , s t
da Cov( Z t , Z s )
.
st
0,
Ein MA(q)-Prozess ist somit stationär.
-47-
9.3.2. AR(p)-Prozess
Definition 9.8.: AR(p)-Prozess
{ X t } ist ein autoregressiver Prozess der Ordnung p (AR(p)-Prozess), wenn
X t 1 X t 1 2 X t 2 ... p X t p Z t .
Dabei ist {Z t } ~ WN (0, ²) , Z t unkorreliert mit X s s t und für i = 1,..., p sind die
Konstanten i 1 .
9.3.3. ARMA(p,q)-Prozess
Einen Autoregressiven Moving Average Prozess (ARMA-Prozess) erhält man durch Kombination der Gleichungen eines MA-Prozesses und eines AR-Prozesses.
Definition 9.9.: ARMA(p,q)-Prozess
{ X t } ist ein Autoregressiver Moving Average Prozess der Ordnung p und q
(ARMA(p,q)-Prozess), wenn { X t } stationär ist und wenn für jedes t gilt
X t 1 X t 1 ... p X t p Z t 1 Z t 1 2 Z t 2 ... q Z t q
mit {Z t } ~ WN (0, ²) .
Der ARMA-Prozess wird oft auch in der Form
( B) X t ( B) Z t
geschrieben, wobei B der Backshift-Operator B( X t ) X t 1 und ( B) 1 1 B ... p B p ,
( B) 1 1 B ... q B q . Für ( B ) 1 ergibt sich speziell der MA(q)-Prozess, für (B ) =
1 ergibt sich speziell der AR(p)-Prozess.
Satz 9.1.: Existenz und Eindeutigkeit
Eine stationäre Lösung { X t } der Gleichung aus Definition 9.9. existiert (und ist die einzige
stationäre Lösung) dann und nur dann, wenn ( z) 1 1 z ... p z p 0 für alle (komplexen) z 1.
Beweis in Brockwell und Davis, S. 82.
Definition 9.10.: Kausalität
Ein ARMA-Prozess { X t } ist kausal oder eine kausale Funktion von {Z t } , wenn X t in
Termen von Z s , s t , ausgedrückt werden kann.
-48-
Satz 9.2.: Kausalität
Ein ARMA(p,q)-Prozess { X t } ist kausal, oder eine kausale Funktion von {Z t } , wenn es
Konstanten { j } gibt für die gilt:
j 0
j 0
j und X t j Z t j für alle t.
Kausalität ist äquivalent zur Bedingung:
( z) 1 1 z ... p z p 0 für alle z 1.
Beweis in Brockwell und Davis, S. 83.
Definition 9.11.: Invertierbarkeit
Ein ARMA-Prozess { X t } ist invertierbar, wenn Z t in Termen von X s , s t , ausgedrückt
werden kann.
Satz 9.3.: Invertierbarkeit
Ein ARMA(p,q)-Prozess { X t } ist invertierbar, wenn es Konstanten { j } gibt für die gilt:
j 0
j 0
j und Z t j X t j für alle t.
Invertierbarkeit ist äquivalent zur Bedingung:
( z) 1 1 z ... q z q 0 für alle z 1 .
Beweis in Brockwell und Davis, S. 84.
Wir nehmen in der Folge an, dass ein kausaler ARMA-Prozess { X t } vorliegt. Die Kausa
litätsannahme impliziert die Darstellung X t j Z t j (Darstellung von { X t } als MA()
j 0
1
( B) (siehe Brockwell und Davis, S. 82). Multi ( B)
pliziert man jede Seite der Gleichung aus Definition 9.9. mit X t k und nimmt die Erwartungswerte, erhält man die Gleichungen (G1)
Prozess) mit dem Operator ( B)
(k ) 1 (k 1) .... p (k p) 2 k j j ,
für 0 ≤ k < m,
j 0
und
(k ) 1 (k 1) .... p (k p) 0 ,
(G1)
für k ≥ m,
wobei m = max(p, q + 1), j : 0 für j < 0, 0 : 1, und j : 0 für j q .
-49-
9.3.3.1. YULE-WALKER Gleichungen
Wir nehmen an, dass ein kausaler AR(p)-Prozess ( ( B ) 1 ) vorliegt. Dies impliziert die
1
Darstellung X t j Z t j mit ( B)
. Die Gleichungen (G1) ergeben sich nun zu
( B)
j 0
(k ) 1 (k 1) .... p (k p) , für k > 0
und
2 (0) 1 (1) ... p ( p) ,
und werden als YULE-WALKER Gleichungen bezeichnet.
In Matrixschreibweise erhalten wir
( p 1) 1
( p 2) 2
( p) ( p 1) ( p 2)
(0) p
p
p
p
(1)
(2)
(0)
(1)
(1)
(0)
und
2 (0) ( p ) t p .
Definition 9.12.: Partielle Autokorrelationsfunktion (PACF)
Die partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) eines ARMA-Prozesses { X t } ist die Funktion () , festgelegt durch
(0) 1
und
(h) hh , h 1,
wobei hh die letzte Komponente von h h1 h ist,
h [ (i j )]ih, j 1 und h [ (1), (2),..., (h)]t .
Die PACF eines kausalen AR(p)-Prozesses ist null für Lags h > p (siehe Brockwell und
Davis, S. 93).
Trägt man die emp. PACF-Werte über den Lags h auf, so bezeichnet man die daraus resultierende Grafik als PACF-Plot.
Setzt man in den YULE-WALKER Gleichungen für die (k ) die Werte der empirischen
Autokovarianzfunktion ˆ (k ) ein, folgt daraus die Definition für die empirische partielle
Autokorrelationsfunktion.
-50-
Definition 9.13.: Empirische partielle Autokorrelationsfunktion (emp. PACF)
Seien x1 ,..., x N Beobachtungen eines Zeitreihenprozesses. Die empirische partielle Autokorrelationsfunktion (emp. PACF) ist die Funktion ˆ () , festgelegt durch
ˆ (0) 1
und
ˆ (h) ˆ hh , h 1,
wobei ̂ hh die letzte Komponente von ˆ h ˆ 1ˆ ist.
h
h
9.3.4. ARIMA(p,q)-Prozess
Da in der Praxis die meisten Zeitreihen nicht stationär sind, sind ARMA-Modelle unpassend.
Jedoch können Zeitreihen, die durch Differenzenbilden entstehen, annähernd stationär sein.
Besonders geeignet zur Entfernung eines Trends ist, solange Differenzen einer Zeitreihe zu
bilden, bis die resultierende Zeitreihe plausibel als Realisation eines stationären Prozesses
angesehen werden kann. Bei Daten mit nicht saisonalem Charakter genügt meist Differenzenbilden erster Ordnung ( X t X t 1 ). Deshalb wurde eine Methode entwickelt, die nach dem
Differenzenbilden an die transformierten Daten ein ARMA-Modell anpasst.
Definition 9.14.: ARIMA(p,d,q)-Prozess
Sei d eine nichtnegative ganze Zahl. { X t } ist ein Autoregressiver Integrierter Moving
Average Prozess (ARIMA(p, d, q)-Prozess), falls Yt (1 B ) d X t ein kausaler ARMA(p,q)Prozess ist.
Definition 9.14. bedeutet, dass für { X t } die Differenzengleichung
( B)(1 B) d X t ( B) Z t
gilt mit {Z t } ~ WN (0, ²) und ( z ) 0 für alle z 1.
Der Prozess { X t } ist nur dann stationär, wenn d = 0. Für d = 1, 2 resultieren die folgenden
Differenzenoperationen
d = 1: (1 B) X t X t B( X t ) X t X t 1
d = 2: (1 B) 2 X t (1 2 B B 2 ) X t X t 2 B( X t ) B( B( X t )) X t 2 X t 1 X t 2 .
9.3.5. Saisonaler ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)-Prozess
Falls die Daten eine saisonale Komponente mit Periode s enthalten, ist Differenzenbilden der
Ordnung s ( xt xt s ) ein bequemer Weg, um die saisonale Komponente zu beseitigen.
Das saisonale Verhalten wird durch saisonale autoregressive Operatoren, saisonale moving
average Operatoren und saisonale Differenzenoperatoren modelliert.
-51-
Definition 9.15.: Saisonaler ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)-Prozess
Seien d und D nichtnegative ganze Zahlen. { X t } ist ein saisonaler ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)sProzess mit Periode s, falls Yt (1 B) d (1 B s ) D X t ein kausaler ARMA-Prozess ist,
definiert durch
( B s ) ( B)Yt ( B s ) ( B) Z t
mit {Z t } ~ WN (0, ²) , ( B s ) 1 1 B s ... P B sP , ( B s ) 1 1 B s ... Q B sQ . Dabei
heißen 1 ,..., P die saisonalen autoregressiven Koeffizienten, 1 ,..., Q die saisonalen
moving average Koeffizienten, und (1 B s ) D ist der saisonale Differenzenoperator.
Die Verwendung und Wirkung der saisonalen Operatoren wird anhand des folgenden
Beispiels veranschaulicht.
Beispiel 9.3.5.1.
Angenommen für jeden Tag der Woche wurden 52 Wochen lang Daten gesammelt. Diese
können wie folgt tabelliert werden.
Woche/Tag 1
X1
1
X8
2
X 15
3
52 X 17*51
2
X2
X9
X 16
X 2 7*51
7
X7
X 14
X 21
X 364
Jede Spalte in dieser Tabelle kann als eigene Zeitreihe angesehen werden. Angenommen jede
Spalte dieser sieben Zeitreihen wurde vom selben ARMA(P,Q)-Modell generiert, d.h. für den
j-ten Wochentag und für t = 0,...,51 gilt die Gleichung (G2)
X j 7 t 1 X j 7 (t 1) ... P X j 7 (t P ) U j 7 t 1U j 7 (t 1) ... QU j 7 (t Q ) ,
(G2)
wobei {U j 7t , t ...,1,0,1,...} ~ WN (0, U2 ) .
