Projekt 2 – Gruppe 9

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Gruppe 9 – Stückweise konstantes Potential - Streulösung
Wir betrachten ein stückweise konstantes Potential V x in einem Energiebereich V0 < E.
Dieses sei gegeben durch:
V x  

0
V0
für
für
für
  x  0
0 xL
L  x  
E
Dieses Problem setzt sich aus drei
einzelnen,
stückweise
konstanten
Potentialen zusammen. Das erste
Potential sei unendlich groß, das zweite
Potential sei null, das dritte Potential sei
konstant V0. Dies führt zu Rand- und
Übergangsbedingungen, die wir in der
Folge auch betrachten müssen:
V0
0
0
L
Im Bereich    x  0 muss, da das Potential unendlich groß ist, die Wellenfunktion
verschwinden. Somit gilt:
 1 x   0
für
x   ,0
Im zweiten Bereich 0  x  L ist das Potential gleich null, d.h. es gilt die stationäre
Schrödingergleichung der Form:

2 d 2

 2 x   E 2 x 
2m dx 2
Dies ist nichts anderes als eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung, eine
Schwingungsgleichung. Wir erhalten mit einer kleinen Substitution eine äquivalente
Schwingungsgleichung, die wir lösen:
q2 
2mE
2

d2
 2 x   q 2 2 x   0
2
dx
Wir erhalten somit für diesen zweiten Bereich ein Fundamentalsystem bestehend aus Sinus
und Kosinus.

Fundamentalsystem : sin qx , cosqx  bzw. e iqx , e iqx

mit
q
2mE
2
Die Allgemeine Lösung ist somit eine Linearkombination dieser Funktionen mit zwei
unbestimmten Koeffizienten A1, A2:
 2 x  A1  e iqx  A2  e iqx
für
x  0, L
2
Analog dazu verfahren wir im auch im dritten Bereich L  x   . Wir erhalten wieder eine
stationäre Schrödingergleichung der Form:
 2 d 2

 
 2  V0  3 x   E 3 x 
 2m dx

Wir führen auch hier wieder eine Substitution durch und erhalten abermals eine gewöhnliche
Schwingungsgleichung:
r2 
2mE  V0 
2
d2
 2 x   r 2 2 x   0
2
dx

Da in diesem Fall V0 < E gilt, liefert auch diese Differentialgleichung ein Fundamentalsystem
bestehend aus Sinus und Kosinus. Würden wir den Energiebereich betrachten, für den E < V0
gilt, so würde das Fundamentalsystem aus Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
bestehen.

Fundamentalsystem : sin rx , cosrx  bzw. e irx , e irx

mit
r
2mE  V0 
2
Mit den zwei unbestimmten Koeffizienten B1, B2 lautet somit die allgemeine Lösung für den
dritten Bereich:
 3 x   B1  e irx  B2  e irx
für
x  L,
Unsere allgemeine Lösung für das ganze Problem besteht also aus drei einzelnen Lösungen
für jeden Bereich:
 x  
0
A1  e
iqx
 A2  e
 iqx
B1  e irx  B2  e irx
für
  x  0
für
0 xL
für
L  x  
Nun muss aber noch beachtet werden, dass es für dieses Problem gewisse Rand- und
Übergangsbedingungen gegeben gibt, aus denen die unbestimmten Koeffizienten bestimmt
werden können. Die einzige Randbedingung ist die, dass die Wellenfunktion an der Stelle
x  0 verschwinden muss. Die Übergangsbedingungen für dieses Problem ist die, dass die
Wellenfunktion und die Ableitung der Wellenfunktion am Übergang von Bereich 2 zu
Bereich 3 stetig sein muss. Mithilfe dieser Bedingungen drücken wir die Konstanten A1, A2,
B1 durch B2 aus. Dies entspricht einer aus dem Unendlichen einlaufenden Welle mit der
Amplitude B2, die an der Potentialwand reflektiert wird und wieder ins Unendliche
zurückläuft.
 0   0
A1  A2  0

A2   A1
Dabei haben wir hier die Randbedingung verwendet. Im Weiteren verwenden wir nun die
Übergangsbedingungen um zunächst B1 und dann A1 auszudrücken:
3
I:
lim  2 L     lim  3 L   
II :
lim  `2 L     lim  `3 L   
I:
A1  e iqL  e iqL  B1  e irL  B2  e irL
II :
iqA1  e iqL  e iqL  ir  B1  e irL  B2  e irL
 0
 0
 0
 0






Indem wir die erste Gleichung durch die zweite Gleichung dividieren und nach B1 auflösen,
erhalten wir:
B1  e irL  B2  e irL
e iqL  e iqL

q  e iqL  e iqL
r  B1  e irL  B2  e irL



r  2i sin qL  B1  e  B2  e

q  2 cosqL  B1  e irL  B2  e irL
irL
irL


B1  B2 
c  1  2irL
e
c 1
mit
r
c  i  tan qL 
q
Indem wir das eben berechnete Ergebnis in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir
schließlich auch einen Ausdruck für A1:
 c  1  irL
A1  e iqL  e iqL  B2  
 1  e
 c 1 
 2c  irL
2iA1  sin qL   B2  

e
 c 1


A1  B2 
ic
 e irL
sin qL   1  c 
Mithilfe der Übergangsbedingungen war es uns nun also auch möglich, die Konstante A1
durch B2 auszudrücken. Wir erhalten nun schließlich die Wellenfunktion:

 x  

ic
 e irL  e iqx  e iqx
sin qL   1  c 
 c  1  2irL irx

B2  
e
 e  e irx 
 c 1

B2 
mit: q 
2mE
, r
2

für
  x  0
für
0 xL
für
L  x  
2mE  V0 
q
E
, c  i  tan qL   i
 tan qL 
2
r
E  V0

Hierbei haben wir die Wellenfunktion so bestimmt, dass durch die Amplitude der einfallenden
Welle die übrigen Koeffizienten ausgedrückt werden. Da es sich bei diesem Problem um ein
Streuproblem handelt, kann man, wenn man nur eine ebene Welle (wie wir hier) betrachtet,
diesen letzten Koeffizienten B2 nicht normieren. Der Einfachheit halber würde man deshalb
bei der Betrachtung einer ebenen Welle diesen Faktor 1 setzen. Andererseits könnte man nun
durch Superposition mehrerer ebener Wellen ein Gauß’sches Wellenpaket konstruieren,
welches dann in der Folge normierbar würde.
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