Kapitel 1 - Fakultät für Mathematik

1
Vorlesung
Mathematik für Ingenieure I
(Wintersemester 2007/08)
Kapitel 1: Zahlen
Volker Kaibel
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
(Version vom 5. Oktober 2007)
2
Gliederung
Mengen
Grundlegende Zahlbereiche
Ungleichungen
Intervalle
Beträge
Summen
Kombinatorik
Die komplexen Zahlen
3
Beispiele für Mengen
I
I
I
I
I
I
I
A = {1, 2, 3} hat die Elemente 1,2 und 3
2 ∈ A ( 2 ist ein Element von A“)
”
4 6∈ A ( 4 ist kein Element von A“)
”
B = {0, 2, 4, 6, 8, . . . } ist die unendlich große
Menge aller geraden (nicht-negativen) Zahlen.
Es gilt z.B.: 1024 ∈ B
{n ∈ B | n ist teilbar durch 5} =
{0, 10, 20, 30, 40, . . . }
( Die Menge aller n in B, welche die
”
Eigenschaft haben, durch 5 teilbar zu sein.“)
sin ∈ {f Funktion | f 00 = −f }
∅: Die leere Menge (keine Elemente)
4
Teilmengen
Definition 1.1
A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element
von A auch in B enthalten ist. Schreibweisen:
A⊂B
B⊃A
A⊆B
B⊇A
Zwei Mengen A und B sind gleich (A = B), wenn
A ⊂ B und B ⊂ A gelten.
5
Mengenoperationen
Definition 1.2
Für zwei Mengen A und B definieren wir:
I A ∩ B := {x | x ∈ A und x ∈ B}
(”A geschnitten B”, ”Schnittmenge”,
”Durchschnitt”)
I A ∪ B := {x | x ∈ A oder x ∈ B}
(”Vereinigungsmenge”)
I A \ B := {x ∈ A | x ∈
/ B}
(”Differenzmenge”)
6
Illustration von Mengenoperationen
7
Operationen auf n Mengen
n
\
Ai := A1 ∩ · · · ∩ An
i=1
= {x | x ∈ Ai für alle i ∈ {1, . . . , n}}
n
[
Ai := A1 ∪ · · · ∪ An
i=1
= {x | x ∈ Ai für wenigstens ein i ∈ {1, . . . , n}}
8
Die reellen Zahlen
Definition 1.3
Eine reelle Zahl ist eine Zahl, die sich als
Dezimalbruch (mit möglicherweise unendlich vielen
Nachkommastellen) darstellen lässt.
Definition 1.4
Die Menge aller reellen Zahlen bezeichnen wir
mit R.
9
Die ganzen Zahlen
Definition 1.5
Eine ganze Zahl ist eine reelle Zahl, die sich ohne
Nachkommastelle schreiben lässt. Die Menge aller
ganzen Zahlen bezeichnen wir mit
Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
Definition 1.6
Die Menge der natürlichen Zahlen ist
N := {x ∈ Z | x ≥ 0} = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }
(DIN 5473).
10
Ansichtssache
Leopold Kronecker (1823 – 1891)
”Die natürlichen Zahlen sind vom lieben
Gott geschaffen, alles andere in der
Mathematik ist nur Menschenwerk.”
Richard Dedekind (1831 – 1916)
”Die natürlichen Zahlen sind freie
Schöpfungen des menschlichen Geistes.”
11
Die rationalen Zahlen
Definition 1.7
Die Menge der rationalen Zahlen ist
Q := {x ∈ R | Es gibt p, q ∈ Z mit q 6= 0
p
und x = }.
q
Eine reelle Zahl ist genau dann (d. h. ”dann und nur
dann”) rational, wenn sie sich als Dezimalbruch mit
endlich vielen oder mit irgendwann periodisch
werdenden Nachkommastellen schreiben lässt.
12
Rechenoperationen in den Zahlbereichen
x +y x ·y x −y
√
√
√
R √
√
√
Q √
√
√
Z √
√
N
I
I
I
x
6=
y (y √
0)
√
x(x ≥ 0)
√
√
Division durch Null wird niemals erlaubt.
Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es in den
komplexen Zahlen (später).
Bei der Multiplikation lässt man oft den Punkt
weg: xy := x · y
13
Potenzen
Definition 1.8
Für x ∈ R und n ∈ N, n ≥ 1 ist
x n := x| · x ·{z· · · · x}
n mal
die n-te Potenz von x. Ist x 6= 0, so definieren wir
weiter
1
x −n := n .
x
Insbesondere ist x −1 = x1 (für x 6= 0). Schließlich
setzen wir
x 0 := 1
.