Da für jeden Wochentag j dasselbe ARMA(P,Q)-Modell angenommen wird, gilt (G2) für
jedes j = 1,...,7. Jetzt kann man (G2) in der kompakteren Form
( B 7 ) X t ( B 7 )U t
schreiben, wobei ( z ) 1 1 z ... P z P , ( z) 1 1 z ... Q z Q und
{U j 7 t , t ...,1,0,1,...} ~ WN (0, U2 ) für jedes j.
-52-
9.3.6. Schätzen der Modellparameter eines ARMA(p,q)-Modells
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man die Parameter ( 1 ,..., p ) , ( 1 ,..., q )
und 2 eines ARMA(p,q)-Modells schätzt.
9.3.6.1. Gauß´sche Maximum Likelihood Schätzung
Sei { X t } ein Gauß´scher Zeitreihenprozess, d.h für alle (endlichen) Indexmengen { i1 ,..., in ,
i j ℤ, n 1} ist der Vektor ( X i1 ,..., X in ) normalverteilt. Weiters nehmen wir an, dass
E ( X t ) 0 und E ( X i X j ) ist die Autokovarianzfunktion ( j i) von { X t } . Wir setzen
X ( X 1 ,..., X N ) t , Xˆ ( Xˆ 1 ,..., Xˆ N ) t mit Xˆ 1 0, Xˆ j E ( X j X j 1 ,..., X 1 ) für j > 1. Schließlich bezeichne E ( XX t ) die (nichtsinguläre!) Kovarianzmatrix von X.
Die Likelihood-Funktion von X lautet
1
1
L()
exp X t 1 X .
N
2
(2 ) det( )
(1)
Es kann gezeigt werden, dass
1. X t 1 X ( X Xˆ ) t D( X Xˆ ) mit D diag ( 0 ,..., N 1 ) , wobei j 1
Var ( X j Xˆ j ) ist. Sowohl ( X j Xˆ j ) als auch D sind auf einfache Weise mit dem
Innovationsalgorithmus (Brockwell und Davis, S. 71) zu berechnen (deshalb ergibt
sich die Umformung der Indizes von j auf j-1, für j = 1,...,N).
2. det( ) det( D) 0 1 ... N 1 .
Jetzt ergibt sich (1) zu
L ( )
1
(2 ) N 0 ... N 1
2
1 N ( X j Xˆ j )
exp
.
2
j 1
j
1
(2)
iid
Wir nehmen an, dass { X t } ein ARMA(p,q)-Prozess ist, d.h. ( B) X t ( B) Z t mit {Z t } ~
N (0, ²) . Die Varianzen
j
haben dann die Gestalt j 2 r j wobei 2 die Varianz des
normalverteilten White Noise Prozesses {Z t } bezeichnet und r j ( , ) unabhängig von 2
ist (siehe Brockwell und Davis, S. 157 – 158). Damit folgt aus (2) die Likelihood für einen
ARMA(p,q)-Prozess { X t }
L( , , )
2
1
(2 2 ) N r0 ...rN 1
2
1 N ( X j Xˆ j )
exp
.
2
2 j 1 r j 1
(3)
Aus (3) folgt
N
2l ( , , ²) N ln( 2 ) ln r j 1
1
2
j 1
2
N
( X j Xˆ j ) 2
j 1
r j 1
(4)
wobei l ( , , ²) = ln L( , , 2 ) die Log-Likelihood-Funktion bezeichnet.
-53-
Die Maximum Likelihood Schätzer (ˆ1 ,...,ˆ p , ˆ1 ,..., ˆ q , ˆ 2 ) minimieren l ( , , ²) . Leitet
man (4) nach ² ab, folgt als Maximum Likelihood Schätzer ˆ 2
S (ˆ , ˆ )
N
( X j Xˆ j ) 2
j 1
r j 1
1
S (ˆ , ˆ ), wobei
N
, da r j 1 j = 1,...,N nicht von ² abhängt. In (4) ersetzt man ²
durch seinen Schätzer. Die Maximum Likelihood Schätzer (ˆ1 ,...,ˆ p , ˆ1 ,..., ˆ q ) sind jene
Werte für ( 1 ,..., p , 1 ,..., q ) , welche
l ( , ) ln(
1
1 N
S ( , )) ln r j 1
N
N j 1
(5)
minimieren.
Auch wenn der Prozess { X t } nicht normalverteilt ist, liefert die Gauß`sche Maximum Likelihood-Funktion konsistente Schätzer der Parameter (Hamilton (1994), S. 126).
Die Schätzfehler ( X j Xˆ j ) und ihre Varianzen j 1 , j 1,..., N können auf verschiedene
Arten rekursiv berechnet werden (siehe Brockwell und Davis (1996), Hamilton (1994),
Ansley (1979), Box und Jenkins (1976), Jones (1980), Kohn und Ansley (1985), Kohn und
Ansley (1986)).
Eine sogenannte konditionale Log-Likelihood Approximation erhält man, wenn man auf die
ersten p Werte der Serie konditioniert, wobei p die Ordnung des autoregressiven Operators ist
(S-Plus 4 Guide to Statistics, S. 588 – 594, Hamilton (1994), S. 117 - 132). Diese konditionale
Log-Likelihood-Funktion ist
2 ln L( X p 1 ,..., X N X 1 ,..., X p )
2 ln L( , , ²) ( N p) ln( 2 )
2
N
r
j p 1
j 1
1
2
N
j p 1
( X j Xˆ j ) 2
r j 1
(6)
.
Der Hauptvorteil bei Benützung von (6) ist die Reduktion der Berechnungskomplexität der
nichtlinearen Optimierung. Gewöhnlich geht nur wenig Information verloren, wenn man die
konditionale Log-Likelihood-Funktion an Stelle der Log-Likelihood-Funktion verwendet.
Um saisonale ARIMA-Modelle mittels Gauß`scher Maximum Likelihood Methode zu
schätzen verwendet man eine Erweiterung der Schätzung für ARMA-Modelle. Die Likelihood
für eine nicht stationäre Zeitreihe erhält man durch Differenzenbilden der Daten und anschließendem Berechnen der Likelihood-Funktion.
Die S-Plus Funktion arima.mle passt saisonale ARIMA-Modelle an univariate Zeitreihendaten mit Hilfe der Gauß`schen Maximum Likelihood Methode an, dabei wird die konditionale Form (6) verwendet. Als Startwerte für die Optimierung werden die Parameter
1 ,..., p , 1 ,..., q null gesetzt. Man kann aber auch eigene Startwerte angeben. Man beachte,
dass die Funktion arima.mle von einer Zeitreihe mit arithmetischem Mittel = 0 ausgeht.
-54-
Weiters kann man in der Funktion arima.mle mit ma.trans = True (Default) angeben, ob die
MA-Koeffizienten transformiert werden sollen, bevor man sie durch die Optimierung laufen
lässt, um die Invertierbarkeit des Modells zu sichern. Dies beruht auf folgender Tatsache:
Wenn { X t } ein ARMA-Prozess ist, definiert durch ( B) X t ( B) Z t , wobei ( z ) 0 wenn
~
z 1, dann ist es immer möglich Polynome ~ ( z ), ( z ) und einen neuen WN-Prozess {W }
t
~
zu finden, derart, dass ~( B) X t ( B)Wt ein kausaler und invertierbarer ARMA-Prozess ist
(siehe Brockwell und Davis, S. 86).
9.3.6.2. YULE-WALKER Schätzer
Wenn man in den YULE-WALKER Gleichungen (siehe Abschnitt 9.3.3.1.) die Autokovarianzen (k ) , k = 0,...,p durch die entsprechenden empirischen Autokovarianzen ˆ (k )
ersetzt, erhält man Gleichungen für die sogenannten YULE-WALKER Schätzer ̂ p und ˆ 2
von p und 2 , definiert durch
ˆ pˆ p ˆ p
und
ˆ 2 ˆ (0) (ˆ p ) t ˆ p ,
wobei ˆ p [ˆ (i j )]ip, j 1 , ˆ p [ˆ1 ,...,ˆ p ]t und ˆ p [ˆ (1), ˆ (2),..., ˆ ( p)]t .
Lemma 9.2.: Approximative Verteilung von ̂ p
Die YULE-WALKER Schätzer der Koeffizienten 1 ,..., p eines AR(p)-Prozesses haben für
große Stichproben approximativ dieselbe Verteilung wie die entsprechenden Maximum Likelihood Schätzer. Für große Stichproben eines AR(p)-Prozesses gilt ˆ p N ( p , n 1 2 p1 ) .
Beweis in Brockwell und Davis, S. 137 – 139.
In S-Plus werden mit dem Befehl ar.yw AR-Modelle durch Lösen der Gleichungen für die
YULE-WALKER Schätzer angepasst.
-55-
9.4. Wahl der Ordnung
In der Praxis kennt man die wahre Ordnung des Modells, dass die Daten generiert, nicht. Im
allgemeinen Fall gibt es kein „wahres“ Modell, in diesem Fall ist das Ziel ein Modell zu
finden, dass die Daten optimal repräsentiert. In der Folge werden gebräuchliche Techniken
zur Wahl der Ordnungen von ARMA-Modellen eingeführt. Die ersten beiden Techniken
beruhen auf der Beurteilung der emp. ACF und der emp. PACF. Die dritte Technik beruht auf
dem Vergleich der Log-Likelihood-Funktion mit der Anzahl der geschätzten Parameter
(AIC).
