Bonitätsklassifikation kleiner Unternehmen mit Linearer
Werbung
Bonitätsklassifikation kleiner Unternehmen mit multivariater
linearer Diskriminanzanalyse und Neuronalen Netzen
J. Jacobs
G. Weinrich
Lüneburg, 2.5.2001
Bonitätsklassifikation kleiner Unternehmen mit multivariater
linearer Diskriminanzanalyse und Neuronalen Netzen
1 Problemstellung
Die Beurteilung der wirtschaftlichen Lage von Unternehmen erfolgt
traditionell vor allem durch die Analyse von Kennzahlen, die aus Bilanzund Jahresabschlussdaten gewonnen werden. Anhand seiner
Kennzahlenwerte wird ein Unternehmen entweder der Klasse der kritischen
(insolvenzgefährdeten) oder der Klasse der guten (nicht
insolvenzgefährdeten) Unternehmen zugeordnet. Die Festlegung geeigneter
Kennzahlen und Kennzahlenwerte mit hoher Trennfähigkeit bezüglich
beider Klassen erfolgt durch Auswertung einer Lernstichprobe. Dies sind
Bilanz- und Jahresabschlussdaten von Unternehmen, für welche die
Klassenzugehörigkeit bekannt ist.
Für die empirische Analyse sind in der Vergangenheit statistische Verfahren
- vor allem die multivariate lineare Diskriminanzanalyse - mit Erfolg
eingesetzt worden. Übereinstimmend für die meisten
Untersuchungsergebnisse ist eine recht gute Klassifikationsgüte (75% bis
80%) durch Verwendung von wenigen (in der Regel 3 bis 4) Kennzahlen
(vgl. /HAU95/).
In jüngerer Zeit finden zunehmend auch Neuronale Netze Berücksichtigung.
Mit dem Einsatz von Neuronalen Netzen als Untersuchungsmethode werden
hohe Erwartungen verbunden, weil dadurch Nichtlinearitäten im
Datenmaterial abgebildet werden können. Eine der ersten Untersuchungen
zur Kreditwürdigkeitsprüfung mit Neuronalen Netzen wurde im Jahre 1990
von M. D. Odom und R. Sharda veröffentlicht (vgl. /ODO90/). Ein
Vergleich mit den Ergebnissen der Diskriminanzanalyse zeigte eine
Überlegenheit der Neuronalen Netze. Die geringsten Fehlerraten ergaben
beim Fehler 1. Art (2. Art) ca. 19% (17%) für das Neuronale Netz bzw. 30%
(14%) für die Diskriminanzanalyse. Als Fehler 1. Art (oder Alpha-Fehler)
bezeichnet man dabei die Klassifikation eines gefährdeten als nicht
gefährdetes Unternehmen. Als Fehler 2. Art (oder Beta-Fehler) wird die
Klassifikation eines nicht gefährdeten als gefährdetes Unternehmen
bezeichnet.
1
Ähnliche Resultate ergaben sich bei einer Untersuchung französischer
Unternehmen. Mit einer Trefferquote von etwa 85% (3 Jahre vor Insolvenz)
übertraf das Neuronale Netz das Ergebnis der Diskriminanzanalyse um 6%
(vgl. /KER94/).
Untersuchungen für deutsche Unternehmen wurden am Institut für
Revisionswesen (IRW) der Universität Münster mit dem wohl
umfangreichsten Datenmaterial (11 427 Jahresabschlüsse) durchgeführt. Das
Ergebnis fiel nicht so deutlich zugunsten Neuronaler Netze aus. Bei einem
auf 8,75% fixierten Alpha-Fehler ergab sich mit einem Neuronalen Netz ein
Beta-Fehler von 33,55% gegenüber 34,76% mit Hilfe der
Diskriminanzanalyse.
Während sich die bisherigen Forschungen vorwiegend auf mittlere und
große Unternehmen bezogen, haben eigene Untersuchungen gezeigt, dass
die Kreditwürdigkeitsprüfung kleinerer mittelständischer Unternehmen
besondere Schwierigkeiten bereitet, und dass sich veröffentlichte Ergebnisse
auf der Basis von Datenmaterial mittlerer und großer Unternehmen nicht
ohne weiteres auf kleine Unternehmen übertragen lassen (/JAC97/): Eine
Diskriminanzanalyse für kleine Unternehmen ergab unter Verwendung
derselben Kennzahlen, die für mittlere und große Unternehmen gute
Ergebnisse lieferten (Alpha-Fehler: 8,7%; Beta-Fehler: 37,43%), einen
deutlich größeren Alpha-Fehler von 32,29% bei einem ähnlich großen BetaFehler von 36,65% (/BAE96/).