14
Rechenregeln für Potenzen
Für alle n, m ∈ Z und x, y ∈ R gelten:
I x n x m = x n+m
I
xn
xm
I
(xy )n = x n y n
I
(x n )m = x mn
= x n−m (falls x 6= 0)
15
Ungleichheitszeichen
Definition 1.9
Für x, y ∈ R schreiben wir:
x
x
x
x
x
x
< y , falls x (echt) kleiner als y ist.
> y , falls x (echt) größer als y ist.
≤ y , falls x < y oder x = y ist.
≥ y , falls x > y oder x = y ist.
heißt positiv, falls x > 0 ist.
heißt negativ, falls x < 0 ist.
R+ := {x ∈ R | x ≥ 0}
(nicht-negative reelle Zahlen)
16
Implikation und Äquivalenz
Definition 1.10
Für zwei Aussagen A und B bedeutet A ⇒ B: Falls
A gilt, dann gilt auch B (”Aus A folgt B”,
”Implikation”)
Definition 1.11
Gilt für zwei Aussagen A und B sowohl A ⇒ B als
auch B ⇒ A, so schreiben wir A ⇐⇒ B. (”A und B
sind äquivalent”, ”A gilt genau dann, wenn B gilt”).
17
Regeln für Rechnen mit Ungleichungen. . .
x
x
x
x
<y
≤y
<y
≤y
und
und
und
und
x
x
x
x
<y
≤y
<y
≤y
und
und
und
und
<z
<z
≤z
≤z
⇒
⇒
⇒
⇒
x
x
x
x
<z
<z
<z
≤z
a<b
a<b
a≤b
a≤b
⇒
⇒
⇒
⇒
x
x
x
x
+a <y
+a <y
+a <y
+a ≤y
y
y
y
y
+b
+b
+b
+b
18
. . . Regeln für Rechnen mit Ungleichungen
x < y und a > 0 ⇒ ax < ay
x < y und a ≥ 0 ⇒ ax ≤ ay
x ≤ y und a ≥ 0 ⇒ ax ≤ ay
x < y und a < 0 ⇒ ax > ay
x < y und a ≤ 0 ⇒ ax ≥ ay
x ≤ y und a ≤ 0 ⇒ ax ≥ ay
Achtung:
Bei Multiplikation mit negativen Zahlen
kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.
19
Weitere Regeln
I
Für alle x ∈ R gilt
x2 ≥ 0 ,
falls x 6= 0 sogar
x2 > 0
I
Für x, y ≥ 0 gelten:
√
√
x ≤ y ⇒ √x ≤ y
√
x <y ⇒
x< y
20
Beschränkte Intervalle
Definition 1.12
Für a, b ∈ R mit a ≤ b definieren wir die folgenden
beschränkten Intervalle:
[a, b]
[a, b [
] a, b ]
] a, b [
:=
:=
:=
:=
{x
{x
{x
{x
∈ R|a ≤ x
∈ R|a ≤ x
∈ R|a < x
∈ R|a < x
≤ b}
< b}
≤ b}
< b}
(”kompakt”)
(”halb offen”)
(”halb offen”)
(”offen”)
Alternative Schreibweisen:
(a, b) = ] a, b [
[a, b) = [a, b [
(a, b ] = ] a, b ]
21
Beispiele für beschränkte Intervalle
22
Unbeschränkte Intervalle
Definition 1.13
Für a ∈ R definieren wir die folgenden
unbeschränkten Intervalle:
[a, ∞ [
] a, ∞ [
] − ∞, a ]
] − ∞, a [
:=
:=
:=
:=
{x
{x
{x
{x
∈ R | a ≤ x}
∈ R | a < x}
∈ R | x ≤ a}
∈ R | x < a}
(”halb offen”)
(”offen”)
(”halb offen”)
(”offen”)
Alternative Schreibweisen:
(a, ∞) = ] a, ∞ [
[a, ∞) = [a, ∞ [
...
23
Beispiele für unbeschränkte Intervalle
24
Bemerkungen
Bemerkung
Die Symbole ∞ und −∞ sind keine Zahlen. Man
darf nicht mit ihnen rechnen.
Bemerkung
Entscheidende Eigenschaft eines Intervalls I ⊆ R:
Wenn x, y ∈ I , dann gilt für alle z ∈ R mit
x ≤ z ≤ y auch z ∈ I .