9.4.1. Beurteilung der emp. ACF
Die Beurteilung der emp. ACF beruht auf den Stichprobeneigenschaften von ˆ (h) . Für einen
MA(q)-Prozess ist (h) 0 für h > q (siehe Abschnitt 9.3.1.). Das folgende Lemma wird
benötigt um die Stichprobenverteilung des Schätzers ˆ (h) zu definieren.
Lemma 9.3.: Formel von Bartlett
Für lineare Modelle und insbesondere für ARMA-Modelle ist ˆ h ( ˆ (1),..., ˆ (h)) t für große
N approximativ N ( h , N 1W ) verteilt, wobei h ( (1),..., (h)) t und W die Kovarianzmatrix, deren (i,j)-Element durch die Formel von Bartlett,
wij
{ (h i) (h j ) (h i) (h j ) 2 (i) ( j ) ²(h)
h
2 (i ) (h) (h j ) 2 ( j ) (h) (h i )},
definiert ist.
Aufgrund von Lemma 9.3. weiß man, dass die ˆ (h) für h > q eines MA(q)-Prozesses
approximativ normalverteilt sind mit Mittelwert (h) 0 und Varianz N 1[1 2 ²(1) ...
2 ²(q)]. Mit diesem Resultat können wir die Hypothese, dass X 1 ,..., X N aus einem MA(q)Prozess stammen, überprüfen. Falls nämlich x1 ,..., x N Realisationen eines solchen Prozesses
sind, fallen annähernd 95 % der ˆ (h) für h > q in den Bereich 1.96
werden häufig die strengeren Grenzen
1.96
N
whh
. In der Praxis
N
benutzt.
Bei Betrachtung des ACF-Plots mit eingezeichneten 95 %-Grenzen, wird einerseits entschieden, ob der gegebene Datensatz plausibel als MA-Prozess modelliert werden kann, und
andererseits erhält man eine vorläufige Schätzung der Ordnung q. Eine geeignete Ordnung q
erhält man, indem man denjenigen Lag-Wert im ACF-Plot sucht, ab dem die ˆ (h) nicht mehr
signifikant von null verschieden sind.
In S-Plus wird die emp. ACF mit den 95%-Grenzen durch den Befehl acf berechnet und
1.96
geplottet. Dabei werden als 95%-Grenzen die Werte
benutzt.
N
-56-
9.4.2. Beurteilung der emp. PACF
Die Beurteilung der emp. PACF beruht auf den Stichprobeneigenschaften von ˆ ( h ) (siehe
Definition 9.12.).
Lemma 9.4.: Approximative Verteilung von ˆ ( h )
Falls { X t } ein kausaler AR(p)-Prozess mit {Z t } ~ WN (0, 2 ) und falls man ein Modell der
Ordnung h > p für { X t } mit Hilfe der YULE-WALKER Gleichungen anpasst, dann ist die
letzte Komponente, ˆ hh ˆ (h) , des Vektors h approximativ normalverteilt mit Mittelwert
1
null und Varianz .
N
Beweis in Brockwell und Davis, S. 137 - 139.
ˆ hh ˆ (h) ist der Wert der emp. PACF bei Lag h. Wir wissen, dass für einen kausalen
AR(p)-Prozess die (h ) für h > p null sind. Mit Lemma 9.4. können wir die Hypothese, dass
X 1 ,..., X N aus einem AR(p)-Prozess stammen, überprüfen. Falls nämlich x1 ,..., x N Realisationen eines solchen Prozesses sind, fallen annähernd 95 % der ˆ ( h ) für h > p in den Bereich
1.96
.
N
Bei Betrachtung des PACF-Plots mit den eingezeichneten 95 %-Grenzen, wird einerseits
entschieden, ob der gegebene Datensatz plausibel als AR-Prozess modelliert werden kann und
andererseits erhält man eine präliminäre Schätzung der Ordnung p. Eine geeignete Ordnung p
erhält man, indem man denjenigen Lag-Wert im PACF-Plot sucht, ab dem die ˆ ( h ) nicht
mehr signifikant von null verschieden sind.
In S-Plus wird die emp. PACF mit den 95%-Grenzen durch den Befehl acf (type = „partial“)
berechnet und geplottet.
9.4.3. Wahl der Ordnungen bei saisonalen ARIMA-Modellen
Bei saisonbeeinflussten Daten muss man vernünftige Ordnungswerte für p, d, q, P, D, Q, s
auswählen. Die ersten Schritte bei der Identifizierung eines saisonalen ARIMA-Modells ist
das Auffinden einer annähernd stationären Folge Yt (1 B) d (1 B s ) D X t . Als nächstes
betrachtet man die emp. ACF und emp. PACF von {Yt } an Lags, die ein Vielfaches von s
sind, wobei s die Saisonperiode ist, um die Ordnungen P und Q im Modell zu identifizieren
(siehe dazu Beispiel 9.3.5.1.). Wenn ̂ (.) die emp. ACF von {Yt } (bzw. ˆ (.) die emp. PACF)
ist, dann werden die Ordnungen P, Q so gewählt, dass ˆ (ks) , k = 1, 2,..., (bzw. ˆ (ks) )
vergleichbar mit der ACF (bzw. PACF) eines ARMA(P,Q)-Prozesses ist (siehe Abschnitt
9.4.1. und 9.4.2.). Die Ordnungen p, q werden dann so gewählt, dass ˆ (1),..., ˆ (s 1) (bzw.
ˆ (1),..., ˆ ( s 1) ) vergleichbar mit der ACF (bzw. PACF) eines ARMA(p,q)-Prozesses sind.
-57-
Vom Gesichtspunkt der Vorhersage ist es nicht vorteilhaft die Parameter p, q, P, Q willkürlich
groß zu wählen. Anpassen eines Modells mit sehr hoher Ordnung wird allgemein in einer
kleinen geschätzten WN-Varianz ̂ ² (White Noise Varianz) resultieren. Wenn man aber das
angepasste Modell für eine Vorhersage verwendet, hängt der mittlere quadratische Fehler für
den Vorhersagewert nicht nur von der WN-Varianz des angepassten Modells sondern auch
von den Fehlern, die bei der Parameterschätzung des Modells entstehen, ab. Diese werden
größer für Modelle höherer Ordnung. Für diesen Fall braucht man einen „penalty factor“, der
das Anpassen von Modellen mit zu vielen Parametern verhindert. Ein solches Kriterium, das
auf einem „penalty factor“ basiert, ist das Akaike`s Information Criterion (Abschnitt 9.4.4).
9.4.4. Akaike`s Information Criterion (AIC)
Eine weitere Methode zur Bestimmung der Ordnungen eines ARMA-Modells basiert auf dem
Akaike Information Criterion (AIC). Damit vergleicht man die Reduktion der konditionalen
Log-Likelihood-Funktion (Abschnitt 9.3.6.1., (6)) mit der Anzahl der angepassten Parameter.
Ein geeignetes Modell ist das mit dem niedrigsten AIC-Wert. Das AIC für ARMA Modelle
ist definiert durch
AIC = 2 log L( X m1 ,..., X N X 1 ,..., X m ) 2r ,
wobei m p gewählt wird und r p q die Anzahl der geschätzten Parameter ( ˆ 1 ,..., ˆ p ,
ˆ1 ,..., ˆ q ) ist. Wenn man AIC-Werte für verschiedene Modelle vergleicht, ist es wichtig, die
Likelihood auf dieselbe Anzahl von Beobachtungen zu konditionieren, d. h. m ist für alle
Modelle gleich. Dadurch kann man Modelle mit einer unterschiedlichen Anzahl von
AR-Koeffizienten vergleichen. Beim AIC für saisonale ARIMA-Modelle wird
m p d Ps Ds gewählt, um damit Modelle mit einer unterschiedlichen Anzahl von
AR- und Differenzenkoeffizienten vergleichen zu können (S-Plus 4 Guide to Statistics, S. 593
und Venables and Ripley (1999), S. 414 – 415).
Durch die Beurteilung der emp. ACF und emp. PACF werden geeignet erscheinende Modelle
ausgewählt und anschließend diese Modelle auf Basis des AIC verglichen.
Eine umfassende Diskussion über das ARIMA-Modellieren wird von Box und Jenkins (1976,
1994) abgehalten. Viele verschiedene Bücher über Zeitreihenanalysen bieten auch einen guten
Überblick über das Modellieren von ARIMA-Modellen (siehe Anderson (1971), Brockwell
und Davis (1996), Chatfield (1982, 1984), Hamilton (1994)).
-58-
9.5. Simulation von ARIMA-Prozessen
Um zu zeigen wie schwierig es ist den ACF- und PACF-Plot zu interpretieren und die
richtigen Werte für p, P, q, Q auszuwählen, werden Daten von verschiedenen ARIMAProzessen in S-Plus simuliert und anschließend analysiert.
Sei { X t } ein AR(1)-Prozess, d.h. X t 1 X t 1 Z t .
S-Plus Sequenz
>x <- arima.sim(n=458,model=list(ar =.5))
>ts.plot(x)
>acf(x,lag.max=40)
>acf(x,lag.max=40,type="partial")
#simuliert 458 Daten eines ARIMA(1,0,0)-Prozess mit
#Koeffizienten 1 = 0.5.
#Zeitreihenplot.
#emp. ACF Berechnung und Plot bis Lag h = 40.
#emp. PACF Berechnung und Plot bis Lag h = 40.
-3
-2
-1
0
1
2
3
Zeitreihenplot:
0
100
200 Time
300
400
ACF-Plot:
:
x
:
x
0. 0.2 0.4ACF 0.6 0.8 1.0
S eries
0
10
20
30
Lag
40
PACF-Plot:
-0.1 0. 0.1 PartilACF 0.2 0.3 0.4 0.5
S eries
0
10
20
30
Lag
40
Abbildung 9.2.: Simulierter AR(1)-Prozess
-59-
Betrachtet man den ACF-Plot (Abbildung 9.2.) würde ein MA(11)-Modell passen, aufgrund
des PACF-Plots (Abbildung 9.2.) würde man ein AR(1)-Modell an die Daten anpassen.