In der vorliegenden Arbeit soll überprüft werden, ob die enttäuschenden
Klassifikationsergebnisse für kleine Unternehmen auf die verwendeten
Kennzahlen oder die verwendete Methode der Diskriminanzanalyse
zurückzuführen sind und ob sich die Ergebnisse durch den Einsatz
Neuronaler Netze verbessern lassen.
2 Verwendetes Datenmaterial
Die in die Untersuchung einbezogenen Unternehmen sind Firmenkunden
von Banken im gesamten Bundesgebiet. Zur Klasse der kritischen
Unternehmen wurden alle Firmen gezählt, bei denen eines der folgenden
Probleme bei der Kreditabwicklung aufgetreten war:
- Einzelwertberichtigung wegen drohenden Kreditausfalls,
- Kreditkündigung und Verwendung der Sicherheiten,
2
- Konkurs oder Vergleich.
Alle übrigen Unternehmen wurden der Klasse der guten Unternehmen
zugeordnet.
Um konjunkturelle Einflüsse auszuschließen, müssten idealerweise
Unternehmensdaten aus denselben Kalenderjahren verglichen werden. Auf
dieses Vorgehen wurde aufgrund eines zu geringen Datenbestands
verzichtet. Stattdessen wurden alle Bilanzen kritischer Unternehmen
zusammengefasst, die sich auf einen Zeitraum von 2 bis 3 Jahren vor
Eintreten des Kreditproblems beziehen. Die Datensätze der guten
Unternehmen wurden so ausgewählt, dass annähernd gleiche Häufigkeiten
in den einzelnen Bilanzjahren auftraten (vgl. Tabelle 1).
Anzahl Bilanzen
kritische
Unternehmen
gute Unternehmen
1990
3
1991
8
1992
64
1993
94
1994
34
Gesamt
203
1
7
61
95
39
203
Tabelle 1: Verteilung der Bilanzen nach Jahren
Um eine Verzerrung der Untersuchungsergebnisse durch unterschiedliche
Rechtsformen und Unternehmensgrößen zu vermeiden, wurde darüber
hinaus eine ähnliche Verteilung bezüglich dieser Parameter in den Gruppen
der kritischen und guten Unternehmen angestrebt (vgl. Tabellen 2 bis 4; die
Abweichungen in der Spalte "Gesamt" im Vergleich zu Tab. 1 sind dadurch
zu erklären, dass für einige Unternehmen 2 Bilanzjahre zur Verfügung
standen):
Anzahl Unternehmen
kritische
Unternehmen
gute Unternehmen
Personengesellschaften
(inkl. GmbH & Co. KG)
71
Kapitalgesellschaften
Gesamt
54
125
87
49
136
Tabelle 2: Verteilung der Unternehmen nach Rechtsform
3
Anzahl Unternehmen
kritische
Unternehmen
gute Unternehmen
unter 1,4 Mio. DM 1,4 - 3 Mio. DM 3 - 8 Mio. DM
42
43
40
52
42
42
Gesamt
125
136
Tabelle 3: Verteilung der Unternehmen nach Umsatzgröße
Anzahl Unternehmen
kritische
Unternehmen
gute Unternehmen
unter 0,65 Mio.
DM
44
0,65 - 1,4 Mio. 1,4 - 4 Mio. DM Gesamt
DM
39
42
125
52
42
42
136
Tabelle 4: Verteilung der Unternehmen nach Gesamtkapital
3 Getestete Kennzahlen
3.1 Definition der Kennzahlen
Für die Untersuchung wurden Kennzahlen ausgewählt, die beim
Kreditscoring im Genossenschaftsverband eingesetzt werden. Dies erschien
deshalb sinnvoll, weil das Kreditgeschäft der Genossenschaftsbanken
vorwiegend durch das Segment der kleinen mittelständischen Unternehmen
geprägt wird. Im Einzelnen fanden folgende Kennzahlen Eingang in die
Analyse:
Rentabilität:
K1 = Betriebsergebnis vor Steuern+Planm. Abschreibungen+Veränd. Pens. Rückstellungen/Gesamtkapital
Liquidität:
K2 = Betriebl. Nettoeinnahmen II/kurzfristiges Fremdkapital
Kreditoren:
K3 = Verbindlichkeiten inkl. Wechsel/Gesamtkapital
Kapitalstruktur:
K4 = Eigenkapital/Fremdkapital
4
Für alle Kennzahlen wurde ein Median-Test durchgeführt, mit dem Ergebnis
eines hochsignifikanten Lageunterschieds (Irrtumswahrscheinlichkeit <
0,01%) für gute und kritische Unternehmen. Bei der Kennzahl K3 war der
Median für die Klasse der kritische Unternehmen größer als für die Klasse
der guten Unternehmen, bei den übrigen Kennzahlen kleiner.