25
Definition des Betrags
Definition 1.14
Für x ∈ R heißt
|x| :=
x, falls x ≥ 0
−x, falls x < 0
der Betrag (auch Absolutbetrag) von x.
26
Illustration des Betrags
27
Regeln für Beträge
I
I
I
I
I
I
I
|x| ≥ 0
|x| = Abstand von x zu 0 auf der
Zahlengeraden
|x − a| = Abstand von x zu a auf der
Zahlengeraden
|−x| = |x|
|x| = 0 ⇐⇒ x = 0
−|x| ≤ x ≤ |x|
√
x 2 = |x| (Wurzeln sind nie negativ)
28
Die Dreiecksungleichung
Satz 1.15
Für alle x, y ∈ R gilt die Dreiecksungleichung
|x + y | ≤ |x| + |y |.
Sind x1 , . . . , xn ∈ R n reelle Zahlen, so gilt
|x1 + x2 + · · · + xn | ≤ |x1 | + |x2 | + · · · + |xn |.
Außerdem gilt die umgekehrte
Dreiecksungleichung
|x| − |y | ≤ |x − y |
.
29
Das Summenzeichen
P
Definition 1.16
Seien m, n ∈ N mit m ≤ n, und xm , . . . , xn Zahlen
(oder andere mathematische Objekte, die man
addieren kann). Wir definieren
n
X
xi := xm + xm+1 + xm+2 + · · · + xn
i=m
(”i” kann auch ”k”, ”µ”, . . . sein)
n
P
Falls m > n setzen wir
xi := 0.
i=m
30
Rechenregeln für Summen
n
P
n
P
I
(xi + yi )
i=m
i=m
i=m n
n
n
n
P
P
P
P
xi = a
xi
axi =
(axi ) = a
I
i=m
n
P
I
i=m
xi +
n
P
yi =
i=m
xi
q
P
yj =
j=p
i=m
n
P
q
P
xi yj
i=m j=p
=
q P
n
P
j=p i=m
I
n
P
I
i=m
n
P
i=m
xi =
xi =
i=m
p
P
xi +
i=m
n−1
P
i=m−1
n
P
xi
xi yj =:
P
i=m,...,n
j=p,...,q
(für m ≤ p ≤ n)
i=p+1
xi+1
xi yj
(”Indexverschiebung”)
31
Die geometrische Summe
Satz 1.17
Für a ∈ R und n ∈ N gilt:
1−an+1
n
X
, falls a 6= 1
1−a
ak =
n + 1 , falls a = 1
k=0
(”geometrische Summe”)
32
Beispiel Sparplan
I
I
I
läuft n Jahre
Anfang jeden Jahres: Einzahlung von B e
Ende jeden Jahres: Erhöhung des bisher
gesparten Betrags um p%, d. h. Multiplikation
p
.
mit q = 1 + 100
Einzahlung B aus Jahr 1 wächst an auf: q n · B e
Einzahlung B aus Jahr 2 wächst an auf: q n−1 · B e
..
.
Einzahlung B aus Jahr n wächst an auf: q · B e
Insgesamt erhält man nach
n Jahren:
n
B · q · 1−q
1−q e (falls p > 0)
33
Arithmetische Summe
Satz 1.18
Für alle n ∈ N, n ≥ 1 gilt:
n
X
i=1
n(n + 1)
i=
2
(”arithmetische Summe”)
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
(in der Dorfschule):
100
P
i = (1 + 100) + (2 + 99) + · · · + (50 + 51)
i=1
= 50 · 101 = 5050
34
Die Türme von Hanoi
Bemerkung
Man kann durch sukzessives Bewegen je einer
Scheibe den Stapel auf eine andere Stange bringen,
ohne eine größere auf eine kleinere Scheibe zu legen.
35
Das Produktzeichen
Q
Definition 1.19
Seien m, n ∈ N, m ≤ n. Für n − m + 1 Zahlen
xm , . . . , xn definieren wir
n
Y
xi := xm · xm+1 · · · · · xn
i=m
und für m > n:
n
Y
xi := 1
i=m
36
Fakultät
Definition 1.20
Für n ∈ N bezeichnen wir mit n! ( ”n Fakultät” )
die Anzahl der möglichen Reihenfolgen (
”Permutationen” ) von n Objekten.
Satz 1.21
Für alle n ∈ N gilt
n! =
n
Y
i = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 3 · 2 · 1
i=1
Isbsondere: 0! = 1
37
Binomialkoeffizienten
Definition 1.22
n
k
Für n, k ∈ N bezeichnen wir mit
(”Binomialkoeffizient n über k” ) die Anzahl der
k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen
Menge.