Für einen AR-Prozess ist 1 <1. Abbildung 9.3. zeigt die ACF-Plots von vier simulierten
Datensätzen eines AR(1)-Prozesses mit 1 = 0.8, 0.3, -0.8, -0.3.
1 = 0.8:
1 = 0.3:
:
x
S eries
:
0. 0.2 0.4 ACF 0.6 0.8 1.0
0. 0.2 0.4 ACF 0.6 0.8 1.0
S eries
0
5
10
15
Lag
20
0
1 = -0.8:
5
10
15
Lag
20
1 = -0.3:
:
x
S eries
-0.2 0. 0.2 ACF0.4 0.6 0.8 1.0
-0.5 0. ACF 0.5 1.0
S eries
0
5
10
15
Lag
20
0
5
10
15
Lag
20
Abbildung 9.3.: ACF-Plots von simulierten AR(1)-Prozessen mit verschiedenen 1
Man beachte, wie schnell die emp. ACF für 1 = 0.3 abfällt und wie sie das Vorzeichen
wechselt, wenn 1 negativ ist (Abbildung 9.3.). Betrachtet man nur den ACF-Plot kann man
schwer auf ein AR(1)-Modell schließen. Die emp. PACF`s für diese Daten sind hingegen alle
ab Lag 1 nicht mehr signifikant von null verschieden.
-60-
:
Simulation eines ARMA(1,1)-Prozesses mit grafischer Analyse.
Sei { X t } ein ARMA(1,1)-Prozess, d.h. X t 1 X t 1 Z t 1 Z t 1 .
S-Plus Sequenz
>x <- arima.sim(n=458,model=list(ar=.5,ma=-.6) #simuliert 458 Daten eines ARIMA(1,0,1)#Prozess mit Koeffizienten 1 = 0.5, 1 = -0.6.
>ts.plot(x)
#Zeitreihenplot.
>acf(x,lag.max=40)
#emp. ACF Berechnung und Plot bis Lag h = 40.
>acf(x,lag.max=40,type="partial")
#emp. PACF Berechnung und Plot bis Lag h = 40.
-4
-2
0
2
4
Zeitreihenplot:
0
100
200 Time
300
400
ACF-Plot:
:
x
:
x
0. 0.2 0.4ACF 0.6 0.8 1.0
S eries
0
10
20
30
Lag
40
PACF-Plot:
-0.2 0. PartilACF 0.2 0.4 0.6
S eries
0
10
20
30
Lag
40
Abbildung 9.4.: Simulierter ARMA(1,1)-Prozess
-61-
Auf Grund des PACF-Plots (Abbildung 9.4.) könnte man ein AR(4)-Modell anpassen. Eine
derartige Anpassung würde bei den „Goodness of Fit“-Tests (siehe Abschnitt 9.6.) sehr gut
abschneiden. Bei der Anpassung eines ARMA(1,1)-Modells weisen die „Goodness of Fit“Tests auch keine wesentlich besseren Werte aus. Ein MA(5)-Modell würde die Daten
ebenfalls gut beschreiben.
Je niedriger die Ordnung, desto anschaulicher ist natürlich das Modell und bei etwa gleich
guter Anpassung somit auch zu bevorzugen.
Man sieht aber wie schwierig es ist, ein bestimmtes gut passendes Modell auszuwählen.
-62-
9.6. „Goodness of Fit“-Tests
Die letzte Stufe bei der Anpassung eines ARIMA Modells besteht im Vergleich der beobachteten Werte mit den entsprechenden geschätzten Werten (siehe Brockwell und Davis, S.
162ff).
Die Residuen Ŵt , mit der Notation aus Abschnitt 9.3.6., sind definiert durch
( X t Xˆ t (ˆ , ˆ ))
Wˆ t
, t 1,..., N .
ˆ
rt 1 (ˆ , )
Falls X 1 ,..., X N von einem ARMA(p,q)-Prozess mit unbekannten Parametern , , 2 mit
Maximum Likelihood Schätzern ˆ , ˆ , ˆ 2 , generiert wurden, dann ist {Wˆ } kein White Noise
t
Prozess. Trotzdem sollte Ŵt , t = 1,...,N ähnliche Eigenschaften wie die White Noise Folge
( X t Xˆ t ( , ))
Wt ( , )
, t 1,..., N
rt 1 ( , )
haben. Überdies approximiert Wt den White Noise Term Z t aus Definition 9.9. derart, dass
E (Wt ( , ) Z t ) 2 0 für N . Folglich sollten die Eigenschaften der Residuen {Wˆ }
t
die Eigenschaften von {Z t } widerspiegeln. Insbesondere sollte (i) {Wˆt } approximativ unkorreliert sein, falls {Z t } ~ WN (0, 2 ) ist, (ii) approximativ unabhängig sein, falls {Z t } ~
IID (0, 2 ) ist und (iii) approximativ normalverteilt sein, falls {Z t } ~ N (0, 2 ) ist.
Die standardisierten Residuen R̂t erhält man, wenn man Ŵt durch die geschätzten White
Wˆ
Noise Standardabweichung dividiert, d.h. Rˆ t t .
ˆ
Die folgenden „Goodness of Fit“ Tests basieren alle auf Eigenschaften der Residuen oder der
standardisierten Residuen, unter der Annahme, dass das angepasste Modell korrekt ist und
dass {Z t } ~ IID (0, 2 ) .
9.6.1. Graph der standardisierten Residuen
Das angepasste Modell ist angemessen, wenn der Graph der standardisierten Residuen
{Rˆ t , t 1,..., N} dem Graphen einer White Noise Folge mit Varianz = 1 ähnelt.
9.6.2. Emp. ACF der Residuen
Aus Lemma 9.1. wissen wir, dass für große N die ˆ (k ) von iid verteilten Y1 ,..., YN mit
1
endlicher Varianz approximativ iid N (0, ) verteilt sind. Falls die Residuen eine Realisation
N
1,96
eines solchen Prozesses sind, fallen daher 95 % der ˆ (k ) in die Grenzen
. Dazu
N
betrachtet man den ACF-Plot der Residuen. Eine Faustregel besagt, falls von den ersten 40
-63-
Werten der emp. ACF mehr als 2 oder 3 Werte außerhalb oder ein Wert weit außerhalb der
95%-Grenzen liegen, dann kann man die Hypothese H iid , dass die Residuen eine Realisation
der iid verteilten Y1 ,..., YN sind, verwerfen.
9.6.3. Portmanteau-Test
Anstatt einzelne ˆ (k ) zu betrachten, verwendet man beim Portmanteau-Test (siehe
Brockwell und Davis, S. 34 – 35, S-Plus 4 Guide to Statistics, S. 594 – 595) die Teststatistik
h
Q N ̂ 2 (k ) .
k 1
appr.
Wegen
h
appr.
N ˆ (k ) ~ N (0,1) gilt N ˆ 2 (k ) ~ 2h r , wobei r die Anzahl der angepassten
k 1
Parameter ist. Ein großer Wert für Q weist darauf hin, dass die emp. ACF-Werte der Daten
zu groß sind für die Hypothese H iid . Falls Q 2hr ,1 wird H iid verworfen. Berechnet man
die p-Werte des Portmanteau-Test für verschiedene h und trägt sie gegen h auf, erhält man
eine sehr aussagekräftige Grafik.
9.6.4. Ljung-Box Test
Eine Verbesserung des Portmanteu-Tests ist der Ljung-Box Test bei dem die Teststatistik Q
durch
h
ˆ 2 (k )
QLB N ( N 2)
k 1 ( N k )
ersetzt wird. QLB ist eine bessere Approximation an die 2h r -Verteilung.
Die S-Plus Funktion arima.diag berechnet und plottet den Graphen der standardisierten
Residuen, den ACF-Plot der Residuen und die p-Werte des Portmanteau-Test. Die p-Werte
des Portmanteau-Test und nicht - wie im Plot angegeben - die des Ljung-Box Test werden mit
der Funktion arima.diag berechnet und geplottet (Venables and Ripley (1999), S. 416).
Weiters plottet die Funktion arima.diag den PACF-Plot der Residuen. Optional kann mit
lag.max der maximale Lag h für den ACF-Plot angegeben werden und mit gof.lag die
maximale Anzahl der zu berechnenden Lags für den Portmanteu-Test.
-64-
9.7. Modellanpassung für Anwendersitzungen/Tag der 2. Periode
Für die Zeitreihe Anwendersitzungen/Tag der 2. Periode wird versucht ein saisonales
ARIMA-Modell zu identifizieren. Da in S-Plus von Zeitreihen mit arithmetischem Mittel null
ausgegangen wird, wird vorab von den Daten ihr arithmetisches Mittel subtrahiert. Dadurch
verändern sich Eigenschaften der Zeitreihe wie saisonale Schwankungen, Trends, die emp.
ACF oder PACF nicht. { X t } bezeichnet in der Folge die Zeitreihe Anwendersitzungen/Tag
der 2. Periode abzüglich des arithmetisches Mittels. Jetzt wird versucht für { X t } ein passendes ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s –Modell zu identifizieren.
Wie bereits gesehen, enthält die Zeitreihe { X t } eine saisonale Schwankung aber keinen
erkennbaren Trend (siehe Abschnitt 4. Abbildungen 4.1. bis 4.4., Abschnitt 9.2.1. Abbildung
9.1.). Bei saisonbeeinflussten Daten muss man vernünftige Ordnungswerte für p, d, q, P, D,
Q, s auswählen. Dazu geht man wie in Abschnitt 9.4.3. erklärt vor. Der erste Schritt bei der
Identifizierung eines saisonalen ARIMA-Modells ist das Auffinden einer annähernd stationären Folge Yt (1 B) d (1 B s ) D X t . Da { X t } keinen erkennbaren Trend enthält, wählt man
d = 0. Die saisonalen Schwankungen treten mit einer Periode s = 7 auf. Durch Anwendung
des Operators (1 B 7 )1 wird die saisonale Schwankung beseitigt, d.h. man wählt d = 0, D = 1,
s = 7 und erhält Yt (1 B) 0 (1 B 7 )1 ( X t ) ( X t X t 7 ).