3.2 Aufbereitung der Kennzahlen
Um den Einfluss von Ausreißern zu mindern, wurde das Verfahren des
Winsorisierens verwendet (vgl. /SAC92/, S. 371). Hierbei werden die k
kleinsten bzw. größten Werte durch den (k+1)-kleinsten bzw. -größten Wert
ersetzt. Für die Kennzahlen K1, K2 und K3 wurde als untere Grenze der Wert
des 1. Dezils für die Klasse der kritischen Unternehmen und als obere
Grenze der Wert des 9. Dezils für die Klasse der guten Unternehmen
gewählt. Für die Kennzahl K3 wurde als untere Grenze der Wert des 1.
Dezils für die Klasse der guten Unternehmen und als obere Grenze der Wert
des 9. Dezils für die Klasse der kritischen Unternehmen gewählt.
4 Klassifikation mit multivariater linearer Diskriminanzanalyse
4.1 Untersuchungsmethode
Nach dem Ansatz von Fisher (/FIS36/) werden die zu untersuchenden
Kennzahlen K1, K2,..., Kr durch eine lineare Diskriminanzfunktion D - d. h.
durch Addition der zuvor mit Gewichtsfaktoren a1, a2, ..., ar multiplizierten
Kennzahlen - zusammengefasst:
D a1 K1 a2 K2 ... ar Kr .
Bei bekannten Gewichtsfaktoren kann durch Einsetzen der Kennzahlenwerte
in die Diskriminanzfunktion der zugehörige Diskriminanzwert berechnet
werden. Ein Unternehmen wird als kritisches Unternehmen klassifiziert,
falls der berechnete Diskriminanzwert unterhalb eines noch festzulegenden
Schwellenwerts liegt. Damit wird das r-dimensionale
Klassifizierungsproblem auf ein eindimensionales Problem reduziert.
Die Diskriminanzfunktion ist mit Hilfe der Lernstichprobe so zu bestimmen,
dass sich durch die resultierenden Diskriminanzwerte eine möglichst gute
Trennung der Klasse der kritischen Unternehmen von der komplementären
5
Klasse der guten Unternehmen ergibt. Nach dem von Fisher definierten
heuristischen Maß für die Trenngüte sind die Gewichtsfaktoren derart
festzulegen, dass der quadratische Abstand der Mittelwerte der beiden
Klassen relativ zur Summe der quadrierten Abweichungen in beiden Klassen
maximal wird. In einer Formel ausgedrückt: der Wert des Gütemaßes
( D1 D2 ) 2
s12 s22
ist zu maximieren. Dabei bedeuten:
1
Di
ni
ni
D
j 1
ij
(= arithmetisches Mittel der Diskriminanzfunktion für Klasse i),
ni
s (Dij Di )2
2
i
j 1
(= Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert für Klasse i),
wobei Dij den Wert der Diskriminanzfunktion für Bilanz j aus Klasse i und ni
die Anzahl der Bilanzen in Klasse i bezeichnen.
Eine Bilanz wird der Klasse 1 zugeordnet, falls der berechnete
Diskriminanzwert D näher bei D1 als bei D2 liegt, das heißt, falls
D
1
( D1 D2 ) .
2
Der heuristische Ansatz von Fisher kommt ohne Annahmen über die
statistische Verteilung der Kennzahlenwerte aus. Die resultierende
Entscheidungsregel ist zwar im Zwei-Klassen-Fall äquivalent zur
Maximum-Likelihood-Entscheidungsregel, falls die Kennzahlen
klassenweise multivariat normalverteilt und die Kovarianzmatrizen
klassenweise identisch sind (vgl. /FAH96/, S. 377 ff.). Der vielfach
vertretenen Meinung, eine Anwendungsvoraussetzung der linearen
Diskriminanzanalyse sei die multivariate Normalverteilung der Kennzahlen
und die Gleichheit der Kovarianzmatrizen für beide Klassen (vgl. z. B.
