Loesung11

Übungen zur Mechanik
Blatt 11 T1p: Mechanik, Kurs 17062
Professor: H. Ruhl
Übungen: A. Pons Domenech, N. Moschüring, N. Elkina, C. Klier, F.Deutschmann, P. Böhl
08.07.2015
Aufgabe 1:
(Ableitung der Erzeugenden aus der Hamiltonfunktion). Berechnen sie die Erzeugende der Translation. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
• Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion eines kräftefreien Teilchens der Masse m:
H=
p~2
.
2m
• Leiten Sie die Bewegungsleichung für ~x(~
p, t) her und lösen Sie diese:
p~
∂H
=
~x˙ =
∂~
p
m
Integration nach t
⇒
~x =
p~
t + p~0 .
m
• Finden Sie ein F (~
p, P~ , t), sodass
~x(~
p) = −
−
∂F
p~
= ~x =
t + p~0
∂~
p
m
∂F
∂~
p
Integration nach p
~
⇒
F =
p~ 2
t + p~0 p~ + const .
2m
• Berechnen Sie die transformierte Hamiltonfunktion mit Hilfe der berechneten Erzeugenden F :
2
2
~ P~ ) = H(~x, p~) − ∂F = p~ − p~ = 0 .
K(X,
∂t
2m 2m
• Zeigen Sie, dass das Teilchen in diesen neuen Koordinaten ruht und somit, dass hier eine
Translation mit der Geschwindigkeit ~x˙ erzeugt wurde:
~˙ = ∂K = 0
X
∂ P~
Integration nach t
⇒
~ = const .
X
Aufgabe 2:
(Lösung des harmonischen Oszillators mit Hilfe einer Erzeugenden Funktion). Gegeben sei die Hamiltonfunktion eines harmonischen Oszillators
p2
D
+ x2
2m
2
H(x, p) =
und die Erzeugende
√
Dm 2
x cot X .
2
Lösen Sie das Problem des Harmonischen Oszillators mit Hilfe letzterer. Dabei gehen Sie wie folgt
vor:
F (x, X) =
• Bestimmen Sie x2 und p2 in Abhängigkeit von X und P :
√
∂F
= D m x cot X
∂x
√
∂F
Dm 2
P =−
=
x sin−2 X
∂X
2
2
P sin2 X
⇒ x2 = √
Dm
p=
p2 = D m x2 cot2 X = D m √
√
2
P sin2 X cot2 X = 2 D m P cos2 X .
Dm
• Benutzen Sie das Ergebnis, um die transformierte Hamiltonfunktion K in Abhängigkeit von
X und P zu berechnen:
~ P~ ) = H(~x, p~) − ∂F
K(X,
∂t
p2
D 2
=
+ x −0
2m
2
=
2
√
r
=
D
2
D m P cos2 X
√
P sin2 X
+
2m
2 Dm
D
P.
m
• Leiten Sie die Bewegungsgleichungen für X und P her und lösen Sie diese:
r
r
∂K
D Integration nach t
D
Ẋ =
=
⇒
X=
t + X0
∂P
m
m
Ṗ = −
∂K
=0
∂X
Integration nach t
⇒
P = P0 = const .
• Setzen Sie das Ergebnis in die Gleichungen für x und p ein:
s
s
!
r
2
2
D
t + X0
x= √
P sin X = √
P0 sin
m
Dm
Dm
√
q
p=
2
!
r
q √
D
D m P cos X = 2 D m P0 cos
t + X0 .
m