Für die Zeitreihe {Yt } werden jetzt der Zeitreihenplot, der ACF-Plot und der PACF-Plot mit
den folgenden S-Plus Kommandos erzeugt und in Abbildung 9.5. dargestellt.
S-Plus-Sequenz
>attach(ab220998)
>Anw <- cts(Anw.Tag, start =
dates("220998", format = "dmy",
out.format = "d m y"), units = "days")
>Anwendersitzungenab220998<-Anw-mean(Anw)
>diff7<-diff(Anwendersitzungenab220998, 7)
>ts.plot(diff7)
>acf(diff7,lag.max=40)
#Daten Anw.Tag sind im Datenframe
#ab220998 abgelegt.
#Darstellung der Daten als
#calender time series (cts).
#arithm. Mittel subtrahiert.
# Yt ( X t X t 7 ).
#Zeitreihenplot.
#emp. ACF Berechnung und Plot bis
#Lag h = 40.
#emp. PACF Berechnung und Plot bis
#Lag h = 40.
>acf(diff7,lag.max=40,type="partial")
-65-
-50
0
50
Zeitreihenplot:
29 09 98
29 12 98
30 03 99
29 06 99
Tim e in days
28 09 99
28 12 99
ACF-Plot:
:
d
:
d
-0.4 -0.2 0. 0.2 ACF 0.4 0.6 0.8 1.0
Series
0
10
20
30
40
Lag
(in
days)
PACF-Plot:
-0.4 -0.2 PartilACF0. 0.2 0.4
Series
0
10
20
30
40
Lag
(in
days)
Abbildung 9.5.: Yt ( X t X t 7 )
-66-
Betrachtet man den Zeitreihenplot und den ACF-Plot der Zeitreihe {Yt } in Abbildung 9.5.
sieht es so aus, als wäre jegliche saisonale Schwankung entfernt und man kann annehmen,
dass {Yt } annähernd stationär ist. Jedoch besteht noch signifikante Abhängigkeit zwischen
den transformierten Daten (siehe Abbildung 9.5., ACF-Plot). Deshalb muss man ein komplexeres Zeitreihenmodell, dass die Abhängigkeitsstruktur der Daten widerspiegelt, an die
Daten anpassen.
Ab einem Lag h ≥ 13 sind die emp. ACF-Werte von {Yt } nicht mehr signifikant von null
verschieden (siehe Abbildung 9.5., ACF-Plot, gepunktete Linien: 95%-Grenzen). Das heißt,
will man ein MA(q)-Modell an {Yt } anpassen, wäre eine geeignete Schätzung für die
Ordnung q = 13 und man passt an { X t } ein ARIMA(0,0,13)x(0,1,0)7-Modell an.
Betrachtet man den PACF-Plot in Abbildung 9.5., sieht man, dass die emp. PACF-Werte von
{Yt } ab einem Lag h > 23 nicht mehr signifikant von null verschieden sind (gepunktete
Linien: 95%-Grenzen). Das heißt, will man ein AR(p)-Modell an {Yt } anpassen, wäre eine
geeignete Schätzung für die Ordnung p = 23 und man passt an { X t } ein ARIMA(23,0,0)x
(0,1,0)7-Modell an.
Will man das saisonale Verhalten zusätzlich durch saisonale autoregressive Operatoren und
saisonale moving average Operatoren modellieren, geht man folgendermaßen vor. Man
betrachtet den ACF- und PACF-Plot von {Yt } an Lags die ein Vielfaches von s = 7 sind, um
die Ordnungen P und Q im Modell zu identifizieren. P und Q werden so gewählt, dass die
emp. ACF(s*k)-Werte (bzw. emp. PACF(s*k)-Werte), k = 1,2,..., vergleichbar mit den ACFWerten (bzw. PACF-Werten) eines ARMA(P,Q)-Prozesses sind. Der emp. ACF-Wert bei s*1
= 7 ist groß, d. h. weit außerhalb der 95%-Grenzen (siehe Abbildung 9.5., ACF-Plot), und ab
s*2 = 14 sind alle emp. ACF-Werte klein (innerhalb der 95%-Grenzen), das legt einen Term
für moving average nahe, der den Saisoneffekt berücksichtigt, und man setzt P = 0, Q = 1.
Der emp. PACF-Wert bei s*4 ist knapp außerhalb und ab s*5 innerhalb der 95%-Grenzen
(siehe Abbildung 9.5. PACF-Plot), das legt einen Term für saisonale Autoregression von P =
4 nahe (Q = 0). Das heißt, man entscheidet sich entweder für ein saisonales ARIMA-Modell
mit Ordnung P = 0 und Q = 1 oder mit Ordnung P = 4 und Q = 0. Die Ordnungen p, q für
diese beiden saisonalen ARIMA-Modelle werden dann so gewählt, dass ˆ (1),..., ˆ (s 1)
(bzw. ˆ (1),..., ˆ (s 1) ) von {Yt } vergleichbar mit der ACF (bzw. PACF) eines ARMA(p,q)Prozesses sind. Das heißt, man wählt entweder p = 1,...,6 oder q = 1,...,6. Eine geeignete
Schätzung wäre aufgrund des ACF- bzw. PACF-Plot p = 1 oder q = 5. Man passt also an
{ X t } die vier Modelle ARIMA(1,0,0)×(0,1,1)7, ARIMA(1,0,0)×(4,1,0)7, ARIMA(0,0,5)×
(0,1,1)7, ARIMA (0,0,5)×(4,1,0)7 an.
Im nächsten Schritt werden die oben angeführten saisonalen ARIMA-Modelle an { X t } angepasst und anschließend auf Basis des AIC (siehe Abschnitt 9.4.4.) verglichen. Zusätzlich
werden noch einige andere plausibel erscheinende ARIMA(p,0,q)×(P,1,Q)7-Modelle
angepasst und verglichen. Die Anpassung erfolgt in S-Plus mit dem Befehl arima.mle. Die
Funktion arima.mle passt Zeitreihen mit Hilfe der konditionalen Log-Likelihood-Funktion
(siehe Abschnitt 9.3.6.1.) an.
-67-
Um die AIC-Werte der verschiedenen Modelle vergleichen zu können, muss man auf die
gleiche Anzahl m von Beobachtungen konditionieren. Dazu sucht man jenes Modell, bei dem
der minimale Wert für m am größten ist und konditioniert alle Modelle auf diesen Wert.
Bei den zu vergleichenden Modellen hat das ARIMA(6,0,0)×(4,1,0)7-Modell mit der
Darstellungsform (1 1 B 7 ... 4 B 28 )(1 1 B ... 6 B 6 )(1 B 7 )( X t ) Z t den größten
minimalen Wert für m, nämlich 28 + 6 + 7 = 41. Somit werden alle anderen zu
vergleichenden Modelle ebenfalls auf 41 Beobachtungen konditioniert. In S-Plus wird die
Konditionierung mit dem Befehl arime.mle(n.cond=41) realisiert.
Die Anpassung eines Modells und die Berechnung des dazugehörenden AIC-Wertes wird in
S-Plus mit den folgenden Kommandos durchgeführt.
S-Plus Sequenz
>attach(ab220998)
>Anw <- cts(Anw.Tag, start =
dates("220998", format = "dmy",
out.format = "d m y"), units = "days")
>Anwendersitzungenab220998<-Anw-mean(Anw)
>arima1<-arima.mle
(Anwendersitzungenab220998,
model=list(list(order=c(1,0,0)),list
(order=c(0,1,1),period=7)),n.cond=41)
>arima1$aic
#arithm. Mittel subtrahiert.
#Anpassen eines
#ARIMA(1,0,0)×(0,1,1)7-Modells mit
#Konditionierung auf 41 Beobachtungen.
#Ausgabe des AIC-Wert.
In Tabelle 9.1. werden die AIC-Werte für 7 Typen von angepassten Modellen, alle konditioniert auf 41 Beobachtungen, angegeben. Die Beurteilung des ACF- und PACF-Plot von {Yt }
ergab, dass Modelle der Form ARIMA(p,0,0)×(0,1,1)7 geeignete Modelle sein könnten. Deshalb werden als erstes diese Modelle mit Ordnung p = 1,2,...,9 angepasst.
Im nächsten Schritt werden ARIMA(0,0,q)×(0,1,1)7-Modelle mit q = 1,...,9, die ebenso geeignet erschienen angepasst. Der Vergleich der AIC-Werte ergibt als geeignetstes dieser 18
Modelle das ARIMA (3,0,0)×(0,1,1)7.
Im nächsten Schritt werden die Ordnungen p und q noch kombiniert. Diese ARIMA(p,0,q)×
(0,1,1)7-Modelle sind teilweise in der Tabelle angegeben, jedoch ist keines besser als das
ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell.
ARIMA(p,0,q)×(4,1,0)7-Modelle erschienen bei der Beurteilung des ACF- und PACF-Plots
von {Yt } auch als geeignet. Beim Vergleich der AIC-Werte schneidet jedoch wiederum das
ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7 deutlich besser ab. Diese ARIMA(p,0,q)×(4,1,0)7-Modelle sind auch
teilweise in der Tabelle angegeben.
