Lösungen:

Lösungen
1. a/ X =22.89 T€
̂  6.82 T€
b/ Die Parameter der Normalverteilung sind somit:
m= X =22.89 T€
  6.82 T€
P(X>31T€)=1-P P(X<31T€)=1- 0.88279= 0.117
(die Schätzung durch die originalen Daten ist 0).
c/ Var(Rel.Hfgk)=p(1-p)/n, aber p ist jetzt unbekannt. p(1-p)≤1/4, also wir bekommen
aus dem Tschebischev’schen Ungleichung, dass P(|Rel.Hfgk-p|>0.1) ≤100/(4n) ≤ 0.05
falls n≥500
Durch die Normalverteilung: Falls wir davon ausgehen, dass die Rel.Hfgk einer
Normalverteilung mit Varianz 1/(4n) folgt, dann gilt P(|Rel.Hfgk-p|>0.1)=2*(1Φ(sqrt(n)/5)) ≤ 0.05 falls Φ(sqrt(n)/5)) ≥0,975, also n≥96,04 (es bedeutet praktisch, dass
wir wenigstens 97 Beobachtungen) brauchen.
2. 10 Firmen wurden zu ihrem Jahresumsatz im Jahr 2008 befragt (die Werte sind in MFt).
Wir interessieren uns für den Median und in das 85% Quantil des Umsatzes.
60 72 84 88 89 93 103 103 120 126
a/ Geben Sie Schätzungen für den Median und das 85%-Quantil des Jahresumsatzes.
b/ Wir haben nur diese 10 Beobachtungen, aber wir möchten etwas sagen über die Streuung unsere
Schätzungen, ohne die Verteilung der Beobachtungen zu bestimmen. Deshalb führen wir die
sogenannte bootstrap Methode aus. Geben wir Schätzungen für die Standardabweichung des
Medians und des 85% Quantils mit der Hilfe der folgenden bootstrap Stichproben.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
60
88
60
60
84
60
60
72
84
60
88
88
72
60
84
60
84
84
84
84
89
93
72
84
84
72
84
84
84
84
93 103 103 103 120 120 120
93 93 103 103 120 126 126
84 93 103 103 120 126 126
84 84 84 93 103 120 126
88 88 88 103 126 126 126
88 89 103 103 120 120 126
88 89 93 103 103 103 120
93 103 103 103 120 126 126
88 88 88 103 103 120 126
84 89 89 89 93 103 126
a)
Der Median der original Daten beträgt 91 MFt.
Das 85% Quantil der original Daten beträgt 120 MFt
Im weiteren müssen Sie nun für jede Zeilen 1 bis 10 der Stichproben jeweils den
Median und das 85% Ouantil bestimmen. So bekommen Sie untenstehende
Werte
Median
103 98
98
84
88
96
91
103 88
89
Beispiel: In der ersten Zeile ist der Median 103 (0,5x (103 +103))
85% Quantile
120 126 126 120 126 120 103 126 120 103
Beispiel: in der ersten Zeile ist das 85% Quantil 120 (Neunter Wert)
b)
Nun können Sie die Standardabweichung für den Median und das 85% Quantil
bestimmen.
Standardabweichung für Median: 7.3 MFt
Wurzel aus ((103-91)²+(98-91)²+……..+(103-91)²)/9
Standardabweichung für 85% Quantile: 9 MFt
Wurzel aus ((120-120)²+(126-120)²+……..+(103-120)²)/9
3.
X = 4,95 2 X =9,9 es ist Erwartungstreu
a.)
b.)
max (X) = 8. Dieser Wert ist ein Unterschätzung. Er ist nicht erwartungstreu
(aber es kann verbessert werden mit ein Faktor von (n+1)/n und man kann zeigen z.B.
durch Simulation, das dieser Wert effektiver ist als die anderen)
In unser Fall ergibt sich 11*8/10=8,8 Min