/BUR94/, /KER94/), ist jedoch nicht zuzustimmen. Dagegen sind Verfahren
zur Schätzung der Fehlerrate oder die in gängigen Statistikpaketen
angebotenen Tests zur Beurteilung der Trennschärfe der einzelnen
6
Gewichtsfaktoren nur mit großer Vorsicht anzuwenden, da diese auf den
genannten Verteilungsannahmen basieren.
Die Trenngüte einer Diskriminanzfunktion bezüglich der Lernstichprobe
erlaubt noch keine Aussage über ihre zu erwartende Trennfähigkeit für
Unternehmen außerhalb der Lernstichprobe. Eine Möglichkeit zur
Schätzung dieser Trennfähigkeit ist die Aufteilung der Gesamtstichprobe in
eine Lern- und eine Teststichprobe. Um den Umfang der Lernstichprobe
nicht zu reduzieren, wurde stattdessen das Verfahren der Kreuzvalidierung
verwendet (vgl. /WAH75/). Danach wird die Lernstichprobe L in mehrere
zufällig bestimmte disjunkte Teilmengen ungefähr gleicher Größe zerlegt:
t
L Li mit Li L j {} für i j .
i 1
Jede Teilmenge Li dient als Teststichprobe für eine Diskriminanzfunktion,
die mit der um Li reduzierten Lernstichprobe L - Li ermittelt wurde. Sei fi die
Fehlerrate für diese Teststichprobe, mi die Anzahl der Elemente von Li und n
die Anzahl der Elemente von L, so lautet die nach t-facher Kreuzvalidierung
geschätzte Gesamtfehlerrate:
f
1 t
mi f i .
n i 1
Im Grenzfall besteht jede Teststichprobe aus nur einem Element. Man
spricht dann von der leaving-one-out-Methode. Die geschätzte Fehlerrate
nach dieser Methode hat zwar den geringsten Bias, jedoch möglicherweise
eine große Varianz (vgl. /GLI78/). Aus diesem Grund wurde neben der
leaving-one-out-Methode das Verfahren der 5-fachen Kreuzvalidierung
verwendet.
Der Empfindlichkeit des Gütemaßes gegenüber Ausreißern (vgl. /HUB85/)
wurde durch Verwendung der winsorisierten Kennzahlenwerte anstelle der
Rohwerte Rechnung getragen (vgl. 3.2).
4.2 Ergebnisse
Der Alpha-Fehler (Fehlklassifikation kritischer Unternehmen) und der BetaFehler (Fehlklassifikation guter Unternehmen) für die Lernstichprobe sowie
die mit der leaving-one-out-Methode und der Methode der 5-fachen
7
Kreuzvalidierung geschätzten Fehlerraten ergeben sich aus folgender
Tabelle:
Lernstichprobe
Alpha-Fehler
Beta-Fehler
leaving-one-outMethode
25,62%
41,38%
25,62%
40,89%
5-fache
Kreuzvalidierung
27,42%
39,65%
Tabelle 5: Ergebnisse der linearen Diskriminanzanalyse
Das Klassifikationsergebnis konnte auch durch die Elimination aller
Unternehmen mit Einzelwertberichtigung oder Kreditkündigung aus der
Menge der kritischen Unternehmen nicht verbessert werden. In diesem Fall
enthält die Klasse der kritischen Unternehmen ausschließlich Insolvenzfälle
(55 Bilanzen). Zur Schätzung der Fehlerraten wurde die Klasse der guten
Unternehmen in 3 Teilmengen mit 50 und eine Teilmenge mit 53 Bilanzen
aufgeteilt. Mit je einer dieser Teilmengen und den Bilanzen der kritischen
Unternehmen wurden 4 getrennte Diskriminanzanalysen durchgeführt und
die Fehlerraten mit der leaving-one-out-Methode geschätzt. Anschließend
wurden die so erhaltenen Fehlerraten gemittelt. Es ergab sich ein AlphaFehler von 31,36% und ein Beta-Fehler 38,46%.
5 Klassifikation mit Neuronalen Netzen
5.1 Untersuchungsmethode
Nach den Pionierleistungen in den vierziger und fünfziger Jahren erlebt das
Forschungsgebiet der Neuronalen Netze seit Mitte der achtziger Jahre eine
Renaissance in einer ständig zunehmenden Zahl von Einsatzbereichen. Die
Verwendung Neuronaler Netze zur Bonitätsklassifikation verspricht u. a.
den Vorteil gegenüber der Diskriminanzanalyse, dass kein linearer
Zusammenhang zwischen Eingabe (Kennzahlenwerte) und der Ausgabe
(Diskriminanzwert) unterstellt wird.