Als weitere Modelle sind noch ARIMA(0,0,13)×(0,1,0)7, ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7, ARIMA
(22,0,0)×(0,1,0)7, ARIMA(23,0,0)×(0,1,0)7, die auch alle aufgrund der Plots als plausibel
erschienen angeführt. Der AIC-Wert des ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7 kann wiederum nicht
erreicht werden.
-68-
Nimmt man an Stelle des Differenzenterms im ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell einen saisonalen AR-Term ins Modell auf, d.h. ARIMA(3,0,0)×(1,0,1)7, erhält man auch keinen geringeren AIC-Wert. Es wird auch noch versucht, den Differenzenterm und einen saisonalen
AR-Term ins Modell aufzunehmen, d.h. ARIMA(3,0,0)×(1,1,1)7, jedoch bleibt das ARIMA
(3,0,0)×(0,1,1)7 auf Basis des AIC das geeignetste Modell.
Bei unserer Analyse wurden noch mehr als die in der Tabelle angegeben ARIMA-Modelle
angepasst und verglichen, doch am Ende entschieden wir uns für das ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7Modell.
ARIMA(1,0,0)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(2,0,0)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(4,0,0)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(p,0,0)×(0,1,1)7-Modelle ARIMA(5,0,0)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(6,0,0)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(7,0,0)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(8,0,0)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(9,0,0)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(0,0,1)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(0,0,2)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(0,0,3)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(0,0,4)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(0,0,q)×(0,1,1)7-Modelle ARIMA(0,0,5)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(0,0,6)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(0,0,7)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(0,0,8)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(0,0,9)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(1,0,1)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(2,0,1)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(p,0,q)×(0,1,1)7-Modelle ARIMA(3,0,1)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(4,0,1)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(2,0,2)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(3,0,3)×(0,1,1)7-Modell
ARIMA(1,0,0)×(4,1,0)7-Modell
ARIMA(2,0,0)×(4,1,0)7-Modell
ARIMA(3,0,0)×(4,1,0)7-Modell
ARIMA(p,0,q)×(4,1,0)7-Modelle ARIMA(4,0,0)×(4,1,0)7-Modell
ARIMA(5,0,0)×(4,1,0)7-Modell
ARIMA(6,0,0)×(4,1,0)7-Modell
ARIMA(0,0,5)×(4,1,0)7-Modell
ARIMA(0,0,q)×(0,1,0)7-Modelle ARIMA(0,0,13)×(0,1,0)7-Modell
ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7-Modell
ARIMA(p,0,0)×(0,1,0)7-Modelle ARIMA(22,0,0)×(0,1,0)7-Modell
ARIMA(23,0,0)×(0,1,0)7-Modell
ARIMA(3,0,0)×(1,0,1)7-Modell
ARIMA(3,0,0)×(1,1,1)7-Modell
Tabelle 9.1.: AIC-Werte für 7 Typen von Modellen
-69-
3440,61
3438,08
3417,03
3417,74
3418,68
3419,86
3423,91
3426,09
3426,73
3492,30
3472,95
3462,25
3429,62
3428,09
3429,10
3431,12
3426,99
3427,51
3430,04
3426,11
3418,04
3418,63
3422,30
3420,89
3476,22
3475,98
3460,57
3462,31
3461,35
3463,19
3463,99
3440,95
3437,60
3477,62
3478,17
3422,18
3422,58
Als nächstes werden die Parameterschätzer für das ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell mit der SPlus Funktion arima.mle berechnet und anschließend die „Goodness of Fit“-Tests mit der
Funktion arima.diag berechnet und in Abbildung 9.6. als Diagnoseplots geplottet. Die Realisierung erfolgt mit den folgenden S-Plus Kommandos.
S-Plus Sequenz
> attach(ab220998)
> Anw <- cts(Anw.Tag, start =
dates("220998", format = "dmy",
out.format = "d m y"), units = "days")
>Anwendersitzungenab220998<-Anw-mean(Anw)
>arima1<-arima.mle
(Anwendersitzungenab220998,
model=list(list(order=c(3,0,0)),list
(order=c(0,1,1),period=7)))
> arima1$aic
[1] 3656.81
> arima1$model[[1]]$ar
#arithm. Mittel subtrahiert.
#Anpassen eines
#ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modells.
#AIC-Wert (konditioniert auf 10
#Beobachtungen).
#Schätzung von i , i 1,2,3 (nicht
[1] 0.5338 -0.0188 0.2213
> arima1$model[[2]]$ma
[1] 0.9098
#saisonaler Teil).
#Schätzung von 1 (saisonaler Teil).
# ˆ
> arima1$sigma2
[1] 170.19
> arima1$var.coef
2
, Schätzung der Varianz von Z t .
#Die Varianz-Kovarianz-Matrix für die autore#gressiven und moving average Koeffizienten.
ar(1)
ar(2)
ar(3)
ma(7)
ar(1)
0.0021
-0.0012
-0.0002
0.0001
ar(2) -0.0012
0.0027
-0.0011
0.0001
ar(3) -0.0002
-0.0011
0.0022
0.0002
ma(7) 0.0001
0.0001
0.0002
0.0004
> arima1$n.cond
[1] 10
> a<-arima.diag(arima1, resid = T, std.resid = T,
acf.resid = F, gof.lag = 40,plot= T)
>a
> acf(a$resid,lag.max = 40)
#Konditionierung auf 10 Beobachtungen.
#Berechnet die Residuen, die standardisierten
#Residuen und die p-Werte des Portmanteau#Tests bis Lag h = 40 und plottet den
#Graphen der st. Residuen und die p-Werte
#des Portmanteau-Tests, wenn a aufgerufen
#wird.
#Aufruf von a.
#ACF-Plot der Residuen bis Lag h = 40.
Das resultierende Modell lautet also
(1 - 0.534 B + 0.019 B 2 - 0.221 B 3 )(1 - B 7 ) X t = (1 - 0.91 B 7 ) Z t .
-70-
A
R
I
M
A
M
o
d
e
l
D
i
a
g
n
o
s
t
i
c
s
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
a
b
2
2
0
9
9
8
-4 -2 0 2 4 6
P
l
o
t
o
f
S
t
a
n
d
a
r
d
i
z
e
d
R
e
s
i
d
u
a
l
s
2
2
0
9
9
82
4
1
2
9
82
7
0
3
9
92
8
0
6
9
92
9
0
9
9
93
1
1
2
9
9
0. 0.2 p-value 0.4 0.6
P
v
a
l
u
e
s
o
f
L
j
u
n
g
B
o
x
C
h
i
S
q
u
a
r
e
d
S
t
a
t
i
s
t
i
c
s
1
0
2
0
3
0
4
0
L
a
g
A
C
F
0. 0.2 0.4 ACF 0.6 0.8 1.0
A
C
F
P
l
o
t
o
f
R
e
s
i
d
u
a
l
s
0
1
0
2
0
L
a
g
3
0
4
0
Abbildung 9.6.: Diagnoseplots für ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell
Die Diagnoseplots in Abbildung 9.6. widersprechen nicht der Hypothese, dass die Residuen
Realisationen einer iid verteilten Folge sind.
-71-
Als Startwerte für die Optimierung werden die AR- und MA- Parameter null gesetzt. Da
lokale Maxima bei der Optimierung gefunden werden könnten, ist es sinnvoll mehrere
Startwerte zu verwenden. Setzt man beispielsweise den Startwert für 1 0.5 , dann sieht
die S-Plus Sequenz folgendermaßen aus.
S-Plus Sequenz
> arima1<-arima.mle(Anwendersitzungenab220998,
model=list(list(order=c(3,0,0),ar=c(-0.5,0,0)),
list(order=c(0,1,1),period=7)))
> arima1$model[[1]]$ar
[1] 0.5335 -0.0137 0.2268
> arima1$model[[2]]$ma
[1] 0.9231
Die Optimierungsroutine hat wiederum (mit geringen Abweichungen zu vorher) die gleichen
Maxima gefunden.
Auffallend ist, dass der geschätzte AR-Parameter 2 0.01 annähernd null ist. Deshalb
wird versucht ein Modell anzupassen, bei dem dieser Parameter null gesetzt wird. Dies kann
in S-Plus folgendermaßen realisiert werden.
S-Plus Sequenz
>arima1 <- arima.mle(Anwendersitzungenab220998,
model = list(list(order = c(3, 0, 0), ar = c(0, 0, 0),
ar.opt = c(T, F, T)), list(order = c(0, 1, 1), period = 7)))
> arima1$model[[1]]$ar
[1] 0.5254 0.0000000 0.2185
> arima1$model[[2]]$ma
[1] 0.9125
Durch das Setzen des Parameters 2 0 und Wahl des Startvektors (0,0,0) erhält man
folgendes Modell:
(1 - 0.525 B - 0.218 B 3 )(1 - B 7 ) X t = (1 - 0.916 B 7 ) Z t
oder in anderer Notation
( X t X t 7 ) 0.525( X t 1 X t 8 ) 0.218( X t 3 X t 10 ) Z t 0.916Z t 7 .
Die entsprechenden Diagnoseplots für dieses Modell sind in Abbildung 9.7. dargestellt.
-72-
A
R
I
M
A
M
o
d
e
l
D
i
a
g
n
o
s
t
i
c
s
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
a
b
2
2
0
9
9
8
-4 -2 0 2 4 6
P
l
o
t
o
f
S
t
a
n
d
a
r
d
i
z
e
d
R
e
s
i
d
u
a
l
s
2
2
0
9
9
82
4
1
2
9
82
7
0
3
9
92
8
0
6
9
92
9
0
9
9
93
1
1
2
9
9
0. 0.2 0.4 ACF 0.6 0.8 1.0 0. 0.2 p-value 0.4 0.6
P
v
a
l
u
e
s
o
f
L
j
u
n
g
B
o
x
C
h
i
S
q
u
a
r
e
d
S
t
a
t
i
s
t
i
c
s
1
0
2
0
3
0
4
0
L
a
g
ACF
A
C
F
P
l
o
t
o
f
R
e
s
i
d
u
a
l
s
0
1
0
2
0
L
a
g
3
0
4
0
Abbildung 9.7.: Diagnoseplots für ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell mit 2 0
Beim Vergleich der Diagnoseplots der beiden Modelle ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7 und ARIMA
(3,0,0)×(0,1,1)7 mit 2 0 (siehe Abbildung 9.6. und 9.7.) erkennt man keine wesentlichen
Unterschiede. Man könnte sagen, die beiden Modelle passen die Daten annähernd gleich gut
an. Da man beim ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell mit 2 0 einen Parameter weniger hat, ist
dieses Modell zu bevorzugen.
