Kapitel 7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie Ausgearbeitet von Rolf Horn und Bernhard Schmitz 7.1 Einleitung Um die Hamilton’schen Bewegungsgleichungen q̇k ṗk ∂H(q, p) ∂pk ∂H(p, q) = − ∂qk = zu vereinfachen, führten wir die kanonischen Transformationen ein. Durch diese wurden die alten Orte und Impulse durch neue Orte und neue Impulse ausgedrückt, derart dass pk = pk (α, β) und qk = qk (α, β) und H(p, q) → H(p(α, β), q(α, β)) → H̄(α, β) ∂H(α, β) − = α̇k und ∂βk ∂H(α, β) = β̇k ∂αk mit Ziel dieses Kapitels ist es, zu der alten Hamiltonfunktion, die von den alten Orten und alten Impulsen abhängt, eine erzeugende Funktion S(q, α) zu konstruieren, die sie in eine neue Hamiltonfunktion, die nur noch von den neuen Impulsen abhängen soll, kanonisch transformiert, d.h. H(p(α, β), q(α, β)) = H̄(α) 7.2 Die Hamilton-Jacobi-Theorie für nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion Für dieses H̄(α) muss dann gelten ∂H(α) ∂βk ∂H(α) β̇k = ∂αk ⇒ βk α̇k = − wobei δk = 0 ⇒ αk = const. = const. = γk = γk t + δk = const. 117 nur Fkt. von αi Finden wir also die erzeugende Funktion S(q, α), die H(p, q) auf H̄(α) transformiert, so sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung; die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit (“kräftefreie“ Bewegung). Wir suchen nun die erzeugende Funktion S(q, α). Aus dem vorherigen Kapitel wissen wir, dass für S(q, α) [zeitunabhängig] gelten muss: pk = βk = ∂S(q, α) ∂qk ∂S(q, α) ∂αk Einsetzen führt dann zu H(p, q) ⇒ H ∂S(q, α) ∂qk , qk = H̄(αk ) = E(αk ) Dies ist die Hamilton-Jacobi-(Differential)Gleichung für den zeitunabhängigen Fall. Aus dieser Differentialgleichung lässt sich dann S(q, α) bestimmen. Die physikalische Bedeutung von S: Wir bilden die totale Ableitung von der Zeit von S. Es ist d S(q, α) dt = s n X ∂S ∂qk k=1 = (und wegen α̇k = 0) = = = X q̇k + o ∂S α̇k ∂αk (pk q̇k + βk α̇k ) k=1 s X pk q̇k k=1 s X ∂T q̇k = 2T ∂ q̇k k=1 s X k=1 ∂L q̇k ∂ q̇k Integration über die Zeit liefert dann S= Z t2 2T dt = W t1 Es ist also S(q, α) identisch mit dem Wirkungsintegral. 7.3 Die Hamilton-Jacobi-Theorie für explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion Es gilt E = H(p, q, t) Sei p0 q0 ≡ −E ≡ t Wir definieren nun 118 κ = H(pk , qk , q0 ) + p0 = 0 In diesem Fall suchen wir nun eine erzeugende Funktion S, die auch von den Koordinaten mit dem Index 0 abhängt. S(qk>0 , αk>0 , p0 , α0 ) ⇒ S(qk , αk ) (k = 0, 1, . . . , s) Wegen ∂S(q, α) = pk ∂qk (k = 0, 1, . . . , s) und Einsetzen in κ folgt ∂S(q, α) , qk>0 , q0 + ∂qk>0 ∂q0 ∂S(q, α) ∂S(q, α) H , qk>0 , t + ∂qk>0 ∂t H ∂S(q, α) = 0 = 0 oder Dies ist die Hamilton-Jacobi-(Differential)Gleichung für den zeitabhängigen Fall. Die physikalische Bedeutung von S(qk>0 , αk>0 , t, α0 ): Hierzu bilden wir das totale Differential von S nach der Zeit. Es ist d S(q, α) = dt (wegen α̇k = 0) = s X ∂S(q, α) k=0 s X k=0 = = ∂αk ∂qk pk q̇k + k=1 = (wegen p0 = −E = −H) = (wegen H = T + U ) = = ∂S(q, α) q̇k ∂qk ∂S(q, α) q̇k ∂qk s X ∂S(q, α) k=1 s X α̇k + q̇k + ∂S(q, α) ∂q0 ∂q0 ∂q0 ∂S(q, α) ∂t 2T + p0 2T − H 2T − T − U T −U =L Es ist also die totale Ableitung von S(qk>0 , αk>0 , t, α0 ) identisch mit der Lagrange-Funktion. Integration über die Zeit liefert dann die Wirkung S: S= Z t2 L(q, q̇)dt t1 7.4 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung als Grenzfall der Schrödingergleichung in der Quantenmechanik Für ein Teilchen im Raum mit der potentiellen Energie U (q) und dem Impuls p lautet die Hamiltonfunktion wegen E = H H(p, q) = p2 + U (q) 2m 119 In der Quantenmechanik geht in Cartesischen Koordinaten der generalisierte Impuls p über in ~ ∂ i ∂q Einsetzen in H(p, q) führt zu " − ~2 ∂ 2 + U (q)|ψ(q) = Eψ(q) 2m ∂q 2 (7.1) Dies ist eine Differentialgleichung zur Bestimmung von ψ(q). Substitution ψ = eiS/~ (S von q abhängig)! Es ist ∂ 2 is/~ e ∂q 2 = = ∂ i ∂S iS/~ e ∂q ~ ∂q 1 ∂S 2 iS/~ i ∂ 2 S iS/~ e − 2 e 2 ~ ∂q ~ ∂q Einsetzen in (7.1) und Division durch eiS/~ führt dann zu 1 ∂S 2 i~ ∂ 2 S − + U (q) = E 2m ∂q 2m ∂q 2 (7.2) Führt man nun den Grenzübergang zur klassischen Physik durch (~ → 0), so geht (7.2) in 1 ∂S 2 + U (q) = E 2m ∂q die Hamilton-Jacobi-(Differential)Gleichung über. Der Grenzübergang klassische Mechanik zur Quantenmechanik geht nicht, da die klassische Mechanik zwar ein Grenzfall der Quantenmechanik ist (~ → 0), aber nicht umgekehrt! 7.5 Beispiele zur Hamilton-Jacobi-Theorie (zeitunabhängig) a) Der 1-dimensionale harmonische Oszillator: Zunächst diskutieren wir den 1-dimensionalen Fall mit beliebigem Potential U (q). Somit gilt für die Hamiltonfunktion H(p, q) = p2 + U (q) 2m und damit lautet die Hamilton-Jacobigleichung 1 ∂S(q, α) 2 + U (q) = E 2m ∂q Beim 1-dimensionalen Oszillator ist E die einzige Konstante der Bewegung. Da α (der neue Impuls) ebenfalls Konstante der Bewegung sein muss, setzen wir α≡E (Beim zeitunabhängigen Fall lässt isch immer ein αk gleich E setzen.) Somit erhalten wir 120 ∂S(q, α) 2 ∂q + 2mU (q) = ⇒ (7.2) Da β = ∂S(q,α) ∂α 2mα Z qp 2m(α − U (q̃))dq̃ S(q, α) = q0 folgt hieraus (7.2) Z β= q q0 m p dq̃ 2m(α − U (q̃)) Wegen der Hamilton’schen Bewegungsgleichungen ist aber auch β̇ ⇒ β ∂ H̄(α) ∂E ∂α = = =1 ∂α ∂α ∂α = t − t0 = (7.3) Unser Ziel ist es nun, die neuen Koordinaten in die alten Koordinaten zurück zu transformieren, damit wir die Bewegung in p(t) und q(t) darstellen können. ∂S(q, α) ∂q p p (wegen 1) = 2m(α − U (q)) = 2m(E − U (q)) p(t) = Aus (7.2) und (7.3) folgt t − t0 = q Z q0 m p dq̃ 2m(E − u(q̃)) (7.4) (7.5) Um diesen Ausdruck näher zu bestimmen, gehen wir nun zu dem speziellen Fall des harmonischen Oszillators mit U (q) = 21 αq 2 über und erhalten aus (7.4) (7.5) Ausführung des Integrals führt zu r 1 2m(E − αq 2 ) und aus 2 Z q m q t − t0 = dq̃ q0 2m(E − 21 αq̃ 2 ) p(t) = t − t0 = r m arc sin a r a q 2E und somit q(t) = r 2E sin a r a (t − t0 ) m und damit √ p(t) = 2mE cos r a (t − t0 ) m Dies ist die wohlbekannte Lösung des harmonischen Oszillators. 