Ein Neuronales Netz besteht aus Verarbeitungseinheiten (Neuronen) mit
gewichteten Kommunikationsverbindungen zwischen diesen Einheiten. Jede
Verarbeitungseinheit produziert in Abhängigkeit von den eintreffenden
Eingabesignalen ein Ausgabesignal, welches über die
Kommunikationsverbindungen - entsprechend den Verbindungsgewichten
verstärkt oder abgeschwächt - zu den anderen Verarbeitungseinheiten
weitergeleitet wird. Im Falle der Unternehmensklassifikation bestehen die
8
Eingabesignale aus den Unternehmenskennzahlen. Für jede Kennzahl steht
ein Eingabeneuron zur Verfügung. Die Ausgabesignale dieser Neuronen
werden dann direkt oder über "verborgene" Neuronen einem Ausgabeneuron
oder auch mehreren Ausgabeneuronen - z. B. je einem für jede Klasse zugeführt. Die Ausgabesignale der Ausgabeneuronen klassifizieren
daraufhin das Unternehmen als gefährdet oder nicht gefährdet.
Mit Hilfe eines geeigneten Lernverfahrens werden in der Trainingsphase die
Netzparameter (d. h. die Verbindungsgewichte und das
Ein/Ausgabeverhalten der Verarbeitungseinheiten) so eingestellt, dass die
Eingabedaten der Trainingsfälle zu den gewünschten Ausgabedaten führen.
Werden genügend viele Trainingsfälle gelernt, können komplexe - bei
Verwendung von nicht-linearen Ein/Ausgabefunktionen der
Verarbeitungseinheiten auch nicht-lineare - Beziehungen zwischen Ein- und
Ausgabedaten im Netz abgebildet werden, die über die Trainingsbeispiele
hinaus Gültigkeit haben.
Unter der Vielzahl möglicher Netztopologien sollen hier ausschließlich sog.
feed-forward-Netze untersucht werden. Bei diesen Netzen werden die
Neuronen in Schichten angeordnet, und das Ausgabesignal eines Neurons
wird nur an Neuronen der unmittelbar nachgelagerten Schicht weitergeleitet.
Für das betrachtete Klassifikationsproblem mit 4 Kennzahlen und 2 Klassen
bieten sich Netztopologien mit 4 Eingabeneuronen (pro Kennzahl ein
Neuron) und einem oder zwei Ausgabeneuronen an. Im Falle von zwei
Ausgabeneuronen (vgl. Abb. 1) könnte jede Klasse durch ein Neuron
repräsentiert und die Klassenzugehörigkeit durch das Neuron mit dem
stärkeren Ausgabesignal bestimmt werden. Im Falle eines Ausgabeneurons
(vgl. Abb. 2) würde sich wie bei der Diskriminanzanalyse die
Klassenzugehörigkeit durch einen Vergleich der Stärke des Ausgabesignals
mit einem Schwellenwert ergeben. Offen ist die Anzahl der "verborgenen"
Schichten zwischen Ein- und Ausgabeneuronen sowie die Anzahl der
Neuronen in diesen Schichten.
9
Eingabeschicht
verborgene Schicht
Ausgabeschicht
1
2
5
7
3
6
8
4
Abb.1: feed-forward-Netz mit zwei Ausgabeneuronen
Eingabeschicht
verborgene Schicht
Ausgabeschicht
1
2
5
7
3
6
4
Abb.2: feed-forward-Netz mit einem Ausgabeneuron
10
Neben der Netztopologie muss das Ein/Ausgabeverhalten der einzelnen
Neuronen festgelegt werden. Üblicherweise wird das aus allen
Eingabesignalen resultierende Eingabesignal - für alle Neuronen in gleicher
Weise - durch Summenbildung berechnet. Zu dieser Summe wird eine
Konstante (der sog. Schwellenwert oder treshold) addiert. Der
Schwellenwert kann für die einzelnen Neuronen unterschiedlich gewählt
werden. Damit wird durch das Netz aus Abb. 1 folgende Funktion
repräsentiert:
y k ok ( wij o j ( wij K i j ) k ) , wobei
j
i
wij das Gewicht der Verbindung zwischen Neuron i und Neuron j bezeichnet,
oj(x) die Ausgabe von Neuron j bei Eingabe x und j der Schwellenwert von
Neuron j ist. yk bezeichnet den Wert der Netzausgabe für Neuron k (k = 6,7),
Ki den Wert der Netzeingabe für Neuron i (i = 1, ..., 4).