-73-
Geeignete Modelle höherer Ordnung könnten bei den „Goodness of Fit“-Tests besser
abschneiden als Modelle mit vergleichsweise niedrigerer Ordnung. Jedoch sind mehr
Parameter zu schätzen und dies resultiert bei einer Vorhersage in größeren Vorhersagefehlern
(siehe Abschnitt 9.4.). Zur Illustration wird ein ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7-Modell angepasst.
Dies ergibt einen zur Anzahl der geschätzten Parameter relativ geringen AIC-Wert (siehe
Tabelle 9.1.) Die Diagnoseplots sind in Abbildung 9.8. dargestellt.
S-Plus Sequenz
>arima1 <- arima.mle(Anwendersitzungenab220998,
model = list(list(order = c(0, 0, 15)),
list(order = c(0, 1, 0), period = 7)))
> arima1$model[[1]]$ma
[1] -0.4802 -0.2274 -0.3019 -0.2991 -0.1588 -0.1025
[7] 0.7062 0.2537 0.1440 0.2040 0.2650 0.1485
[13] 0.0946 0.0989 0.1544
#Schätzung von
i , i 1,...,15
(nicht
#saisonaler Teil).
# ˆ , Schätzung der Varianz von
2
> arima1$sigma2
Zt .
[1] 170.90
> a<-arima.diag(arima1, resid = T, std.resid = T,
acf.resid = F, gof.lag = 40,plot= T)
>a
> acf(a$resid,lag.max = 40)
A
R
I
M
A
M
o
d
e
l
D
i
a
g
n
o
s
t
i
c
s
:
A
n
w
e
n
d
e
r
s
i
t
z
u
n
g
e
n
a
b
2
2
0
9
9
8
-4 -2 0 2 4 6
P
l
o
t
o
f
S
t
a
n
d
a
r
d
i
z
e
d
R
e
s
i
d
u
a
l
s
2
2
0
9
9
82
4
1
2
9
82
7
0
3
9
92
8
0
6
9
92
9
0
9
9
93
1
1
2
9
9
0. 0.2 0.4p-value 0.6 0.8
P
v
a
l
u
e
s
o
f
L
j
u
n
g
B
o
x
C
h
i
S
q
u
a
r
e
d
S
t
a
t
i
s
t
i
c
s
2
0
2
5
3
0
3
5
4
0
L
a
g
ACF
0. 0.2 0.4 ACF 0.6 0.8 1.0
A
C
F
P
l
o
t
o
f
R
e
s
i
d
u
a
l
s
0
1
0
2
0
L
a
g
3
0
4
0
Abbildung 9.8.: Diagnoseplots für ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7-Modell
-74-
9.8. Vorhersage
Hat man ein geeignetes ARIMA-Modell gefunden, lassen sich leicht Vorhersagewerte berechnen.
X t bzw. Z t werden für t = 1,..,N rekursiv geschätzt und anschließend werden mit den
geschätzten Werten und dem geschätzten Modell Vorhersagewerte berechnet (siehe
Brockwell und Davis, S. 197 – 199 und S. 206 – 207).
9.8.1. Prognoseintervall für vorhergesagte Werte
iid
Unter der Annahme {Z t } ~ N (0, 2 ) ist der Vorhersagefehler X N h Xˆ N h approximativ
N (0, 2 (h)) verteilt. Dabei ist 2 (h) die Varianz des Vorhersagefehlers im h-ten Vorhersageschritt. Bezeichne z1 / 2 das ( 1 / 2 )-Quantil der N(0,1)-Verteilung, dann ist X̂ N h
z1 / 2ˆ (h) ein approximatives Prognoseintervall für X N h zum Niveau 1 (z. B. 95%Grenzen: ( Xˆ
1.96ˆ (h) ).
N h
9.8.2. Vorhersage für das 1. Quartal 2000
Als nächstes wird eine Vorhersage mit dem ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell mit 2 0
(siehe S. 71) für das 1. Quartal 2000 durchgeführt. Die Vorhersage wird mit den tatsächlichen
Daten des 1. Quartals 2000 verglichen.
Die S-Plus Funktion arima.forecast erzeugt Vorhersagen mit dem angegebenen ARIMAModell für eine univariate Zeitreihe. Die Vorhersage wird als Zeitreihe mit den vergangenen
Daten und den Daten des 1. Quartals 2000 in Abbildung 9.9 geplottet. Die Vorhersage wird in
S-Plus mit den folgenden Kommandos realisiert.
S-Plus Sequenz
>attach(ab220998)
>Anw <- cts(Anw.Tag, start = dates("220998",
format = "dmy",out.format = "d m y"), units = "days")
>Anwneu <- cts(Anwneu, start = dates("311299", format =
"dmy",out.format = "d m y")+1, units = "days")
>Anwendersitzungenab220998<-Anw-mean(Anw)
>arima1<-arima.mle(Anwendersitzungenab220998, model=
list(list(order = c(3, 0, 0), ar = c(0,0,0),
ar.opt = c(T, F, T)),list(order=c(0,1,1),period=7)))
>A.fore <- arima.forecast(Anwendersitzungenab220998,
n=91, model=arima1$model)
>A.fore$mean <- A.fore$mean + mean(Anw)
>An.fore<- cts(A.fore$mean, start =
dates("311299",format = "dmy",
out.format= "d m y")+1,units = "days")
>ts.plot(Anw, Anwneu, An.fore,
An.fore + 1.96*A.fore$std.err,
An.fore – 1.96*A.fore$std.err)
#Daten der 2. Periode.
#Daten des 1. Quartals 2000.
#arithm. Mittel subtrahiert.
#Anpassen eines
#ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell
#mit 2 0 .
#Vorhersage von n = 91 Werten (1.
#Quartal) mit dem obigen Modell.
#arithm. Mittel von Anw zu den
#vorhergesagten Werten addiert.
#Startdatum der Vorhersagewerte:
#31.12.99 + 1 Tag.
#Plot der Zeitreihe: Anw, Anwneu,
#An.fore, An.fore ± 1.96*Schätzer für
#Standardabweichung von A.fore.
-75-
0 25 Anwedrsitzugn/Ta 50 75 10
t
a
t
s
ä
c
h
l
i
c
h
e
D
a
t
e
n
v
o
r
h
e
r
g
e
s
a
g
t
e
D
a
t
e
n
9
5
%
K
o
n
f
i
d
e
n
z
i
n
t
e
r
v
a
l
l
2
2
1
1
9
9
2
2
1
2
9
9
2
2
0
1
0
0
2
1
0
2
0
0
2
2
0
3
0
0
T
i
m
e
i
n
d
a
y
s
Abbildung 9.9.: Vorhersage mit ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell
0 25 Anwedrsitzugn/Ta 50 75 10
t
a
t
s
ä
c
h
l
i
c
h
e
D
a
t
e
n
T
i
m
e
i
n
d
a
y
s
v
o
r
h
e
r
g
e
s
a
g
t
e
D
a
t
e
n
9
5
%
K
o
n
f
i
d
e
n
z
i
n
t
e
r
v
a
l
l
2
2
1
1
9
9
2
2
1
2
9
9
2
2
0
1
0
0
2
1
0
2
0
0
2
2
0
3
0
0
T
i
m
e
i
n
d
a
y
s
Abbildung 9.10.: Vorhersage mit ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7-Modell
T
i
m
e
i
n
d
a
y
s
T
i
m
e
i
n
d
a
y
s
-76-
Am 1. Jänner 2000 waren null Anwendersitzungen zu verzeichnen. Wahrscheinlich war der
Server aufgrund des Y2K-Problems (Jahr-2000-Problems) vorsichtshalber nicht in Betrieb.
Macht man eine Vorhersage mit dem ARIMA(0,15,0)×(0,1,0)7-Modell resultiert daraus
Abbildung 9.10. Vergleicht man die Vorhersagewerte, die mittels ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7
geschätzt werden, mit den Werten, die mittels ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7 geschätzt werden, so
unterscheiden sich diese nicht wesentlich. Der Grund dafür ist, dass die Variation des
systematischen Teils der Zeitreihe, die Saisonschwankung, dominiert und deshalb die
Wirksamkeit des saisonalen ARIMA-Modells hauptsächlich bedingt ist durch das anfängliche
Differenzenbilden und nicht durch das folgende Anpassen eines ARMA-Modells an die
transformierte Zeitreihe.
Der tatsächliche Vorhersagefehler kann mit der Quadratwurzel der gewichteten Summe der
1 91
( X N i Xˆ N i ) 2 , beschrieben werden. Im Falle der Vorher91 i 1
sage mit dem ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell ergibt das einen Wert von 12.25, im Falle der
Vorhersage mit dem ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7-Modell liegt der Wert bei 12.95.
Abweichungsquadrate,
Die tatsächlichen Vorhersagefehler kann man auch durch den Plot der Vorhersagefehler
darstellen, bei dem ( X N i Xˆ N i ) gegen i geplottet wird. Der Plot der Vorhersagefehler wird
in S-Plus mit den folgenden Kommandos realisiert und in Abbildung 9.11. bzw. Abbildung
9.12. dargestellt.