121 b) Der 3-dimensionale anisotrope harmonische Oszillator Hier ergibt sich die Hamilton-Funktion zu H(p, q) = mit pi 3 2 X pi ai + qi2 2m 2 i=1 = ∂S(q, α) ∂qi führt dies zur Hamilton-Jacobi-Gleichung ) ( 3 ∂S 2 X 2 + mai qi = 2mE(αi ) ∂qi i=1 Um diese Differentialgleichung zu lösen, machen wir folgenden Separationssatz S(q1 , q2 , q3 , α1 , α2 , α3 ) = S1 (q1 , α) + S2 (q2 , α) + S3 (q3 , α) Einsetzen in die Hamilton-Jacobi-Gleichung führt dann zu " 3 ∂S (q , α) 2 i X i i + mαi qi2 = 2mE(αi ) ∂qi i=1 Da die Funktionen Si (qi ) von verschiedenen Variablen abhängen, müssen die einzelnen Summanden konstant sein: ∂S (q , α) i i + mαi qi2 ∂qi Setze daher ∂Si (qi , α) + mαi qi2 ∂qi mit E = 2mαi = 3 X αi i=1 Damit erhalten wir drei unabhängige lineare Oszillatoren und wegen Beispiel (a) somit die Lösungen: qi (t) = pi (t) = (i = r 2αi sin ai r ai (t − t0 ) m r √ ai 2mαi cos (t − t0 ) m 1, 2, 3) c) Teilchen im homogenen Schwerefeld: Gegeben: homogenes Schwerefeld in negativer z-Richtung mit 122 x y z px p = py pz = = Für die Hamiltonfunktion ergibt sich H= x0 y0 z0 px 0 py 0 pz0 für t = t0 und für t = t0 p2x + p2y + p2z + mgz 2m wegen px = ∂S(x, y, z, α1 , α2 , α3 ) ∂x (für py , pz analog) ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung zu ∂S 2 ∂x + ∂S 2 ∂y + ∂S 2 ∂z + 2m2 gz = 2mE(α) Diese Differentialgleichung versuchen wir wieder durch einen Separationssatz zu lösen. Es sei S = S1 (x) + S2 (y) + S3 (z) so folgt ∂S 2 1 ∂x + ∂S 2 2 ∂y + ∂S 2 3 ∂z + 2m2 gz = 2mE(α) (7.6) Da wir wissen, dass die Impulse in x-Richtung und y-Richtung und die Energie Konstanten der Bewegung sind, setzen wir ∂S1 = α1 ≡ px = px0 ∂x (7.7) ∂S2 = α2 ≡ py = py0 ∂y (7.8) und E ≡ α3 , damit aus (7.6) ∂S3 =± ∂z aus (7.7) folgt aus (7.8) folgt aus (7.9) folgt q 2m(α3 − mgz) − α21 − α22 Si (x) = S2 (y) = S3 (z) = Z x x Z 0y y Z 0z z0 123 α1 dx̃ = α1 (x − x0 ) α2 dỹ = α2 (y − y0 ) q 2m(α3 − mg z̃) − α21 − α22 dz̃ (7.9) Hiermit bestimmen wir die βi : β1 = β2 = β3 = −1/2 Z z 3 X ∂Si dz̃ α1 2m(α3 − mg z̃) − α21 − α22 = (x − x0 ) ∓ ∂α1 z0 i=1 −1/2 Z z 3 X ∂Si 2 2 α2 2m(α3 − mg z̃) − α1 − α2 = (y − y0 ) ∓ dz̃ ∂α2 z0 i=1 −1/2 Z z 3 X ∂Si 2 2 2m(α3 − mg z̃) − α1 − α2 = ±m dz̃ ∂α3 z0 i=1 (7.10) (7.11) (7.12) Aus den Hamilton’schen Bewegungsgleichungen gewinnen wir β̇3 = ⇒ β3 = β̇2 = ⇒ β2 = β̇1 = ⇒ β1 = ∂ H̄(α) ∂E ∂α3 = = =1 ∂α3 ∂α3 ∂α3 t − t0 (7.13) ∂ H̄(α) ∂E ∂α3 = = =0 ∂α2 ∂α2 ∂α2 const. (7.14) ∂ H̄(α) ∂E ∂α3 = = =0 ∂α1 ∂α1 ∂α1 const. (7.15) Aus (7.13) und (7.14) und (7.15) erkennt man, dass β1 = β2 = α1 β3 m α2 (y − y0 ) − β3 m (x − x0 ) − und Mit den Anfangsbedingungen und β3 = t − t0 folgt β1 = β2 = 0 und somit x − x0 = y − y0 = α1 (t − t0 ) m α2 (t − t0 ) m und Aus (7.15) und β3 = t − t0 folgt aber