Die Funktionen oj werden meist für alle Neuronen einheitlich gewählt. Eine
gebräuchliche - und unserer Analyse zugrunde liegende Wahl - ist die
sigmoide Funktion
o( x)
1
.
1 ex
Ein häufig verwendetes Gütekriterium zur Bestimmung von Gewichten und
Schwellenwerten ist die Minimierung der quadratischen Abweichung
zwischen gewünschter und berechneter Netzausgabe, d. h. die Minimierung
der Fehlerfunktion
f (t pk y pk ) 2 , wobei
p
k
tpk die gewünschte Ausgabe von Neuron k für das Eingabemuster p und ypk
die durch das Netz berechnete Ausgabe von Neuron k für das Eingabemuster
p bedeuten.
Im Gegensatz zur Diskriminanzanalyse wird das Minimum der
Fehlerfunktion nicht direkt, sondern schrittweise bestimmt. Aufgrund der
Differenzierbarkeit der sigmoiden Funktion ist auch die Fehlerfunktion
differenzierbar nach Gewichten und Schwellenwerten. Daher wird bei den
gängigen Simulationsprogrammen für Neuronale Netze die Suche nach dem
11
Minimum der Fehlerfunktion mit dem Gradienten-Abstiegsverfahren - dem
sog. Backpropagation-Algorithmus - durchgeführt. Dabei werden Gewichte
und Schwellenwerte nach jeder Präsentation der Eingabemuster in Richtung
des negativen Gradienten verändert, bis der Wert der Fehlerfunktion
hinreichend klein ist.
Mit der verteilten Repräsentation des Wissens in Form der
Verbindungsgewichte und des Ein/Ausgabeverhaltens der
Verarbeitungseinheiten ist häufig ein gutes Näherungsverhalten verbunden.
Dies bedeutet, dass sich brauchbare Ergebnisse auch bei ungenauen oder
unvollständigen Eingaben erzielen lassen - eine Eigenschaft, die im Hinblick
auf die Beeinflussung von Bilanzdaten durch bilanzstrategische Maßnahmen
Vorteile verspricht.
Diese positive Eigenschaften werden allerdings erkauft durch eine hohe
Anzahl von Freiheitsgraden. Für ein Netz mit 4 Eingabe-, 2 verborgenen und
2 Ausgabeneuronen müssen beispielweise 12 Gewichte und 4
Schwellenwerte berechnet werden. Im Vergleich dazu erfordert die
Diskriminanzanalyse die Bestimmung von lediglich 4 Gewichtsfaktoren.
Es ist einleuchtend, dass genügend große Netze mit vielen "verborgenen"
Neuronen und vielen Kommunikationsverbindungen in der Lage sein
werden, innerhalb der Trainingsmenge die Klassifikationsaufgabe mit
gewünschter Genauigkeit zu lösen. Theoretische Überlegungen bestätigen
dies (vgl. z. B. /HOR91/). Derartige Netze leiden jedoch häufig unter einer
mangelhaften Generalisierungsfähigkeit. Das heißt, für nicht in der
Trainingsphase präsentierte Eingabedaten lassen sich mit Hilfe der gelernten
Ein/Ausgabefunktion in der Regel keine zutreffenden Ausgaben berechnen.
Damit wird auch die häufig in der Praxis vorgefundene paradoxe Situation
verständlich, dass verbesserte Verfahren zur Bestimmung des
Fehlerminimums in der Regel zu schlechteren Ergebnissen geführt haben.
Mit sub-optimalen Netzen (bezogen auf die Lernstichprobe) lassen sich
optimale Ergebnisse bezüglich der Generalisierung erzielen (vgl. /DIE95/).
Zur Schätzung der Fehlerrate wurde aufgrund des hohen Aufwands für das
Netztraining ausschließlich das Verfahren der 5-fachen Kreuzvalidierung
verwendet, wobei als Startgewichte für das Training der 5 Netze stets die mit
Hilfe der gesamten Lernstichprobe gelernten Gewichte eingesetzt wurden.
Dieses Vorgehen trägt einer problematischen Eigenschaft des verwendeten
Lernalgorithmus zur Fehlerminimierung Rechnung: Ein Problem dieses
Algorithmus ist, dass u. U. anstelle des globalen Minimums der
Fehlerfunktion nur ein lokales Minimum gefunden wird. Das beschriebene
12
Vorgehen bei der Kreuzvalidierung stellt sicher, dass die Schätzung der
Fehlerrate nicht mit Netzen erfolgt, die andere Minima der Fehlerfunktion
repräsentieren (vgl. /MOO95/).
