Allgemeine Algebra für Inf./WI-Inf.

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Christian Herrmann
Richard Holzer
Tobias Löw
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Wintersemester 2003/04
4. Dezember 2003
Allgemeine Algebra für Inf./WI-Inf.
Siebtes Übungsblatt
Präsenzübungen
(T 6) Maxitest
Ein Halbring ist eine algebraische Struktur (S, ⊕, ⊗, I0 , I1 ) mit ⊕, ⊗ : S × S → S und I0 , I1 ∈ S,
für die für alle a, b, c ∈ S gilt
(i) a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c
(iv) a ⊗ I1 = I1 ⊗ a = a
(ii) a ⊕ I0 = I0 ⊕ a = a
(v) a ⊕ b = b ⊕ a
(iii) a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c
(vi) a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
Erfüllt ein Halbring darüber hinaus
(vii) Für jede Folge (a1 , a2 , . . .) kann man unabhängig von der Reihenfolge eine Summe
∞
M
an ∈ S
n=1
definieren.
(viii)
∞
M
n=1
!
an
⊗
∞
M
!
bn
=
n=1
∞
M
an ⊗ bm
n,m=1
dann wird er als abgeschlossener Halbring bezeichnet.
(vgl. Inf III Skript / Waldschmidt,Guntermann, p. 84f)
Gegeben seien folgende algebraischen Strukturen
1. (N, +, ·)
4. (P(X), ∪, ∩)
2. (R≥0 , +, ·)
5. (P(X), ∩, ∪)
3. (R≥0 , min, +)
(a) Welche der obigen algebraischen Strukturen (S, ⊕, ⊗) wird zum Halbring, wenn man I0 und
I1 geeignet wählt?
(b) Welche erfüllt (a), wenn man zu S ein Element ∞ hinzunimmt und x ⊕ ∞, ∞ ⊕ x, x ⊗ ∞
und ∞ ⊗ x passend definiert?
(c) Welche erfüllt (a) und erlaubt die Definition einer Summation
(a1 , a2 , . . .) 7→
∞
M
n=1
an
so, daß man einen abgeschlossenen Halbring erhält, für den
∞
M
an = a1 ⊕ · · · ⊕ am
falls an = I0 für n > m
n=1
gilt?
(d) Welche erfüllt (c) nachdem man gemäß (b) ∞ hinzugenommen hat?
(P 15) Teilen mit Rest
Zeige mittels Ordnungsinduktion, daß es für Zahlen a, b ∈ N mit b > 0 stets Zahlen q, r ∈ N mit
r < b gibt, sodaß
a=q·b+r
gilt.
(P 16) Rekursion
Sei C die Menge aller Worte über dem Alphabet {a, b, c, d, e}, die keines der Wörter cd, ce, ed,
ee als (zusammenhängendes) Teilwort enthalten. (Die Elemente in C bezeichnen wir auch als die
erlaubten Worte.) Sei cn die Anzahl der erlaubten Worte der Länge n. Gesucht ist eine explizite
Formel zur Berechnung von cn .
Sei weiterhin B die Menge aller erlaubten Worte, die c oder e als letzten Buchstaben haben, sowie
A := C \ B.
(a) Betrachte die Anzahl bn der Wörter in B von Länge n, sowie an = cn − bn . Berechne die
Werte ai , bi und ci für i = 0, 1, 2.
(b) Gib rekursive Definitionen für A und B an.
Hinweis: Definiere A (bzw. B) durch Ausdrücke mit A und(!) B. Betrachte hierfür die letzten
und vorletzten Buchstaben der Wörter.
P∞
n
bzw.
(c) Bestimme
gebrochenrationale
Polynome
die
gleich
den
Potenzreihen
n=0 an x
P∞
n
b
x
sind.
n=0 n
P
n
(d) Bestimme daraus eine Darstellung der Potenzreihe ∞
n=0 cn x als gebrochenrationales Polynom.
(e) Gib eine rekursive Definition für die cn an.
(f) Finde mittels Partialbruchzerlegung eine explizite Darstellung für die cn .
Hausübungen
Abgabe in den Übungen am 11. Dezember 2003
(H 17) Fortsetzung von (T 6)
Führe die Aufgabenteile (a) - (d) aus Maxitest (T 6) für die folgenden algebraischen Strukturen
durch.
1. (R≥0 , min, max)
3. (P(A∗ ), ∪, ), A∗ = Wörter über Alphabet A, = Konkatenation
2. (R≥0 , max, ·)
4. (O(R), ∪, ∩), O(R) = offene Teilmengen von R
(H 18) Ordnungsinduktion
Gib für die folgenden Funktionen jeweils eine explizite Definition an und beweise diese mittels
Ordnungsinduktion.
(
x
falls x < y,
(a) f : N × N+ → N, f (x, y) =
f (x − y, y) sonst.


falls x = y,
x
(b) f : N+ × N+ → N+ , f (x, y) = f (x, y − x) falls x < y,


f (x − y, y) sonst.
(H 19) 50 Cent Problem
In dieser Aufgabe soll das Problem behandelt werden, auf wie viele verschiedene Weisen man 50
Cent mit 1,5,10,25 und 50 Cent Münzen bezahlen kann (natürlich ohne Wechselgeld zu bekommen).
Zur Lösung betrachten wir das Problem allgemein: Gesucht ist eine Potenzreihe C, deren Koeffizienten Cn jeweils die Anzahl verschiedener Möglichkeiten sind, n Cent zu bezahlen.
Es seien
1 5 10 25 50
i
Potenzreihe P N D Q C
die Potenzreihen für die Anzahl der Möglichkeiten, wenn nur Münzen von Wert höchstens i Cent
erlaubt sind. Es bezeichne Pn den n-ten Koeffizienten der Reihe P (analog für die anderen Reihen).
Zur Lösung des 50 Cent Problem suchen wir also C50 .
(a) Man kann rekursive Definitionen für diese Reihen angeben
P = 1 + z + z2 + z3 + . . .
N = (1 + z 5 + z 10 + z 15 + . . .)P
Bestimme die rekursive Definitionen für D, Q und C.
(b) Stelle die soeben gefundenen Beziehungen zwischen den Potenzreihen durch gebrochenrationale Polynome dar.
(c) Bestimme rekursive Definitionen der Koeffizienten der Potenzreihen.
(d) Ergänze folgende Tabelle zur Lösung des 50 Cent Problems.
n
Pn
Nn
Dn
Qn
Cn
0
1
1
1
1
1
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
× ×
× ×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Hinweis: Die mit × gekennzeichneten Felder werden zur Lösung nicht benötigt.