Satz 1.23
Für alle n, k ∈ N mit k ≤ n gilt:
n
n!
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
=
=
k
k!(n − k)
k!
38
Gleichungen für Binomialkoeffizienten
Satz 1.24
Für n, k ∈ N mit n, k ≥ 1 gilt:
n
n−1
n−1
=
+
k
k −1
k
Satz 1.25
Für n, k ∈ N gilt:
n
n
=
k
n−k
39
Das Pascalsche Dreieck
(Blaise Pascal, 1623-1662)
40
Der Binomische Satz
Satz 1.26
Für n ∈ N und a, b ∈ R gilt:
n X
n k n−k
n
(a + b) =
a b
k
k=0
(” binomischer Satz ”)
41
Definition
Definition 1.27
Die Menge der komplexen Zahlen ist
C := {x + y · i | x, y ∈ R}.
Dabei ist ”i” ein Symbol mit i 2 = −1. Es gilt
R = {x + 0 · i | x ∈ R} ⊂ C.
Die Menge der imaginären Zahlen ist
C \ R = {x + yi | x, y ∈ R, y 6= 0}.
42
Bemerkungen
Bemerkung
Wichtig: In C gibt es keine Ordnungsrelation ”<”.
Bemerkung
In C rechnet man wie von R gewohnt (insbesondere
sind Addition und Multiplikation kommutativ) und
ersetzt wann immer möglich i 2 durch −1.
I (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i
I (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i
I (x1 + y1 i) · (x2 + y2 i)
= (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + y1 x2 )i
43
Real- und Imaginärteil
Definition 1.28
Für z ∈ C mit z = x + yi (x, y ∈ R) ist
Re(z) := x ∈ R
der Realteil und
Im(z) := y ∈ R
der Imaginärteil von z.
Für z, z 0 ∈ C gilt:
z = z 0 ⇐⇒ (Re(z) = Re(z 0 ) und Im(z) = Im(z 0 ))
44
Die Gaußsche Zahlenebene
45
Addition in der Gaußschen Zahlenebene
46
Konjugierte und Absolutbetrag
Definition 1.29
Für z = x + yi ∈ C (x, y ∈ R) ist
z := x − yi
die komplex konjugierte Zahl zu z und
p
|z| := x 2 + y 2
ist der (Absolut)-Betrag von z.
I
I
z ist die Spiegelung von z an der reellen Achse.
|z| ist der (Euklidische) Abstand von z zu 0.
47
Rechenregeln für komplexe Zahlen. . .
I
Re(z) = Re(z), Im(z) = − Im(z)
I
Re(z) =
I
(z) = z
I
z1 + z2 = z 1 + z 2
I
z1 z2 = z 1 z 2
1
2
(z + z) , Im(z) =
1
2i
(z − z)
48
. . . Rechenregeln für komplexe Zahlen
I
I
I
I
zz = Re(z)2 + Im(z)2
√
|z| = zz = |z|
1
z
=
1
z
z
|z|2
=
1
z
I
|z, z2 | = |z1 | · |z2 |
I
| zz12 | =
|z1 |
|z2 |
49
Die Dreiecksungleichung
Satz 1.30
Für alle z1 , z2 ∈ C gilt die Dreiecksungleichung
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
50
Winkel und Betrag
51
Bogenmaß eines Winkels
Definition 1.31
Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des von
ihm aus der Einheitskreislinie ausgeschnittenen
Segments. Es liegt im Intervall [0, 2π].
52
Bogenmaß und Gradmaß
Bogenmaß Gradmaß
0
0◦
π
4
π
2
45◦
π
180◦
3π
2
270◦
2π
360◦
90◦
53
Polarkoordinaten komplexer Zahlen
Definition 1.32
Sei z ∈ C \ {0} eine komplexe Zahl und sei
Φ ∈ [0, 2π [ der Winkel, den die Verbindungsstrecke
von 0 zu 1 gegen den Uhrzeigersinn mit der
Verbindungsstrecke von 0 zu z einschließt. Dann
sind (r , Φ) ∈ R+ × [0, 2π[ mit r = |z|, Φ = arg(z)
die Polarkoordinaten von z. Das Argument von z
ist
arg(z) := Φ.