Als Eingabedaten wurden die von Ausreißern bereinigten winsorisierten
Kennzahlenwerte verwendet. Die Form der sigmoiden Funktion (vgl. Abb.
2) lässt erkennen, dass Änderungen der Eingabewerte mit großem Abstand
vom Schwellenwert fast keine Änderungen des Ausgabewerts hervorrufen.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-6
-4
-2
2
4
6
Abb. 3: sigmoide Funktion mit Schwellenwert : f ( x)
1
1 e ( x )
Aus diesem Grund wurden die winsorisierten Kennzahlenwerte durch eine
lineare Transformation auf Werte zwischen 0 und 1 abgebildet. Die zu
lernenden Ausgabewerte wurden auf 0.2 für die Klasse der kritischen und
0.8 für die Klasse der guten Unternehmen festgelegt.
5.2 Ergebnisse
Eine Möglichkeit zur Vermeidung unnötig großer und damit an die
Lernstichprobe "über-angepasster" Netze stellen die sog. Pruning-Verfahren
dar. Bei diesen Verfahren werden während des Trainings Gewichte oder
Neuronen nach bestimmten Kriterien eliminiert (vgl. /ZEL94/, S. 319 ff.). In
unserer Untersuchung erwies sich ein solches Vorgehen als überflüssig.
Selbst ein 3-schichtiges Neuronales Netz mit 400 Neuronen in der
verborgenen Schicht und einem Ausgabeneuron (dies entspricht 2000
Gewichten und 401 Schwellenwerten) konnte die Klassifizierungsaufgabe
nicht besser lösen als ein kleines Netz mit nur 2 Neuronen in der
verborgenen Schicht und einem Ausgabeneuron. Daher werden die
Ergebnisse nur für dieses Netz dargestellt (vgl. Tab. 6).
13
Das Netztraining wurde beendet, nachdem sich ein stabiler der Wert für die
Fehlerfunktion sowie für die Klassifikationsleistung eingestellt hatte. Dies
war nach ca. 150 000 Lernschritten der Fall.
Lernstichprobe
Alpha-Fehler
Beta-Fehler
5-fache
Kreuzvalidierung
32,08%
35,07%
30,05%
34,98%
Tabelle 6: Ergebnisse für ein feed-forward-Netz mit 2 Neuronen in einer
verborgenen Schicht und einem Ausgabeneuron.
6 Zusammenfassende Bewertung
Die Diskriminanzanalyse mit dem in 3.1 beschriebenen Kennzahlensystem
führt zu einem ähnlichen Klassifikationsergebnis wie das in einer früheren
Untersuchung (vgl. /JAC97/) verwendete Kennzahlensystem. Mit Hilfe der
nicht-linearen Untersuchungsmethode der Neuronalen Netze konnten keine
Verbesserungen erzielt werden.
Aufgrund des erheblich höheren Entwicklungsaufwands für Neuronale
Netze ist das Verfahren der Diskriminanzanalyse vorzuziehen. Die bessere
Nachvollziehbarkeit der Unternehmensklassifikation mit Hilfe einer
Diskriminanzfunktion spricht ebenfalls für diese Empfehlung. Die
Diskriminanzfunktion kommt mit 4 Gewichten und einer linearen
Verknüpfungsvorschrift aus. Im Vergleich dazu erfordert das verwendete
Neuronale Netz 10 Gewichte, 3 Schwellenwerte und eine nicht-lineare
Verknüpfungsvorschrift.
Des Weiteren lässt sich aus dem Untersuchungsergebnis folgende Hypothese
ableiten, die jedoch durch weitere Analysen mit einer umfangreicheren
Datenbasis zu verifizieren wäre:
Die vergleichsweise schlechten Ergebnisse bei der Bonitätsklassifikation
kleiner Unternehmen mit Hilfe von Bilanz- und Jahresabschlussdaten sind
weder auf das verwendete Kennzahlensystem noch auf die verwendete
Untersuchungsmethode zurückzuführen.
Es ist vielmehr zu vermuten, dass die Ergebnisse durch andere Faktoren
bestimmt werden. Nach Feststellungen der Bundesbank sinkt der Anteil der
Bankkredite an der Bilanzsumme mit zunehmender Unternehmensgröße.
14
Beträgt er bei westdeutschen Unternehmen mit einem Umsatz bis zu 10 Mio.