t − t0 = = ±m ∓ Z z z0 2m(α3 − mg z̃) − α21 − α22 −1/2 dz̃ −1/2 1 z 2m(α3 − mg z̃) − α21 − α22 mg z0 Multiplikation mit mg, Einsetzen der Grenzen, Ausdruck mit unterer Grenze z0 auf linke Seite und Quadratur der so gewonnen Gleichung ergibt: 124 m2 g 2 (t − t0 )2 q 2mg(t − t0 ) 2m(α3 − mgz0 ) − α21 − α22 ∓ 2m(α3 − mgz0 ) − α21 − α22 2mα3 − 2m2 gz − α21 − α22 q 2mg · (t − t0 ) 2m(α3 − mgz0 ) − α21 − α22 − 2m2 gz0 + = ⇒ m2 g 2 (t − t0 )2 ∓ −2m2 gz = Daraus ergibt sich dann 1 t − t0 z − z0 = − g(t − t0 )2 ± 2 m q 2m(α3 − mgz0 ) − α21 − α22 wobei α3 − mgz0 = E − U0 = T0 Wir betrachten nun den Wurzelausdruck: √ q 2mT0 − α21 − α22 : wegen α21 = p2x = p2x0 und α22 = p2y = p2y0 und T0 ist √ = p2y p2 p2x0 + 0 + z0 2m 2m 2m " #1/2 p2 p2y0 p2z0 x0 2 2 = 2m − px 0 − py 0 + + 2m 2m 2m = = (p2x0 + p2y0 + p2z0 − p2z0 − p2y0 )1/2 = (p2z0 )1/2 = |pz0 | Die tabellarische Übersicht der gewonnen Ergebnisse z − z0 = x − x0 = y − y0 = px py = = 1 − g(t − t0 )2 + pz0 /m(t − t0 ) 2 pz (t − t0 ) m py (t − t0 ) m α1 = const. α2 = const. zeigt, dass das die Bewegung einer Wurfparabel ist. d) Teilchen unter Einfluss einer konservativen zentralen Kraft: Zur Aufstellung der Hamiltonfunktion in Polarkoordinaten benötigt man die Impulse. Man erhält sie aus der Lagrangefunktion L(q, q̇) = = T −U 1 m(ṙ2 + r2 ϑ̇2 + r2 sin2 ϑϕ̇2 ) − U (r) 2 125 damit folgt für die generalisierten Impulse pr = pϑ = pϕ = ∂L = mṙ ∂ ṙ ∂L 2 r ϑ̇ ∂ ϑ̇ m ∂L = mr2 sin2 ϑϕ̇ = Jz ∂ ϕ̇ Für die Hamiltonfunktion ergibt sich somit H= p2ϕ p2 p2r + ϑ2 + + U (r) 2m 2mr 2m sin2 ϑr2 Da es sich um ein Zentralpotential handelt, ist das Problem eben. Wir legen die x-, y-Ebene in diese Bewegungsebene, d.h. π 2 ϑ̇ = 0 ϑ = Daraus folgt für die Hamiltonfunktion H= p2ϕ p2r + + U (r) = E 2m 2mr2 Dies führt dann zur Hamilton-Jacobi-Gleichung 2mE = h ∂S(r, ϕ, α , α ) i2 1 h ∂S(r, ϕ, α1 , α2 ) i2 1 2 + 2 + 2mU (r) ∂r r ∂ϕ Wir machen wiederum einen Separationssatz: S = 2mE = S2 (ϕ) + S1 (r) und es folgt h ∂S (r, α , α ) i2 1 h ∂S2 (ϕ, α1 , α2 ) i2 1 1 2 + 2 + 2mU (r) ∂r r ∂ϕ Konstanten der Bewegung sind hier die Energie E und der Drehimpuls in z-Richtung Jz = pϕ . Wir setzen daher α1 α2 ≡ ≡ E Jz = pϕ Es ist aber: ∂S2 = α2 ⇒ S2 (ϕ) = α2 ϕ ∂ϕ (mit der Anfangsbedingung ϕ0 = 0) Daraus folgt dann 126 2mα1 = ∂S1 ∂r = S1 = h ∂S i2 1 r∂r + α22 1 + 2mU (r) r2 α2 2mα1 − 22 − 2mU (r) r Z τr α2 2m(α1 + U (r̃)) − 22 dr̃ r τ0 Bestimmung von β2 : ∂(S1 + S2 ) β2 = =ϕ+ ∂α2 Z τ τ0 r̃2 −α2 p dr̃ 2m(α1 − U (r̃) − α22 /r2 Zur Berechnung spezialisieren wir nun auf das spezielle Gravitationspotential U (r) = − γr . Es folgt dann durch Substitution r1 = µ β2 = ϕ + α2 Z µ µ0 Ausführung des Integrals führt zu ϕ − β2 − mit µ = 1 r dµ p 2m(α1 + γµ) − α22 µ2 n µ − mγ/Jz2 o π = arc sin − q 2 1 m γ 2 + 2mE Jz4 Jz2 folgt r(ϕ) mit: εi Jz2 /mγ 1 + ε cos(ϕ − β2 ) s 2EJz = 1+ mγ 2 = Dies ist die bekannte Lösung des Problems: ein Kegelschnitt! 127