z = |z| cos(arg(z)) + i sin(arg(z))
54
Periodizität von sin(t) und cos(t)
Graph von sin(t):
1
0.5
-10
-5
5
10
5
10
-0.5
-1
Graph von cos(t):
1
0.5
-10
-5
-0.5
-1
55
Berechnung der Polarkoordinaten
Sei z = x + yi ∈ C (mit x, y ∈ R). Dann gilt für die
Polarkoordinaten (r , Φ) von z:
p
r = |z| = x 2 + y 2 ∈ [0, ∞[
Φ = arg(z) ∈ [0, 2π[
mit
tan(Φ) =
y
x
56
Der Tangens
tan(t) =
sin(t)
cos(t)
für t 6∈ { π2 + kπ | k ∈ Z}
57
Graph der Tangensfunktion
20
10
-10
-5
5
10
-10
-20
58
Die Arcustangensfunktion
Für q ∈ R ist
arctan(q) ∈] − π2 , π2 [
die Zahl t ∈] − π2 , π2 [ mit tan(t) = q.
1.5
1
0.5
-10
-5
5
-0.5
-1
-1.5
10
59
Arcussinus und -cosinus von q ∈ [−1, 1]
arcsin(q) ∈ [− π2 , π2 ] mit sin(arcsin(q)) = q
arccos(q) ∈ [0, π] mit cos(arccos(q)) = q
1.5
3
1
2.5
0.5
2
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-0.5
1
-1
0.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
60
Formeln für arg(z)
I
Falls x, y ≥ 0:
arg(z) = arctan yx ∈ [0, π2 ]
I
Falls x ≤ 0:
arg(z) = arctan yx + π ∈ [ π2 , 3π
2 ]
I
Falls x ≥ 0, y < 0:
arg(z) = arctan yx + 2π ∈ [ 3π
2 , 2π[
61
Multiplikation in Polarkoordinaten
Bemerkung
Bei der Multiplikation komplexer Zahlen
multipliziert man die Beträge und addiert die
Argumente (anschließend Subtraktion von 2π, falls
Summe größer oder gleich 2π).
Geometrische Interpretation der Multiplikation
mit z ∈ C:
I Rotation gegen den Uhrzeigersinn um arg(z)
und
I Streckung bzw. Stauchung um den Faktor |z|
62
Division in Polarkoordinaten
Bemerkung
Bei der Division komplexer Zahlen teilt man den
Betrag des Zählers durch den Betrag des Nenners
und subtrahiert das Argument des Nenners vom
Argument des Zählers (anschließend Addition von
2π, falls Differenz kleiner als 0).
Geometrische Interpretation der Division durch
z ∈ C \ {0}:
I Rotation um arg(z) im Uhrzeigersinn und
1
I Streckung bzw. Stauchung um Faktor
|z|
63
Beispiel
Geometrische Interpretation von
I
I
√
64
z
√
arg( z) = 12 arg(z) (halber Winkel)
p
√
| z| = |z| (Wurzel aus Abstand zu 0)
65
Die Euler-Identität
Definition 1.33
Für z = x + yi (x, y ∈ R) definieren wir
ez := ex (cos(y ) + sin(y ) · i)
(ex ist dabei die reelle Exponentialfunktion).
70
60
50
40
30
20
10
-4
-2
2
4
66
Geometrische Interpretation
eyi = e0+yi = e0 (cos(y ) + sin(y ) · i)
= cos(y ) + sin(y ) · i
ist also die komplexe Zahl, zu der man in der
Gaußschen Ebene kommt, wenn man von 1 startend
auf der Einheitskreislinie |y | Einheiten gegen die Uhr
(falls y ≥ 0) bzw. mit der Uhr (falls y < 0) läuft.
67
Beispiele
68
Rechenregeln
Für alle z1 , z2 ∈ C:
I ez1 ez2 = ez1 +z2
I Insbesondere: ex+yi = ex eyi
I Außerdem: z = |z| earg(z)i
I Für m ∈ Z gilt
I
I
I
e 2πmi = 1
(e yi )m = e myi
Also für alle n ∈ N:
2kπ n
e n i = 1 ( für alle k ∈ Z)
69
Die n-ten Einheitswurzeln
Definition 1.34
Für n ∈ N, n ≥ 2 heißen die n komplexen Zahlen
e
2kπ
n
i
(k = 0, 1, . . . , n − 1)
die n-ten Einheitswurzeln.
Bemerkung
Die Gleichung z n = 1 hat in C genau die n-ten
Einheitswurzeln als Lösungen.
70
Die dritten Einheitswurzeln
71
Die achten Einheitswurzeln