S-Plus Sequenz
> attach(Vorhersagedaten)
> Differenzen<-cts(original-geschaetzmit3,start =
dates("311299", format = "dmy",
out.format = "d m y")+1, units = "days")
ts.plot(Differenzen, type = "p")
#original und vorhergesagte Werte sind in neuem
#Datenframe Vorhersagedaten abgelegt.
#original minus geschätzte Werte als Zeitreihe
#dargestellt.
#Zeitreihenplot in Punktedarstellung.
Die Varianz der geschätzten Vorhersagefehler steigt mit zunehmendem h (Zeitfaktor der
Vorhersage) beim ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7 schneller als beim ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7Modell an, da mehr Parameter zu schätzen sind (siehe Abbildung 9.9., Abbildung 9.10.).
Vergleicht man die Daten Anwendersitzungen/Tag der 2. Periode, Anwendersitzungen/Tag
des 1. Quartals 2000 und die geschätzten Vorhersagewerte bezogen auf die Wochentage (Mo,
Di, ..., So) anhand von Boxplotserien, sieht man, dass wiederum die Vorhersage mittels
ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell die Struktur der Daten besser widerspiegelt. Die Boxplotserien sind in Abbildung 9.13. dargestellt. Man beachte, dass der Interquartile-Range (IQR)
der vorhergesagten Werte einen ziemlich kleinen Bereich abdeckt, da ab einem gewissen
Zeitpunkt die folgenden vorhergesagten Werte identisch sind.
Da das ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7-Modell trotz der größeren Anzahl an Koeffizienten die
tatsächlichen Daten etwas schlechter schätzt als das ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell ist das
ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7 dem ARIMA(0,15,0)×(0,1,0)7 eindeutig vorzuziehen.
-77-
-20 AbweichungvodeOrignalte 0 20 40
A
R
I
M
A
(
3
,
0
,
0
)
x
(
0
,
1
,
1
)
M
o
d
e
l
l
7
0
1
0
1
0
0 1
9
0
1
0
0 0
6
0
2
0
0 2
4
0
2
0
0 1
3
0
3
0
0 3
1
0
3
0
0
T
i
m
e
i
n
d
a
y
s
Abbildung 9.11.: Plot der Vorhersagefehler beim ARIMA(3,0,0)×(0,1,1)7-Modell
-20 AbweichungvodeOrignalte 0 20 40
A
R
I
M
A
(
0
,
0
,
1
5
)
x
(
0
,
1
,
0
)
M
o
d
e
l
l
7
0
1
0
1
0
0 1
9
0
1
0
0 0
6
0
2
0
0 2
4
0
2
0
0 1
3
0
3
0
0 3
1
0
3
0
0
T
i
m
e
i
n
d
a
y
s
Abbildung 9.12.: Plot der Vorhersagefehler beim ARIMA(0,0,15)×(0,1,0)7-Modell
-78-
2. Periode
Mo
Di
Mi
1. Quartal 2000
Do
Fr
So
Sa
120
120
100
100
Anwendersitzungen/Tag
Anwendersitzungen/Tag
So
80
60
40
20
Vorhersage mit ARIMA(3,0,0)x(0,1,1) 7-Modell
80
60
40
20
Mo
Di
Mi
Do
Fr
Mi
Do
Fr
Sa
80
60
40
20
Vorhersage mit ARIMA(0,15,0)x(0,1,0) 7-Modell
Sa
So
geschätzte Anwendersitzungen/Tag
geschätzte Anwendersitzungen/Tag
So
100
Di
0
0
120
Mo
Mo
120
100
80
60
40
20
0
0
Abbildung 9.13.: Boxplotserien
-79-
Di
Mi
Do
Fr
Sa
Anhang A
Die folgende Liste enthält Definitionen zu Fachausdrücken, die in diesem Bericht sowie auch
allgemein im Internet benutzt werden.
Benutzeradresse
Die DNS-Adresse bzw. die IP-Adresse des Rechners eines Benutzers.
Browser
Ein Programm, das zum Einsehen von HTML-Dokumenten benutzt wird (z.B.
NetScape, Mosaic, Microsoft Explorer, etc.).
DNS
Abkürzung für Domain Name System; ist ein Dienst, der numerische IP-Adressen in
die entsprechenden DNS-Adressen (und umgekehrt) umwandelt.
DNS-Adresse
Die Adresse (Identifikation) des Rechners, der mit dem Internet verbunden ist.
FTP
Abkürzung für File Transfer Protocol; ist eine Standardmethode zum Übertragen von
Dateien über das Internet.
GIF
Abkürzung für Graphics Interchange Format; ist ein grafisches Dateiformat, das
häufig in HTML-Dokumenten benutzt wird.
Homepage
Dokument im Internet, gewidmet einem bestimmten Unternehmen, einer Institution
usw.
HTML
Abkürzung für Hyper Text Markup Language; wird zum Schreiben von Dokumenten
im World Wide Web benutzt.
HTML-Dokument bzw. -Seite
Ein Dokument bzw. eine Seite, die im HTML Format geschrieben ist.
HTTP
Abkürzung für Hyper Text Transport Protocol; ist eine Standardmethode zur
Übertragung von Daten zwischen einem Webserver und einem Browser.
Internet
Internationales Computernetz, das eine Kommunikation und eine Datenübertragung
zwischen den Rechnern, die mit dem Netz verbunden sind, ermöglicht.
IP-Adresse
Abkürzung für Internet Protokolladresse; numerische Identifikation eines Rechners,
der mit dem Internet verbunden ist.
JPEG
Abkürzung für Joint Photographic Expert Group; ist ein grafisches Dateiformat zum
Speichern einer Grafik in digitaler Form.
Link
Ein Link ist ein Verweis auf das URL einer Webseite.
Plattform
Das Betriebssystem (z.B. Windows 98, Windows NT etc.), das vom Benutzer verwendet wird.
Protokoll
Eine definierte Methode zum Austausch von Daten über das Internet.
-80-
Suchsystem
Eine Webseite, die aus einer Datenbank besteht, die Informationen zum Auffinden
anderer Webseiten im Internet enthält.
Server (Webserver)
Ein Rechner, der Informationen für Internet-Benutzer bereitstellt.
Logfile
Die Aktivitäten auf einem Webserver werden protokolliert und in einem Logfile
gespeichert.
Spider
Ein automatisiertes Programm, das das Internet durchsucht.
URL
Abkürzung für Universal Resource Locator; ist eine Methode zur genauen
Bestimmung eines Ortes im Internet. Das URL http://www.cis.tu-graz.ac.at/stat/
guestbook.html führt zur Webseite Gästebuch der Homepage des Institutes für
Statistik. Wie das vorstehende Beispiel zeigt, besteht ein URL aus vier Teilen:
Protokolltyp (HTTP), Servername (cis.tu-graz.ac.at), Verzeichnispfad /stat/ und
Dateiname (guestbook.html).
Web (WWW, World Wide Web)
Ein Netz für HTML-Dokumente im Internet, die miteinander verknüpft sind und in
Servern auf der ganzen Welt verteilt sind.
Webseite bzw. Seite
Eine Seite im Internet, die HTML-Dokumente enthält, die Benutzer unter Verwendung
eines Browsers einsehen können.
Zugriff
Eine Aktion auf dem Webserver, wie z.B. das Einsehen einer Webseite durch einen
Benutzer oder das Herunterladen einer Datei.
-81-
Literaturverzeichnis
Anderson, T.W. (1971), The Statistical Analysis of Time Series, John Wiley, New York.
Ansley, C. F. (1979), An algorithm for the exact likelihood of a mixed
autoregressive-moving average process, Biometrika 66, 59–65.
Box, G. E. P. and Cox, D. R. (1964), An analysis of transformations (with discussion),
J. R. Stat. Soc. B, 26, 211 – 252.
Box, G. E. P. and Jenkins, G. M. (1976), Time Series Analysis: Forecasting and
Control, Revised Edition, Holden-Day, Oakland, CA.
Box, G. E. P. and Jenkins, G. M. and Reinsel, G. C. (1994), Time Series Analysis:
Forecasting and Control, 3rd ed., Prentice-Hall, Englewood Cliff.
Brockwell, P. J. and Davis, R. A. (1996), Introduction to Time Series and Forecasting,
Springer-Verlag, New York.
Chatfield, C. (1982), Analyse von Zeitreihen: Eine Einführung , 2te Aufl. ,dt. Übersetzung,
Chapman and Hall, London.
Chatfield, C. (1984), The Analysis of Time Series: An Introduction, 3rd ed,
Chapman and Hall, London.
Friedl, H. (2000), Lineare Modelle, Skriptum, Institut für Statistik, TU-Graz.
Hamilton, J. D. (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press, Princeton.
Jones, R. H. (1980), Maximum likelihood fitting of ARMA models to time
series with missing observations, Technometrics 22, 389 – 395.
Kohn, R. and Ansley, C. F. (1985), Efficient estimation and prediction in
time series regression models, Biometrika, 72, 694 – 697.
Kohn, R. and Ansley, C. F. (1986), Estimation, prediction, and interpolation for ARIMA
models with missing data, Journal of the American Statistical Association, 81, 751 –
761.
Kotz, S. and Johnson, N. L. (1983), Encyclopedia of Statistical Sciences, 3, 292 – 295.
Scheffner, A. und Krahnke, T. (1998), S-Plus 4.0 unter Windows: Einführung und Leitfaden,
Internat. Thompson Publ., Bonn.
S-Plus 4 (1997), Guide to Statistics, Math Soft Inc., Seattle, Washington.
Venables, W. N. and Ripley, B. D. (1999), Modern Applied Statistics with S-Plus, 3rd ed.,
Springer-Verlag, New York.
-82-