DM 34%, so beläuft er sich bei Firmen mit über 100 Mio. DM Umsatz auf
nur noch 7% /BUN01/. Daraus ergibt sich eine stärkere Abhängigkeit der
wirtschaftlichen Lage kleinerer Unternehmen von den Kreditentscheidungen
der Banken. Es ist offensichtlich, dass dadurch die Bonitätsklassifikation
erschwert wird. Nicht nur die unternehmerische Tätigkeit selbst, sondern
auch die Entscheidungen der kreditgebenden Banken beeinflussen die
Klassenzugehörigkeit. Ein weiterer Grund für die relativ hohe Anzahl von
Fehlklassifikationen ist sicherlich auf den begrenzten Aussagewert der
Bilanzen kleinerer Unternehmen zurückzuführen. Aus steuerlichen Gründen
oder haftungsmäßigen Aspekten verlagern vielfach die "geschäftsführenden
Unternehmer" Einkommen und Vermögen in den Privatbereich. Dies führt
zu verzerrten Werten für den Gewinn oder das Eigenkapital.
7 Literatur
/BAE96/ Baetge, J. [u.a.]: Bonitätsklassifikationen von Unternehmen mit
Neuronalen Netzen, Wirtschaftsinformatik 38. Jg. Heft 3, 1996, S. 273 - 281.
[BUN01] Deutsche Bundesbank, Pressenotiz vom 9. März 2001: Zu "Basel
II",
http://www.bundesbank.de/by/de/pressenotizen/notizen/basel140301.htm
/BUR94/ Burger, A: Zur Klassifikation von Unternehmen mit neuronalen
Netzen und Diskriminanzanalysen, Zeitschrift für Betriebswirtschaft 64. Jg.,
1994, S. 1165 - 1179.
/DIE95/ Dietterich, T.: Overfitting and Undercomputing in Machine
Learning, ACM Computing Surveys, Vol. 27, No. 3, 1995, S. 326 - 327.
/FAH96/ Fahrmeir, L., Häußler, W., Tutz, G.: Disriminanzanalyse, in:
Multivariate Statistische Verfahren, 2. überarbeitete Aufl., hrsg. von Ludwig
Fahrmeir, Alfred Hamerle und Gerhard Tutz, Walter de Gruyter, Berlin,
New York, 1996, S. 357 - 435.
/FIS36/ Fisher, R. A.: The use of multiple measurement in taxonomic
problems, Ann. Eugenics 7, 1936, S. 179 - 188.
/GLI78/ Glick, N.: Additive estimators for probabilities of correct
classification, Pattern Recognition 10, 1978, S. 211 - 222.
15
/HAU95/ Hauschildt, J., Leker, J.: Bilanzanalyse unter dem Einfluß
moderner Analyse- und Prognoseverfahren, Betriebswirtschaftliche
Forschung und Praxis 3, 1995, S. 249 - 268.
/HOR91/ Hornik, K.: Approximation capabilities of multilayer feedforward
networks, Neural Networks, Vol. 4, 1991, S. 251 - 257.
/HUB85/ Huber, P. J.: Projection Pursuit, Ann. Statist. 13, 1985, S. 435 525.
/JAC97/ Jacobs, J., Weinrich, G., Goede, K.: Der Nutzen von ScoringModellen bei der Bilanzauswertung kleiner mittelständischer Unternehmen,
BBK 15, Fach 19, 1997, S. 423 - 432
/KER94/ Kerling, M., Podding, P.: Klassifikation von Unternehmen mittels
KNN, in: Neuronale Netze in der Ökonomie: Grundlagen und
finanzwirtschaftliche Anwendungen, hrsg. von H. Rehkugler u. H. G.
Zimmermann, Vahlen, München, 1994, S. 427 - 490.
/MOO95/ Moody, J., Utans, J.: Architecture Selection Strategies for Neural
Networks: Application to Corporate Bond Rating Prediction, in: Neural
Networks in the Capital Markets, hrsg. von A.-P. Refenes, Wiley, Chichester
[u. a.], 1995, S. 277 - 300.
/ODO90/ Odom, M. D., Sharda, R.: A Neural Network Model for
Bankruptcy Prediction, IEEE, Proceedings of the International Joint
Conference on Neural Networks, San Diego, 1990, Vol. II, S. 163 - 168.
/SAC92/ Sachs, L.: Angewandte Statistik, 7. völlig neu bearb. Aufl.,
Springer, Berlin [u. a.], 1992.
/WAH75/ Wahba, G., Wold, S.: A completely automatic french curve:
Fitting spline functions by cross-validation, Communications in Statistics, 4,
1, 1975, S. 1 -17.
/ZEL94/ Zell, A.: Simulation Neuronaler Netze, Addison-Wesley, Bonn [u.
a.], 1994.
16
